Reihen: Konvergenztests, Taylorreihen und Anwendungen

Question 1

Wie berechnest du die Maclaurin-Reihe einer Funktion?

Accepted Answer

Bestimme die Ableitungen der Funktion, setze sie bei x=0 ein und bilde eine Potenzreihe.

Answer

Ermittle das Taylorpolynom n-ten Grades der Funktion.

Answer

Berechne den Konvergenzradius der Maclaurin-Reihe.

Answer

Integriere die Funktion und setze die Werte bei x=0 ein.

Question 2

Wie lautet die Konvergenz der Reihe 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...?

Accepted Answer

Konvergiert gegen 2

Answer

Divergiert

Answer

Konvergiert gegen 1

Answer

Konvergiert gegen unendlich

Question 3

Welche Aussage beschreibt Konvergenz korrekt?

Accepted Answer

Eine Reihe konvergiert, wenn ihr Grenzwert existiert und endlich ist.

Answer

Eine Reihe konvergiert, wenn ihre Glieder gegen Null streben.

Answer

Eine Reihe konvergiert, wenn sie nur endlich viele Glieder hat.

Answer

Eine Reihe konvergiert, wenn ihr Graph linear ist.

Question 4

Welcher Konvergenztest kann angewendet werden, um die Konvergenz der Reihe 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... zu bestimmen?

Accepted Answer

Quotientenkriterium

Answer

Cauchysches Konvergenzkriterium

Answer

Wurzelkriterium

Answer

Vergleichskriterium

Question 5

Bestimmen Sie die ersten drei Glieder der Taylorreihe von f(x) = 1/(1-x) um x = 0.

Accepted Answer

1 + x + x^2

Answer

1 - x - x^2

Answer

1 + 2x + 3x^2

Answer

1 - 2x - 3x^2

Question 6

Welche Aussage beschreibt die Verwendung von Reihen in der Grenzwertberechnung korrekt?

Accepted Answer

Reihen werden verwendet, um Grenzwerte von Funktionen zu berechnen.

Answer

Reihen werden verwendet, um Grenzwerte von Folgen zu berechnen.

Answer

Reihen werden verwendet, um Grenzwerte von Integralen zu berechnen.

Answer

Reihen werden verwendet, um Grenzwerte von Ableitungen zu berechnen.

Question 7

Berechnen Sie den Grenzwert von (1 + 1/n)^n für n gegen unendlich mit Hilfe einer Reihe.

Accepted Answer

e

Answer

0

Answer

1

Answer

unendlich

Question 8

Welche der folgenden Aussagen über die Konvergenz von Potenzreihen ist richtig?

Accepted Answer

Eine Potenzreihe mit einem Konvergenzradius r > 0 konvergiert absolut für alle x mit |x| < r.

Answer

Eine Potenzreihe mit einem Konvergenzradius r = 0 konvergiert für alle x.

Answer

Eine Potenzreihe mit einem Konvergenzradius r = ∞ konvergiert nur für x = 0.

Answer

Eine Potenzreihe konvergiert immer absolut für x = Konvergenzradius.

Question 9

Was ist der Konvergenzradius der Potenzreihe ∑_(n=0 bis ∞) x^n / n!

Accepted Answer

∞

Answer

0

Answer

1

Answer

π

Question 10

Welche Aussage beschreibt eine Taylorreihe korrekt?

Accepted Answer

Eine unendliche Polynomreihe, die eine Funktion in der Nähe eines Punktes annähert.

Answer

Eine Reihe, die immer gegen unendlich geht.

Answer

Eine Reihe, die für alle Funktionen definiert ist.

Answer

Eine Reihe, deren Koeffizienten sich aus Ableitungen der Funktion ergeben.

Question 11

Für welche Funktion ist die folgende Taylorreihe gültig: 1 + x + x^2 / 2! + x^3 / 3! + ... ?

Accepted Answer

e^x

Answer

sin(x)

Answer

ln(x)

Answer

cos(x)

Question 12

Welche Aussage zum Vergleichskriterium ist korrekt?

Accepted Answer

Wenn eine Reihe mit größeren Gliedern konvergiert, konvergiert auch die Reihe mit kleineren Gliedern.

Answer

Wenn eine Reihe mit kleineren Gliedern divergiert, divergiert auch die Reihe mit größeren Gliedern.

Answer

Wenn zwei Reihen die gleiche Summe haben, konvergieren sie beide.

Answer

Das Vergleichskriterium ist nur für Reihen mit positiven Gliedern anwendbar.

Question 13

Welcher Konvergenztest ist für alternierende Reihen geeignet?

Accepted Answer

Leibniz-Test

Answer

Cauchysches Folgekriterium

Answer

Wurzelkriterium

Answer

Quotientenkriterium

Question 14

Welcher Konvergenztest ist geeignet, um zu prüfen, ob die Reihe 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... konvergiert?

Accepted Answer

Quotientenkriterium

Answer

Wurzelkriterium

Answer

Integraltest

Answer

Vergleichstest

Question 15

Geben Sie die Taylorreihe an, die die Funktion f(x) = e^x beschreibt:

Accepted Answer

1 + x + x²/2! + x³/3! + ...

Answer

x - x²/2! + x³/3! - x⁴/4! + ...

Answer

1 + x/2! + x²/3! + x³/4! + ...

Answer

x - x³/2! + x⁵/3! - x⁷/4! + ...

Question 16

Welcher Konvergenztest eignet sich, um die Konvergenz der Reihe 1 + 1/√2 + 1/√3 + 1/√4 + ... zu untersuchen?

Accepted Answer

Wurzelkriterium

Answer

Quotientenkriterium

Answer

Integraltest

Answer

Vergleichstest

Question 17

Welche Aussage trifft zu?

Accepted Answer

Jede absolut konvergente Reihe ist auch konvergent.

Answer

Jede konvergente Reihe ist auch absolut konvergent.

Answer

Jede divergente Reihe ist auch absolut divergent.

Answer

Jede absolut divergente Reihe ist auch divergent.

Question 18

Welche der folgenden Reihen ist eine alternierende harmonische Reihe?

Accepted Answer

1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...

Answer

1 + 1/2 - 1/3 + 1/4 - ...

Answer

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...

Answer

1 - 1/2 - 1/3 - 1/4 - ...

Question 19

Welcher Integralsatz ermöglicht die Bestimmung einer Taylorreihe für eine Funktion?

Accepted Answer

Satz von Taylor

Answer

Newton-Leibniz-Formel

Answer

Mittelwertsatz der Integralrechnung

Answer

Cauchyscher Integralsatz

Question 20

Ermitteln Sie die Taylorreihe der Funktion $f(x) = sin(x)$ um den Entwicklungspunkt $x = 0$.

Accepted Answer

$sum_{n=0}^{infty} (-1)^n rac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

Answer

$sum_{n=0}^{infty} rac{x^{2n}}{2n!}$

Answer

$sum_{n=0}^{infty} x^n$

Answer

$sum_{n=0}^{infty} (-1)^n x^n$

Question 21

Welche der folgenden Reihen ist eine alternierende Reihe?

Accepted Answer

$sum_{n=1}^{infty} (-1)^n rac{n}{n+1}$

Answer

$sum_{n=1}^{infty} rac{1}{n}$

Answer

$sum_{n=1}^{infty} rac{n^2}{n+1}$

Answer

$sum_{n=1}^{infty} rac{sin(n)}{n}$

Question 22

Welches Kriterium ist ein hinreichendes Konvergenzkriterium für alternierende Reihen?

Accepted Answer

Das Grenzwertkriterium

Answer

Das Majorantenkriterium

Answer

Das Quotientenkriterium

Answer

Das Vergleichskriterium

Question 23

Welche der folgenden Reihen ist eine Taylorreihe?

Accepted Answer

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$

Answer

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n}$

Answer

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{n}$

Answer

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n^2}$

Question 24

Berechne die Taylorreihe der Funktion $f(x) = \sin(x)$ um den Punkt $x = 0$.

Accepted Answer

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

Answer

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$

Answer

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$

Answer

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{2^n}$

Question 25

Welche Aussage über Taylor-Reihen ist NICHT korrekt?

Accepted Answer

Sie konvergieren immer überall.

Answer

Sie stellen eine Funktion als unendliche Potenzreihe dar.

Answer

Sie können zur Approximation von Funktionen genutzt werden.

Answer

Sie sind eine spezielle Form einer Potenzreihe.

Question 26

Welche der folgenden Funktionen kann NICHT durch eine Taylor-Reihe um x = 0 approximiert werden?

Accepted Answer

sin(x) / x

Answer

e^x

Answer

ln(x)

Answer

x^2 + 1

Question 27

Welche Aussage über Taylor-Polynome ist korrekt?

Accepted Answer

Sie können zur Berechnung von Ableitungen einer Funktion verwendet werden.

Answer

Sie sind immer Näherungen für die Funktion in einem beliebigen Intervall.

Answer

Sie konvergieren immer zur Funktion.

Answer

Sie sind immer gleich der Funktion selbst.

Question 28

Welche niedrigste Ordnung muss eine Taylor-Reihe mindestens haben, um die Funktion f(x) = ln(x) um x = 1 zu approximieren?

Accepted Answer

2

Answer

1

Answer

3

Answer

4

Question 29

Welche der folgenden Reihen konvergiert nach dem Majorantenkriterium?

Accepted Answer

∑(k=1 bis unendlich) 1/k^2

Answer

∑(k=1 bis unendlich) 1/k

Answer

∑(k=1 bis unendlich) k^2

Answer

∑(k=1 bis unendlich) e^k

Question 30

Wie lautet die Taylorreihe der Exponentialfunktion e^x um x = 0?

Accepted Answer

∑(n=0 bis unendlich) x^n / n!

Answer

∑(n=1 bis unendlich) x^n / n

Answer

∑(n=0 bis unendlich) e^x / n!

Answer

∑(n=1 bis unendlich) e^x / n

Question 31

Welche der folgenden Reihen ist alternierend?

Accepted Answer

∑(k=1 bis unendlich) (-1)^k / k

Answer

∑(k=1 bis unendlich) 1/k

Answer

∑(k=1 bis unendlich) k

Answer

∑(k=1 bis unendlich) (-1)^k k

Question 32

Wie lautet die erste Ableitung der Taylorreihe des natürlichen Logarithmus ln(1+x) um x = 0?

Accepted Answer

1/(1+x)

Answer

1/x

Answer

(1+x)^2

Answer

ln(x)

Question 33

Wie lautet der Restterm der Taylorreihe des Cosinus um x = 0?

Accepted Answer

R_n(x) = cos(x) - ∑(k=0 bis n) (-1)^k x^(2k) / (2k)!

Answer

R_n(x) = cos(x) - ∑(k=1 bis n) x^(2k) / (2k)!

Answer

R_n(x) = x^(n+1) * cos(c) / (n+1)!

Answer

R_n(x) = x^(n+1) / (n+1)!

Question 34

Wie lautet die allgemeine Formel für die Taylorreihe einer Funktion f(x) um den Entwicklungspunkt a?

Accepted Answer

f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)²/2! + ...

Answer

f(x) = a + bx + cx² + ...

Answer

f(x) = ∫[f(t)]dt

Answer

f(x) = lim[f(x)]

Question 35

Welcher Grenzwert kann nicht mit einer Taylorreihe berechnet werden?

Accepted Answer

lim(x->∞) (1 + 1/x)^x

Answer

lim(x->0) (sin(x) - x)/x³

Answer

lim(x->1) (x² - 1)/(x - 1)

Answer

lim(x->0) (e^x - 1)/x

Question 36

Welcher der folgenden Konvergenztests prüft, ob die Differenz der Glieder einer Reihe gegen Null geht?

Accepted Answer

Cauchy-Folge-Test

Answer

Quotienten-Kriterium

Answer

Wurzel-Test

Answer

Vergleichstest

Question 37

Die Taylorreihe einer Funktion f(x) im Punkt a ist gegeben durch:

Accepted Answer

f(a) + f'(a)(x - a) + f''(a)(x - a)^2 / 2! + ...

Answer

f'(a) + f''(a)(x - a) + f'''(a)(x - a)^2 / 2! + ...

Answer

f(a) + f'(x) + f''(x^2) + ...

Answer

f(x) + f'(x) + f''(x^2) / 2! + ...

Question 38

Welche der folgenden Reihen ist eine alternierende Reihe?

Accepted Answer

Σ[n=1 bis unendlich] (-1)^(n-1) / n

Answer

Σ[n=1 bis unendlich] 1 / n^2

Answer

Σ[n=1 bis unendlich] n

Answer

Σ[n=1 bis unendlich] (n + 1) / 2^n

Question 39

Welche der folgenden Reihen ist eine geometrische Reihe?

Accepted Answer

Σ[n=1 bis unendlich] 2^n

Answer

Σ[n=1 bis unendlich] 1 / n^2

Answer

Σ[n=1 bis unendlich] (n + 1) / 2^n

Answer

Σ[n=1 bis unendlich] (-1)^(n-1) / n

Question 40

Welche der folgenden Reihen ist eine harmonische Reihe?

Accepted Answer

Σ[n=1 bis unendlich] 1 / n

Answer

Σ[n=1 bis unendlich] 1 / n^2

Answer

Σ[n=1 bis unendlich] (n + 1) / n^2

Answer

Σ[n=1 bis unendlich] (-1)^(n-1) / n

Question 41

Für welchen Wert von $$p$$ konvergiert die Reihe $$sum_{n=1}^infty rac{1}{n^p}$$?

Accepted Answer

$$p > 1$$

Answer

$$p ≥ 1$$

Answer

$$p < 1$$

Answer

$$p ≤ 1$$

Question 42

Welche Aussage über alternierende Reihen ist korrekt?

Accepted Answer

Sie konvergieren, wenn ihre Absolutreihe konvergiert.

Answer

Sie konvergieren immer.

Answer

Sie divergieren immer.

Answer

Sie divergieren, wenn ihre Absolutreihe konvergiert.

Question 43

Für welche Werte von $$x$$ konvergiert die Reihe $$sum_{n=1}^infty rac{x^n}{n!}$$?

Accepted Answer

für alle $$x$$

Answer

für $$x ≥ 0$$

Answer

für $$x ≤ 0$$

Answer

nur für $$x = 0$$

Question 44

Welche der folgenden Funktionen lässt sich nicht als Taylorreihe um den Punkt x = 0 entwickeln?

Accepted Answer

x^3 - 2x^2 + 1

Answer

e^x

Answer

sin(x)

Answer

cos(x)

Question 45

Welche der folgenden Reihen ist eine geometrische Reihe?

Accepted Answer

∑(n=1 bis unendlich) 2^n

Answer

∑(n=1 bis unendlich) n^2

Answer

∑(n=1 bis unendlich) 1 / n^2

Answer

∑(n=1 bis unendlich) n + 1

Question 46

Welche Taylorreihe stellt die Funktion f(x) = e^x dar?

Accepted Answer

(sum_{n=0}^infty (x^n) / (n!))

Answer

(sum_{n=0}^infty (x^n) / ((n+1)!))

Answer

(sum_{n=0}^infty x^n)

Answer

(sum_{n=0}^infty (x^(n+1)) / ((n+1)!))

Question 47

Welches Verfahren wird verwendet, um die Fehlergrenze für eine Taylorreihe zu bestimmen?

Accepted Answer

Restgliedabschätzung

Answer

Numerische Integration

Answer

Konvergenztests

Question 48

Welche Aussage über Taylorreihen ist korrekt?

Accepted Answer

Taylorreihen liefern eine lokale, nicht globale Approximation einer Funktion in der Umgebung eines Punktes.

Answer

Taylorreihen können nur für polynomiale Funktionen entwickelt werden.

Answer

Taylorreihen sind immer global konvergent.

Question 49

Welche der folgenden Funktionen ist nicht analytisch?

Accepted Answer

f(x) = begin{cases}x^2 sin(1/x) & x>0 \0 & x=0end{cases}

Answer

f(x) = cos(pi x)

Answer

f(x) = e^x sin(x)

Question 50

Welche Aussage über die Ableitung einer Taylorreihe ist korrekt?

Accepted Answer

Die Ableitung einer Taylorreihe ist die Taylorreihe der Ableitung der Funktion.

Answer

Die Ableitung einer Taylorreihe ist die Taylorreihe der Stammfunktion der Funktion.

Answer

Die Ableitung einer Taylorreihe ist die Taylorreihe der Funktion.

Question 51

Welche der folgenden Reihen ist divergent?

Accepted Answer

1 + 1 / 2 + 1 / 3 + 1 / 4 + ...

Answer

1 - 1 / 2 + 1 / 4 - 1 / 8 + ...

Answer

1 - 1 / 3 + 1 / 5 - 1 / 7 + ...

Answer

1 / 2 + 1 / 4 + 1 / 8 + 1 / 16 + ...

Question 52

Welche Aussage zur Taylorreihe einer Funktion f(x) ist korrekt?

Accepted Answer

Sie ist eine unendliche Potenzreihe, die f(x) lokal approximiert.

Answer

Sie ist nur für polynomiale Funktionen gültig.

Answer

Sie kann verwendet werden, um Funktionen zu integrieren.

Question 53

Welche der folgenden Funktionen kann nicht durch eine Taylorreihe approximiert werden?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = ln(x)

Question 54

Welche Methode kann zur Abschätzung der Summe einer alternierenden Reihe angewendet werden?

Accepted Answer

Alternating Series Estimation Theorem

Answer

Integraltest

Answer

Quotientenkriterium

Answer

Vergleichstest

Question 55

Welche Aussage über potenzielle Reihen ist korrekt?

Accepted Answer

Sie konvergieren nur für |x| < R.

Answer

Sie konvergieren immer.

Answer

Sie konvergieren nur für |x| > R.

Answer

Sie konvergieren nur für rationale x.

Question 56

Welcher Test kann verwendet werden, um zu überprüfen, ob eine Reihe, wie zum Beispiel 1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ..., alternierend ist?

Accepted Answer

Leibniz-Kriterium

Answer

Quotientenkriterium

Answer

Cauchy-Kriterium

Answer

Vergleichstest

Question 57

Welche Aussage über die Taylorreihe der Funktion f(x) = ln(x) im Punkt x = 1 ist korrekt?

Accepted Answer

Die Taylorreihe hat einen Konvergenzradius von 1.

Answer

Die Taylorreihe kann für alle x-Werte verwendet werden.

Answer

Die Taylorreihe ist ein Polynom zweiten Grades.

Answer

Die Taylorreihe enthält nur gerade Potenzen von x.

Question 58

Welcher Test kann verwendet werden, um zu überprüfen, ob die Reihe 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... absolut konvergiert?

Accepted Answer

Quotientenkriterium

Answer

Leibniz-Kriterium

Answer

Cauchy-Kriterium

Answer

Vergleichstest

Question 59

Welcher Konvergenztest kann verwendet werden, um zu überprüfen, ob die Reihe 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ... konvergiert?

Accepted Answer

Alternierendes Reihenkriterium

Answer

Vergleichstest

Answer

Divergenztest

Answer

Cauchy-Kriterium

Question 60

Welche Aussage über die Taylorreihe einer Funktion f(x) ist richtig?

Accepted Answer

Die Taylorreihe einer Funktion f(x) im Punkt x = a ist eine unendliche Reihe, die f(x) in einer Umgebung von x = a approximiert.

Answer

Die Taylorreihe einer Funktion f(x) im Punkt x = a ist eine endliche Reihe, die f(x) genau für x = a berechnet.

Question 61

Welcher der folgenden Ausdrücke ist die Taylorreihe der Funktion f(x) = cos(x) im Punkt x = 0?

Accepted Answer

1 - x²/2! + x⁴/4! - x⁶/6! + ...

Answer

x - x³/3! + x⁵/5! - x⁷/7! + ...

Answer

x + x³/3! + x⁵/5! + x⁷/7! + ...

Answer

1 + x²/2! + x⁴/4! + x⁶/6! + ...

Question 62

Welche der folgenden Aussagen über den Restterm der Taylorreihe ist richtig?

Accepted Answer

Der Restterm der Taylorreihe einer Funktion f(x) im Punkt x = a ist eine Funktion, die den Fehler zwischen f(x) und ihrer Taylorapproximation misst.

Answer

Der Restterm der Taylorreihe einer Funktion f(x) im Punkt x = a ist immer gleich Null.

Question 63

Welcher der folgenden Konvergenztests kann verwendet werden, um die Konvergenz der alternierenden harmonischen Reihe 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... zu bestimmen?

Accepted Answer

Leibniz-Kriterium

Answer

Majorantenkriterium

Answer

Cauchy-Kriterium

Answer

Wurzelkriterium

Question 64

Welche Aussage trifft auf die harmonische Reihe 1 + 1/2 + 1/3 + ... zu?

Accepted Answer

Die Reihe divergiert.

Answer

Die Reihe konvergiert.

Answer

Die Reihe ist alternierend.

Answer

Die Reihe konvergiert absolut.