Ableitungen in der Mathematik: Online-Quiz für Klasse 13

Question 1

Welche Funktion ist am Punkt **x = 2** nicht differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x - 2|

Answer

f(x) = x² - 4

Answer

f(x) = eˣ

Answer

f(x) = ln(x)

Question 2

Welche Ableitungsregel kann angewendet werden, um die Ableitung von g(x) = (x^2 + 2)^5 zu berechnen?

Accepted Answer

Kettenregel

Answer

Summenregel

Answer

Quotientenregel

Answer

Potenzregel

Question 3

Welche Aussage ist die Gleichung der Tangente an die Funktion f(x) = e^x im Punkt (0, 1)?

Accepted Answer

y = e^x + 1

Answer

y = x + 1

Answer

y = e^x

Answer

y = 1

Question 4

Ermitteln Sie das Minimum der folgenden Funktion: f(x) = x^2 - 4x + 3

Accepted Answer

x = 1

Answer

x = 0

Answer

x = 2

Answer

Die Funktion hat kein Minimum.

Question 5

Welche der folgenden Funktionen hat eine zweite Ableitung, die immer negativ ist?

Accepted Answer

f(x) = -x^2

Answer

f(x) = x^3

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = sin(x)

Question 6

Welche der folgenden Aussagen über die Ableitung der Funktion f(x) = ln(x) ist korrekt?

Accepted Answer

Sie ist gleich 1/x.

Answer

Sie ist gleich -1/x.

Answer

Sie ist gleich x.

Answer

Sie ist gleich e^x.

Question 7

Berechnen Sie die Ableitung der folgenden Funktion: f(x) = arctan(x)

Accepted Answer

f'(x) = 1/(1+x^2)

Answer

f'(x) = -1/(1+x^2)

Answer

f'(x) = 1/x

Answer

f'(x) = -1/x

Question 8

Welche Aussage beschreibt eine differenzierbare Funktion korrekt?

Accepted Answer

Die Funktion ist an jeder Stelle stetig und ihre erste Ableitung existiert.

Answer

Die Funktion hat an jeder Stelle eine senkrechte Tangente.

Answer

Die zweite Ableitung der Funktion ist überall positiv.

Answer

Die Funktion hat an jeder Stelle eine horizontale Tangente.

Question 9

Welche geometrische Bedeutung hat die Ableitung f'(x) einer Funktion f(x) an der Stelle x?

Accepted Answer

Steigung der Tangente an die Funktion an der Stelle x

Answer

Fläche unter der Funktion zwischen x = a und x = b

Answer

Integrationskonstante der Funktion

Answer

Umkehrfunktion der Funktion

Question 10

Welche Funktion ist nirgends differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = x^2

Question 11

Welche der folgenden Aussagen beschreibt die Ableitung einer Funktion f am besten?

Accepted Answer

Die Änderungsrate der Funktion an einem gegebenen Punkt

Answer

Die Steigung der Sekante durch zwei benachbarte Punkte

Answer

Die Steigung der Normalen an den Funktionsgraphen an einem gegebenen Punkt

Answer

Die Fläche unter dem Funktionsgraphen zwischen zwei Punkten

Question 12

Bestimme die Ableitung der Funktion f(x) = x^3 - 2x^2 + 1.

Accepted Answer

f'(x) = 3x^2 - 4x

Answer

f'(x) = x^2 - 2

Answer

f'(x) = 3x - 2

Answer

f'(x) = x^3 - 2x^2

Question 13

Welche der folgenden Aussagen über die Ableitung einer Funktion f ist richtig?

Accepted Answer

Die Ableitung ist die Steigung der Tangente an die Funktionskurve an der entsprechenden Stelle.

Answer

Die Ableitung ist eine konstante Funktion.

Answer

Die Ableitung ist die zweite Ableitung der Funktion.

Answer

Die Ableitung ist negativ, wenn die Funktion abnimmt.

Question 14

Bestimme die erste und zweite Ableitung der Funktion f(x) = ln(x).

Accepted Answer

f'(x) = 1/x, f''(x) = -1/x²

Answer

f'(x) = 1/x, f''(x) = 1/x²

Answer

f'(x) = x, f''(x) = 1

Answer

f'(x) = ln(x), f''(x) = 1/x

Question 15

Welche der folgenden Aussagen über die Beziehung zwischen Differenzierbarkeit und Stetigkeit ist richtig?

Accepted Answer

Jede differenzierbare Funktion ist stetig.

Answer

Jede stetige Funktion ist differenzierbar.

Answer

Nur Polynomfunktionen sind sowohl differenzierbar als auch stetig.

Answer

Nur rationale Funktionen sind sowohl differenzierbar als auch stetig.

Question 16

Welche Funktion ist einmal, aber nicht zweimal differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x³

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = sin(x)

Question 17

Welche der folgenden Funktionen hat ein globales Minimum?

Accepted Answer

f(x) = -x^2

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = e^x

Question 18

Welche Ableitungsregel gilt für die Summe zweier Funktionen f(x) und g(x)?

Accepted Answer

(f + g)'(x) = f'(x) + g'(x)

Answer

(f + g)'(x) = f'(x) - g'(x)

Answer

(f + g)'(x) = f'(x) * g'(x)

Answer

(f + g)'(x) = 0

Question 19

Wie lautet die zweite Ableitung der Funktion f(x) = x^3?

Accepted Answer

f''(x) = 3x^2

Answer

f''(x) = 6x

Answer

f''(x) = 9

Answer

f''(x) = 0

Question 20

Welche der folgenden Funktionen hat eine konstante Ableitung?

Accepted Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = |x|

Question 21

Wie hoch ist die Steigung der Tangente an die Kurve f(x) = x^2 im Punkt (2, 4)?

Accepted Answer

4

Answer

2

Answer

8

Answer

16

Question 22

Welche Aussage über die Graphen differenzierbarer Funktionen ist richtig?

Accepted Answer

Der Graph einer differenzierbaren Funktion weist keine Knicke auf.

Answer

Der Graph einer differenzierbaren Funktion besitzt keine Extrempunkte.

Answer

Der Graph einer differenzierbaren Funktion ist immer eine Parabel.

Answer

Der Graph einer differenzierbaren Funktion weist immer eine positive Steigung auf.

Question 23

Welche der folgenden Funktionen ist nicht differenzierbar bei x = 0?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Question 24

Welche Aussage über die erste Ableitung einer Funktion ist korrekt?

Accepted Answer

Alle oben genannten Aussagen

Answer

Sie gibt die Steigung der Tangente an einem gegebenen Punkt an.

Answer

Sie bestimmt die lokalen Minima und Maxima der Funktion.

Answer

Sie gibt die Richtung des größten Anstiegs der Funktion an.

Question 25

Welche der folgenden Funktionen kann nicht als Potenzreihe dargestellt werden?

Accepted Answer

f(x) = ln(x)

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = x^2

Question 26

Welche der folgenden Aussagen beschreibt eine stetig differenzierbare Funktion?

Accepted Answer

Ihre erste Ableitung ist an jeder Stelle stetig.

Answer

Ihre erste Ableitung ist stückweise stetig.

Answer

Ihr Graph ist an jeder Stelle glatt.

Answer

Ihre zweite Ableitung ist an jeder Stelle stetig.

Question 27

Welche der folgenden Funktionen ist nicht an der Stelle x = 0 differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = e^x

Question 28

Welche der folgenden Funktionen ist unstetig differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x - 1|

Answer

f(x) = x^3

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Question 29

Was ist der geometrische Zusammenhang zwischen der Ableitung einer Funktion und dem Graphen der Funktion?

Accepted Answer

Die Ableitung ist die Steigung der Tangente an den Graphen.

Answer

Die Ableitung ist die Steigung der Normalen zum Graphen.

Answer

Die Ableitung ist die Krümmung des Graphen.

Answer

Die Ableitung ist die Fläche unter dem Graphen.

Question 30

Welche der folgenden Aussagen beschreibt die Beziehung zwischen Differenzierbarkeit und Stetigkeit?

Accepted Answer

Differenzierbarkeit impliziert Stetigkeit, aber nicht umgekehrt.

Answer

Jede differenzierbare Funktion ist stetig.

Answer

Jede stetige Funktion ist differenzierbar.

Answer

Stetigkeit impliziert Differenzierbarkeit, aber nicht umgekehrt.

Question 31

Welche der folgenden Integrale ist gleich f(x) = x^3 - 2x^2 + 1?

Accepted Answer

∫(3x^2 - 4x) dx

Answer

∫(x^2 - 4x + 1) dx

Answer

∫(3x - 2) dx

Answer

∫(x^3 + 2x^2 + 1) dx

Question 32

Welche Aussage über die Taylor-Reihe einer differenzierbaren Funktion f(x) ist korrekt?

Accepted Answer

Die Taylor-Reihe einer Funktion kann zur Approximation der Funktion für Werte nahe dem Entwicklungspunkt verwendet werden.

Answer

Die Taylor-Reihe einer Funktion konvergiert für alle Werte von x.

Answer

Die Taylor-Reihe einer Funktion ist immer gleich der Funktion selbst.

Answer

Alle der genannten Aussagen sind falsch.

Question 33

Welche der folgenden Funktionen ist nicht differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x - 1|

Answer

f(x) = e^x - 1

Answer

f(x) = x^3

Answer

f(x) = sin(x) + cos(x)

Question 34

Welche Aussage über die Graphen der Funktion f(x) = (x-1)^3 und ihrer Ableitung f'(x) ist richtig?

Accepted Answer

Der Graph von f'(x) schneidet den Graphen von f(x) an den Punkten (1,0) und (2,0).

Answer

Der Graph von f'(x) ist immer unterhalb des Graphen von f(x).

Answer

Der Graph von f'(x) ist immer oberhalb des Graphen von f(x).

Question 35

Bestimme die lokalen Extrema der Funktion f(x) = x⁴ - 4x³ + 3x² - 2x + 1.

Accepted Answer

lokales Minimum bei x = 1, lokales Maximum bei x = 3

Answer

lokales Minimum bei x = 2, lokales Maximum bei x = 4

Answer

lokales Minimum bei x = 0, lokales Maximum bei x = 2

Question 36

Welche Funktion hat eine horizontale Tangente im Punkt (1, 2)?

Accepted Answer

f(x) = 2

Answer

f(x) = |x - 1|

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x² - 4

Question 37

Welche der folgenden Aussagen ist für eine an der Stelle x0 differenzierbare Funktion f richtig?

Accepted Answer

Für alle h > 0 gilt: lim (h->0) (f(x0 + h) - f(x0)) / h existiert.

Answer

f ist an x0 monoton.

Answer

f ist an x0 injektiv.

Answer

f ist an x0 konvex.

Question 38

Berechnen Sie die Ableitung der Funktion f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 1.

Accepted Answer

f'(x) = 3x^2 + 4x - 5

Answer

f'(x) = 3x^2 + 2x - 5

Answer

f'(x) = 3x^3 + 4x^2 - 5x

Answer

f'(x) = x^2 + 4x - 5

Question 39

Welche der folgenden Funktionen ist differenzierbar, aber nicht zweimal differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x^3 - 1|

Answer

f(x) = sin(x^2)

Answer

f(x) = x^4 + 1

Answer

f(x) = e^(-x^2)

Question 40

Welche der folgenden Aussagen beschreibt korrekt die Ableitung einer Funktion f(x)?

Accepted Answer

Die Ableitung f'(x) ist der Grenzwert des Differenzenquotienten (f(x+h) - f(x))/h für h gegen 0 und misst die momentane Änderungsrate von f(x) an der Stelle x.

Answer

Die Ableitung f'(x) gibt den Flächeninhalt unter dem Graphen von f(x) im Intervall [0, x] an.

Answer

Die Ableitung f'(x) ist immer positiv, wenn f(x) eine monoton wachsende Funktion ist.

Question 41

Welche der folgenden Funktionen ist im Punkt x = 0 nicht differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x³

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = sin(x)

Question 42

Welche der folgenden Funktionen ist eine Stammfunktion von f(x) = e^x + cos(x)?

Accepted Answer

F(x) = e^x + sin(x) + C

Answer

F(x) = e^x - sin(x) + C

Answer

F(x) = e^x + cos(x) - C

Answer

F(x) = e^x - cos(x) - C

Question 43

Welche Aussage über die Ableitung der Funktion f(x) = sin(x) ist richtig?

Accepted Answer

Sie ist an jedem Punkt definiert.

Answer

Sie ist nur an geraden Punkten definiert.

Answer

Sie ist nur an ungeraden Punkten definiert.

Answer

Sie ist an keinem Punkt definiert.

Question 44

Welche der folgenden Aussagen über die Rolle der zweiten Ableitung ist korrekt?

Accepted Answer

Sie gibt Auskunft über die Konvexität/Konkavität des Graphen.

Answer

Sie gibt Auskunft über die Steigung des Graphen.

Answer

Sie gibt Auskunft über die Nullstellen des Graphen.

Question 45

Welche der folgenden Aussagen über die Taylor-Reihe ist korrekt?

Accepted Answer

Sie ist eine unendliche Reihe, die eine Funktion um einen Punkt lokal approximiert.

Answer

Sie ist eine endliche Reihe, die eine Funktion global approximiert.

Answer

Sie ist nur für polynomiale Funktionen gültig.

Question 46

Welche der folgenden Aussagen über die implizite Differenzierung ist korrekt?

Accepted Answer

Sie ermöglicht es, eine Gleichung in zwei Variablen nach einer Variablen implizit zu differenzieren.

Answer

Sie ist nur für Gleichungen ersten Grades gültig.

Answer

Sie ermöglicht es, eine Gleichung in einer Variablen nach zwei Variablen implizit zu differenzieren.

Question 47

An welchem Punkt hat die Funktion f(x) = (x - 1)² einen lokalen Tiefpunkt?

Accepted Answer

x = 1

Answer

x = 2

Answer

x = -1

Answer

x = 0

Question 48

Sei f(x) eine differenzierbare Funktion. Was gilt für die Ableitung der zusammengesetzten Funktion g(x) = f(x²)?

Accepted Answer

g'(x) = 2xf'(x²)

Answer

g'(x) = xf'(x²)

Answer

g'(x) = f'(2x)

Answer

g'(x) = f'(x²)

Question 49

Welche der folgenden Aussagen ist eine notwendige Bedingung dafür, dass eine Funktion im Intervall [a, b] differenzierbar ist?

Accepted Answer

Die Funktion muss auf [a, b] stetig sein.

Answer

Die Ableitung der Funktion muss auf [a, b] streng monoton sein.

Answer

Die Ableitung der Funktion muss auf [a, b] überall definiert sein.

Answer

Die Funktion muss auf [a, b] zweimal differenzierbar sein.

Question 50

Sei f(x) eine differenzierbare Funktion. Was ist die geometrische Bedeutung der Ableitung f'(x) im Punkt x = a?

Accepted Answer

Die Steigung der Tangente an den Funktionsgraphen im Punkt (a, f(a)).

Answer

Die Geschwindigkeit der Funktion an der Stelle x = a.

Answer

Die Änderung der Funktionswerte zwischen x = a und x = a + 1.

Question 51

Sei f(x) eine zweimal differenzierbare Funktion. Was ist die Bedeutung der zweiten Ableitung f''(x)?

Accepted Answer

Sie gibt die Krümmung des Funktionsgraphen im Punkt x an.

Answer

Sie gibt die Steigung der Tangente an den Funktionsgraphen im Punkt x an.

Answer

Sie gibt die Geschwindigkeit der Funktion an der Stelle x an.

Question 52

Welche der folgenden Aussagen zur Funktion f(x) = sqrt(x) ist falsch? Die Quadratwurzel ist an der Stelle x = 0 nicht definiert.

Accepted Answer

f(x) ist an jedem x > 0 differenzierbar.

Answer

f(x) ist monoton wachsend für x > 0.

Answer

f(x) ist stetig an jedem x > 0.

Answer

f(x) ist konkav für x > 0.

Question 53

Welche der folgenden Funktionen hat an der Stelle x = 0 eine vertikale Tangente? Eine vertikale Tangente tritt auf, wenn die Ableitung einer Funktion an einer Stelle unendlich oder nicht definiert ist.

Accepted Answer

f(x) = x^3

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = cos(x)

Question 54

Berechne die Ableitung der implizit definierten Funktion y aus der Gleichung x^2 + y^2 = 1 unter Verwendung der impliziten Differenzierung.

Accepted Answer

dy/dx = -x / y

Answer

dy/dx = x / y

Answer

dy/dx = y / x

Question 55

Welche Rolle spielt die Differenzierbarkeit einer Funktion bei der Untersuchung von Extrema? Extrema sind lokale Minima oder Maxima einer Funktion.

Accepted Answer

Die Ableitung einer differenzierbaren Funktion ist an Extrema gleich Null.

Answer

Die Ableitung einer differenzierbaren Funktion ist an Extrema gleich Unendlich.

Answer

Die Ableitung einer differenzierbaren Funktion ist an Extrema gleich Eins.

Question 56

Welche der folgenden Differentialgleichungen ist von erster Ordnung? Eine Differentialgleichung erster Ordnung enthält nur die erste Ableitung der abhängigen Variable.

Accepted Answer

dy/dx + y = x

Answer

d^2y/dx^2 - y = 0

Answer

y'' + y' + y = 0

Question 57

Welche Aussage zur Differenzierbarkeit einer Funktion ist korrekt?

Accepted Answer

Eine differenzierbare Funktion ist an jeder Stelle ihres Definitionsbereiches stetig.

Answer

Eine stetige Funktion ist immer differenzierbar.

Answer

Eine Funktion mit einer Sprungstelle ist differenzierbar.

Answer

Eine Funktion mit einem Knick ist differenzierbar.

Question 58

Die Funktion f(x) = |x| ist...

Accepted Answer

stetig, aber nicht differenzierbar an der Stelle x = 0.

Answer

weder stetig noch differenzierbar an der Stelle x = 0.

Answer

differenzierbar an der Stelle x = 0.

Question 59

Was ist die Ableitung der Funktion f(x) = 3x² - 2x + 1?

Accepted Answer

f'(x) = 6x - 2

Answer

f'(x) = 3x - 2

Answer

f'(x) = 9x² - 2

Answer

f'(x) = 6x² - 2x

Question 60

Welche Aussage über die Ableitung einer konstanten Funktion ist richtig?

Accepted Answer

Die Ableitung einer konstanten Funktion ist immer null.

Answer

Die Ableitung einer konstanten Funktion ist die Konstante selbst.

Answer

Die Ableitung einer konstanten Funktion ist undefiniert.

Question 61

Die Funktion f(x) = sin(x) ist...

Accepted Answer

differenzierbar für alle reellen Zahlen.

Answer

nicht differenzierbar.

Answer

nur für positive x-Werte differenzierbar.

Answer

nur im Intervall [0, π] differenzierbar.

Question 62

Was ist die Ableitung der Funktion f(x) = e^x?

Accepted Answer

f'(x) = e^x

Answer

f'(x) = e^(x-1)

Answer

f'(x) = ln(x)

Answer

f'(x) = x*e^(x-1)

Question 63

Die Funktion f(x) = 1/x hat...

Accepted Answer

eine senkrechte Asymptote bei x = 0.

Answer

keine Nullstellen, aber einen Extrempunkt.

Answer

eine Nullstelle, aber keinen Extrempunkt.

Answer

eine Nullstelle und einen Extrempunkt.

Question 64

Die Kettenregel wird verwendet, um die Ableitung von ... zu berechnen.

Accepted Answer

zusammengesetzten Funktionen.

Answer

konstanten Funktionen.

Answer

quadratischen Funktionen.

Answer

linearen Funktionen.