Höhere Mathematik lernen: Online-Quiz für Analysis I

Question 1

Bestimme, ob die Funktion f(x) = (x² - 1) / (x - 1) für alle reellen Zahlen außer x = 1 stetig ist.

Accepted Answer

Stetig für alle reellen Zahlen außer x = 1

Answer

Stetig für alle reellen Zahlen außer x = 0

Answer

Überall unstetig

Answer

Stetig für alle reellen Zahlen

Question 2

Welche Aussage über die Funktion f(x) = x³ - 3x² + 2x + 1 trifft zu?

Accepted Answer

Sie hat einen Wendepunkt bei (1,1).

Answer

Sie hat ein Maximum bei (1,1).

Answer

Sie hat ein Minimum bei (1,1).

Answer

Sie hat keinen Wendepunkt.

Question 3

Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = e^(3x²).

Accepted Answer

6xe^(3x²)

Answer

3x²e^(3x²)

Answer

e^(3x)

Answer

1 / (3x²) * e^(3x²)

Question 4

Berechne die Ableitung der Funktion **f(x) = e^x * (x² + 3x + 2)**.

Accepted Answer

(x² + 6x + 4) * e^x

Answer

e^x * (2x + 3)

Answer

(x² + 3x + 2) * e^x

Question 5

Berechnen Sie die Ableitung der Funktion f(x) = x³ + 2x² - 1.

Accepted Answer

f'(x) = 3x² + 4x

Answer

f'(x) = 2x + 4

Answer

f'(x) = 3x + 2

Answer

f'(x) = 3x² - 2x

Question 6

Berechnen Sie die Ableitung der Polynomfunktion f(x) = x³ - 2x² + 1. Erläutern Sie Ihre Vorgehensweise.

Accepted Answer

f'(x) = 3x² - 4x

Answer

f'(x) = 3x³ - 4x

Answer

f'(x) = 3x² + 4x

Answer

f'(x) = x² - 4x

Question 7

Berechnen Sie die Gleichung der Tangente an die Funktion f(x) = x³ - 2x² + 1 im Punkt P(1, 0). Erläutern Sie dabei die einzelnen Schritte und die zugrunde liegenden mathematischen Konzepte.

Accepted Answer

y = 2x - 1

Answer

y = x³ - 2x²

Answer

y = -x + 1

Question 8

Bestimmen Sie den Hoch- und Tiefpunkt der Funktion **f(x) = x³ - 3x² + 2x + 1**. Erläutern Sie Ihre Vorgehensweise Schritt für Schritt.

Accepted Answer

Hochpunkt bei x = -1/3, Tiefpunkt bei x = 1

Answer

Hochpunkt bei x = 1, Tiefpunkt bei x = 2

Answer

Zwei Wendepunkte bei x = -1/3 und x = 1

Question 9

Überprüfen Sie, ob die Funktion f(x) = x³ + 2x² - 1 an der Stelle x = -1 stetig ist.

Accepted Answer

f(x) ist an der Stelle x = -1 stetig.

Answer

f(x) ist an der Stelle x = -1 unstetig.

Answer

f(x) ist an der Stelle x = -1 sprunghaft unstetig.

Answer

f(x) ist an der Stelle x = -1 hebbar unstetig.

Question 10

Welche Aussage beschreibt die Stetigkeit einer Funktion f(x) an der Stelle a korrekt?

Accepted Answer

f(a) ist definiert und der Grenzwert von f(x) für x gegen a ist gleich f(a)

Answer

f(a) ist definiert und der Grenzwert von f(x) für x gegen a existiert

Answer

f(a) ist definiert und f(x) ist in einer Umgebung von a stetig

Answer

f(a) ist definiert und f(x) ist überall stetig

Question 11

Berechnen Sie die Ableitung der Funktion f(x) = (x³ - 2x² + 1) * (x + 1)² mithilfe der Produktregel.

Accepted Answer

f'(x) = (x³ - 2x² + 1)' * (x + 1)² + (x³ - 2x² + 1) * (x + 1)'

Answer

f'(x) = (x³ - 2x² + 1) * (x + 1) + (x³ - 2x² + 1) * (x + 1)'

Answer

f'(x) = (x³ - 2x² + 1)' + (x + 1)'

Question 12

Welche Aussage beschreibt einen Grenzwert korrekt?

Accepted Answer

Die Funktionswerte nähern sich in einer Umgebung einer bestimmten Zahl an.

Answer

Der Funktionswert ist an einer Stelle und in deren Umgebung identisch.

Answer

Die Funktion ist in einem bestimmten Intervall konstant.

Answer

Der Funktionswert an einer Stelle existiert nicht.

Question 13

Bestimmen Sie den Grenzwert von f(x) = (x^2 - 4) / (x - 2) für x gegen 2.

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

2

Answer

unendlich

Question 14

Welche Eigenschaft der Ableitungen ist korrekt?

Accepted Answer

Alle Aussagen sind richtig.

Answer

Die Ableitung einer Polynomfunktion ist eine rationale Funktion.

Answer

Die Ableitung einer Exponentialfunktion ist die Exponentialfunktion selbst.

Answer

Die Ableitung einer Sinusfunktion ist eine Kosinusfunktion.

Question 15

Welche Anwendung der Integralrechnung wird verwendet, um das Volumen eines Rotationskörpers zu bestimmen?

Accepted Answer

Volumen eines Rotationskörpers

Answer

Flächeninhalt unter einer Kurve

Answer

Bogenlänge

Answer

Arbeit

Question 16

Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = (2x³ + x² - 5x + 2).

Accepted Answer

6x² + 2x - 5

Answer

6x² + x² - 5x + 2

Answer

3x² + 2x - 5

Answer

2x³ + x² - 5x

Question 17

Bestimme das Integral von f(x) = 3x² - 2x + 1.

Accepted Answer

3x³/2 - x² + x + C

Answer

x³ - x² + x + C

Answer

9x²/2 - 2x + 1 + C

Answer

x³ - 2x² + x + C

Question 18

Welche der folgenden Funktionen ist konkav?

Accepted Answer

f(x) = -x²

Answer

f(x) = x3

Answer

f(x) = ex

Answer

f(x) = sin(x)

Question 19

Welche der folgenden Reihen konvergiert?

Accepted Answer

Summe von n=1 bis unendlich von (1/2ⁿ)

Answer

Summe von n=1 bis unendlich von (1/n)

Answer

Summe von n=1 bis unendlich von (n²)

Answer

Summe von n=1 bis unendlich von (-1)ⁿ

Question 20

Untersuche die Krümmung der Funktion f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1.

Accepted Answer

Konkav in (-∞, 1) und konvex in (1, ∞)

Answer

Konvex im gesamten Definitionsbereich

Answer

Konkav im gesamten Definitionsbereich

Answer

Weder konvex noch konkav

Question 21

Bestimmen Sie die lineare Taylor-Approximation erster Ordnung der Funktion f(x) = e^x im Punkt x = 0.

Accepted Answer

1 + x

Answer

ex

Answer

x2

Question 22

Welcher Begriff beschreibt die Eigenschaft einer Funktion, einem endlichen Wert zuzustreben, wenn ihr Argument einem bestimmten Grenzwert nahekommt?

Accepted Answer

Grenzwert

Answer

Stetigkeit

Answer

Ableitung

Answer

Integral

Question 23

Die Ableitung von f(x) = sin(x) ist:

Accepted Answer

cos(x)

Answer

-cos(x)

Answer

sin(x)

Answer

-sin(x)

Question 24

Welches Integral ergibt die Fläche unter der Kurve y = x² zwischen x = 0 und x = 2?

Accepted Answer

8/3

Answer

4/3

Answer

16/3

Answer

32/3

Question 25

Welches numerische Verfahren kann zur Approximation der komplexen Wurzel z von z³ + 1 = 0 verwendet werden?

Accepted Answer

Newtonsches Näherungsverfahren

Answer

Bisektionsverfahren

Answer

Regula-Falsi-Verfahren

Answer

Fixpunktverfahren

Question 26

Welcher der folgenden Vektorräume ist nicht endlichdimensional?

Accepted Answer

C[0, 1]

Answer

ℝ³

Answer

P(x), Grad < 5

Answer

ℚ

Question 27

Eine stetige Funktion f(x) mit f(1)=2, f(2)=4 und f'(x)≥1 für x>0 ist gegeben. Welcher Wert ist für f(3) garantiert?

Accepted Answer

f(3) ist größer oder gleich 4.

Answer

f(3) kann nicht bestimmt werden.

Answer

f(3) ist gleich 5.

Question 28

Berechne die Fourier-Transformation der Funktion $f(x) = e^{-x²}$ und gib den Konvergenzbereich an.

Accepted Answer

$\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-k²}$

Answer

$\frac{1}{\sqrt{\pi}} e^{-2k²}$

Answer

$e^{-k}$

Question 29

Was ist der Konvergenzradius der Potenzreihe ∑ (n/(n+1)) * x^n?

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

Unendlich

Question 30

Welche der folgenden Aussagen ist eine notwendige Bedingung dafür, dass eine Funktion f(x) stetig ist?

Accepted Answer

f(x) hat an allen Stellen einen Grenzwert.

Answer

f(x) ist an allen Stellen differenzierbar.

Answer

f(x) ist streng monoton.

Question 31

Wie lautet die Taylor-Reihe der Funktion f(x) = e^x um den Punkt x = 0 bis zum Grad n? Geben Sie außerdem den Konvergenzradius an.

Accepted Answer

e^x =  ∑_(n=0)^∞ x^n / n!,  R = ∞

Answer

e^x =  ∑_(n=1)^∞ x^(n-1) / (n-1)!,  R = 1

Answer

e^x =  ∑_(n=0)^∞ x^(n+1) / (n+1),  R = 0

Question 32

Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = x^3 + 2x.

Accepted Answer

f'(x) = 3x^2 + 2

Answer

f'(x) = x^2 + 2

Answer

f'(x) = 3x + 2

Answer

f'(x) = 2x

Question 33

Welcher der folgenden Grenzwerte existiert **nicht**?

Accepted Answer

lim(x -> π) (x - π) / (cos(x) - 1)) = ∞

Answer

lim(x -> 0) (sin(x) / x) = 0

Answer

lim(x -> ∞) (e^x) = ∞

Answer

lim(x -> 1) ((x^2) - 1) / (x - 1)) = 2

Question 34

Welche der folgenden Funktionen ist **keine** Stammfunktion von f(x) = x^2 - 2x + 1?

Accepted Answer

F(x) = e^(x^2 - 2x + 1) + C

Answer

F(x) = x^3 / 3 - x^2 + x + C

Answer

F(x) = 2x^2 - 4x + C

Answer

F(x) = (x^2 - 2x + 1) / 2 + C

Question 35

Welche der folgenden Methoden kann **nicht** zur Berechnung des bestimmten Integrals von ∫(x^2) dx von 0 bis 1 verwendet werden?

Accepted Answer

Kegelintegration

Answer

Integration durch Substitution

Answer

Integration durch partielle Integration

Answer

Numerische Integration (z. B. Trapezregel)

Question 36

Berechnen Sie die Ableitung der Funktion f(x) = x³ - 2x² + 5:

Accepted Answer

3x² - 4x

Answer

x³ - 4x

Answer

3x² + 4x

Answer

x³ + 4x

Question 37

Ermitteln Sie die Grenzwerte der Funktion f(x) = 1/x für x gegen 0 und x gegen unendlich:

Accepted Answer

0, ∞

Answer

∞, 0

Answer

0, 0

Answer

unbestimmt, unbestimmt

Question 38

Bestimmen Sie das Integral der Funktion ∫x² dx:

Accepted Answer

x³/2 + C

Answer

x³/3 + C

Answer

x⁴/2 + C

Answer

x⁴/3 + C

Question 39

Für die Funktion f(x) = e^x gilt:

Accepted Answer

f'(x) = e^x

Answer

f'(x) = x*e^x

Answer

f'(x) = e^(x-1)

Answer

f'(x) = x*e^(x-1)

Question 40

Untersuchen Sie die Stetigkeit der Funktion f(x) = |x| an der Stelle x = 0:

Accepted Answer

f(x) ist an x = 0 unstetig

Answer

f(x) ist an x = 0 stetig

Answer

f(x) ist an x = 0 unstetig von rechts

Answer

f(x) ist an x = 0 unstetig von links

Question 41

Welche Aussage über die Konvergenz der Reihe ∑(n=1 bis unendlich) 1/n ist zutreffend?

Accepted Answer

Sie divergiert

Answer

Sie konvergiert gegen 0

Answer

Sie konvergiert gegen 1

Answer

Die Konvergenz kann nicht bestimmt werden

Question 42

Berechnen Sie den Grenzwert von f(x) = (x² - 1) / (x - 1) für x gegen 1.

Accepted Answer

2

Answer

-2

Answer

Unendlich

Answer

0

Question 43

Berechnen Sie die Ableitung von f(x) = e^(x²).

Accepted Answer

2xe^(x²)

Answer

x²e^(x²)

Answer

e^(x²)

Answer

xe^(x²)

Question 44

Berechnen Sie das bestimmte Integral von f(x) = cos(x) über das Intervall [0, π/2].

Accepted Answer

1

Answer

-1

Answer

0

Answer

π/2

Question 45

Welche der folgenden Aussagen ist richtig für die Funktion f(x) = x³ - 3x²?

Accepted Answer

Die Funktion hat ein lokales Minimum bei x = 0 und ein lokales Maximum bei x = 2.

Answer

Die Funktion ist monoton wachsend.

Answer

Die Funktion ist monoton fallend.

Answer

Die Funktion hat einen Wendepunkt bei x = 0.

Question 46

Welche der folgenden Aussagen ist richtig für die Funktion f(x) = sin(x) + cos(x)?

Accepted Answer

Die Funktion ist periodisch mit einer Periode von 2π.

Answer

Die Funktion ist periodisch mit einer Periode von π.

Answer

Die Funktion ist nicht periodisch.

Question 47

Welche der folgenden Aussagen beschreibt die Ableitung der Funktion f(x) = x³ + 2x² korrekt?

Accepted Answer

f'(x) = 3x² + 4x

Answer

f'(x) = 3x² - 4x

Answer

f'(x) = x² + 2x

Answer

f'(x) = 3x + 2

Question 48

Welche der folgenden Anwendungen von Analysis ist in der Informatik relevant?

Accepted Answer

Modellierung und Optimierung von Algorithmen

Answer

Statistische Mechanik

Answer

Quantenmechanik

Answer

Biologie

Question 49

Sei f(x) = x³ - 3x² + 2x - 1. Bestimme den Grenzwert lim┬(x→∞) f(x).

Accepted Answer

∞

Answer

1

Answer

-1

Answer

0

Question 50

Bestimme das Integral der Funktion f(x) = sin(x).

Accepted Answer

-cos(x) + C

Answer

sin(x²) + C

Answer

x cos(x) + C

Answer

cos(x) + C

Question 51

Gib die Taylorreihe um x = 0 für die Funktion f(x) = e^x an.

Accepted Answer

Σ[n=0 bis ∞] (x^n / n!)

Answer

Σ[n=0 bis ∞] (x^(2n) / (2n)!)

Answer

Σ[n=1 bis ∞] (x^n / n)

Answer

Σ[n=1 bis ∞] (x^(2n) / n!)

Question 52

Welches Integral ist ein uneigentliches Integral?

Accepted Answer

∫[1, ∞] (1/x) dx

Answer

∫[-1, 1] (|x|) dx

Answer

∫[0, π] (sin(x)) dx

Answer

∫[0, 1] (x²) dx

Question 53

Die Cauchy-Folge ist eine Folge (a_n), die:

Accepted Answer

Für jedes ε > 0 existiert ein N, sodass für alle n, m ≥ N gilt: |a_n - a_m| < ε

Answer

Für jedes ε > 0 existiert ein N, sodass für alle n ≥ N gilt: a_n < ε

Answer

Für jedes ε > 0 existiert ein N, sodass für alle n > N gilt: |a_n - a_1| < ε

Question 54

Berechnen Sie die Ableitung von f(x) = x^3 + 2x:

Accepted Answer

3x^2 + 2

Answer

3x + 2

Answer

x^3 + 1

Answer

x^2 + 2

Question 55

Welche Aussage zum Mittelwertsatz der Integralrechnung ist korrekt?

Accepted Answer

Der Mittelwertsatz besagt, dass der Wert des Integrals einer Funktion über ein Intervall gleich dem Wert der Funktion an einer Zahl zwischen den Grenzen des Intervalls multipliziert mit der Länge des Intervalls ist.

Answer

Der Mittelwertsatz besagt, dass der Wert des Integrals einer Funktion über ein Intervall gleich dem Flächeninhalt unter der Kurve ist.

Answer

Der Mittelwertsatz besagt, dass der Wert des Integrals einer Funktion über ein Intervall gleich dem Wert der Funktion an den Grenzen des Intervalls ist.

Question 56

Was beschreibt die Krümmung einer Kurve?

Accepted Answer

Die Rate der Änderung der Steigung

Answer

Das Volumen des durch die Kurve erzeugten Körpers

Answer

Den Flächeninhalt unter der Kurve

Answer

Die Länge der Kurve

Question 57

Welche Aussage zur Gammafunktion ist korrekt?

Accepted Answer

Die Gammafunktion ist eine Erweiterung der Fakultätsfunktion auf komplexe Zahlen.

Answer

Die Gammafunktion hat keine Nullstellen.

Answer

Die Gammafunktion ist eine ungerade Funktion.

Question 58

In welchem Bereich wird die Laplace-Transformation häufig eingesetzt?

Accepted Answer

Lösen von Differentialgleichungen

Answer

Berechnung von Integralen

Answer

Ableiten von Funktionen

Answer

Berechnen von Grenzwerten

Question 59

Welche Aussage zu Fourier-Reihen ist korrekt?

Accepted Answer

Fourier-Reihen können verwendet werden, um periodische Funktionen als Summe von Sinus- und Kosinusfunktionen darzustellen.

Answer

Fourier-Reihen konvergieren immer gleichmäßig.

Answer

Fourier-Reihen konvergieren immer absolut.

Question 60

**Berechnen Sie die Ableitung von f(x) = x^3 + 2x^2 - 1.**

Accepted Answer

3x^2 + 4x

Answer

x^2 + 4x - 1

Answer

x^3 + 4x

Answer

3x + 2

Question 61

Welche der folgenden Funktionen ist NICHT stetig differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = 1 / x

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = x^2 + 1

Question 62

Bestimmen Sie die Ableitung von f(x) = ln(sin(x)).

Accepted Answer

(cos(x)) / (sin(x))

Answer

-1 / (sin(x))

Answer

1 / (sin(x))

Answer

(sin(x)) / (cos(x))

Question 63

Berechnen Sie das bestimmte Integral von f(x) = cos(x) von 0 bis π/2.

Accepted Answer

1

Answer

π/2

Answer

0

Answer

-1

Question 64

Welche der folgenden Aussagen ist ein Anwendungsbeispiel des Mittelwertsatzes?

Accepted Answer

Wenn f(x) auf [a, b] stetig differenzierbar ist, dann existiert ein c in (a, b) mit f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a).

Answer

Wenn f(x) auf [a, b] stetig ist, dann existiert ein c in [a, b] mit f(c) = (f(b) + f(a)) / 2.