Analysis I: Grundlagen der Analysis für Betriebswirte

Question 1

Welche Aussage über Grenzwerte von Funktionen trifft zu?

Accepted Answer

Wenn der Grenzwert einer Funktion von links und rechts existiert, ist die Funktion dort stetig.

Accepted Answer

Der Grenzwert einer Funktion kann unendlich sein.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion existiert immer.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion ist immer eindeutig.

Question 2

Überprüfe die Stetigkeit der Funktion f(x) = x² - 1 an der Stelle x = 2. Welche Aussage trifft zu?

Accepted Answer

f(x) ist an x = 2 stetig, da der Grenzwert von f(x) für x gegen 2 existiert und gleich f(2) ist.

Answer

f(x) ist an x = 2 nicht stetig, da der Grenzwert von f(x) für x gegen 2 nicht existiert.

Answer

f(x) ist an x = 2 nicht stetig, da die Funktion an dieser Stelle nicht differenzierbar ist.

Answer

Die Stetigkeit von f(x) an x = 2 hängt davon ab, ob x positiv oder negativ ist.

Question 3

Welche Anzahl und Art von lokalen Extrema hat die Funktion f(x) = x³ - 2x² + 1?

Accepted Answer

Ein lokales Maximum und zwei lokale Minima

Answer

Zwei lokale Maxima und ein lokales Minimum

Answer

Ein lokales Minimum und ein lokales Maximum

Answer

Keine lokalen Extrema

Question 4

Welche Aussage beschreibt korrekt, wann der Grenzwert einer Funktion an einer Stelle existiert?

Accepted Answer

Wenn sich die Funktionswerte für x-Werte, die gegen die Stelle konvergieren, einem bestimmten Wert beliebig nahe kommen.

Answer

Wenn der Grenzwert eindeutig ist.

Answer

Wenn der Grenzwert einer Summe von Funktionen gleich der Summe der Grenzwerte der einzelnen Funktionen ist.

Answer

Wenn der Grenzwert eines Produkts von Funktionen gleich dem Produkt der Grenzwerte der einzelnen Funktionen ist.

Question 5

Welche Aussage beschreibt die Taylorsche Formel am treffendsten?

Accepted Answer

Eine Näherungsformel, die den Funktionswert einer differenzierbaren Funktion an einem Punkt x mithilfe ihrer Ableitungen an diesem Punkt schätzt.

Answer

Eine Formel zur präzisen Berechnung des Funktionswerts einer analytischen Funktion.

Answer

Eine Formel zur Bestimmung des Grenzwerts einer Funktion.

Answer

Eine rekursive Formel, die die Ableitungen einer Funktion höherer Ordnung berechnet.

Question 6

Welche Definitionslücke hat die rationale Funktion f(x) = (x³ - 8) / (x - 2)?

Accepted Answer

x = 2

Answer

Keine Definitionslücke

Answer

x = 0

Answer

x = 0 und x = 2

Question 7

Überprüfen Sie, ob die Funktion f(x) = x² - 1 am Punkt x0 = 1 stetig ist.

Accepted Answer

Ja, f(x) ist stetig an x0 = 1.

Answer

Nein, f(x) ist nicht stetig an x0 = 1, da sie dort einen Sprung aufweist.

Answer

Nein, f(x) ist nicht stetig an x0 = 1, da sie dort unendlich wird.

Answer

Nein, f(x) ist nicht stetig an x0 = 1, da sie dort nicht definiert ist.

Question 8

Berechnen Sie den Grenzwert von f(x) = (x - 3)² / (x² - 9) für x gegen unendlich.

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

unendlich

Answer

existiert nicht

Question 9

Ab welchem x-Wert steigt die Funktion **f(x) = (x-2)² + 1** streng monoton?

Accepted Answer

2

Answer

0

Answer

4

Answer

6

Question 10

Welcher ist der Hauptanwendungsbereich der Taylorschen Formel?

Accepted Answer

Liefert eine Näherung für den Funktionswert nahe dem Entwicklungspunkt.

Answer

Ermöglicht die exakte Berechnung des Funktionswertes an einem Punkt.

Answer

Ermittelt die Ableitungen an einem Punkt.

Answer

Bestimmt die Steigung an einem Punkt.

Question 11

Was ist die beste Definition für den Grenzwert einer Folge?

Accepted Answer

Die Zahl, der sich die Folge für sehr große n beliebig nähert.

Answer

Eine eindeutige Zahl, die die Folge immer annimmt.

Answer

Der Wert der Folge an der Stelle n=∞.

Answer

Eine Zahl, die größer ist als das erste Folgenglied.

Question 12

Welche Aussage beschreibt am anschaulichsten, was die Ableitung einer Funktion f(x) an einer Stelle x = a darstellt?

Accepted Answer

Die Steigung der Tangente an den Graphen von f(x) an der Stelle (a, f(a))

Answer

Der Grenzwert des Differenzenquotienten von f(x) an der Stelle x = a

Answer

Der Wert von f'(x) an der Stelle x = a

Answer

Der Wert von f(x) an der Stelle x = a

Question 13

Welche Aussage beschreibt die Stetigkeit einer Funktion f(x) an der Stelle x0?

Accepted Answer

Der Grenzwert von f(x) für x gegen x0 existiert und ist gleich f(x0).

Answer

Der Grenzwert von f(x) für x gegen x0 existiert.

Answer

Die Ableitung von f(x) an x0 existiert.

Answer

f(x0) existiert.

Question 14

Welche Bedingung muss zwingend erfüllt sein, damit eine Funktion an einem Punkt x differenzierbar ist?

Accepted Answer

Stetigkeit an der Stelle x

Answer

Endlicher Grenzwert an der Stelle x

Answer

Strenge Monotonie an der Stelle x

Answer

Konvexität an der Stelle x

Question 15

Ermittle den Wert von x, bei dem die Funktion f(x) = x³ - 2x² + 1 ihr lokales Minimum erreicht.

Accepted Answer

x = 2/3

Answer

x = 1

Answer

x = -1

Question 16

Bestimmen Sie den Grenzwert der Funktion f(x) = (x² - 1) / (x³ + 2x) für x gegen unendlich.

Accepted Answer

0

Answer

1

Answer

unendlich

Answer

-1

Question 17

Überprüfe die Konvergenz der Funktionenfolge a_n = (n² - 3n + 2) / (n³ + 5n² - 6) für n gegen unendlich mit dem Quotientenkriterium.

Accepted Answer

Die Folge konvergiert gegen 0.

Answer

Die Folge divergiert gegen unendlich.

Answer

Die Folge oszilliert.

Question 18

Bestimmen Sie die Taylor-Reihe zweiter Ordnung für die Funktion f(x) = ln(x) um den Entwicklungspunkt x0 = 1.

Accepted Answer

ln(1) + (x - 1) - (x - 1)²/2

Answer

ln(1) - (x - 1) + (x - 1)²/2

Answer

ln(1) + (x - 1)² - (x - 1)²/2

Question 19

Ermitteln Sie den Grenzwert der Funktion f(x) = x³ - 2x² + 1, wenn x gegen negative Unendlichkeit geht.

Accepted Answer

-∞

Answer

∞

Answer

1

Question 20

Ermitteln Sie, ob das uneigentliche Integral $int_{- infty}^{infty} rac{1}{x^2 + 4} dx$ existiert und berechnen Sie seinen Wert.

Accepted Answer

Das Integral existiert und ist gleich $rac{pi}{4}$.

Answer

Das Integral existiert nicht.

Answer

Das Integral existiert und ist gleich $rac{pi}{2}$.

Answer

Das Integral existiert und ist gleich $1$.

Question 21

Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion f(x) = e^(2x):

Accepted Answer

2e^x

Answer

e^x

Answer

4e^x

Answer

x * e^x

Question 22

Welches Integral ergibt die Stammfunktion von f(x) = sin(x)?

Accepted Answer

cos(x)

Answer

-cos(x)

Answer

x * cos(x)

Answer

x² * cos(x)

Question 23

Untersuchen Sie die Konvexität und Konkavität der Funktion **f(x) = x^4 - 2x^2 + 3**. Bestimmen Sie den Wendepunkt und geben Sie den zugehörigen x-Wert an.

Accepted Answer

Die Funktion ist konvex für x < 0 und konkav für x > 0. Der Wendepunkt ist bei x = 0.

Answer

Die Funktion ist konvex für alle x.

Answer

Die Funktion ist konkav für alle x.

Answer

Die Funktion hat keinen Wendepunkt.

Question 24

Beweisen Sie die Kettenregel für die Ableitung zusammengesetzter Funktionen unter Verwendung der Definition der Ableitung und der Substitutionsregel.

Accepted Answer

Definition der Ableitung und Substitutionsregel verwenden

Answer

Produktregel anwenden

Answer

Quotientenregel anwenden

Answer

Summen- und Differenzregel anwenden

Question 25

Berechnen Sie die Fourier-Transformation der Funktion f(x) = e^(-|x|) für ω.

Accepted Answer

1/(1+ω²)

Answer

e^(-ω²)

Answer

ω/(1+ω²)

Question 26

Berechne die Ableitung der Funktion **h(x) = √x**.

Accepted Answer

(1/2√x)

Answer

(1/√x)

Answer

2√x

Answer

(-1/2√x)

Question 27

Gegeben sei **f(x) = e^x**. Berechne **f'(x)**.

Accepted Answer

e^x

Answer

xe^x

Answer

(1/e^x)

Answer

e^(x²)

Question 28

Überprüfe, ob die Reihe **a_n = 1/√n** konvergiert.

Accepted Answer

Divergiert

Answer

Konvergiert

Question 29

Berechne den Grenzwert von sin(x) / x für x gegen 0.

Accepted Answer

1

Answer

unendlich

Answer

0

Answer

-1

Question 30

Wann ist eine Funktion f(x) an der Stelle x0 stetig?

Accepted Answer

Wenn lim (x -> x0) f(x) = f(x0) gilt.

Answer

Wenn f(x0) existiert.

Answer

Wenn f(x) an x0 differenzierbar ist.

Answer

Wenn f(x) an x0 integrierbar ist.

Question 31

Welche Funktion ist an der Stelle x = 0 nicht differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x^2

Question 32

Wie lautet die Stammfunktion von f(x) = e^x?

Accepted Answer

e^x + C

Answer

e^x - C

Answer

-e^x + C

Answer

1/e^x + C

Question 33

Welche Aussage ist der Mittelwertsatz der Differentialrechnung?

Accepted Answer

Für alle x und y in einem Intervall existiert ein z zwischen x und y, sodass f'(z) = (f(y) - f(x)) / (y - x) gilt.

Answer

Der Mittelwertsatz gilt nur für Funktionen, die zweimal stetig differenzierbar sind.

Answer

Für alle x in einem Intervall existiert ein z zwischen 0 und x, sodass f'(z) = f(x) gilt.

Question 34

Welches der folgenden Intervalle ist das Konvergenzintervall der Reihe ∑(n=1 bis unendlich) (x - 2)^n / n?

Accepted Answer

(1, 3)

Answer

(2, ∞)

Answer

(0, 4)

Answer

(-1, 5)

Question 35

Welche der folgenden Aussagen über Grenzwerte ist **falsch**?

Accepted Answer

Der Grenzwert einer Funktion existiert immer.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion ist unabhängig vom Wert der Funktion an der Stelle, an der der Grenzwert gebildet wird.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion kann von links und rechts unterschiedlich sein.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion kann endlich oder unendlich sein.

Question 36

Welche der folgenden Aussagen über das **Riemannsche Integral** ist **richtig**?

Accepted Answer

Es ist eine Methode zur Berechnung der Fläche unterhalb einer Kurve über einem bestimmten Intervall.

Answer

Es ist eine Methode zur Berechnung des Volumens eines Körpers.

Answer

Es ist eine Methode zur Bestimmung der Ableitung einer Funktion.

Question 37

Welche der folgenden Funktionen ist **nicht** stetig an der Stelle x = 1?

Accepted Answer

f(x) = 1 / (x - 1)

Answer

f(x) = x² - 1

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = |x - 1|

Question 38

Die Ableitung der Funktion f(x) = sin(x) ist:

Accepted Answer

f'(x) = cos(x)

Answer

f'(x) = -cos(x)

Answer

f'(x) = sin(x)

Question 39

Welche der folgenden Funktionen ist **nicht** differenzierbar an der Stelle x = 0?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x³

Answer

f(x) = x²

Question 40

Welche der folgenden Aussagen über **uneigentliche Integrale** ist **richtig**?

Accepted Answer

Sie werden verwendet, um Integrale über unendliche Integrationsgrenzen oder mit Unstetigkeiten im Integranden zu berechnen.

Answer

Sie werden verwendet, um die Ableitung einer Funktion zu bestimmen.