Lineare Gleichungssysteme: Online-Quizze und Übungen für Klasse 13

Question 1

Wie lautet die Matrixform des Gauß'schen Algorithmus?

Accepted Answer

[A|b] ~ [E|c]

Answer

Ax = b

Answer

Xb = A

Answer

A * b = c

Question 2

Welche Operation wird im Gauß'schen Algorithmus verwendet, um eine Null unter einem Pivotelement zu erzeugen?

Accepted Answer

Zeilenaddition

Answer

Zeilenvertauschung

Answer

Zeilenmultiplikation

Answer

Spaltenaddition

Question 3

Welche Aussage über die Cramer'sche Regel ist korrekt?

Accepted Answer

Sie ist numerisch instabil und sollte nur als letzte Option verwendet werden.

Answer

Sie kann nur für Systeme mit drei Unbekannten angewendet werden.

Answer

Sie ist schneller als der Gauß'sche Algorithmus.

Answer

Sie kann auch für singuläre Matrizen angewendet werden.

Question 4

Welche der folgenden Matrizen ist singulär?

Accepted Answer

[[1, 1], [1, 1]]

Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Answer

[[1, 2], [3, 6]]

Answer

[[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]]

Question 5

Welches der folgenden linearen Gleichungssysteme ist inkonsistent?

Accepted Answer

x + y = 3, 2x + 2y = 8

Answer

x + y = 3

Answer

x + y = 3, 2x + 2y = 6

Answer

x + y = 3, x - y = 1

Question 6

Welches der folgenden Gleichungssysteme ist eindeutig lösbar?

Accepted Answer

x + y = 2, x - y = 4

Answer

x + 2y = 3, 2x + 4y = 6

Answer

x - y = 3, x + y = 3

Answer

2x + y = 5, x - 2y = 6

Question 7

Berechne die Determinante der Matrix:
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ -1 & 3 end{pmatrix}

Accepted Answer

5

Answer

-5

Answer

1

Answer

-1

Question 8

Welche der folgenden Gleichungen ist eine lineare Gleichung in zwei Variablen?

Accepted Answer

2x - y = 3

Answer

x^2 + y = 5

Answer

sin(x) = y

Answer

e^x = y

Question 9

Welcher Schritt ist beim Gauß-Algorithmus nicht notwendig?

Accepted Answer

Gleichungssystem in Widerspruchsform bringen

Answer

Zeilenstufenform erzeugen

Answer

Gleichungssystem in Dreiecksform bringen

Answer

Rücksubstitution durchführen

Question 10

Welcher Satz beschreibt die Cramer'sche Regel?

Accepted Answer

Die Lösung eines linearen Gleichungssystems kann durch Division von Determinanten berechnet werden

Answer

Die Lösbarkeitsbedingung eines linearen Gleichungssystems ist die Nicht-Nullheit der Koeffizientenmatrix

Answer

Die Zeilenstufenform eines linearen Gleichungssystems ist eindeutig

Answer

Die Rücksubstitution ist der letzte Schritt des Gauß-Algorithmus

Question 11

Welche der folgenden Aussagen beschreibt das Gauß-Verfahren korrekt?

Accepted Answer

Ein schrittweises Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme durch Zeilenoperationen.

Answer

Eine Methode zur Bestimmung des Ranges einer Matrix.

Answer

Ein Verfahren, das immer eine eindeutige Lösung garantiert.

Answer

Eine effiziente Methode für Gleichungssysteme mit vielen Variablen.

Question 12

Welches der folgenden Gleichungssysteme hat keine eindeutige Lösung?

Accepted Answer

x + y = 1
2x + 2y = 2

Answer

x + y = 3
y - x = 1

Answer

2x + 4y = 6
x + 2y = 3

Question 13

Welches der folgenden Gleichungssysteme hat keine Lösung?

Accepted Answer

x + y = 1, x + y = 2

Answer

x + y = 1, x - y = 1

Answer

x + 2y = 3, 2x + 4y = 6

Question 14

Welches Lösungsverfahren wird verwendet, um ein lineares Gleichungssystem in eine obere Dreiecksmatrix zu überführen?

Accepted Answer

Gauß-Algorithmus

Answer

Gauß-Jordan-Algorithmus

Answer

Cramersche Regel

Answer

Iterationsverfahren

Question 15

Welche der folgenden Matrizen ist die Einheitsmatrix?

Accepted Answer

Eine quadratische Matrix mit lauter Einsen auf der Hauptdiagonalen und Nullen sonst.

Answer

Eine quadratische Matrix mit lauter Nullen außer auf der Hauptdiagonalen, wo sich Einsen befinden.

Answer

Eine rechteckige Matrix mit lauter Einsen.

Answer

Eine rechteckige Matrix mit lauter Nullen außer auf der Hauptdiagonalen, wo sich Einsen befinden.

Question 16

Welche der folgenden Operationen ist bei linearen Gleichungssystemen zulässig?

Accepted Answer

Alle genannten Operationen

Answer

Addition zweier Gleichungen

Answer

Multiplikation einer Gleichung mit einer Zahl ungleich Null

Answer

Vertauschung zweier Gleichungen

Question 17

Welche Aussage beschreibt ein lineares Gleichungssystem mit genau einer Lösung?

Accepted Answer

Die Koeffizientenmatrix hat den Rang gleich der Anzahl der Unbekannten.

Answer

Die erweiterte Koeffizientenmatrix hat den Rang gleich der Anzahl der Gleichungen.

Answer

Die Koeffizientenmatrix und die erweiterte Koeffizientenmatrix haben den gleichen Rang.

Answer

Die Koeffizientenmatrix hat den Rang größer als die Anzahl der Gleichungen.

Question 18

Welches Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme zeichnet sich durch seine Effizienz aus?

Accepted Answer

Gauß-Algorithmus

Answer

Jacobi-Iteration

Answer

Seidel-Iteration

Answer

Pivot-Verfahren

Question 19

Welcher Satz ermöglicht es, die Lösungen eines linearen Gleichungssystems mithilfe von Determinanten zu ermitteln?

Accepted Answer

Cramersche Regel

Answer

Gauß-Satz

Answer

Rank-Nullitäts-Satz

Answer

Determinanten-Satz

Question 20

Nenne die zulässigen Operationen bei der Anwendung des Gauß-Algorithmus zur Lösung eines linearen Gleichungssystems.

Accepted Answer

Zeilenvertauschung, Zeilenaddition und Zeilenmultiplikation

Answer

Spaltenvertauschung, Spaltenaddition und Spaltenmultiplikation

Answer

Reihenvertauschung, Spaltenaddition und Zeilenmultiplikation

Answer

Zeilenaddition, Spaltenvertauschung und Spaltenmultiplikation

Question 21

Welche geometrische Figur stellt ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen dar?

Accepted Answer

Eine Gerade

Answer

Eine Ebene

Answer

Ein Punkt

Answer

Eine Kugel

Question 22

Was beschreibt der Rang einer Koeffizientenmatrix eines linearen Gleichungssystems?

Accepted Answer

Die Anzahl linear unabhängiger Zeilenvektoren

Answer

Die Anzahl linear abhängiger Spaltenvektoren

Answer

Die Anzahl der Lösungen des Gleichungssystems

Answer

Die Determinante der Koeffizientenmatrix

Question 23

Wie lautet die Determinante einer 2x2-Matrix?

Accepted Answer

ad - bc

Answer

ab + cd

Answer

bc - ad

Answer

ac + bd

Question 24

Wann gilt ein lineares Gleichungssystem als inhomogen?

Accepted Answer

Wenn die rechte Seite des Gleichungssystems eine von Null verschiedene Matrix ist.

Answer

Wenn die rechte Seite des Gleichungssystems die Nullmatrix ist.

Answer

Wenn die Koeffizientenmatrix invertierbar ist.

Answer

Wenn der Rang der Koeffizientenmatrix kleiner ist als die Anzahl der Unbekannten.

Question 25

Welches der folgenden Gleichungssysteme ist linear?

Accepted Answer

y = mx + b

Answer

x^2 + y = 1

Answer

xy = c

Answer

sin(x) + cos(y) = 0

Question 26

Formuliere die allgemeine Darstellung eines linearen Gleichungssystems mit n Gleichungen und m Unbekannten.

Accepted Answer

A * X = B

Answer

X * A = B

Answer

A + X = B

Answer

X - A = B

Question 27

Überprüfen Sie, ob das lineare Gleichungssystem (lbrace x + 2y = 5 
ewline 2x - y = 1 brace) lösbar ist.

Accepted Answer

Das Gleichungssystem ist eindeutig lösbar.

Answer

Das Gleichungssystem ist unlösbar.

Answer

Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen.

Answer

Das Gleichungssystem ist widersprüchlich.

Question 28

Welche der folgenden Aussagen beschreibt ein lineares Gleichungssystem?

Accepted Answer

Ein System von Gleichungen, in dem alle Variablen nur in erster Potenz auftreten und keine Multiplikation oder Division von Variablen vorkommt.

Answer

Ein System von Gleichungen, in dem mindestens eine Variable in einer Potenz größer als 1 auftritt.

Answer

Ein System von Gleichungen, in dem alle Variablen nur in geraden Potenzen auftreten.

Question 29

Welche Aussage über die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems ist korrekt?

Accepted Answer

Ein lineares Gleichungssystem ist genau dann eindeutig lösbar, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix ungleich 0 ist.

Answer

Ein lineares Gleichungssystem ist immer eindeutig lösbar.

Answer

Ein lineares Gleichungssystem ist immer lösbar.

Question 30

Welche Aussage über das lineare Gleichungssystem
$$x+y+z=6
2x+3y+4z=14
3x+4y+5z=22$$
ist richtig?

Accepted Answer

Das Gleichungssystem ist eindeutig lösbar.

Answer

Das Gleichungssystem ist überbestimmt.

Answer

Das Gleichungssystem ist inkonsistent.

Answer

Das Gleichungssystem ist unterbestimmt.

Question 31

Welche Aussage über den Rang einer Matrix ist korrekt?

Accepted Answer

Der Rang einer Matrix ist gleich der Anzahl ihrer linear unabhängigen Zeilen oder Spalten.

Answer

Der Rang einer Matrix ist gleich ihrer Zeilenanzahl.

Answer

Der Rang einer Matrix ist gleich ihrer Spaltenanzahl.

Question 32

Welche der folgenden Aussagen ist eine Anwendung linearer Gleichungssysteme?

Accepted Answer

Modellierung von realen Problemen

Answer

Verschlüsselung von Daten

Answer

Erzeugung von Zufallszahlen

Answer

Erstellung von Bildern

Question 33

Welcher der folgenden Algorithmen eignet sich zur Lösung eines linearen Gleichungssystems?

Accepted Answer

Gauß-Algorithmus

Answer

Regula-Falsi-Methode

Answer

Newtonsche Methode

Answer

Bisektionsverfahren

Question 34

Welche Aussage zur Cramerschen Regel ist korrekt?

Accepted Answer

Sie liefert explizite Lösungen für alle Variablen, wenn die Koeffizientenmatrix nicht singulär ist.

Answer

Sie funktioniert nur für Gleichungssysteme mit zwei Variablen.

Question 35

Wie viele Lösungen hat ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Unbekannten, wenn die Koeffizientenmatrix singulär ist?

Accepted Answer

Unendlich viele oder keine

Answer

Genau eine

Answer

Zwei

Answer

Drei

Question 36

Welche Aussage zur Inkonsistenz linearer Gleichungssysteme ist korrekt?

Accepted Answer

Ein inkonsistentes Gleichungssystem hat keine Lösung.

Answer

Ein inkonsistentes Gleichungssystem hat immer unendlich viele Lösungen.

Answer

Ein inkonsistentes Gleichungssystem hat genau eine Lösung.

Question 37

Welche Anzahl von Lösungen ist für ein lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen und n Unbekannten möglich, wobei m < n?

Accepted Answer

Unendlich viele oder keine

Answer

Zwei

Answer

Genau eine

Question 38

Welcher Begriff beschreibt eine Matrix, deren Spalten linear unabhängig sind?

Accepted Answer

Vollständig Spaltenrang

Answer

Vollständig Zeilenrang

Answer

Quadratisch

Answer

Invertierbar

Question 39

Berechne die Determinante der Matrix
A = [[2, 1], [-1, 3]]

Accepted Answer

7

Answer

-7

Answer

5

Answer

-5

Question 40

Welcher der folgenden Ausdrücke ist eine lineare Gleichung?

Accepted Answer

2x + 3y = 5

Answer

x^2 + y^2 = 1

Answer

sin(x) + cos(y) = 0

Answer

e^x + ln(y) = 1

Question 41

Welche der folgenden Matrizen ist nicht invertierbar?

Accepted Answer

[[0, 1], [0, 0]]

Answer

[[3, 0], [0, 3]]

Answer

[[1, 2], [3, 4]]

Answer

[[2, -1], [-3, 2]]

Question 42

Was bedeutet es, wenn die Determinante einer Matrix gleich Null ist?

Accepted Answer

Die Matrix ist nicht invertierbar.

Answer

Die Matrix hat einen Rang von 1.

Answer

Die Matrix ist invertierbar.

Answer

Die Matrix hat einen Rang von 2.

Question 43

Welcher der folgenden Schritte ist beim Gauß-Algorithmus nicht erlaubt?

Accepted Answer

Multiplikation einer Zeile mit 0

Answer

Division einer Zeile durch eine von 0 verschiedene Zahl

Answer

Addition einer Zeile zu einer anderen Zeile

Answer

Vertauschen zweier Zeilen

Question 44

Welche Aussage über die Cramersche Regel ist richtig?

Accepted Answer

Sie ist nur anwendbar, wenn die Koeffizientenmatrix quadratisch und nichtsingulär ist.

Answer

Sie funktioniert nur für Gleichungssysteme mit zwei Variablen.

Answer

Sie liefert immer ganzzahlige Lösungen.

Question 45

Ein lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen und n Variablen hat genau dann eine eindeutige Lösung, wenn:

Accepted Answer

m = n und die Koeffizientenmatrix invertierbar ist

Answer

m = n und die Koeffizientenmatrix nicht invertierbar ist

Answer

m > n und die Koeffizientenmatrix singulär ist

Answer

m < n und die Koeffizientenmatrix nicht invertierbar ist

Question 46

Welche der folgenden Matrizen repräsentiert ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen?

Accepted Answer

[2 1 | 4]
[3 2 | 5]

Answer

[2 1]
[3 2]

Answer

[2 1 4]
[3 2 5]

Answer

[4 1 | 2]
[5 2 | 3]

Question 47

Welcher Schritt ist der erste beim Lösen eines linearen Gleichungssystems mit dem Gauß-Verfahren?

Accepted Answer

Ermitteln der Leitspalte.

Answer

Multiplizieren von Zeilen mit einer Konstanten.

Answer

Vertauschen von Zeilen.

Answer

Addieren von Zeilen.

Question 48

Welche Aussage ist richtig für ein inhomogenes lineares Gleichungssystem?

Accepted Answer

Es kann keine Lösung haben.

Answer

Es hat immer eine eindeutige Lösung.

Answer

Es hat immer unendlich viele Lösungen.

Question 49

Welche Methode ist am besten geeignet, um ein lineares Gleichungssystem mit vielen Unbekannten zu lösen?

Accepted Answer

Gauß-Verfahren

Answer

Cramersche Regel

Answer

Substitution

Question 50

Löse das folgende lineare Gleichungssystem:
x + y = 5
2x - y = 1

Accepted Answer

x = 2, y = 3

Answer

x = 1, y = 4

Answer

x = 3, y = 2

Answer

x = 4, y = 1

Question 51

Welches Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme ist allgemein als das effizienteste bekannt?

Accepted Answer

Gauß-Algorithmus

Answer

Gleichsetzungsverfahren

Answer

Einsetzungsverfahren

Answer

Cramersche Regel

Question 52

Welcher Begriff beschreibt den Prozess der Umformung einer Matrix in eine Zeilenstufenform?

Accepted Answer

Gauß-Algorithmus

Answer

Cramersche Regel

Answer

Gleichsetzungsverfahren

Answer

Einsetzungsverfahren

Question 53

Welches der folgenden Verfahren ist KEIN Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme?

Accepted Answer

Newton-Verfahren

Answer

Substitutionsmethode

Answer

Gauß-Jordan-Elimination

Answer

Cramersche Regel

Question 54

Ein lineares Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 3 Variablen hat eine eindeutige Lösung. Welche Aussage ist dann korrekt?

Accepted Answer

Die Determinante der Koeffizientenmatrix ist ungleich Null.

Answer

Die Determinante der Koeffizientenmatrix ist Null.

Answer

Die Zeilen der Koeffizientenmatrix sind linear abhängig.

Question 55

Welches der folgenden Gleichungssysteme ist ein homogenes Gleichungssystem?

Accepted Answer

2x + 3y = 0
4x - 5y = 0

Answer

x + y = 2
2x + 2y = 4

Answer

2x + 3y = 5
4x - 5y = 1

Answer

x + 2y = 3
3x + y = 1

Question 56

Welche der folgenden Aussagen über die Cramersche Regel ist falsch?

Accepted Answer

Die Cramersche Regel gilt auch für Gleichungssysteme mit mehr als 2 Variablen.

Answer

Die Cramersche Regel ist ein Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme.

Answer

Die Cramersche Regel basiert auf der Berechnung von Determinanten.

Question 57

Bestimmen Sie, ob die Gleichungssysteme x + 2y = 3 und 2x + 4y = 6 linear abhängig oder linear unabhängig sind.

Accepted Answer

linear abhängig

Answer

linear unabhängig

Answer

homogen

Answer

inkonsistent

Question 58

Welches der folgenden Verfahren eignet sich zur Lösung eines linearen Gleichungssystems mit drei Variablen?

Accepted Answer

Gauß-Algorithmus

Answer

Trigonometrische Gleichung

Answer

Quadratische Gleichung

Answer

Differenzialgleichung

Question 59

Wie viele Lösungen besitzt ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Variablen, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix ungleich Null ist?

Accepted Answer

Genau eine Lösung

Answer

Mehrere Lösungen

Answer

Keine Lösung

Answer

Unendlich viele Lösungen

Question 60

Gegeben ist das lineare Gleichungssystem:

x + 2y = 5
 3x - y = 1

Welche Matrix stellt die erweiterte Koeffizientenmatrix des Systems dar?

Accepted Answer

[1 2 | 5]
[3 -1 | 1]

Answer

[5 1]
[2 -1]

Answer

[1 2]
[3 -1]

Answer

[1 2 5]
[3 -1 1]

Question 61

Welche Operation ist beim Gauß-Algorithmus nicht zulässig?

Accepted Answer

Multiplizieren einer Gleichung mit Null

Answer

Vertauschen von zwei Gleichungen

Answer

Addieren einer Gleichung zu einer anderen

Answer

Multiplizieren einer Gleichung mit einer von Null verschiedenen Konstanten

Question 62

Welches der folgenden Gleichungssysteme besitzt unendlich viele Lösungen?

Accepted Answer

x + 2y = 4
2x + 4y = 8

Answer

x + 2y = 4
2x - 4y = 8

Answer

x + 2y = 4
4x + 8y = 1

Answer

x + 2y = 4
3x - y = 1

Question 63

Welches der folgenden Gleichungssysteme ist inhomogen?

Accepted Answer

x + 2y = 5
3x - y = 1

Answer

x + 2y = 0
3x - y = 0

Answer

2x + 4y = 0
4x + 8y = 0

Answer

x + y = 0
2x + 2y = 0

Question 64

Unter welcher Bedingung besitzt ein lineares Gleichungssystem mit n Gleichungen und n Variablen genau eine Lösung?

Accepted Answer

Die Determinante der Koeffizientenmatrix ist ungleich Null.

Answer

Die Determinante der Koeffizientenmatrix ist Null.

Answer

Die Anzahl der Gleichungen ist größer als die Anzahl der Variablen.