Optimierung in Mathematik: Online-Quizze für Klasse 13 am Gymnasium

Question 1

Was ist das Ziel des Gradientenverfahrens?

Accepted Answer

Minimierung einer nichtlinearen Zielfunktion.

Answer

Maximierung einer linearen Zielfunktion.

Answer

Berechnung der optimalen Lösung eines linearen Optimierungsproblems.

Answer

Konstruktion der Nebenbedingungen eines Optimierungsproblems.

Question 2

Welche Aussage trifft auf nichtlineare Optimierungsprobleme zu?

Accepted Answer

Sie können in der Regel nur mit numerischen Verfahren gelöst werden.

Answer

Sie können immer mit analytischen Methoden gelöst werden.

Answer

Sie sind stets konvex.

Answer

Sie haben immer eine eindeutige optimale Lösung.

Question 3

Welches Kriterium wird verwendet, um den nächsten Schritt im Simplex-Algorithmus zu bestimmen?

Accepted Answer

Maximierung der Zielfunktion

Answer

Minimierung der Zielfunktion

Answer

Reduzierung der Anzahl der Basisvariablen

Answer

Erhöhung der Anzahl der Basisvariablen

Question 4

In welche Richtung zeigt der Gradient eines skalaren Feldes?

Accepted Answer

Richtung des steilsten Anstiegs

Answer

Richtung des steilsten Abstiegs

Answer

Orthogonal zum Vektorfeld

Answer

Richtung eines Einheitsvektors

Question 5

Nennen Sie einen Test zur Überprüfung der Konvexität eines Optimierungsproblems.

Accepted Answer

Zweite Ableitungstest

Answer

Gradiententest

Answer

Lagrange-Multiplikatoren

Answer

Keine der oben genannten

Question 6

Welches Verfahren ist speziell für die Lösung linearer Optimierungsprobleme konzipiert?

Accepted Answer

Simplex-Algorithmus

Answer

Gradientenverfahren

Answer

Newton-Verfahren

Answer

Kuhn-Tucker-Bedingungen

Question 7

Welches Verfahren eignet sich speziell zur Lösung linearer Optimierungsprobleme?

Accepted Answer

Simplex-Algorithmus

Answer

Gradientenverfahren

Answer

Lagrange-Multiplikatoren

Answer

Goldener Schnitt

Question 8

Welcher der folgenden Algorithmen ist das Standardverfahren zur Lösung linearer Optimierungsprobleme?

Accepted Answer

Simplex-Algorithmus

Answer

Gradientenverfahren

Answer

Newtonsches Verfahren

Answer

Lagrange-Multiplikatoren

Question 9

Welcher Ansatz wird im Gradientenverfahren verwendet, um die Schrittweite zu bestimmen?

Accepted Answer

Lineare Suche

Answer

Sekantensuche

Answer

Goldener Schnitt

Answer

Quadratische Interpolation

Question 10

Was ist der wesentliche Unterschied zwischen einem globalen und einem lokalen Optimum?

Accepted Answer

Ein globales Optimum ist eine Lösung, die für die gesamte Definitionsmenge optimal ist, während ein lokales Optimum nur lokal optimal ist.

Answer

Ein globales Optimum ist immer besser als ein lokales Optimum.

Answer

Ein lokales Optimum ist immer besser als ein globales Optimum.

Answer

Ein lokales Optimum ist eine Lösung, die für die gesamte Definitionsmenge optimal ist, während ein globales Optimum nur lokal optimal ist.

Question 11

Welche der folgenden Aussagen beschreibt eine zulässige Lösung eines Optimierungsproblems?

Accepted Answer

Erfüllt alle Nebenbedingungen, auch wenn die Zielfunktion nicht maximiert oder minimiert wird.

Answer

Maximiert die Zielfunktion, auch wenn einige Nebenbedingungen nicht erfüllt sind.

Answer

Minimiert die Zielfunktion, auch wenn einige Nebenbedingungen nicht erfüllt sind.

Answer

Erfüllt einige, aber nicht alle Nebenbedingungen und maximiert oder minimiert die Zielfunktion nicht.

Question 12

Welches Verfahren löst lineare Optimierungsprobleme in Standardform?

Accepted Answer

Simplex-Algorithmus

Answer

Gradientenverfahren

Answer

Lagrange-Multiplikatoren

Answer

Interior-Point-Methode

Question 13

Was beschreibt den Gradienten einer Funktion?

Accepted Answer

Der Vektor in Richtung des steilsten Anstiegs.

Answer

Der Vektor in Richtung des geringsten Anstiegs.

Answer

Der Vektor in Richtung der zweiten Ableitung.

Answer

Der Vektor in Richtung der Krümmung.

Question 14

Die Gradientenfunktion der Funktion f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2 ist:

Accepted Answer

∇f(x, y) = (2x + 2y, 2x + 2y)

Answer

∇f(x, y) = (x, y)

Answer

∇f(x, y) = (-2x - 2y, -2x - 2y)

Answer

∇f(x, y) = (y, x)

Question 15

Das Gradientenverfahren zur Minimierung einer Funktion f(x, y) sucht nach einem Punkt:

Accepted Answer

An dem der Gradient verschwindet.

Answer

An dem der Gradient maximal ist.

Answer

An dem der Gradient minimal ist.

Answer

An dem die Funktion ihren größten Wert annimmt.

Question 16

Welche der folgenden Nebenbedingungen ist eine lineare Ungleichung?

Accepted Answer

x + y ≤ 5

Answer

x * y ≤ 5

Answer

x^2 + y^2 ≤ 5

Answer

e^(x+y) ≤ 5

Question 17

Welche der folgenden Funktionen ist nicht differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x^3

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = sin(x)

Question 18

Welche Aussage über den zulässigen Bereich eines Optimierungsproblems ist korrekt?

Accepted Answer

Der zulässige Bereich kann unbegrenzt sein.

Answer

Der zulässige Bereich ist niemals leer.

Answer

Der zulässige Bereich ist immer konvex.

Answer

Der zulässige Bereich ist immer eine abgeschlossene Menge.

Question 19

Die Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen (KKT-Bedingungen) sind notwendig für:

Accepted Answer

Lokale Optima mit Nebenbedingungen.

Answer

Globale Optima mit Nebenbedingungen.

Answer

Lokale Optima ohne Nebenbedingungen.

Answer

Globale Optima ohne Nebenbedingungen.

Question 20

Welches Verfahren zur Optimierung von Funktionen verwendet den Gradienten?

Accepted Answer

Gradientenverfahren

Answer

Simplex-Algorithmus

Answer

Lagrange-Multiplikatoren

Answer

Innere-Punkte-Methode

Question 21

Welche grundlegenden Voraussetzungen müssen erfüllt sein, damit der Simplex-Algorithmus angewendet werden kann?

Accepted Answer

Das Optimierungsproblem ist linear und alle Variablen sind nichtnegativ.

Answer

Die Zielfunktion ist konvex und die Nebenbedingungen sind linear unabhängig.

Answer

Die Optimallösung ist eindeutig und die zulässige Menge ist beschränkt.

Question 22

Klärfassung: Welche der folgenden Aussagen beschreibt korrekt den Simplex-Algorithmus?

Accepted Answer

Ein Verfahren zur Lösung linearer Optimierungsprobleme

Answer

Ein Verfahren zur Lösung nichtlinearer Optimierungsprobleme

Answer

Ein Verfahren zur Lösung ganzzahliger Optimierungsprobleme

Answer

Ein Verfahren zur Lösung stochastischer Optimierungsprobleme

Question 23

Klärfassung: Wie lässt sich geometrisch eine zulässige Lösung eines linearen Optimierungsproblems darstellen?

Accepted Answer

Ein Punkt innerhalb des zulässigen Bereichs

Answer

Eine Gerade innerhalb des zulässigen Bereichs

Answer

Eine Ebene innerhalb des zulässigen Bereichs

Answer

Eine beliebige Fläche innerhalb des zulässigen Bereichs

Question 24

Klärfassung: Welcher Vorteil ergibt sich aus der Verwendung von Nebenbedingungen in Optimierungsproblemen?

Accepted Answer

Einschränkung des Lösungsraums zur Vereinfachung der Optimierung

Answer

Erweiterung des Lösungsraums zur Erhöhung der Anzahl möglicher Lösungen

Answer

Erhöhen der Zielfunktion zur Verbesserung der Optimierungsergebnisse

Answer

Vermeidung der Berechnung von Ableitungen zur Vereinfachung der Optimierung

Question 25

Klärfassung: Was bedeutet der Schattenpreis in der linearen Optimierung?

Accepted Answer

Der Preis der Ressource, die die größte Knappheit verursacht

Answer

Der Preis der Ressource, die die geringste Knappheit verursacht

Answer

Der Preis der Ressource, die für die Zielfunktion am wertvollsten ist

Answer

Der Preis der Ressource, die am billigsten ist

Question 26

Klärfassung: Welcher Zweck steht hinter der Sensitivitätsanalyse in der linearen Optimierung?

Accepted Answer

Untersuchung der Auswirkungen von Änderungen in den Eingangsparametern auf die optimale Lösung

Answer

Ermittlung der optimalen Lösung für verschiedene Zielfunktionen

Answer

Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass die optimale Lösung optimal bleibt

Answer

Schätzung der Genauigkeit der optimalen Lösung

Question 27

Welches der folgenden Verfahren ist ein schrittweises Verfahren zur Lösung von Optimierungsproblemen, bei denen keine linearen Funktionen verwendet werden?

Accepted Answer

Gradientenverfahren

Answer

Simplex-Algorithmus

Answer

Zweischritt-Verfahren

Answer

Lagrange-Multiplikatoren

Question 28

Welches der folgenden Optimierungsprobleme ist ein **lineares Optimierungsproblem**?

Accepted Answer

Maximieren von f(x, y) = 3x + 4y unter den Nebenbedingungen x ≥ 0, y ≥ 0 und x + y ≤ 10

Answer

Minimieren von f(x, y) = x^2 + y^2

Answer

Maximieren von f(x, y) = e^(x+y)

Question 29

Welcher der folgenden Schritte ist im **Gradientenverfahren** zur Lösung eines nichtlinearen Optimierungsproblems **nicht** enthalten?

Accepted Answer

Berechnung der **Hesse-Matrix**

Answer

Berechnung des Gradienten

Answer

Festlegen einer Schrittweite

Answer

Aktualisierung der aktuellen Schätzung

Question 30

Welche der folgenden Funktionen ist **konkav**?

Accepted Answer

f(x) = -x^2

Answer

f(x) = x^3

Answer

f(x) = e^x

Question 31

Welche der folgenden Aussagen über **konvexe Optimierungsprobleme** ist richtig?

Accepted Answer

Jedes lokale Minimum ist auch ein **globales Minimum**.

Answer

Konvexe Optimierungsprobleme können immer mit dem Simplex-Algorithmus gelöst werden.

Answer

Konvexe Optimierungsprobleme haben immer mehrere lokale Minima.

Question 32

Welches der folgenden Optimierungsprobleme ist ein **nichtlineares ganzzahliges Optimierungsproblem**?

Accepted Answer

Minimieren von f(x, y) = x^2 + y^2 unter den Nebenbedingungen x ∈ {0, 1, 2} und y ∈ {0, 1, 2}

Answer

Maximieren von f(x, y) = 3x + 4y unter den Nebenbedingungen x ≥ 0, y ≥ 0 und x + y ≤ 10

Answer

Minimieren von f(x) = e^(-x)

Question 33

Welche der folgenden Aussagen über **heuristische Optimierungsalgorithmen** ist richtig?

Accepted Answer

Sie garantieren **nicht immer** eine optimale Lösung.

Answer

Sie liefern immer eine zulässige Lösung.

Answer

Sie sind immer schneller als exakte Algorithmen.

Answer

Sie können nur für lineare Optimierungsprobleme verwendet werden.

Question 34

Welches der folgenden Optimierungsprobleme ist ein **stochastisches Optimierungsproblem**?

Accepted Answer

Maximieren des erwarteten Nutzens einer Investitionsentscheidung

Answer

Minimieren der Produktionskosten einer Fertigungsanlage

Answer

Entwerfen eines optimalen Flugplans für eine Fluggesellschaft

Question 35

Welche der folgenden Aussagen über Optimierungsprobleme in der Praxis ist richtig?

Accepted Answer

Sie sind oft komplex und erfordern **realistische Annahmen**.

Answer

Sie können immer mit Standard-Softwarepaketen gelöst werden.

Answer

Sie sind immer deterministisch.

Question 36

Welche Aussage über das Simplex-Verfahren ist korrekt?

Accepted Answer

Es ist eine iterative Methode zur Lösung linearer Optimierungsprobleme.

Answer

Es ist eine heuristische Methode zur Lösung nichtlinearer Optimierungsprobleme.

Answer

Es findet immer eine optimale Lösung.

Question 37

Welche Methode kann zur Lösung nichtlinearer Optimierungsprobleme verwendet werden?

Accepted Answer

Gradientenverfahren

Answer

Simplex-Verfahren

Answer

Zweipunktmethode

Answer

Linearsuchverfahren

Question 38

Welches der folgenden Optimierungsverfahren eignet sich am besten für die Lösung linearer Optimierungsprobleme?

Accepted Answer

Simplex-Algorithmus

Answer

Gradientenverfahren

Answer

Newtonsche Methode

Answer

Konjugierte Gradientenmethode

Question 39

Welche Aussage über nichtlineare Optimierungsprobleme ist zutreffend?

Accepted Answer

Sie können mehrere lokale Optima besitzen.

Answer

Sie weisen immer eine eindeutige optimale Lösung auf.

Answer

Sie lassen sich stets mit Linearisierungsverfahren lösen.

Answer

Sie lassen sich immer mit analytischen Methoden lösen.

Question 40

Welche Ableitungen werden zur Berechnung des Gradienten einer Funktion f(x, y) benötigt?

Accepted Answer

∂f/∂x und ∂f/∂y

Answer

∂f/∂x

Answer

∂f/∂y

Answer

d²f/dxdy

Question 41

Welcher Schritt ist NICHT Bestandteil des Simplex-Algorithmus?

Accepted Answer

Berechnung der inversen Koeffizientenmatrix

Answer

Einführung von Schlupfvariablen

Answer

Überprüfung der Optimalitätsbedingungen

Answer

Identifizierung der Ausgangslösung

Question 42

Welche Aussage über heuristische Optimierungsverfahren ist korrekt?

Accepted Answer

Sie garantieren nicht immer eine optimale Lösung.

Answer

Sie sind immer schneller als exakte Verfahren.

Answer

Sie liefern stets eine zulässige Lösung.

Answer

Sie sind ausschließlich für lineare Optimierungsprobleme geeignet.

Question 43

Welcher Schritt gehört NICHT zum Simplex-Algorithmus?

Accepted Answer

Berechnung des Gradienten

Answer

Auswahl der Pivotzeile und -spalte

Answer

Einführung von Schlupfvariablen

Answer

Durchführen von Zeilenoperationen

Question 44

Was zeichnet eine lineare Zielfunktion aus?

Accepted Answer

Sie ist eine lineare Kombination der Entscheidungsvariablen.

Answer

Sie ist eine nichtlineare Kombination der Entscheidungsvariablen.

Answer

Sie nimmt nur positive Werte an.

Question 45

Was beschreibt der Gradient einer Funktion?

Accepted Answer

Er zeigt die Richtung des steilsten Anstiegs der Funktion.

Answer

Er zeigt die Richtung des steilsten Abstiegs der Funktion.

Answer

Er ist immer parallel zur x-Achse.

Question 46

Was ist eine Nebenbedingung?

Accepted Answer

Eine Einschränkung, die die zulässigen Werte der Entscheidungsvariablen begrenzt.

Answer

Die Definition der Zielfunktion.

Answer

Das Verfahren zur Lösung des Problems.

Question 47

Wie lautet die Standardform eines linearen Optimierungsproblems?

Accepted Answer

Maximiere/minimiere c^T x unter den Nebenbedingungen Ax <= b und x >= 0.

Answer

Maximiere/minimiere f(x) unter der Nebenbedingung g(x) = 0.

Answer

Suche x, so dass f(x) = 0.

Question 48

Welche Eigenschaft hat die Zielfunktion eines konvexen Optimierungsproblems?

Accepted Answer

Sie ist konvex.

Answer

Sie ist konkav.

Answer

Sie ist quadratisch.

Answer

Sie ist linear.

Question 49

Welches Kriterium bestimmt die Konvergenz des Simplex-Algorithmus?

Accepted Answer

Minimierungskriterium

Answer

Maximierungskriterium

Answer

Steigungsanstiegskriterium

Answer

Ableitungskriterium

Question 50

Was beschreibt der Schattierungsbereich eines linearen Optimierungsproblems?

Accepted Answer

Ein polyedrisches Gebiet in der Entscheidungsvariablenebene.

Answer

Ein unbeschränktes Gebiet in der Entscheidungsvariablenebene.

Answer

Ein Gebiet in der Zielebenenebene.

Question 51

Welche Methode kann zur Analyse der Sensitivität eines linearen Optimierungsproblems eingesetzt werden?

Accepted Answer

Parametrische Programmierung

Answer

Nichtlineare Programmierung

Answer

Ganzzahlige Programmierung

Answer

Dynamische Programmierung