Integrale verstehen und anwenden: Online-Quiz für Klasse 13

Question 1

Welche Integrationsregel ermöglicht es, Integrale von Polynomen zu bestimmen?

Accepted Answer

Potenzregel

Answer

Summen- und Differenzregel

Answer

Produktregel

Answer

Quotientenregel

Question 2

Berechnen Sie das Integral von ∫(x² + 1) * e^(x³ + x) dx mit der Substitutionsregel. Geben Sie die Stammfunktion an.

Accepted Answer

e^(x³ + x) + C

Answer

e^(x³ + x)

Answer

x³ + 1

Answer

ln(x² + 1)

Question 3

Welches Integral berechnet die Fläche unter der Kurve y = x² zwischen x = 0 und x = 2?

Accepted Answer

∫0² x² dx

Answer

∫2₀ x² dx

Answer

∫0² x dx

Answer

∫2₀ x dx

Question 4

Welches Integral ergibt eine Exponentialfunktion?

Accepted Answer

∫e^x dx

Answer

∫x e^x dx

Answer

∫(1/x) e^x dx

Answer

∫e^(x²) dx

Question 5

Welches der folgenden Integrale kann mithilfe der Integration durch Partialbruchzerlegung gelöst werden?

Accepted Answer

∫(x² + 1)/(x - 1) dx

Answer

∫e^x/(x + 1) dx

Answer

∫sin(x)/cos(x) dx

Answer

∫x/(x² + 1) dx

Question 6

Bestimme die Stammfunktion von f(x) = 2x + 3.

Accepted Answer

x² + 3x + C

Answer

x² + C

Answer

2x² + 3x + C

Answer

2x² + C

Question 7

Welches Integral ergibt die Fläche unterhalb der Funktion f(x) = x² zwischen den Punkten x = 0 und x = 2?

Accepted Answer

∫₀² x² dx

Answer

∫²₀ x² dx

Answer

∫(x² - 0²) dx

Answer

∫(2² - x²) dx

Question 8

Welche Funktion ist eine Stammfunktion von f(x) = cos(x)?

Accepted Answer

sin(x) + C

Answer

-sin(x) + C

Answer

cos(x) + C

Answer

-cos(x) + C

Question 9

Welche der folgenden Funktionen ist nicht integrierbar?

Accepted Answer

1/x

Answer

x²

Answer

sin(x)

Answer

e^x

Question 10

Wie wird das Integral von f(x) von x = a bis x = b notiert?

Accepted Answer

∫a^b f(x) dx

Answer

∫₀^b f(x) dx

Answer

∫f(x) dx von a bis b

Answer

∫b^a f(x) dx

Question 11

Bestimmen Sie die Stammfunktion von f(x) = x³ + 4x² - 2x + 1:

Accepted Answer

x⁴/4 + 4x³/3 - x² + x + C

Answer

x⁴ + 4x³ - x² + x + C

Answer

x⁵/5 + 4x⁴/4 - x³ + x² + C

Answer

x⁶/6 + 4x⁵/5 - x⁴ + x³ + C

Question 12

Welche Integrationsregel wird bei der Berechnung der Stammfunktion von f(x) = e^(2x) verwendet?

Accepted Answer

Kettenregel

Answer

Summenregel

Answer

Produktregel

Answer

Quotientenregel

Question 13

Welches Integral ist **uneigentlich**?

Accepted Answer

∫[0, ∞) e^(-x) dx

Answer

∫[1, 2] x³ dx

Answer

∫[-1, 1] |x| dx

Answer

∫[0, π] sin(x) dx

Question 14

Bestimmen Sie die Stammfunktion von f(x) = 1/(2x + 3):

Accepted Answer

1/2 * ln(|2x + 3|) + C

Answer

ln(|2x + 3|) + C

Answer

1/(2x + 3) + C

Answer

2/(2x + 3) + C

Question 15

Welche Integrationstechnik wird bei der Berechnung der Stammfunktion von f(x) = x * sin(x) angewendet?

Accepted Answer

Partielle Integration

Answer

Substitution

Answer

Trigonometrische Substitution

Answer

Integration durch partielle Brüche

Question 16

Welcher Satz wird verwendet, um die Konvergenz eines uneigentlichen Integrals zu testen?

Accepted Answer

Satz von Cauchy

Answer

Satz von Bolzano-Weierstraß

Answer

Satz von L'Hospital

Answer

Satz von Rolle

Question 17

Berechne die Fläche unter dem Graphen von f(x) = x² zwischen x = 0 und x = 2.

Accepted Answer

4/3

Answer

2/3

Answer

8/3

Answer

16/3

Question 18

Welche Eigenschaft uneigentlicher Integrale ist richtig?

Accepted Answer

Uneigentliche Integrale können divergieren.

Answer

Uneigentliche Integrale konvergieren immer.

Answer

Uneigentliche Integrale können nur mit beschränkten Integrationsgrenzen konvergieren.

Answer

Uneigentliche Integrale können nur divergieren, wenn die Integrandenfunktion unstetig ist.

Question 19

Welche Funktion ist die Stammfunktion von f(x) = 1/(x+1)?

Accepted Answer

ln(|x+1|) + C

Answer

ln(x+1) + C

Answer

1/(x+1) + C

Answer

(x+1) + C

Question 20

Welche Integrationsmethode wird zur Lösung von ∫e^(x²) dx verwendet?

Accepted Answer

Partielle Integration

Answer

Substitution

Answer

Integration durch Teile

Answer

Trigonometrische Substitution

Question 21

Welche Aussage über unbestimmte Integrale ist FALSCH?

Accepted Answer

Die Ableitung einer unbestimmten Stammfunktion ist immer die ursprüngliche Funktion.

Answer

Jede differenzierbare Funktion besitzt eine unbestimmte Stammfunktion.

Answer

Die unbestimmte Stammfunktion einer Funktion kann durch Hinzufügen einer Konstanten erhalten werden.

Answer

Unbestimmte Stammfunktionen können zur Lösung von Differentialgleichungen verwendet werden.

Question 22

Welches Verfahren eignet sich NICHT zur Bestimmung des Integrals von 1/(x^2 + 1)?

Accepted Answer

Cauchy-Riemannsche Gleichungen

Answer

Partielle Integration

Answer

Trigonometrische Substitution

Answer

Polarkoordinaten

Question 23

Welcher Satz ermöglicht die Berechnung von Integralen über unbeschränkte Intervalle?

Accepted Answer

Hauptsatz der Integralrechnung

Answer

Mittelwertsatz der Integralrechnung

Answer

Satz von Stokes

Answer

Satz von Gauß

Question 24

Die Funktion F(x) = ∫(1 + x²) dx ist die Stammfunktion von:

Accepted Answer

1 + x³

Answer

x + x³

Answer

1/2 + x³

Answer

x + x²

Question 25

Welches der folgenden Integrale ist ein uneigentliches Integral?

Accepted Answer

∫(1/x) dx

Answer

∫(x²) dx

Answer

∫(sin(x)) dx

Answer

Alle der genannten Integrale

Question 26

Welche Aussage über die Funktion f(x) = |x| ist richtig?

Accepted Answer

Stetig, aber nicht differenzierbar

Answer

Nicht stetig in x = 0

Answer

Nicht stetig und nicht differenzierbar

Answer

Stetig und differenzierbar

Question 27

Welche Funktion ist eine Stammfunktion von e^x?

Accepted Answer

e^x + C

Answer

e^x - C

Answer

x * e^x

Answer

x / e^x

Question 28

Welche Integrationsmethode ist am besten geeignet, um das Integral von ∫(sin(x) / cos(x)) dx zu berechnen?

Accepted Answer

Trigonometrische Substitution

Answer

Substitution

Answer

Partielle Integration

Answer

Integration durch Teile

Question 29

Welches Integral berechnet die Fläche unter der Kurve y = x² zwischen x = 0 und x = 2?

Accepted Answer

∫[0, 2] x² dx

Answer

∫[2, 0] x² dx

Answer

∫[0, 2] |x²| dx

Answer

∫[2, 0] |x²| dx

Question 30

Bestimmen Sie das Integral von ∫(sin(x) + 2x) dx

Accepted Answer

-cos(x) + x^2

Answer

sin(x) + 2x

Answer

-sin(x) - 2x

Answer

cos(x) - x^2

Question 31

Welche der folgenden Aussagen zur Integralrechnung ist richtig ?

Accepted Answer

Der Hauptsatz der Integralrechnung verbindet Integration und Differentiation

Answer

Integration ist der Prozess der Addition von Funktionen

Answer

Differentiation ist der Prozess der Subtraktion von Funktionen

Question 32

Welche Funktion ist die Ableitung des Integrals ∫(sin(x) + cos(x)) dx?

Accepted Answer

sin(x) + cos(x)

Answer

2sin(x) + 2cos(x)

Answer

-sin(x) - cos(x)

Answer

sin(x) - cos(x)

Question 33

Welche der folgenden Funktionen ist eine Stammfunktion von f(x) = e^x?

Accepted Answer

e^x + C

Answer

x * e^x + C

Answer

e^(-x) + C

Answer

1/e^x + C

Question 34

Welche Integrationsmethode wird zur Berechnung des Integrals ∫√x dx angewendet?

Accepted Answer

Substitution

Answer

Binomische Formel

Answer

Integration durch Teile

Answer

Partielle Integration

Question 35

Welche Aussage über uneigentliche Integrale ist korrekt?

Accepted Answer

Sie können konvergieren oder divergieren.

Answer

Sie sind immer positiv.

Answer

Sie konvergieren immer.

Answer

Sie divergieren immer.

Question 36

Welche der folgenden Funktionen ist eine Stammfunktion von f(x) = 2x + 1?

Accepted Answer

x² + x + C

Answer

(x + 1)² + C

Answer

x² - x + C

Answer

2x² + C

Question 37

Welche Integrationsregel wird angewendet, um das Integral von ∫(x³ + 2x) dx zu berechnen?

Accepted Answer

Summenregel

Answer

Produktregel

Answer

Quotientenregel

Answer

Kettenregel

Question 38

Welche der folgenden Funktionen ist nicht über alle reellen Zahlen integrierbar?

Accepted Answer

f(x) = 1/x

Answer

f(x) = x³

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Question 39

Welche der folgenden Anwendungen von Integralen ist in der Physik sehr häufig?

Accepted Answer

Berechnung von Arbeit

Answer

Berechnung von Wärmekapazitäten

Answer

Berechnung von Wahrscheinlichkeiten

Answer

Berechnung von Geschwindigkeiten

Question 40

Welche der folgenden Integrale berechnet die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion  *f(x) = x²*  und der x-Achse im Intervall von *x = 0* bis *x = 2*?

Accepted Answer

∫₀² x² dx

Answer

∫₁² x² dx

Answer

∫₀² (2 - x²) dx

Answer

∫₀¹ x² dx

Question 41

Welche Funktion ist die Stammfunktion von *f(x) = sin(x)*?

Accepted Answer

F(x) = -cos(x)

Answer

F(x) = cos(x)

Answer

F(x) = -sin(x)

Answer

F(x) = sin(x) + C (wobei C eine beliebige Konstante ist)

Question 42

Welche Integrationsregel wird bei der Berechnung des Integrals  *∫(x² + 3x) dx*  angewendet?

Accepted Answer

Summenregel

Answer

Partielle Integration

Answer

Produktregel

Answer

Kettenregel

Question 43

Wie groß ist die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion *f(x) = e^x* und der x-Achse im Intervall von *x = 0* bis *x = 1*?

Accepted Answer

e - 1

Answer

e + 1

Answer

1

Answer

e

Question 44

Welche der folgenden Aussagen über die Beziehung zwischen Ableitung und Stammfunktion ist korrekt?

Accepted Answer

Die Ableitung einer Stammfunktion ist die ursprüngliche Funktion.

Answer

Die Stammfunktion einer Funktion ist immer die Ableitung der ursprünglichen Funktion.

Answer

Eine Stammfunktion ist immer eindeutig.

Answer

Die Stammfunktion einer Ableitung ist die ursprüngliche Funktion.

Question 45

Welche Integrationsmethode wird zur Berechnung des Integrals  *∫x sin(x) dx*  angewendet?

Accepted Answer

Partielle Integration

Answer

Substitution

Answer

Summenregel

Answer

Produktregel

Question 46

Was ist der Wert des bestimmten Integrals  *∫₁² (x + 1) dx*?

Accepted Answer

5/2

Answer

3

Answer

2

Answer

1

Question 47

Bestimmen Sie die Stammfunktion von $f(x) = 3x^2 + 2x$.

Accepted Answer

$F(x) = x^3 + x^2 + C$

Answer

$F(x) = 3x^3 + 2x^2 + C$

Answer

$F(x) = 6x + 2 + C$

Answer

$F(x) = x^3$

Question 48

Berechnen Sie das bestimmte Integral $int_{-1}^{2} (x^2 - 3x + 1) dx$.

Accepted Answer

$rac{-1}{2}$

Answer

$1$

Answer

$-2$

Answer

$3$

Question 49

Bestimmen Sie die Fläche, die von der Kurve $y = x^3$, der x-Achse und den Geraden $x = 0$ und $x = 2$ begrenzt wird.

Accepted Answer

$rac{32}{5}$

Answer

$8$

Answer

$rac{16}{5}$

Answer

$4$

Question 50

Welches Integral repräsentiert das Volumen des Körpers, der entsteht, wenn die Fläche zwischen der Kurve $y = x^2 + 1$, der x-Achse und der Gerade $x = 3$ um die y-Achse rotiert?

Accepted Answer

$pi int_{0}^{3} (x^2 + 1)^2 dx$

Answer

$2pi int_{0}^{3} x^2 + 1 dx$

Answer

$2pi int_{0}^{3} (x^2 + 1) dx$

Answer

$pi int_{0}^{3} x^4 + 2x^2 + 1 dx$

Question 51

Was ist das Ergebnis der folgenden Integration durch Substitution: $int_{0}^{1} x(x^2 + 1)^3 dx$?

Accepted Answer

$rac{1}{5}$

Answer

$rac{1}{4}$

Answer

$rac{2}{5}$

Question 52

Berechnen Sie $int rac{2x}{x^2 - 1} dx$.

Accepted Answer

$ln|x^2 - 1| + C$

Answer

$rac{x^2}{2} - ln|x^2 - 1| + C$

Answer

$-2ln|x^2 - 1| + C$

Answer

$rac{1}{2}ln|x^2 - 1| + C$

Question 53

Ein Wassertank hat die Form eines Zylinders mit dem Radius $r = 2$ m und der Höhe $h = 5$ m. Mit welcher Kraft wirkt das Wasser auf den Boden des Tanks?

Accepted Answer

$rho g pi r^2 h$

Answer

$rho g rac{1}{2} pi r^2 h$

Answer

$2 rho g pi r^2 h$

Answer

$rho g rac{1}{3} pi r^2 h$

Question 54

Was ist die partielle Integration von $int x e^x dx$?

Accepted Answer

$xe^x - e^x + C$

Answer

$rac{x^2}{2} e^x + C$

Answer

$x e^x + e^x + C$

Answer

$-xe^x + e^x + C$

Question 55

Bestimmen Sie den Wert des Integrals $int_{0}^{infty} e^{-2x} dx$.

Accepted Answer

$rac{1}{2}$

Answer

$0$

Answer

$infty$

Answer

$1$

Question 56

Welche Aussage über die Ableitung einer Funktion ist falsch?

Accepted Answer

Die Ableitung einer konstanten Funktion ist immer $0$.

Answer

Die Ableitung einer Funktion ist die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion.

Answer

Die Ableitung einer Funktion gibt die Änderungsrate der Funktion an.

Question 57

Bestimmen Sie die Stammfunktion F(x) von f(x) = 3x² + 2x - 1.

Accepted Answer

F(x) = x³ + x² - x + C

Answer

F(x) = 6x + 2 + C

Answer

F(x) = x³ + x² + C

Answer

F(x) = 3x³ + 2x² - x + C

Question 58

Welches Integral berechnet den Flächeninhalt zwischen dem Graphen von f(x) = x² und der x-Achse im Intervall [0, 2]?

Accepted Answer

∫₀² x² dx

Answer

∫₀¹ x² dx

Answer

∫₀² (x² + 1) dx

Answer

∫₁² x² dx

Question 59

Berechnen Sie das bestimmte Integral ∫₁³ (2x + 1) dx.

Accepted Answer

12

Answer

8

Answer

10

Answer

14

Question 60

Die Funktion f(x) = x³ - 6x² + 9x hat im Intervall [0, 3] zwei Nullstellen. Welches Integral berechnet die Fläche zwischen dem Graphen von f(x) und der x-Achse in diesem Intervall?

Accepted Answer

∫₀¹ (x³ - 6x² + 9x) dx - ∫₁³ (x³ - 6x² + 9x) dx

Answer

∫₀³ (x³ - 6x² + 9x) dx

Answer

∫₁³ (x³ - 6x² + 9x) dx - ∫₀¹ (x³ - 6x² + 9x) dx

Answer

∫₀¹ (x³ - 6x² + 9x) dx + ∫₁³ (x³ - 6x² + 9x) dx

Question 61

Bestimmen Sie die Stammfunktion von f(x) = e^(2x).

Accepted Answer

F(x) = 1/2 * e^(2x) + C

Answer

F(x) = 2 * e^(2x) + C

Answer

F(x) = e^(x^2) + C

Answer

F(x) = e^(2x) + C

Question 62

Welches Integrationsverfahren ist am besten geeignet, um das Integral ∫x * sin(x) dx zu lösen?

Accepted Answer

Partielle Integration

Answer

Direkte Integration

Answer

Partialbruchzerlegung

Answer

Substitution

Question 63

Was ist der Wert des uneigentlichen Integrals ∫₁^∞ (1/x²) dx?

Accepted Answer

1

Answer

-1

Answer

0

Answer

∞

Question 64

Die Funktion f(x) = x² + 2x - 3 beschreibt den Gewinn eines Unternehmens in Abhängigkeit der produzierten Einheiten x. Welches Integral berechnet den Gesamtgewinn bei einer Produktion zwischen 1 und 5 Einheiten?

Accepted Answer

∫₁⁵ (x² + 2x - 3) dx

Answer

∫₀⁵ (x² + 2x - 3) dx

Answer

∫₁⁵ (2x + 2) dx

Answer

f(5) - f(1)