Zahlentheorie lernen: Online-Quizze und Übungen für Studierende

Question 1

Welches Verfahren ist **ungeeignet** zur effizienten Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers (ggT) zweier natürlicher Zahlen?

Accepted Answer

Subtraktionsverfahren

Answer

Euklidischer Algorithmus

Answer

Primfaktorzerlegung

Question 2

Was ist die korrekte Definition des größten gemeinsamen Teilers `ggT(a, b)`?

Accepted Answer

`ggT(a, b)` ist die größte Zahl, die sowohl `a` als auch `b` teilt.

Answer

`ggT(a, b)` ist die Summe von `a` und `b`.

Answer

`ggT(a, b)` ist das Produkt von `a` und `b`.

Answer

`ggT(a, b)` ist die kleinste Zahl, die sowohl `a` als auch `b` teilt.

Question 3

Welcher mathematische Satz besagt, dass jede natürliche Zahl größer als 1 eindeutig als Produkt von Primzahlen dargestellt werden kann?

Accepted Answer

Fundamentalsatz der Arithmetik

Answer

Satz des Pythagoras

Answer

Satz von Fermat

Answer

Chinesischer Restsatz

Question 4

Welches Verfahren ist am effizientesten, um den größten gemeinsamen Teiler (ggT) zweier natürlicher Zahlen (a) und (b) zu berechnen?

Accepted Answer

Euklidischer Algorithmus

Answer

Primfaktorzerlegung

Answer

Chinesischer Restsatz

Answer

Fermatscher kleiner Satz

Question 5

Welche Aussage beschreibt den Kleinen Satz von Fermat für eine ungerade Primzahl p und eine zu p teilerfremde ganze Zahl a?

Accepted Answer

a^(p-1) ≡ 1 (mod p)

Answer

a^(p-1) ≡ 0 (mod p)

Answer

a^p ≡ 1 (mod p)

Answer

a^p ≡ 0 (mod p)

Question 6

Welche Bedingung muss für die eindeutige Lösung eines Systems linearer Kongruenzen nach dem Chinesischen Restsatz erfüllt sein?

Accepted Answer

Die Moduln müssen paarweise teilerfremd sein.

Answer

Die Anzahl der Gleichungen muss größer sein als die Anzahl der Unbekannten.

Answer

Die Gleichungen müssen bereits eindeutig lösbar sein.

Answer

Die Moduln müssen untereinander teilerfremd sein.

Question 7

Welche Aussage beschreibt die eindeutige Primfaktorzerlegung einer natürlichen Zahl?

Accepted Answer

Jede natürliche Zahl lässt sich eindeutig in Primzahlen zerlegen.

Answer

Die Primfaktorzerlegung einer natürlichen Zahl ist nicht immer eindeutig.

Answer

Die Primfaktorzerlegung einer natürlichen Zahl kann negative Faktoren enthalten.

Answer

Die Primfaktorzerlegung einer natürlichen Zahl kann rationale Faktoren enthalten.

Question 8

Welcher Satz über den Euklidischen Algorithmus ist korrekt?

Accepted Answer

Er findet den größten gemeinsamen Teiler (ggT) zweier Zahlen.

Accepted Answer

Er ist ein iterativer Algorithmus.

Answer

Er findet das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) zweier Zahlen.

Answer

Er funktioniert nur für Primzahlen.

Question 9

Im Satz von Euler wird Ħ(n) als was bezeichnet?

Accepted Answer

Anzahl der zu n teilerfremden natürlichen Zahlen kleiner n

Answer

Anzahl der Primzahlen kleiner n

Answer

Wert der Eulerschen Zahl

Answer

Koeffizient in der Zeta-Funktion

Question 10

Welche Eigenschaften treffen auf Primzahlen zu?

Accepted Answer

Sie haben genau zwei positive Teiler.

Accepted Answer

Jede natürliche Zahl kann eindeutig als Produkt von Primzahlen dargestellt werden.

Answer

Ihre Summe ist immer eine Primzahl.

Question 11

Welches mathematische Hilfsmittel ermöglicht präzise Vorhersagen zur Verteilung von Primzahlen?

Accepted Answer

Riemannsche Zeta-Funktion

Answer

Gammafunktion

Answer

Hypergeometrische Verteilung

Question 12

Gegeben sei eine positive ganze Zahl a. Welcher Ausdruck entspricht a modulo 2?

Accepted Answer

a % 2

Answer

a + 2

Answer

a / 2

Answer

a | 2

Question 13

Beweisen Sie, dass die Menge der invertierbaren Elemente im Ring (mathbb{Z}_p) zyklisch ist und bestimmen Sie ihre Ordnung.

Accepted Answer

Die Ordnung der Menge der invertierbaren Elemente in (mathbb{Z}_p) ist (p-1).

Answer

Die Menge der invertierbaren Elemente in (mathbb{Z}_p) ist nicht zyklisch.

Answer

Die Menge der invertierbaren Elemente in (mathbb{Z}_p) ist isomorph zu (mathbb{Z}_p).

Answer

Die Ordnung der Menge der invertierbaren Elemente in (mathbb{Z}_p) ist (p).

Question 14

Frage: Beweisen Sie, dass die Menge der ganzen Zahlen modulo $n$ unter der Addition und Multiplikation einen Ring bildet.

Accepted Answer

Die Menge der ganzen Zahlen modulo $n$ ist assoziativ und kommutativ unter der Addition.

Accepted Answer

Es existiert ein neutrales Element für die Addition in der Menge der ganzen Zahlen modulo $n$.

Accepted Answer

Die Menge der ganzen Zahlen modulo $n$ ist assoziativ und kommutativ unter der Multiplikation.

Accepted Answer

Es existiert ein neutrales Element für die Multiplikation in der Menge der ganzen Zahlen modulo $n$.

Question 15

Sei $p$ eine Primzahl. Beweisen Sie, dass die Kongruenz $x^2 equiv -1 (mod  p)$ genau dann lösbar ist, wenn $p$ die Form $p = 4k + 1$ für eine ganze Zahl $k$ hat.

Accepted Answer

Die Lösbarkeit der Kongruenz $x^2 equiv -1 (mod  p)$ hängt vom quadratischen Rest von $-1$ in Bezug auf $p$ ab.

Answer

Die Anzahl der Teiler von $p$ spielt eine Rolle bei der Lösbarkeit der Kongruenz.

Answer

Die Kongruenz ist immer lösbar, unabhängig von $p$.

Question 16

Beweisen Sie, dass die Gleichung x² + y² = 2023 keine ganzzahligen Lösungen für x und y größer als 0 hat.

Accepted Answer

Die Gleichung hat keine Lösungen, da 2023 keine Quadratzahl ist.

Answer

Die Gleichung hat Lösungen für x = 45 und y = 42.

Answer

Die Gleichung hat Lösungen für x = 1 und y = 1.

Answer

Die Gleichung hat Lösungen für alle ganzen Zahlen x und y.

Question 17

Welche der folgenden Aussagen über den Euklidischen Algorithmus ist korrekt?

Accepted Answer

Er kann verwendet werden, um den größten gemeinsamen Teiler (ggT) zweier Zahlen zu berechnen.

Accepted Answer

Er kann verwendet werden, um zu bestimmen, ob zwei Zahlen teilerfremd sind.

Answer

Er kann verwendet werden, um die kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) zweier Zahlen zu berechnen.

Question 18

Frage: Bestimme den Rest von $n$, wenn $n$ durch 2 geteilt wird. Welcher Ausdruck entspricht diesem Wert?

Accepted Answer

$n 	ext{ mod } 2$

Answer

$n pm 2$

Answer

$n cdot 2$

Question 19

Welche Aussage über Primzahlen ist falsch?

Accepted Answer

Alle geraden Zahlen außer 2 sind Primzahlen.

Answer

Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl größer als 1.

Answer

Eine Primzahl hat genau zwei Teiler: 1 und sich selbst.

Answer

Die kleinste Primzahl ist 2.

Question 20

Welcher Rest bleibt, wenn 3 hoch 100 durch 11 dividiert wird?

Accepted Answer

1

Answer

2

Answer

3

Answer

10

Question 21

Welche Zahl ist eine Primzahl?

Accepted Answer

17

Answer

12

Answer

21

Answer

25

Question 22

Welche Aussage über Primzahlen ist falsch?

Accepted Answer

Die Summe zweier Primzahlen ist immer eine Primzahl.

Answer

1 ist keine Primzahl.

Answer

Es gibt unendlich viele Primzahlen.

Answer

Jede Zahl größer als 1 ist entweder eine Primzahl oder ein Produkt aus Primzahlen.

Question 23

Welcher Satz ist über den größten gemeinsamen Teiler (ggT) und das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) zweier ganzer Zahlen a und b richtig?

Accepted Answer

ggT(a, b) * kgV(a, b) = a * b

Answer

ggT(a, b) = kgV(a, b)

Answer

ggT(a, b) + kgV(a, b) = a + b

Question 24

Welche Menge bilden die Zahlen, die sowohl durch 6 als auch durch 8 teilbar sind?

Accepted Answer

Eine Untergruppe der additiven Gruppe der ganzen Zahlen

Answer

Eine echte Untergruppe der additiven Gruppe der ganzen Zahlen

Answer

Eine Teilmenge der additiven Gruppe der ganzen Zahlen

Question 25

Welche Aussage über Primzahlen ist richtig?

Accepted Answer

Eine Zahl größer als 1 ist genau dann eine Primzahl, wenn sie nur durch 1 und sich selbst teilbar ist.

Answer

Jede gerade Zahl größer als 2 ist eine Primzahl.

Question 26

Berechne die kleinste positive ganze Zahl, die sowohl durch 4 als auch durch 9 teilbar ist.

Accepted Answer

36

Answer

18

Answer

12

Question 27

Welche Aussage über den Euklidischen Algorithmus ist korrekt?

Accepted Answer

Der Euklidische Algorithmus ermittelt den größten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen.

Answer

Der Euklidische Algorithmus ist ein Verfahren zur Faktorisierung von Zahlen.

Answer

Der Euklidische Algorithmus benötigt eine Primzahlenzerlegung der Zahlen.

Question 28

Welche Aussage über die Goldbach-Vermutung trifft zu?

Accepted Answer

Sie besagt, dass jede gerade Zahl größer als 2 als Summe zweier Primzahlen geschrieben werden kann.

Answer

Sie wurde bewiesen und ist ein Theorem.

Answer

Sie gilt nur für ungerade Zahlen.

Question 29

Welche Aussage über Kongruenzen ist korrekt?

Accepted Answer

Kongruente Zahlen liefern bei Division durch den Modul den gleichen Rest.

Answer

Kongruente Zahlen sind das gleiche.

Answer

Kongruente Zahlen unterscheiden sich nur um eine Primzahl.

Question 30

Welche Aussage über die Euklidische Division ist korrekt?

Accepted Answer

Für beliebige ganze Zahlen a und b gibt es eindeutige ganze Zahlen q und r sodass a = bq + r mit 0 ≤ r < |b|.

Answer

Die Division muss immer aufgehen, d. h. r = 0.

Question 31

Welche kryptographische Methode nutzt die Eigenschaften von Primzahlen?

Accepted Answer

RSA-Verschlüsselung

Answer

Hash-Funktionen

Answer

DES-Verschlüsselung

Answer

AES-Verschlüsselung

Question 32

Wie lautet der Satz von Fermat?

Accepted Answer

Für jede Primzahl p und jede natürliche Zahl a ist a^p - a durch p teilbar.

Answer

Für jede natürliche Zahl p und jede Primzahl a ist a^p - a durch p teilbar.

Answer

Für jede Primzahl p und jede natürliche Zahl a ist a^p + a durch p teilbar.

Question 33

Welche der folgenden Zahlen ist eine Carmichael-Zahl?

Accepted Answer

561

Answer

819

Answer

645

Answer

341

Question 34

Welches kryptographische Verfahren basiert auf der Schwierigkeit des Faktorisierens großer Zahlen?

Accepted Answer

RSA-Verschlüsselung

Answer

Blowfish-Verschlüsselung

Answer

AES-Verschlüsselung

Answer

DES-Verschlüsselung

Question 35

Welche der folgenden Funktionen ist eine eulersche φ-Funktion?

Accepted Answer

φ(n) = n - 1, falls n eine Primzahl ist.

Answer

φ(n) = n / 2, falls n eine Primzahl ist.

Answer

φ(n) = n^2, falls n eine Primzahl ist.

Answer

φ(n) = n + 1, falls n eine Primzahl ist.

Question 36

Wie lautet der Chinesische Restsatz?

Accepted Answer

Wenn m1, ..., mk paarweise teilerfremd sind, dann gibt es zu beliebigen a1, ..., ak eine gemeinsame Lösung x ≡ a1 (mod m1), ..., x ≡ ak (mod mk).

Answer

Wenn m1, ..., mk paarweise teilerfremd sind, dann gibt es zu beliebigen a1, ..., ak eine gemeinsame Lösung x ≡ a1 (mod m1) + ... + ak (mod mk).

Question 37

Welche der folgenden Aussagen zur Goldbachschen Vermutung ist richtig?

Accepted Answer

Sie besagt, dass jede gerade Zahl größer als 2 als Summe zweier Primzahlen dargestellt werden kann.

Answer

Sie besagt, dass jede gerade Zahl kleiner als 2 als Summe zweier Primzahlen dargestellt werden kann.

Answer

Sie besagt, dass jede ungerade Zahl größer als 2 als Summe zweier Primzahlen dargestellt werden kann.

Question 38

Welche der folgenden Aussagen ist über die Kongruenzrelation wahr?

Accepted Answer

Sie ist eine Äquivalenzrelation.

Answer

Sie ist eine transitive Relation.

Answer

Sie ist eine symmetrische Relation.

Answer

Sie ist eine Ordnungsrelation.

Question 39

Welche der folgenden Zahlen ist eine Primzahl?

Accepted Answer

17

Answer

24

Answer

12

Question 40

Welche der folgenden Aussagen über den Euklidischen Algorithmus ist wahr?

Accepted Answer

Er findet den größten gemeinsamen Teiler (ggT) von zwei Zahlen.

Answer

Er berechnet die Primzahlzerlegung einer Zahl.

Answer

Er findet das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) von zwei Zahlen.

Question 41

Welche der folgenden RSA-Schlüsselkomponenten ist öffentlich zugänglich?

Accepted Answer

Der öffentliche Exponent

Answer

Der zufällige Exponent

Answer

Der private Exponent

Answer

Der Nachrichtenmodul

Question 42

Welche der folgenden Zahlen lässt sich nicht modulo 5 durch 3 teilen?

Accepted Answer

10

Answer

15

Answer

20

Answer

25

Question 43

Welche der folgenden Zahlen ist eine Quadratzahl?

Accepted Answer

16

Answer

10

Answer

30

Answer

24

Question 44

Welche der folgenden Aussagen ist über den Chinesischen Restsatz wahr?

Accepted Answer

Er findet eine Lösung für ein System linearer Kongruenzen.

Answer

Er berechnet die Primzahlzerlegung einer Zahl.

Answer

Er löst Gleichungen der Form ax + by = c.

Question 45

Welche der folgenden Zahlen ist ein Vielfaches von 6?

Accepted Answer

36

Answer

42

Answer

30

Answer

24

Question 46

Welche der folgenden Zahlen ist eine Fibonacci-Zahl?

Accepted Answer

13

Answer

15

Answer

10

Answer

20

Question 47

Welche der folgenden Zahlen ist ein Teiler von 105?

Accepted Answer

21

Answer

15

Answer

36

Answer

28

Question 48

Welche der folgenden Aussagen über Kongruenzen ist falsch?

Accepted Answer

Wenn a ≡ b (mod m) und c ≡ d (mod m), dann ist a + c ≡ b + d (mod m + 1).

Answer

Wenn a ≡ b (mod m), dann ist ka ≡ kb (mod m) für jede ganze Zahl k.

Answer

Wenn a ≡ b (mod m) und c ≡ d (mod m), dann ist ac ≡ bd (mod m).

Question 49

Was ist der Rest bei der Division von 123456789 durch 11?

Accepted Answer

1

Answer

3

Answer

0

Answer

2

Question 50

Welche der folgenden Zahlen ist eine Primzahl?

Accepted Answer

101

Answer

91

Answer

143

Question 51

Welches ist der größte gemeinsame Teiler von 120 und 180?

Accepted Answer

60

Answer

12

Answer

18

Answer

30

Question 52

Welches ist das kleinste gemeinsame Vielfache von 12 und 18?

Accepted Answer

36

Answer

108

Answer

24

Answer

216

Question 53

Welches der folgenden Verfahren wird zur RSA-Verschlüsselung verwendet?

Accepted Answer

Asymmetrische Kryptographie

Answer

Hashing

Answer

Symmetrische Kryptographie

Answer

Steganografie

Question 54

Welches der folgenden Prinzipien ist die Grundlage des RSA-Algorithmus?

Accepted Answer

Die Schwierigkeit, große Zahlen in Primfaktoren zu zerlegen.

Answer

Die Eigenschaften von symmetrischen Verschlüsselungsalgorithmen.

Answer

Die Sicherheit von Hash-Funktionen.

Question 55

Welches der folgenden Verfahren ist zur digitalen Signatur geeignet?

Accepted Answer

Asymmetrische Kryptographie

Answer

Hashing

Answer

Steganografie

Answer

Symmetrische Kryptographie

Question 56

Welche der folgenden Aussagen über den Satz von Fermat ist korrekt?

Accepted Answer

Der Satz von Fermat besagt, dass es keine positiven ganzen Zahlen a, b und c gibt, die die Gleichung a^n + b^n = c^n erfüllen, wenn n eine natürliche Zahl größer als 2 ist.

Answer

Der Satz von Fermat besagt, dass jede natürliche Zahl größer als 1 als Summe von zwei Primzahlen darstellbar ist.

Question 57

Welche der folgenden Aussagen über Kongruenzen ist **falsch**?

Accepted Answer

Wenn a ≡ b (mod m) und c ≡ d (mod m), dann ist a + c ≡ b + d (mod 2m).

Answer

Wenn a ≡ b (mod m), dann ist ac ≡ bc (mod m) für jede ganze Zahl c.

Answer

Wenn a ≡ b (mod m), dann ist a - b teilbar durch m.

Question 58

Bestimmen Sie den Rest bei der Division von 2^100 durch 7.

Accepted Answer

2

Answer

3

Answer

1

Answer

4

Question 59

Welche der folgenden Zahlen ist eine Primzahl?

Accepted Answer

101

Answer

143

Answer

91

Answer

203

Question 60

Wie viele verschiedene Lösungen hat die Kongruenz 3x ≡ 6 (mod 9) in der Menge {0, 1, 2, ..., 8}?

Accepted Answer

3

Answer

4

Answer

2

Answer

1

Question 61

Welches ist der größte gemeinsame Teiler (ggT) von 120 und 168?

Accepted Answer

24

Answer

36

Answer

48

Answer

12

Question 62

Welches ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) von 15 und 20?

Accepted Answer

60

Answer

75

Answer

30

Answer

45

Question 63

Welches ist das Inverse von 5 modulo 11?

Accepted Answer

9

Answer

2

Answer

7

Answer

6

Question 64

Welche der folgenden Aussagen über den Satz von Euler ist **wahr**?

Accepted Answer

Der Satz von Euler besagt, dass für jede ganze Zahl a und jede natürliche Zahl n mit ggT(a, n) = 1 gilt: a^φ(n) ≡ 1 (mod n).

Answer

Der Satz von Euler gilt nur für Primzahlen n.