Lineare Algebra Online-Quiz: Teste dein Wissen

Question 1

Was ist die korrekte Definition eines Vektorraums?

Accepted Answer

Eine Menge von Vektoren mit Addition und skalaren Multiplikation

Answer

Eine Menge von Zahlen mit Addition und skalaren Multiplikation

Answer

Eine Menge von Matrizen mit Addition und skalaren Multiplikation

Answer

Eine Menge von Funktionen mit Addition und skalaren Multiplikation

Question 2

Was ist die zutreffendste Beschreibung einer Matrix?

Accepted Answer

Eine Anordnung von Elementen in Zeilen und Spalten

Answer

Eine quadratische Anordnung

Answer

Eine Sammlung von Elementen unterschiedlicher Typen

Answer

Ein Vektor

Question 3

Welches Kriterium ist **nicht** erforderlich, damit ein Raum X ein Vektorraum über einem Körper K ist?

Accepted Answer

X ist eine nichtleere Menge.

Answer

X ist abgeschlossen bezüglich der Vektoraddition.

Answer

X ist abgeschlossen bezüglich der skalaren Multiplikation.

Answer

X enthält den Nullvektor.

Question 4

Welche Aussage über Teilmengen eines endlichdimensionalen Vektorraums $V$ über $K$ ist korrekt?

Accepted Answer

Eine Teilmenge $U$ von $V$ ist ein Untervektorraum von $V$, wenn sie bezüglich der Addition und der Skalarmultiplikation abgeschlossen ist.

Answer

Eine Teilmenge $U$ von $V$ ist ein Untervektorraum von $V$, wenn sie abgeschlossen ist bezüglich der linearen Kombination.

Answer

Eine Teilmenge $U$ von $V$ ist ein Untervektorraum von $V$, wenn sie eine leere Menge ist.

Answer

Eine Teilmenge $U$ von $V$ ist ein Untervektorraum von $V$, wenn sie eine Teilmenge einer Basis von $V$ ist.

Question 5

Was ist die zutreffende Definition eines Vektorraums?

Accepted Answer

Eine Menge von Elementen, die unter Vektoraddition und Skalarmultiplikation abgeschlossen ist und die Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetze erfüllt.

Answer

Eine Sammlung von Zahlen, die durch grundlegende arithmetische Operationen verbunden sind.

Answer

Eine Anordnung von Werten in einer Matrix, die durch Matrixoperationen verbunden sind.

Answer

Eine Reihe von Funktionen, die durch funktionale Operationen verbunden sind.

Question 6

Was ist der Rang einer Matrix?

Accepted Answer

Die Anzahl der linear unabhängigen Zeilen oder Spalten

Answer

Die Anzahl ihrer Zeilen

Answer

Die Anzahl ihrer Spalten

Question 7

Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit eine Menge von Vektoren in einem Vektorraum linear unabhängig ist?

Accepted Answer

Mindestens ein Vektor darf nicht als Vielfaches eines anderen Vektors in der Menge darstellbar sein.

Answer

Kein Vektor darf ein Vielfaches des Nullvektors sein.

Answer

Die Vektoren müssen eine Basis für den Vektorraum bilden.

Question 8

Welche der folgenden Aussagen beschreibt am treffendsten die Definition eines Vektorraums?

Accepted Answer

Eine Menge von Elementen, die unter den Operationen Addition und Skalarmultiplikation abgeschlossen ist.

Answer

Eine Menge von Elementen, für die nur die Addition definiert ist.

Answer

Eine Menge von Elementen, für die nur die Skalarmultiplikation definiert ist.

Question 9

Was ist die Definition des Ranges einer Matrix?

Accepted Answer

Anzahl der linear unabhängigen Zeilenvektoren

Answer

Anzahl der Eigenwerte der Matrix

Answer

Determinante der Matrix

Question 10

Was ist die Definition eines Vektorraums?

Accepted Answer

Eine Menge von Vektoren, die unter Vektoraddition und Skalarmultiplikation abgeschlossen ist.

Answer

Eine Menge von Vektoren mit gleicher Länge.

Answer

Eine Menge von Vektoren, die in eine Richtung zeigen.

Answer

Eine Menge von Vektoren mit einer bestimmten Dimension.

Question 11

Was ist die beste Beschreibung einer Matrix?

Accepted Answer

Eine rechteckige Anordnung von Zahlen in Zeilen und Spalten

Answer

Eine ungeordnete Sammlung von Zahlen

Answer

Eine Gleichung mit mehreren Unbekannten

Answer

Eine Funktion, die Eingaben in Ausgaben umwandelt

Question 12

Welche Aussage über die Dimension eines Vektorraums ist **falsch**?

Accepted Answer

Die Dimension ist gleich der Anzahl erzeugender Vektoren.

Answer

Die Dimension ist gleich der Anzahl linear unabhängiger Vektoren in einer Basis.

Answer

Die Dimension ist eine charakteristische Eigenschaft des Vektorraums.

Question 13

Was beschreibt die Dimension eines Vektorraums V?

Accepted Answer

Die Anzahl der linear unabhängigen Vektoren einer Basis von V.

Answer

Die Anzahl der Vektoren einer Teilmenge, die V aufspannen.

Answer

Die Anzahl der Untervektorräume von V.

Answer

Die Anzahl der linearen Abbildungen von V in ℝ.

Question 14

Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit ein lineares Gleichungssystem lösbar ist?

Accepted Answer

Der Rang der Koeffizientenmatrix ist gleich dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix.

Answer

Der Rang der Koeffizientenmatrix ist kleiner als der Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix.

Answer

Der Rang der Koeffizientenmatrix ist größer als der Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix.

Question 15

Erläutern Sie die Bedeutung der Determinante einer Matrix für die Bestimmung ihrer Invertierbarkeit und die Berechnung des Volumens geometrischer Formen.

Accepted Answer

Die Determinante bestimmt die Invertierbarkeit einer Matrix. Eine Matrix ist invertierbar, wenn ihre Determinante ungleich Null ist.

Accepted Answer

Die Determinante einer Matrix gibt das Volumen des von ihren Zeilenvektoren aufgespannten Parallelepipeds an.

Answer

Die Determinante einer Matrix gibt die Anzahl ihrer Eigenwerte an.

Answer

Die Determinante einer Matrix ist immer positiv.

Question 16

Wie hängt die lineare Unabhängigkeit von Vektoren mit der Dimension eines Vektorraums zusammen?

Accepted Answer

Die Dimension eines Vektorraums ist die Anzahl linear unabhängiger Vektoren, die eine Basis bilden.

Answer

Lineare Unabhängigkeit ist unerheblich für die Bestimmung der Dimension eines Vektorraums.

Answer

Die Dimension eines Vektorraums basiert auf der Anzahl linear abhängiger Vektoren in seiner Basis.

Answer

Lineare Unabhängigkeit beeinflusst nur die Spannweite, nicht aber die Dimension eines Vektorraums.

Question 17

Was bedeutet Orthogonalität von Vektoren? Erläutere ihre Anwendungen in Bereichen wie Geometrie und Physik.

Accepted Answer

Orthogonale Vektoren stehen senkrecht aufeinander und bilden einen rechten Winkel. Ihr Skalarprodukt ist null.

Answer

Orthogonale Vektoren sind linear abhängig und ihr Skalarprodukt ist nicht null.

Answer

Orthogonale Vektoren existieren nur in dreidimensionalen Räumen.

Answer

Orthogonale Vektoren haben immer die gleiche Länge.

Question 18

Was ist das Hauptziel der Gram-Schmidt-Orthonormalisierung?

Accepted Answer

Einen Satz von Vektoren in ein orthonormales Basissystem umwandeln.

Answer

Das Skalarprodukt zwischen Vektoren berechnen.

Answer

Die lineare Abhängigkeit von Vektoren bestimmen.

Question 19

Welche der folgenden Aussagen beschreibt die Bedingungen, die eine Menge von Vektoren zu einem Vektorraum machen?

Accepted Answer

V ist abgeschlossen bezüglich Vektoraddition und skalaren Multiplikation und enthält den Nullvektor.

Answer

V ist eine Teilmenge eines anderen Vektorraums.

Answer

Jeder Vektor in V hat ein inverses Element in V.

Answer

V hat eine endliche Dimension.

Question 20

Berechnen Sie die Determinante der Matrix A:**

A = [[2, 1, 3], [4, 2, 5], [6, 3, 4]]

Accepted Answer

10

Answer

1

Answer

-2

Answer

20

Question 21

Was ist die korrekte Definition eines Vektorraums?

Accepted Answer

Eine Menge, die unter Vektoraddition und skalaren Multiplikation abgeschlossen ist.

Answer

Eine Menge, die nur unter Vektoraddition abgeschlossen ist.

Answer

Eine leere Menge.

Answer

Eine Menge mit unendlich vielen Elementen.

Question 22

Welche Eigenschaft eines Vektorraums stellt sicher, dass die Summe zweier Vektoren v und w aus V wieder in V liegt?

Accepted Answer

Abgeschlossenheit unter Addition

Answer

Assoziativität der Vektoraddition

Answer

Kommutativität der Vektoraddition

Answer

Distributivität der skalaren Multiplikation über die Vektoraddition

Question 23

Welche Aussage ist eine hinreichende Bedingung dafür, dass die Vektoren v₁, v₂, ..., vn in einem Vektorraum V über dem Körper K linear unabhängig sind?

Accepted Answer

Die Determinante der Matrix mit den Vektoren als Spalten ist ungleich Null.

Answer

Die Vektoren sind paarweise orthogonal.

Answer

Die Vektoren sind kollinear.

Answer

Die Anzahl der Vektoren ist kleiner als die Dimension von V.

Question 24

Welche Aussage beschreibt eine konvexe Teilmenge S eines endlichdimensionalen Vektorraums V?

Accepted Answer

Für alle x, y in S und λ in [0, 1] gilt λx + (1-λ)y in S.

Answer

Für alle x, y in S und λ in R gilt λx + (1-λ)y in S.

Answer

Für alle x, y in S gilt x + y in S.

Answer

Für alle x in S und λ in R gilt λx in S.

Question 25

Frage: Bestimmen Sie die Dimensionen des Kernraums und des Bildraums der linearen Abbildung T: R^3 → R^2, die durch die Matrix A = [[1, 2], [3, 4]] gegeben ist.

Accepted Answer

Kernraum: Dimension 1, Bildraum: Dimension 2

Answer

Kernraum: Dimension 2, Bildraum: Dimension 1

Answer

Kernraum: Dimension 3, Bildraum: Dimension 0

Answer

Kernraum: Dimension 0, Bildraum: Dimension 3

Question 26

Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge {x_n}, wobei x_n = (n + 1) / (2n - 1) für n gegen unendlich geht.

Accepted Answer

1

Answer

unendlich

Answer

0

Question 27

Was ist die geometrische Bedeutung einer Eigenbasis für eine lineare Transformation? Veranschaulichen Sie dies an einem Beispiel.

Accepted Answer

Eine Eigenbasis ist eine Basis, die aus den Eigenvektoren der Transformation besteht und die Richtungen angibt, in denen die Transformation den Vektorraum skaliert.

Answer

Eine Eigenbasis ist eine beliebige Basis, die zur Berechnung von Eigenwerten verwendet werden kann.

Answer

Eine Eigenbasis ist eine Menge linear unabhängiger Vektoren, die den Vektorraum aufspannen.

Answer

Eine Eigenbasis ist eine Menge orthogonaler Vektoren.

Question 28

Berechne die Determinante der Matrix **A** = [[2, 1], [3, 2]]

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

2

Answer

3

Question 29

Welche der folgenden Abbildungen ist eine **lineare** Abbildung?

Accepted Answer

f(x) = 2x + 3

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = |x|

Question 30

Welcher Satz über den Rang einer Matrix ist korrekt?

Accepted Answer

Der Rang einer Matrix entspricht der Anzahl linear unabhängiger Zeilen oder Spalten.

Answer

Der Rang einer Matrix entspricht der Anzahl ihrer Zeilen.

Answer

Der Rang einer Matrix entspricht der Anzahl ihrer Spalten.

Answer

Der Rang einer Matrix entspricht der Summe ihrer Zeilen und Spalten.

Question 31

Was sind lineare Transformationen? Erläutere das Konzept und nenne Beispiele für ihre Anwendung in verschiedenen Bereichen.

Accepted Answer

Lineare Transformationen sind Abbildungen zwischen Vektorräumen, die die Vektoraddition und die Skalarmultiplikation bewahren.

Answer

Lineare Transformationen sind Funktionen, die nur für Vektoren mit einer Dimension definiert sind.

Answer

Lineare Transformationen sind Matrizen, die nur für quadratische Matrizen definiert sind.

Question 32

Sind zwei lineare Abbildungen T und S von einem Vektorraum V in sich selbst verknüpft, ist die resultierende Abbildung T ◦ S ebenfalls linear?

Accepted Answer

Ja

Answer

Nein

Question 33

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt ein lineares Gleichungssystem?

Accepted Answer

2x + 3y = 5

Answer

x^2 + y = 0

Answer

sin(x) + cos(y) = 0

Answer

x = y^2

Question 34

Welcher der folgenden Werte ist ein Eigenwert der Matrix A = | 2 1 |?

Accepted Answer

2

Answer

1

Answer

3

Answer

4

Question 35

Welche der folgenden Aussagen über orthogonale Vektoren ist korrekt?

Accepted Answer

Ihr Skalarprodukt ist gleich 0.

Answer

Ihre Summe ist gleich 0.

Answer

Ihre Länge ist gleich 1.

Answer

Sie sind linear abhängig.

Question 36

Frage: Gegeben sei ein endlichdimensionaler Vektorraum V über einem Körper K und ein Untervektorraum U von V. Wie lautet die Dimension des Quotientenraums V/U?

Accepted Answer

dim(V) - dim(U)

Answer

dim(V) + dim(U)

Answer

dim(V) / dim(U)

Answer

dim(U) - dim(V)

Question 37

Welche Operation ist für Matrizen nicht definiert?

Accepted Answer

Division

Answer

Addition

Answer

Multiplikation mit einem Skalar

Answer

Subtraktion

Question 38

Welche der folgenden Matrizen stellt eine Einheitsmatrix dar?

Accepted Answer

[1 0; 0 1]

Answer

[2 0; 0 2]

Answer

[0 1; 1 0]

Answer

[1 2; 3 4]

Question 39

Welche der folgenden Abbildungen ist eine lineare Abbildung?

Accepted Answer

f(x) = 2x

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = |x|

Question 40

Welche der folgenden Abbildungen zwischen zwei Vektorräumen ist dadurch gekennzeichnet, dass sie die Vektoraddition und die skalare Multiplikation erhält?

Accepted Answer

Lineare Funktion

Answer

Quadratische Funktion

Answer

Betragsfunktion

Answer

Sinusfunktion

Question 41

Ein lineares Gleichungssystem hat keine Lösung, wenn

Accepted Answer

der Rang der Koeffizientenmatrix kleiner ist als der Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix.

Answer

die Anzahl der Gleichungen größer ist als die Anzahl der Variablen.

Answer

die Gleichungen linear abhängig sind.

Answer

die rechte Seite des Gleichungssystems der Nullvektor ist.

Question 42

Eine Menge von Vektoren heißt linear abhängig, wenn

Accepted Answer

mindestens ein Vektor als Linearkombination der anderen Vektoren ausgedrückt werden kann.

Answer

alle Vektoren ungleich dem Nullvektor sind.

Answer

der Nullvektor zu der Menge gehört.

Answer

die Menge genau “n” Vektoren in “R²” enthält.

Question 43

Eine Eigenwertgleichung ist eine Gleichung der Form

Accepted Answer

“Ax = λx”

Answer

“x² + y² = 1”

Answer

“sin(x) + cos(y) = 0”

Answer

“f'(x) = x²”

Question 44

Eine Matrix, die eine Drehung im zweidimensionalen Raum “R²” repräsentiert, hat die Form

Accepted Answer

$$$\begin{pmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix}$$$

Answer

$$$\begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$$$

Answer

$$$\begin{pmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 \end{pmatrix}$$$

Answer

$$$\begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{pmatrix}$$$

Question 45

Welcher der folgenden Begriffe beschreibt eine Menge von Vektoren, die unter Addition und Skalarmultiplikation abgeschlossen und über einem Körper definiert ist?

Accepted Answer

Vektorraum

Answer

Lineare Abbildung

Answer

Matrix

Answer

Gleichungssystem

Question 46

Welche der folgenden Aussagen über lineare Abbildungen ist korrekt?

Accepted Answer

Sie erhalten die Linearkombinationen von Vektoren.

Answer

Sie sind immer injektiv.

Answer

Sie sind immer surjektiv.

Question 47

Welche der folgenden Matrizen ist die Einheitsmatrix?

Accepted Answer

[1 0; 0 1]

Answer

[0 0; 1 1]

Answer

[1 1; 0 0]

Answer

[0 1; 1 0]

Question 48

Welche der folgenden Aussagen über die Determinante einer Matrix ist korrekt?

Accepted Answer

Sie ist gleich dem Volumen des von den Spaltenvektoren aufgespannten Parallelepipeds.

Answer

Sie ist gleich der Summe der Eigenwerte der Matrix.

Answer

Sie ist immer positiv.

Question 49

Welcher der folgenden Begriffe beschreibt eine quadratische Matrix, deren Inverse existiert?

Accepted Answer

Reguläre Matrix

Answer

Singuläre Matrix

Answer

Symmetrische Matrix

Answer

Quadratische Matrix

Question 50

Welche der folgenden Anwendungen der Linearen Algebra findet sich in der Informatik?

Accepted Answer

Grafiktransformationen

Answer

Strukturanalyse

Answer

Quantenmechanik

Answer

Ökonometrie

Question 51

Welcher der folgenden Vektoren kann als Linearkombination der Vektoren (1, 2) und (3, 4) dargestellt werden?

Accepted Answer

(5, 8)

Answer

(7, 12)

Answer

(4, 6)

Answer

(6, 10)

Question 52

Welche der folgenden Abbildungen ist eine lineare Abbildung?

Accepted Answer

f: ℝ² → ℝ, f(x, y) = 2x + 3y

Answer

g: ℝ² → ℝ², g(x, y) = (x², y²)

Answer

h: ℝ³ → ℝ, h(x, y, z) = |x|

Question 53

Welche der folgenden Aussagen über Eigenwerte ist richtig?

Accepted Answer

Eigenwerte einer Matrix können reell oder komplex sein.

Answer

Eigenwerte einer Matrix sind immer positiv.

Answer

Eine Matrix hat immer so viele Eigenwerte wie ihre Dimension.

Answer

Eigenwerte einer Matrix sind unabhängig von der Basis.

Question 54

Welches der folgenden Gleichungssysteme besitzt keine Lösung?

Accepted Answer

x + y = 1, x - y = 3, x + 2y = 5

Answer

x + y = 1, x - y = 0, x + 2y = 1

Answer

x + y = 1, x - y = 2, x + 2y = 3

Answer

x + y = 1, x - y = 1, x + 2y = 2

Question 55

Welche der folgenden Funktionen ist eine lineare Abbildung?

Accepted Answer

f(x) = 2x + 3

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = |x|

Question 56

Was ist die Determinante der Matrix [2 1; 3 4]?

Accepted Answer

5

Answer

10

Answer

-5

Answer

-10

Question 57

Welche Aussage über Vektorräume ist **falsch**?

Accepted Answer

Ein Vektorraum muss mindestens zwei Vektoren enthalten.

Answer

Die Addition von Vektoren ist assoziativ.

Answer

Die skalare Multiplikation ist distributiv.

Question 58

Welche der folgenden Mengen bildet **keinen** Vektorraum über den reellen Zahlen?

Accepted Answer

Die Menge aller Polynome mit ungeradem Grad.

Answer

Die Menge aller Vektoren der Form (x, 0), wobei x eine reelle Zahl ist.

Answer

Die Menge aller reellen Zahlen.

Answer

Die Menge aller 2x2-Matrizen.

Question 59

Welche der folgenden Matrizen ist **invertierbar**?

Accepted Answer

[[1, 2], [3, 4]]

Answer

[[0, 1], [0, 0]]

Answer

[[1, 2], [2, 4]]

Answer

[[1, 0], [0, 0]]

Question 60

Betrachten Sie das lineare Gleichungssystem: 2x + y = 5, x - 3y = 1. Welche Aussage ist **richtig**?

Accepted Answer

Das System hat eine eindeutige Lösung.

Answer

Das System hat keine Lösung.

Answer

Das System hat unendlich viele Lösungen.

Answer

Das System ist überbestimmt.

Question 61

Welche Aussage über den Rang einer Matrix ist **falsch**?

Accepted Answer

Der Rang einer Matrix ist gleich der Anzahl der Spalten.

Answer

Der Rang einer Matrix ist die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen.

Answer

Der Rang einer Matrix ist die maximale Anzahl linear unabhängiger Spalten.

Question 62

Sei A eine 3x3-Matrix. Welche Aussage über die Determinante von A ist **richtig**?

Accepted Answer

Die Determinante von A ist Null, wenn die Spalten linear abhängig sind.

Answer

Die Determinante von A ist immer positiv.

Answer

Die Determinante von A ist gleich der Summe der Elemente in der Hauptdiagonalen.

Question 63

Was ist die Eigenwertgleichung für eine Matrix A?

Accepted Answer

Av = λv, wobei v ein Eigenvektor und λ ein Eigenwert ist.

Answer

Av = 0, wobei v ein Eigenvektor und λ ein Eigenwert ist.

Answer

Av = v, wobei v ein Eigenvektor und λ ein Eigenwert ist.

Question 64

Welche der folgenden Aussagen ist **falsch** über Eigenvektoren?

Accepted Answer

Ein Eigenvektor kann der Nullvektor sein.

Answer

Eigenvektoren entsprechen den Richtungen, in denen eine lineare Transformation nur eine Skalierung bewirkt.

Answer

Eigenvektoren sind linear unabhängig.

Answer

Eigenvektoren spielen eine wichtige Rolle bei der Diagonalisierung von Matrizen.