Zufallsvariablen: Definition, Eigenschaften und Verteilungen

Question 1

Welche der folgenden Aussagen definiert eine Zufallsvariable korrekt?

Accepted Answer

Eine Abbildung, die jedem möglichen Ergebnis eines Zufallsexperiments eine Zahl zuordnet.

Answer

Eine Funktion, die jedem möglichen Ergebnis eines Zufallsexperiments eine Wahrscheinlichkeit zuordnet.

Answer

Eine Zufallsgröße, die nur diskrete Werte annehmen kann.

Answer

Eine Zufallsgröße, die nur stetige Werte annehmen kann.

Question 2

Wie lautet die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung?

Accepted Answer

P(X = k) = (n k) * p^k * (1-p)^(n-k)

Answer

P(X = k) = e^(-λ*k) * (λ*k)/k!

Answer

P(X = k) = (1/√(2*π*σ^2)) * e^(-(x-μ)^2/(2*σ^2))

Answer

P(X = k) = 1 - P(X < k)

Question 3

Welche der folgenden Aussagen beschreibt eine Zufallsvariable zutreffend?

Accepted Answer

Eine Funktion, die jedem Element einer Stichprobe einen numerischen Wert zuweist.

Answer

Eine Konstante.

Answer

Eine Größe, die negative Werte annimmt.

Answer

Eine Größe, die ausschließlich diskrete Werte annimmt.

Question 4

Was ist der Erwartungswert einer Zufallsvariable X?

Accepted Answer

Der gewichtete Mittelwert aller möglichen Werte von X

Answer

Der am häufigsten auftretende Wert von X

Answer

Der Median von X

Answer

Der Minimalwert von X

Question 5

Wie berechnet sich die Varianz einer Zufallsvariable X?

Accepted Answer

Erwartungswert des Quadrats der Abweichungen von X vom Mittelwert

Answer

Quadrat der Standardabweichung von X

Answer

Mittelwert der Quadrate der Abweichungen von X vom Mittelwert

Answer

Varianz des Mittelwerts von X

Question 6

Welche der folgenden Größen misst die Streuung einer Zufallsvariablen?

Accepted Answer

Standardabweichung

Answer

Erwartungswert

Answer

Modus

Answer

Median

Question 7

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A beträgt 0,4. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses von A?

Accepted Answer

0,6

Answer

0,4

Answer

0,1

Answer

-0,4

Question 8

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Würfel eine 6 zeigt, beträgt:

Accepted Answer

1/6

Answer

1/5

Answer

1/3

Answer

1/4

Question 9

Die Anzahl der Erfolge in einer Folge unabhängiger Versuche mit konstanter Erfolgswahrscheinlichkeit folgt einer:

Accepted Answer

Binomialverteilung

Answer

Poissonverteilung

Answer

Normalverteilung

Answer

Hypergeometrischen Verteilung

Question 10

Welche der folgenden Verteilungen ist eine stetige Verteilung?

Accepted Answer

Normalverteilung

Answer

Binomialverteilung

Answer

Poissonverteilung

Answer

Hypergeometrische Verteilung

Question 11

Wie berechnet man den Erwartungswert einer Zufallsvariablen X?

Accepted Answer

E(X) = Summe aller möglichen Werte von X multipliziert mit ihren Wahrscheinlichkeiten

Answer

E(X) = Mittelwert aller möglichen Werte von X

Answer

E(X) = Median aller möglichen Werte von X

Answer

E(X) = Modus aller möglichen Werte von X

Question 12

Wie lautet die Formel für die Standardabweichung einer Zufallsvariablen X?

Accepted Answer

SD(X) = Quadratwurzel aus Var(X)

Answer

SD(X) = Var(X) dividiert durch E(X)

Answer

SD(X) = E(X) multipliziert mit Var(X)

Answer

SD(X) = Standardabweichung der Variablen X multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit

Question 13

Der Erwartungswert einer Zufallsvariable X, die die Anzahl der Erfolge in n unabhängigen Bernoulli-Versuchen mit einer Erfolgswahrscheinlichkeit von p angibt, beträgt:

Accepted Answer

np

Answer

n

Answer

p

Answer

1

Question 14

Der Standardimpuls einer Zufallsvariablen X mit Erwartungswert μ und Standardabweichung σ wird berechnet als:

Accepted Answer

(X - μ) / σ

Answer

X - μ

Answer

X - σ

Answer

(X - σ) / μ

Question 15

Welche der folgenden Aussagen über den zentralen Grenzwertsatz ist korrekt?

Accepted Answer

Er besagt, dass die Verteilung des Mittelwerts einer großen Anzahl unabhängiger und identisch verteilter Zufallsvariablen ungefähr normalverteilt ist.

Answer

Er gilt nur für diskrete Verteilungen.

Answer

Er ist nur für kleine Stichproben gültig.

Answer

Er besagt, dass die Summe einer großen Anzahl unabhängiger und identisch verteilter Zufallsvariablen ungefähr normalverteilt ist.

Question 16

Welche der folgenden Stichprobenmethoden stellt sicher, dass jedes Mitglied der Population die gleiche Chance hat, ausgewählt zu werden?

Accepted Answer

Einfache Zufallsstichprobe

Answer

Klumpenstichprobe

Answer

Schneeballstichprobe

Answer

Quotenstichprobe

Question 17

Welche Transformation einer Zufallsvariablen X führt dazu, dass sich ihr Erwartungswert ändert?

Accepted Answer

Addiere eine Konstante zu X.

Accepted Answer

Multipliziere X mit einer Konstanten.

Answer

Quadriere X.

Answer

Subtrahiere den Erwartungswert von X.

Question 18

Berechnen Sie den Erwartungswert einer Binomialverteilung mit (n = 10) und (p = 0,5).

Accepted Answer

4

Answer

2

Answer

6

Answer

8

Question 19

Welche der folgenden Eigenschaften trifft auf die Normalverteilung zu?

Accepted Answer

Ihre Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ist symmetrisch um den Mittelwert.

Answer

Ihre Glockenkurve ist immer breiter als die einer Binomialverteilung.

Answer

Ihre Standardabweichung ist immer gleich 1.

Answer

Ihre Verteilungsfunktion ist eine Potenzfunktion.

Question 20

Welche Aussage beschreibt die Beziehung zwischen Erwartungswert und Varianz?

Accepted Answer

Die Varianz ist der Mittelwert der quadratischen Abweichungen vom Erwartungswert.

Answer

Die Varianz ist immer größer als der Erwartungswert.

Answer

Die Varianz ist immer kleiner als der Erwartungswert.

Answer

Der Erwartungswert ist immer größer als die Varianz.

Question 21

Welche Aussage beschreibt die Binomialverteilung korrekt?

Accepted Answer

Sie gibt die Wahrscheinlichkeit an, genau k Erfolge in n unabhängigen Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit p zu haben.

Answer

Sie ist eine stetige Verteilung mit einer Glockenkurve.

Answer

Ihr Erwartungswert ist immer kleiner als ihre Varianz.

Answer

Sie ist ein Spezialfall der Poisson-Verteilung.

Question 22

Was ist die beste Definition einer Zufallsvariablen?

Accepted Answer

Eine Funktion, die jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine Zahl zuweist.

Answer

Eine Variable, die durch ein Zufallsexperiment bestimmt wird.

Answer

Eine Zahl, die ein Ergebnis eines Zufallsexperiments darstellt.

Answer

Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die mögliche Ergebnisse beschreibt.

Question 23

Welche der folgenden Verteilungen ist eine stetige Zufallsverteilung?

Accepted Answer

Normalverteilung

Answer

Binomialverteilung

Answer

Poisson-Verteilung

Question 24

Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem zufälligen Wurf eines Würfels eine gerade Zahl erzielt wird.

Accepted Answer

1/2

Answer

1/3

Answer

1/6

Question 25

Die Formel zur Berechnung des Erwartungswerts einer diskreten Zufallsvariable X lautet:

Accepted Answer

E(X) = Σ x * P(X = x)

Answer

E(X) = ∫ x * f(x) dx

Answer

E(X) = Var(X) + μ

Answer

E(X) = σ² + μ

Question 26

Die Binomialverteilung wird verwendet für:

Accepted Answer

Zählen der Erfolge in einer Reihe unabhängiger Versuche.

Answer

Bestimmen der Zeit bis zum ersten Erfolg in einer Reihe unabhängiger Versuche.

Answer

Messen der Wahrscheinlichkeit eines Erfolgs in einer Reihe unabhängiger Versuche.

Answer

Berechnen der Dauer bis zum n-ten Erfolg in einer Reihe unabhängiger Versuche.

Question 27

Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Normalverteilung lautet:

Accepted Answer

f(x) = (1 / σ√(2π)) * e^(-(x - μ)² / (2σ²))

Answer

f(x) = (1 / σ²) * e^(-(x - μ)² / (2σ))

Answer

f(x) = (1 / μ) * e^(-(x - σ)² / (2μ²))

Answer

f(x) = (1 / μ²) * e^(-(x - μ)² / (2σ²))

Question 28

Die folgende Transformation wandelt eine Zufallsvariable X mit Erwartungswert μ und Varianz σ² in eine Zufallsvariable Y mit Erwartungswert 0 und Varianz 1 um:

Accepted Answer

Y = (X - μ) / σ

Answer

Y = (X - μ) / σ²

Answer

Y = (X + μ) / σ

Answer

Y = (X + μ) / σ²

Question 29

Welche der folgenden Verteilungen ist stetig?

Accepted Answer

Normalverteilung

Answer

Binomialverteilung

Answer

Poissonverteilung

Answer

Hypergeometrische Verteilung

Question 30

Welche Aussage über die Normalverteilung ist nicht korrekt?

Accepted Answer

Sie ist eine diskrete Verteilung.

Answer

Sie ist symmetrisch um ihren Mittelwert.

Answer

Ihre Varianz ist gleich dem Quadrat ihrer Standardabweichung.

Answer

Sie ist durch zwei Parameter vollständig bestimmt.

Question 31

Welche Aussage über den Stichprobenmittelwert ist korrekt?

Accepted Answer

Er ist ein erwartungstreuer Schätzer für den Erwartungswert der Grundgesamtheit.

Answer

Er ist immer gleich dem Erwartungswert der Grundgesamtheit.

Answer

Seine Varianz ist kleiner oder gleich der Varianz der Grundgesamtheit.

Answer

Seine Verteilung ist immer normalverteilt, unabhängig von der Verteilung der Grundgesamtheit.

Question 32

Welche der folgenden Methoden zur Schätzung des Erwartungswerts einer Grundgesamtheit ist am genauesten?

Accepted Answer

Schätzwert = Stichprobenmittelwert

Answer

Schätzwert = Modus der Stichprobe

Answer

Schätzwert = Stichprobenmedian

Answer

Schätzwert = Maximum der Stichprobe

Question 33

Eine stetige Zufallsvariable X hat die Dichtefunktion f(x) = 2x für 0 ≤ x ≤ 1. Berechne P(0,2 ≤ X ≤ 0,6).

Accepted Answer

0,32

Answer

0,16

Answer

0,48

Answer

0,64

Question 34

Welche der folgenden Verteilungen ist symmetrisch zur y-Achse?

Accepted Answer

Normalverteilung

Answer

Binomialverteilung

Answer

Exponentialverteilung

Answer

Poissonverteilung

Question 35

Welche der folgenden Aussagen über die Standardabweichung ist falsch?

Accepted Answer

Sie kann negative Werte annehmen.

Answer

Sie ist die Quadratwurzel der Varianz.

Answer

Sie ist immer größer als Null.

Answer

Sie ist ein Maß für die Streuung der Daten.

Question 36

Welche der folgenden Zufallsvariablen folgt einer **Binomialverteilung**?

Accepted Answer

Anzahl der Erfolge in n unabhängigen Versuchen mit Wahrscheinlichkeit p für Erfolg.

Answer

Anzahl der Misserfolge in n unabhängigen Versuchen mit Wahrscheinlichkeit p für Erfolg.

Answer

Erwartungswert einer Zufallsvariablen mit der Normalverteilung.

Question 37

Welcher der folgenden Werte ist der **Erwartungswert** einer Zufallsvariablen mit der Normalverteilung?

Accepted Answer

μ

Answer

σ

Answer

σ²

Answer

p

Question 38

Welche der folgenden Aussagen ist korrekt für die **Varianz** einer Zufallsvariablen?

Accepted Answer

Sie ist ein Maß für die Streuung der Werte um den Erwartungswert.

Answer

Sie ist ein Maß für den Abstand zwischen dem Minimum und dem Maximum der Zufallsvariablen.

Answer

Sie ist ein Maß für die Wahrscheinlichkeit des Auftretens eines bestimmten Wertes der Zufallsvariablen.

Question 39

Welche der folgenden Aussagen ist korrekt für die **Standardabweichung** einer Zufallsvariablen?

Accepted Answer

Sie ist die Quadratwurzel der Varianz.

Answer

Sie ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen bestimmten Wert annimmt.

Answer

Sie ist das arithmetische Mittel der Zufallsvariablen.

Answer

Sie ist das Quadrat der Varianz.

Question 40

Welche der folgenden Zufallsvariablen ist **stetig**?

Accepted Answer

Normalverteilte Zufallsvariable

Answer

Poissonverteilte Zufallsvariable

Answer

Geometrisch verteilte Zufallsvariable

Answer

Binomialverteilte Zufallsvariable

Question 41

Welche der folgenden Verteilungen wird verwendet, um die **Zeit bis zum Eintreten eines Ereignisses** zu modellieren?

Accepted Answer

Exponentialverteilung

Answer

Poissonverteilung

Answer

Normalverteilung

Answer

Binomialverteilung

Question 42

Welche der folgenden Aussagen ist korrekt für den **Erwartungswert** einer Zufallsvariablen?

Accepted Answer

Er ist das gewichtete arithmetische Mittel der möglichen Werte der Zufallsvariablen.

Answer

Er ist der Median der Zufallsvariablen.

Answer

Er ist der Modus der Zufallsvariablen.

Question 43

Welche der folgenden Aussagen ist **falsch** für eine **diskrete Zufallsvariable**?

Accepted Answer

Ihre Wahrscheinlichkeitsfunktion ist eine stetige Funktion.

Answer

Ihre Wahrscheinlichkeiten summieren sich zu 1.

Answer

Ihre Werte sind ganzzahlig.

Question 44

Welche der folgenden Verteilungen wird verwendet, um die **Anzahl der Erfolge in einer Folge unabhängiger Versuche mit konstanter Erfolgswahrscheinlichkeit** zu modellieren?

Accepted Answer

Binomialverteilung

Answer

Exponentialverteilung

Answer

Poissonverteilung

Answer

Normalverteilung

Question 45

Welche der folgenden Definitionen beschreibt eine Zufallsvariable korrekt?

Accepted Answer

Eine Zufallsvariable ordnet jedem Element einer Ergebnismenge eine eindeutige reelle Zahl zu.

Answer

Eine Zufallsvariable kann nur positive oder negative Werte annehmen.

Answer

Der Wert einer Zufallsvariablen ist immer deterministisch bestimmbar.

Question 46

Wie lautet die Formel zur Berechnung des Erwartungswerts einer Zufallsvariablen X?

Accepted Answer

E(X) = ∑(xᵢ * P(X = xᵢ))

Answer

E(X) = (1/n) * ∑(xᵢ)

Answer

E(X) = max(X) - min(X)

Answer

E(X) = Var(X) + σ(X)

Question 47

Welche Aussage über die Varianz einer Zufallsvariablen ist korrekt?

Accepted Answer

Die Varianz misst die Streuung der Werte einer Zufallsvariablen um ihren Erwartungswert.

Answer

Die Varianz ist immer kleiner als der Erwartungswert.

Answer

Die Varianz kann sowohl positive als auch negative Werte annehmen.

Question 48

Wie lautet die Formel zur Berechnung der Standardabweichung einer Zufallsvariablen X?

Accepted Answer

σ(X) = √(Var(X))

Answer

σ(X) = Var(X) - E(X)

Answer

σ(X) = E(X) / Var(X)

Question 49

Welche der folgenden Aussagen über die Binomialverteilung ist zutreffend?

Accepted Answer

Die Binomialverteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Anzahl von Erfolgen in einer Folge unabhängiger Experimente mit konstanter Erfolgswahrscheinlichkeit modelliert.

Answer

Die Binomialverteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Answer

Die Binomialverteilung hat einen Erwartungswert von 1.

Question 50

Welche der folgenden Aussagen über die Poisson-Verteilung ist korrekt?

Accepted Answer

Die Poisson-Verteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Anzahl von Ereignissen in einem festen Intervall oder Bereich modelliert, wobei die Wahrscheinlichkeit des Auftretens eines Ereignisses proportional zur Länge des Intervalls oder Bereichs ist.

Answer

Die Poisson-Verteilung hat einen Erwartungswert von 0.

Answer

Die Poisson-Verteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Question 51

Welche der folgenden Aussagen beschreibt eine Zufallsvariable korrekt?

Accepted Answer

Eine Funktion, die jedem Element eines Ergebnisraums eine eindeutige reelle Zahl zuordnet.

Answer

Ein Wahrscheinlichkeitsraum, der die möglichen Ausgänge eines Experiments darstellt.

Answer

Eine Zahl, die ein Ergebnis eines Experiments zusammenfasst.

Question 52

Welche Formel beschreibt den Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariable?

Accepted Answer

E(X) = Σ(x * P(X=x))

Answer

E(X) = Var(X) + (E(X))^2

Answer

E(X) = 1 / P(X=x)

Answer

E(X) = ∫(x * f(x)) dx

Question 53

Welche Aussage definiert die Varianz einer Zufallsvariable?

Accepted Answer

Ein Maß für die Streuung der Zufallsvariablen um ihren Erwartungswert.

Answer

Die Wahrscheinlichkeit, den Erwartungswert zu erreichen.

Answer

Die Summe der Abweichungen der einzelnen Werte vom Erwartungswert.

Question 54

Welche Wahrscheinlichkeitsverteilung ist durch folgende Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion gegeben: P(X=x) = (n! / (x! * (n-x)!)) * p^x * q^(n-x)?

Accepted Answer

Binomialverteilung

Answer

Exponentialverteilung

Answer

Poissonverteilung

Answer

Normalverteilung

Question 55

Welche Eigenschaften treffen auf die Normalverteilung zu?

Accepted Answer

Symmetrisch, glockenförmig und unimodal.

Answer

Erwartungswert immer 0

Answer

Diskret

Answer

Varianz immer 1

Question 56

Wie wird die Standardnormalverteilung bezeichnet?

Accepted Answer

N(0, 1)

Answer

N(0, 2)

Answer

N(1, 0)

Answer

N(1, 1)

Question 57

Welche Aussage beschreibt den zentralen Grenzwertsatz?

Accepted Answer

Die Summe einer großen Anzahl unabhängiger Zufallsvariablen nähert sich einer Normalverteilung an.

Answer

Die Summe einer großen Anzahl unabhängiger Zufallsvariablen nähert sich einer Binomialverteilung an.

Answer

Die Summe einer großen Anzahl unabhängiger Zufallsvariablen ist stetig.

Question 58

Welche der folgenden Definitionen einer Zufallsvariablen **X** ist korrekt?

Accepted Answer

Eine Zufallsvariable **X** ist eine Funktion, die jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl zuordnet.

Answer

Eine Zufallsvariable **X** ist eine Variable, die nur stetige Werte annehmen kann.

Answer

Eine Zufallsvariable **X** ist eine Variable, die nur diskrete Werte annehmen kann.

Question 59

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer Zufallsvariablen **X** wird durch folgende Formel beschrieben:

Accepted Answer

**f(x) = P(X = x)**

Answer

**f(x) = E(X)**

Answer

**f(x) = Var(X)**

Answer

**f(x) = SD(X)**

Question 60

Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen **X** wird berechnet durch:

Accepted Answer

**E(X) = Σ(x * P(X = x))**

Answer

**E(X) = SD(X)**

Answer

**E(X) = Var(X) + SD(X)**

Answer

**E(X) = Σ(P(X = x))**

Question 61

Die Varianz einer Zufallsvariablen **X** wird berechnet durch:

Accepted Answer

**Var(X) = E(X²) - (E(X))²**

Answer

**Var(X) = E(X) + SD(X)**

Answer

**Var(X) = Σ(P(X = x))**

Answer

**Var(X) = Σ(x * P(X = x))**

Question 62

Die Standardabweichung einer Zufallsvariablen **X** ist definiert als:

Accepted Answer

**SD(X) = √(Var(X))**

Answer

**SD(X) = Σ(x * P(X = x))**

Answer

**SD(X) = Σ(P(X = x))**

Answer

**SD(X) = E(X) - Var(X)**

Question 63

Die Binomialverteilung wird verwendet, um:

Accepted Answer

**Die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, eine bestimmte Anzahl von Erfolgen in einer Folge von unabhängigen Experimenten zu erzielen.**

Answer

**Die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, eine bestimmte Zeitspanne zwischen Ereignissen zu beobachten.**

Question 64

Die Poissonverteilung wird verwendet, um:

Accepted Answer

**Die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, eine bestimmte Anzahl von Ereignissen in einem bestimmten Zeitraum zu beobachten.**

Answer

**Die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, eine bestimmte Zeitspanne zwischen Ereignissen zu erzielen.**