Lösen von Gleichungssystemen: Quiz für Technische Mechanik

Question 1

Welches der folgenden Verfahren ist ein direktes Lösungsverfahren für Gleichungssysteme?

Accepted Answer

Gauß-Elimination

Answer

Jacobi-Iteration

Answer

Gauss-Seidel-Iteration

Question 2

Welches Verfahren wird üblicherweise verwendet, um die Konvergenz von iterativen Verfahren zu beschleunigen?

Accepted Answer

Relaxationsverfahren

Answer

LU-Zerlegung

Answer

Cholesky-Zerlegung

Answer

Gauß-Elimination

Question 3

Wie wird die Konvergenz von iterativen Verfahren beurteilt?

Accepted Answer

Durch die Norm der Residuen.

Answer

Durch die Anzahl der Iterationen.

Answer

Durch die Eigenwerte der Koeffizientenmatrix.

Answer

Durch die Determinante der Koeffizientenmatrix.

Question 4

Ein System von 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten wird als ... bezeichnet?

Accepted Answer

Lineares Gleichungssystem

Answer

Nichtlineares Gleichungssystem

Answer

Homogenes Gleichungssystem

Answer

Differenzialgleichungssystem

Question 5

In der Finite-Elemente-Methode wird die Lösung eines Problems auf ein System von Gleichungen reduziert. Welches Verfahren wird typischerweise verwendet, um dieses Gleichungssystem zu lösen?

Accepted Answer

Iterative Lösungsverfahren

Answer

Direkte Lösungsverfahren

Answer

Analytische Lösungen

Answer

Numerische Integration

Question 6

Was ist die Hauptidee hinter dem Jacobi-Iterationsverfahren?

Accepted Answer

In jeder Iteration wird eine Unbekannte aus einer Gleichung isoliert und mit den Werten aus der vorherigen Iteration berechnet.

Answer

Alle Unbekannten werden gleichzeitig in jeder Iteration aktualisiert.

Question 7

Wie wirkt sich die Wahl des Startwerts auf die Konvergenz eines iterativen Verfahrens aus?

Accepted Answer

Die Wahl des Startwerts kann die Konvergenz beeinflussen, aber nicht garantieren.

Answer

Der Startwert garantiert die Konvergenz des Verfahrens.

Answer

Der Startwert hat keinen Einfluss auf die Konvergenz.

Question 8

Welches der folgenden Verfahren ist für die Lösung von großen, dünn besetzten Gleichungssystemen, wie sie in der FEM auftreten, besonders effizient?

Accepted Answer

Krylov-Raum-Methoden

Answer

LU-Zerlegung

Answer

Cholesky-Zerlegung

Answer

Gauß-Elimination

Question 9

Welches Verfahren eignet sich am besten zur Lösung eines schwach besetzten Gleichungssystems?

Accepted Answer

Gauß-Seidel-Verfahren

Answer

Cholesky-Zerlegung

Answer

Jacobi-Verfahren

Answer

LU-Zerlegung

Question 10

Welche der folgenden Aussagen zum Jacobi-Verfahren ist korrekt?

Accepted Answer

Konvergiert immer, wenn die Diagonalelemente dominant sind.

Answer

Hat eine schnellere Konvergenzrate als das Gauß-Seidel-Verfahren.

Answer

Konvergiert immer, wenn die Matrix symmetrisch positiv definit ist.

Question 11

In welcher Reihenfolge werden die Gleichungen eines Gleichungssystems bei der Gauß-Elimination gelöst?

Accepted Answer

Von oben nach unten

Answer

Von rechts nach links

Answer

Von links nach rechts

Answer

Von unten nach oben

Question 12

Welche der folgenden Matrixzerlegungen ist besonders effizient für die Lösung von Gleichungssystemen mit großen, dünn besetzten Matrizen?

Accepted Answer

Banachiewicz-Zerlegung

Answer

LU-Zerlegung

Answer

QR-Zerlegung

Answer

Cholesky-Zerlegung

Question 13

Welches Kriterium wird verwendet, um die Konvergenz des Gauß-Seidel-Verfahrens zu bestimmen?

Accepted Answer

Residualnorm

Answer

Spektralradius

Answer

Fehlertoleranz

Answer

Konditionszahl

Question 14

Welche der folgenden Aussagen zum LU-Verfahren ist falsch?

Accepted Answer

Die Spaltenvektoren der L-Matrix sind linear unabhängig.

Answer

Die U-Matrix ist eine obere Dreiecksmatrix.

Answer

Die LU-Zerlegung ist nur für quadratische Matrizen möglich.

Question 15

Welche der folgenden Methoden eignet sich zur Lösung eines nichtlinearen Gleichungssystems?

Accepted Answer

Newton-Raphson-Verfahren

Answer

Gauß-Seidel-Verfahren

Answer

Jacobi-Verfahren

Question 16

Was ist der Unterschied zwischen einem linearen und einem nichtlinearen Gleichungssystem?

Accepted Answer

In einem linearen Gleichungssystem sind die Koeffizienten der Variablen konstant, während sie in einem nichtlinearen Gleichungssystem Funktionen der Variablen sind.

Answer

Lineare Gleichungssysteme haben nur eine Lösung, während nichtlineare Gleichungssysteme mehrere Lösungen haben können.

Question 17

Welche der folgenden Größen ist bei der Lösung eines Gleichungssystems mit der FE-Methode besonders wichtig?

Accepted Answer

Bandbreite

Answer

Spektralradius

Answer

Kondition

Answer

Eigenwerte

Question 18

Was versteht man unter der Kondition eines Gleichungssystems?

Accepted Answer

Ein Maß für die Sensitivität der Lösung gegenüber Änderungen in den Eingabedaten.

Answer

Die Größe der Koeffizientenmatrix

Answer

Die Anzahl der Gleichungen im System

Question 19

Welche der folgenden Aussagen beschreibt ein lineares Gleichungssystem?

Accepted Answer

Es gibt eine eindeutige Lösung für jeden Satz von Koeffizienten und rechten Seiten.

Answer

Es hat keine Lösungen.

Answer

Es hat unendlich viele Lösungen.

Question 20

Welches der folgenden Lösungsverfahren eignet sich am besten für große, spärliche Gleichungssysteme?

Accepted Answer

Iterative Verfahren

Answer

Direkte Verfahren

Answer

LU-Zerlegung

Question 21

Welche der folgenden Aussagen ist über das Gauß-Seidel-Verfahren wahr?

Accepted Answer

Es ist ein iteratives Verfahren, das sukzessive Näherungen für die Lösung findet.

Answer

Es ist ein direktes Verfahren, das die exakte Lösung in einem Schritt findet.

Answer

Es ist nur für Gleichungssysteme mit positiven Koeffizienten anwendbar.

Question 22

Welche der folgenden Matrixnormen misst den maximalen absoluten Wert eines Matrixeintrags?

Accepted Answer

Unendlich-Norm

Answer

2-Norm

Answer

1-Norm

Answer

Frobenius-Norm

Question 23

Welche der folgenden Aussagen beschreibt die Konditionszahl einer Matrix?

Accepted Answer

Sie misst die Empfindlichkeit der Lösung eines Gleichungssystems gegenüber Änderungen der Matrixkoeffizienten.

Answer

Sie misst den maximalen Eigenwert der Matrix.

Question 24

Welche der folgenden Bedingungen ist notwendig für die Konvergenz des Gauß-Seidel-Verfahrens?

Accepted Answer

Die Diagonaldominanz der Systemmatrix.

Answer

Die Tridiagonalität der Systemmatrix.

Answer

Die Symmetrie der Systemmatrix.

Answer

Die positive Definitheit der Systemmatrix.

Question 25

Welche der folgenden Bibliotheken bietet eine umfassende Sammlung von Funktionen zur Lösung von Gleichungssystemen in Python?

Accepted Answer

SciPy

Answer

Pandas

Answer

Matplotlib

Answer

NumPy

Question 26

Welche der folgenden Techniken kann verwendet werden, um die Kondition einer Matrix zu verbessern?

Accepted Answer

Pivoting

Answer

LU-Zerlegung

Answer

Skalierung

Answer

Gauß-Elimination

Question 27

Welche der folgenden Aussagen beschreibt die Eigenwerte einer Matrix?

Accepted Answer

Sie sind die Wurzeln des charakteristischen Polynoms der Matrix.

Answer

Sie sind die Normen der Zeilenvektoren der Matrix.

Answer

Sie sind die Diagonalwerte der Matrix.

Question 28

Welches der folgenden Kriterien bestimmt die Wahl des Lösungsalgorithmus für ein bestimmtes Gleichungssystem?

Accepted Answer

Größe, Sparsamkeit und Kondition der Systemmatrix.

Answer

Nur die Größe der Systemmatrix.

Answer

Nur die Sparsamkeit der Systemmatrix.

Answer

Nur die Kondition der Systemmatrix.