Folgen und Reihen: Online-Quiz für Klasse 13 Gesamtschule

Question 1

Untersuchen Sie die Konvergenz der Reihe $$sum_{n=1}^infty (-1)^n rac{1}{n^2}$$.

Accepted Answer

Konvergent nach dem Alternativenreihenkriterium

Answer

Konvergent nach dem Majorantenkriterium

Answer

Divergent nach dem Absolutgliedkriterium

Answer

Divergent nach dem Quotientenkriterium

Question 2

Ein Würfel wird n-mal geworfen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine gerade Zahl zu würfeln.

Accepted Answer

1 - (1/2)^n

Answer

(1/2)^n

Question 3

Nennen Sie ein Beispiel für eine Folge $(a_n)_{n∈mathbb{N}}$, die eine Cauchy-Folge ist, aber nicht konvergiert. Erklären Sie Ihre Antwort.

Accepted Answer

Die Folge $(a_n) = (rac{(-1)^n}{n})_{n∈mathbb{N}}$ ist eine Cauchy-Folge, aber nicht konvergent.

Answer

Die Folge $(a_n) = (1 + rac{1}{n})_{n∈mathbb{N}}$ ist eine Cauchy-Folge und konvergiert gegen 2.

Answer

Die Folge $(a_n) = (n)_{n∈mathbb{N}}$ ist eine Cauchy-Folge und konvergiert gegen ∞.

Answer

Die Folge $(a_n) = (sin(n))_{n∈mathbb{N}}$ ist eine Cauchy-Folge und konvergiert gegen 0.

Question 4

Kann eine Reihe, die konditional konvergiert, aber divergent ist, absolut konvergent sein?

Accepted Answer

Nein, eine konditional konvergente Reihe kann nicht absolut konvergent sein.

Answer

Ja, eine konditional konvergente Reihe kann absolut konvergent sein.

Question 5

Überprüft, ob die Reihe $$sum_{n=1}^infty rac{n}{n^2 + 1}$$ nach dem Cauchy-Schwarzschen Prinzip konvergiert.

Accepted Answer

Die Reihe konvergiert, da die Folge der Absolutbeträge der Summanden beschränkt ist.

Answer

Die Reihe divergiert, da die Folge der Summanden nicht gegen 0 konvergiert.

Answer

Die Reihe konvergiert, da die Folge der Summanden gegen 0 konvergiert.

Answer

Die Reihe divergiert, da die Folge der Absolutbeträge der Summanden nicht beschränkt ist.

Question 6

Beweisen Sie, dass die Folge $$a_n=\frac{n+1}{n}$$ streng monoton wachsend ist.

Accepted Answer

Zeigen Sie für alle natürlichen Zahlen n: $$a_{n+1} > a_n$$.

Answer

Berechnen Sie den Grenzwert von $$a_n$$.

Answer

Zeigen Sie, dass $$a_n$$ für alle natürlichen Zahlen n beschränkt ist.

Answer

Zeigen Sie, dass $$a_n$$ eine Cauchy-Folge ist.

Question 7

Was ist die Fourier-Reihe und wie wird sie genutzt, um periodische Funktionen darzustellen? Nenne ein Beispiel für ihre praktische Anwendung.

Accepted Answer

Die Fourier-Reihe zerlegt eine periodische Funktion in eine Summe von Sinus- und Kosinusfunktionen mit unterschiedlichen Frequenzen und Amplituden. Sie findet Anwendung in der Signalverarbeitung und Akustik, etwa bei der Klanganalyse und -synthese.

Answer

Die Fourier-Reihe kann nicht-periodische Funktionen darstellen.

Answer

Die Fourier-Reihe kann auch Funktionen mit unendlicher Periode darstellen.

Answer

Die Fourier-Reihe hat keine praktischen Anwendungen.

Question 8

Ist die Reihe  $$∑_{n=1}^∞ \frac{(-1)^n}{n (n + 1) (n + 2)}$$  konvergent oder divergent? Wende das alternierende Reihenkriterium an.

Accepted Answer

Die Reihe ist konvergent nach dem alternierenden Reihenkriterium.

Answer

Die Reihe ist konvergent, weil die Folgenglieder konvergieren.

Answer

Die Reihe ist divergent nach dem alternierenden Reihenkriterium.

Answer

Die Reihe ist divergent, weil die Folgenglieder nicht konvergieren.

Question 9

Berechnen Sie den Grenzwert von $$lim_{x 	o ∞} rac{x^2 - 2x + 1}{x^3 - 3x^2 + 2x}$$.

Accepted Answer

0

Answer

1

Answer

∞

Answer

-∞

Question 10

Überprüfen Sie, ob die folgende Reihe nach dem Majorantenkriterium konvergiert:
$$sum_{n=1}^∞ \frac{(n+1)(n+2)}{3n^2 + 5n + 2}$$

Accepted Answer

Ja, die Reihe konvergiert.

Answer

Nein, die Reihe divergiert.

Answer

Die Reihe konvergiert nach einem anderen Konvergenzkriterium.

Answer

Die Reihe divergiert nach einem anderen Konvergenzkriterium.

Question 11

Untersuchen Sie die Konvergenz der Reihe $$sum_{n=1}^∞ rac{n + sin(n)}{e^n n^2}$$.

Accepted Answer

Die Reihe konvergiert gegen 0.

Answer

Die Reihe divergiert gegen ∞.

Answer

Die Reihe ist bedingt konvergent.

Answer

Die Konvergenz der Reihe kann anhand der gegebenen Kriterien nicht bestimmt werden.

Question 12

Ermitteln Sie die Summe der alternierenden harmonischen Reihe $$sum_{n=1}^∞ rac{(-1)^n}{2n + 1}$$ und begründen Sie Ihre Antwort unter Verwendung des alternierenden Reihenkriteriums.

Accepted Answer

$$rac{1}{2}$$

Answer

$$rac{1}{4}$$

Answer

$$rac{1}{8}$$

Answer

Die Reihe divergiert.

Question 13

Überprüfe die Konvergenz der Doppelreihe ∑∑(1/(m²+n²)).

Accepted Answer

Konvergent

Answer

Divergent

Answer

Semi-konvergent

Answer

Unbestimmt

Question 14

Welcher Satz beschreibt den Konvergenztest für alternierende Reihen korrekt?

Accepted Answer

Er ist eine Spezialform des Majorantenkriteriums.

Answer

Er gilt nur für Reihen mit positiven Folgengliedern.

Answer

Er besagt, dass eine alternierende Reihe immer konvergiert.

Answer

Er impliziert, dass eine konvergente alternierende Reihe auch absolut konvergiert.

Question 15

Welche Aussage über das Leibniz-Kriterium für alternierende Reihen ist richtig?

Accepted Answer

Alternierende Reihen mit alternierenden Vorzeichen und fallenden Beträgen konvergieren.

Answer

Alternierende Reihen mit wachsenden Beträgen konvergieren.

Answer

Alternierende Reihen mit beschränkten Beträgen konvergieren.

Answer

Alternierende Reihen mit konstantem Betrag konvergieren.

Question 16

Bestimmen Sie die Summe der Reihe ∑(n=1 bis ∞) (1/3)^n.

Accepted Answer

2/3

Answer

1/2

Answer

3/4

Answer

unendlich

Question 17

Welche der folgenden Aussagen über die Cauchy-Folge ist falsch?

Accepted Answer

In ℚ muss eine Cauchy-Folge nicht konvergent sein.

Answer

Eine Cauchy-Folge ist immer beschränkt.

Answer

Eine konvergente Folge ist immer eine Cauchy-Folge.

Answer

In ℝ ist jede Cauchy-Folge konvergent.

Question 18

Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe ∑(n=0 bis ∞) (x - 2)^n / n!

Accepted Answer

2

Answer

0

Answer

1

Answer

unbestimmt

Question 19

Welche der folgenden Funktionen ist eine stetige Fortsetzung der Reihe ∑(n=0 bis ∞) x^n / n für |x| < 1?

Accepted Answer

(1 - x)^-1

Answer

ln(1 + x)

Answer

e^x - 1

Answer

(1 + x)/(1 - x)

Question 20

Ermitteln Sie die Taylor-Reihe zweiter Ordnung für die Funktion f(x) = cos(x) um x = 0.

Accepted Answer

1 + x - x^2/2

Answer

1 - x^2/2

Answer

1 - x + x^2/2

Answer

1 + x^2/2

Question 21

Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge (a_n = \frac{n^2 + 1}{n}).

Accepted Answer

1

Answer

∞

Answer

0

Answer

-∞

Question 22

Welche der folgenden Reihen ist absolut konvergent?

Accepted Answer

Σ (1/n²)

Answer

Σ (-1)^n * (1/n)

Answer

Σ (-1)^n * (1/n)

Answer

Σ (1/n)

Question 23

Untersuchen Sie die Konvergenz oder Divergenz der Folge **(a_n) = (-1)^n**.

Accepted Answer

Divergent

Answer

Konvergent gegen -1

Answer

Konvergent gegen 1

Answer

Konvergent gegen 0

Question 24

Berechnen Sie das **Cauchy-Produkt** der Reihen ∑(n=1 bis ∞) **x^n** und ∑(n=1 bis ∞) **y^n**.

Accepted Answer

∑(n=1 bis ∞) **x^n y^n**

Answer

∑(n=1 bis ∞) **(x+y)^n**

Answer

∑(n=1 bis ∞) **(x-y)^n**

Answer

∑(n=1 bis ∞) **xy^n**

Question 25

Welche der folgenden Reihen ist konvergent?

Accepted Answer

\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}

Answer

\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{n+1}

Answer

\sum_{n=1}^\infty n^2

Question 26

Welche der folgenden Reihen ist eine geometrische Reihe?

Accepted Answer

\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n}

Answer

\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}

Question 27

Welche der folgenden Reihen ist eine harmonische Reihe?

Accepted Answer

\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}

Answer

\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}

Question 28

Welche Aussage über die Reihe (1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \ldots) ist korrekt?

Accepted Answer

Sie ist konvergent.

Answer

Sie ist eine geometrische Reihe.

Question 29

Welche der folgenden Reihen ist eine teleskopische Reihe?

Accepted Answer

\sum_{n=1}^\infty (n+1) - n

Answer

\sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{n+1}

Question 30

Die Folge $a_n = \frac{n!}{n^n}$ ist:

Accepted Answer

konvergent gegen 0

Answer

divergent gegen unendlich

Answer

konvergent gegen 1

Answer

oszillierend

Question 31

Welche der folgenden Folgen ist konvergent?

Accepted Answer

a_n = 1/n

Answer

a_n = n^2

Answer

a_n = e^n

Answer

a_n = sin(n)

Question 32

Welcher Grenzwert ergibt sich für die Folge a_n = (n+1)/(n-1)?

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

-1

Answer

Unendlich

Question 33

Welche der folgenden Reihen ist eine geometrische Reihe?

Accepted Answer

a_n = 2^n

Answer

a_n = e^n

Answer

a_n = 1/n^2

Answer

a_n = n!

Question 34

Welche der folgenden Anwendungen von Reihen wird in der Berechnung von π verwendet?

Accepted Answer

Taylor-Reihe

Answer

Fourier-Reihe

Answer

Fibonacci-Folge

Answer

Cauchy-Folge

Question 35

Welche der folgenden Folgen ist eine Cauchy-Folge?

Accepted Answer

a_n = 1/n

Answer

a_n = sin(n)

Answer

a_n = n^2

Answer

a_n = e^n

Question 36

Untersuche die Konvergenz der Reihe ( sum_{n=1}^infty 1/n^2 ).

Accepted Answer

Konvergent

Answer

Divergent

Answer

Bedingt konvergent

Answer

Alternierend

Question 37

Berechne den Grenzwert der alternierenden Reihe ( sum_{n=1}^infty (-1)^n cdot 1/n ).

Accepted Answer

ln(2)

Answer

1

Answer

0

Answer

-ln(2)

Question 38

Berechne das n-te Glied der arithmetischen Folge, deren erstes Glied (a_1 = 5) und Differenz (d = 3) ist.

Accepted Answer

(a_n = 5 + 3(n-1) )

Answer

(a_n = 5 + 3n )

Answer

(a_n = 3 + 5(n-1) )

Question 39

Welche Aussage über die Folge (a_n) = 1/n² beschreibt die Konvergenz korrekt?

Accepted Answer

Sie konvergiert gegen 0.

Answer

Sie divergiert gegen unendlich.

Answer

Sie ist beschränkt.

Answer

Sie ist monoton fallend.

Question 40

Welche Bedingung muss für die Konvergenz der geometrischen Reihe ∑(n=0 bis ∞) a^n erfüllt sein?

Accepted Answer

a < 1

Answer

a > 1

Answer

a = 1

Answer

a = 0

Question 41

Welche der folgenden Reihen ist eine alternierende Reihe?

Accepted Answer

∑(n=1 bis ∞) (-1)^(n-1) / n

Answer

∑(n=1 bis ∞) n

Answer

∑(n=1 bis ∞) 1/n²

Answer

∑(n=1 bis ∞) 1 / n

Question 42

Welches Verfahren kann zur Bestimmung der Konvergenz einer alternierenden Reihe verwendet werden?

Accepted Answer

Das Leibniz-Kriterium

Answer

Das Majorantenkriterium

Question 43

Wie lautet die Taylor-Reihe von f(x) = e^x um x = 0?

Accepted Answer

∑(n=0 bis ∞) (x^n / n!)

Answer

∑(n=1 bis ∞) (x^(n-1) / n)

Answer

∑(n=0 bis ∞) (x^n)

Answer

∑(n=1 bis ∞) (x^n / n)

Question 44

Welches der folgenden Verfahren wird zur Integration einer Potenzreihe verwendet?

Accepted Answer

Integration gliedweise

Answer

Partielle Integration

Answer

Substitution

Question 45

Welche Aussage zur geometrischen Reihe ( sum_{n=1}^infty ar^n ) ist korrekt?

Accepted Answer

Sie konvergiert genau dann, wenn ( |r| < 1 ).

Answer

Sie konvergiert genau dann, wenn ( |r| > 1 ).

Answer

Sie divergiert genau dann, wenn ( |r| > 1 ).

Answer

Sie divergiert genau dann, wenn ( |r| < 1 ).

Question 46

Welcher Ausdruck ist die Grenzwertdefinition der Folge (a_n)?

Accepted Answer

Für jedes beliebige $epsilon > 0$ gibt es eine natürliche Zahl $N > 0$, sodass für alle $n > N$ gilt: $|a_n - L| < epsilon$.

Answer

Es gibt eine natürliche Zahl $N > 0$, sodass für alle $n > N$ gilt: $a_n = L$.

Question 47

Welche Aussage trifft auf eine konvergente Folge $a_n$ zu?

Accepted Answer

Für jedes $epsilon > 0$ existiert ein Index $N$, sodass $|a_n - L| < epsilon$ für alle $n > N$.

Answer

Der Grenzwert der Folge ist gleich dem ersten Folgenglied.

Answer

Die Folge $a_n$ ist beschränkt.

Question 48

Welche der folgenden Reihen ist konvergent?

Accepted Answer

$sumlimits_{n=1}^infty rac{1}{n^2}$

Answer

$sumlimits_{n=1}^infty n^2$

Answer

$sumlimits_{n=1}^infty n$

Answer

$sumlimits_{n=1}^infty rac{1}{n}$

Question 49

Welche Aussage über die geometrische Reihe ist korrekt?

Accepted Answer

Die Reihe konvergiert genau dann, wenn $|q| < 1$.

Answer

Die Reihe konvergiert genau dann, wenn $|q| > 1$.

Answer

Die Reihe divergiert immer.

Answer

Die Reihe konvergiert immer.

Question 50

Welche der folgenden Reihen ist eine alternierende Reihe?

Accepted Answer

$sumlimits_{n=1}^infty (-1)^n rac{1}{n}$

Answer

$sumlimits_{n=1}^infty n^2$

Answer

$sumlimits_{n=1}^infty rac{1}{n^2}$

Question 51

Welcher Test kann verwendet werden, um die Konvergenz einer alternierenden Reihe zu überprüfen?

Accepted Answer

Leibniz-Test

Answer

Wurzeltest

Answer

Vergleichstest

Answer

Quotientenkriterium

Question 52

Was ist die Definition der Taylor-Reihe?

Accepted Answer

Eine Potenzreihe, die eine Funktion in der Umgebung eines Punktes approximiert.

Answer

Eine Reihe, die immer konvergiert.

Answer

Eine Reihe, die nur für Polynomfunktionen verwendet werden kann.

Question 53

Welche Aussage über Potenzreihen ist falsch?

Accepted Answer

Potenzreihen konvergieren immer für alle Werte von $x$.

Answer

Potenzreihen sind Summen aus unendlich vielen Termen.

Answer

Potenzreihen können eine Funktion in ihrem Konvergenzbereich darstellen.

Answer

Potenzreihen haben einen Konvergenzradius.

Question 54

Gegen welchen Wert konvergiert die Folge $a_n = (2 + rac{1}{n})^{rac{1}{n}}$?

Accepted Answer

e

Answer

0

Answer

$infty$

Answer

2

Question 55

Wie lautet die Summe der geometrischen Reihe $sumlimits_{n=1}^infty rac{1}{2^{n-1}}$?

Accepted Answer

2

Answer

1/2

Answer

-1

Answer

1

Question 56

Welche der folgenden Folgen ist **konvergent** gegen **0**?

Accepted Answer

a_n = 1/n

Answer

a_n = n^2

Answer

a_n = n

Answer

a_n = (-1)^n

Question 57

Welche der folgenden Reihen ist **divergent**?

Accepted Answer

1 + 2 + 3 + 4 + ...

Answer

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...

Answer

1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + ...

Answer

1 - 1 + 1 - 1 + ...

Question 58

Welches ist der **Grenzwert** der Folge a_n = (n^2 + 1) / (n^2 - 1)?

Accepted Answer

1

Answer

-1

Answer

∞

Answer

0

Question 59

Welche der folgenden Reihen ist **konvergent**?

Accepted Answer

∑_(n=1)^∞ (1/2)^n

Answer

∑_(n=1)^∞ (-1)^n

Answer

∑_(n=1)^∞ n

Answer

∑_(n=1)^∞ n^2

Question 60

Welches ist der **Grenzwert** der Reihe ∑_(n=1)^∞ (1/3)^n?

Accepted Answer

1/2

Answer

1

Answer

∞

Answer

0

Question 61

Welche der folgenden Aussagen über die **harmonische Reihe** ∑_(n=1)^∞ 1/n ist **richtig**?

Accepted Answer

Die harmonische Reihe ist divergent.

Answer

Die harmonische Reihe hat den Grenzwert 1.

Answer

Die harmonische Reihe ist eine geometrische Reihe.

Answer

Die harmonische Reihe ist konvergent.

Question 62

Die **Taylor-Reihe** der Funktion f(x) = e^x um den Punkt x = 0 ist:

Accepted Answer

∑_(n=0)^∞ x^n/n!

Answer

∑_(n=0)^∞ x^(2n)/n!

Answer

∑_(n=0)^∞ x^n

Answer

∑_(n=0)^∞ (-1)^n x^n/n!

Question 63

Welche der folgenden Funktionen kann **nicht** durch eine Potenzreihe dargestellt werden?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = cos(x)

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = sin(x)

Question 64

Welches ist der **Konvergenzradius** der Potenzreihe ∑_(n=0)^∞ (x/2)^n?

Accepted Answer

2

Answer

∞

Answer

1

Answer

0