Funktionen in der Analysis: Interaktive Lernquizze für Klasse 12

Question 1

Was ist der Grenzwert einer Funktion f(x) an einem Punkt a? Erläutere seine Eigenschaften und verdeutliche seine Bedeutung anhand eines praktischen Beispiels.

Accepted Answer

Der Grenzwert von f(x) an a ist L, wenn sich f(x) für x-Werte nahe a beliebig nahe an L annähert, außer wenn x = a. Wir schreiben: lim_(x->a) f(x) = L.

Answer

Der Grenzwert von f(x) an a ist der Wert von f(x) an der Stelle x = a.

Answer

Der Grenzwert von f(x) an a ist ein Wert, der größer ist als jeder Funktionswert von f(x) in einer Umgebung von a.

Answer

Der Grenzwert von f(x) an a ist immer eine rationale Zahl.

Question 2

Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit eine Funktion f(x) am Punkt x₀ stetig ist?

Accepted Answer

f(x₀) ist gleich dem Grenzwert von f(x) für x gegen x₀.

Answer

f(x₀) existiert.

Answer

f(x₀) ist in einer Umgebung von x₀ stetig.

Answer

Die Ableitung von f(x) existiert an x₀.

Question 3

Welche Aussage trifft auf die Stetigkeit einer Funktion f(x) an der Stelle x0 zu?

Accepted Answer

Der Grenzwert der Funktion für x gegen x0 existiert und ist gleich f(x0).

Answer

Die Funktion ist an der Stelle x0 definiert.

Answer

Die Funktion ist im Intervall um x0 streng monoton.

Answer

Die Ableitung der Funktion existiert an der Stelle x0.

Question 4

Welche Integralgleichung beschreibt den Flächeninhalt unter der Kurve f(x) = x^2 auf dem Intervall [0, 2]?

Accepted Answer

∫[0,2] x^2 dx

Answer

∫[2,0] x^2 dx

Answer

∫[0,2] (x^2)^2 dx

Answer

∫[2,0] (x^2)^2 dx

Question 5

Welche Funktion ist eine Stammfunktion von f(x) = 1/(1+x)?

Accepted Answer

ln(1+x)

Answer

log(1+x)

Answer

(1+x)/2

Answer

x/(1+x)

Question 6

Welche Funktion ist an der Stelle **x = 0** nicht definiert?

Accepted Answer

f(x) = 1/x

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = sin(x)

Question 7

Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion g(x) = (x³ - 2x) * (x² + 1) unter Verwendung der Produktregel.

Accepted Answer

g'(x) = (3x² - 2) * (x² + 1) + (x³ - 2x) * (2x)

Answer

g'(x) = x³ - 2x + x² + 1

Answer

g'(x) = 3x² + 2

Question 8

Ein Grenzwert einer Funktion existiert, wenn die Funktionswerte:

Accepted Answer

gegen eine bestimmte Zahl konvergieren, wenn sich der Eingabewert der Funktion einer bestimmten Zahl nähert

Answer

unendlich groß werden, wenn sich der Eingabewert der Funktion einer bestimmten Zahl nähert

Answer

für alle Eingabewerte gleich sind

Answer

nur existieren, wenn die Funktion an der betreffenden Stelle stetig ist

Question 9

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 0 nicht stetig?

Accepted Answer

f(x) = 1 / x

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x^2 - 1

Answer

f(x) = (x - 1) / (x^2 - 1)

Question 10

Welche der folgenden Bedingungen ist notwendig, damit eine Funktion in einem Intervall monoton fallend ist?

Accepted Answer

Die erste Ableitung ist negativ.

Answer

Die erste Ableitung ist positiv.

Answer

Die zweite Ableitung ist positiv.

Answer

Die zweite Ableitung ist negativ.

Question 11

Die Stammfunktion der Funktion f(x) = cos(x) + e^x ist:

Accepted Answer

sin(x) + e^x + C

Answer

sin(x) - e^x + C

Answer

e^x / cos(x) + C

Answer

cos(x) / e^x + C

Question 12

Um die Steigung der Tangente an die Funktion f(x) im Punkt (a | f(a)) zu berechnen, bestimmen wir den Grenzwert von:

Accepted Answer

( f(x) - f(a) ) / ( x - a ) für x gegen a

Answer

( f(a) - f(x) ) / ( x - a ) für x gegen a

Answer

f(x) / x für x gegen a

Answer

( f(x) - f(a) ) / ( a - x ) für x gegen a

Question 13

Was ist der Differentialquotient und wie wird er geometrisch dargestellt?

Accepted Answer

Die Steigung der Tangente an den Funktionsgraphen an einem bestimmten Punkt

Answer

Die Krümmung des Funktionsgraphen an einem bestimmten Punkt

Answer

Die Gesamtänderung der Funktion über ein Intervall

Question 14

Beweisen Sie mithilfe der ε-δ-Definition des Grenzwertes, dass der Grenzwert von f(x) = x³ für x gegen 2 gleich 8 ist.

Accepted Answer

Für jedes beliebige ε > 0 gibt es ein δ > 0, sodass für alle x mit |x - 2| < δ gilt: |f(x) - 8| < ε.

Answer

Für alle x gilt: |f(x) - 8| = |x³ - 8| ≥ |x - 2|. Daher existiert kein Grenzwert von f(x) für x gegen 2.

Answer

Der Grenzwert von f(x) = x³ für x gegen 2 ist 2, da f(2) = 2 ist.

Answer

Der Grenzwert von f(x) = x³ für x gegen 2 existiert nicht, da die Funktion an der Stelle x = 2 nicht stetig ist.

Question 15

Berechnen Sie den Grenzwert von f(x) = (x^2 - 1) / (x - 1) für x gegen 1.

Accepted Answer

0

Answer

1

Answer

Unendlich

Answer

Nicht existent

Question 16

Was bedeutet es, wenn eine Funktion f(x) an einem Punkt a differenzierbar ist? Erkläre den Zusammenhang zwischen Differenzierbarkeit und Stetigkeit an diesem Punkt.

Accepted Answer

Eine differenzierbare Funktion f(x) an einem Punkt a ist dort stetig und hat eine existierende Ableitung f'(a).

Answer

Eine differenzierbare Funktion f(x) an einem Punkt a hat dort einen Wendepunkt.

Answer

Eine differenzierbare Funktion f(x) an einem Punkt a hat dort eine Ableitung f'(a) gleich Null.

Answer

Eine differenzierbare Funktion f(x) an einem Punkt a hat dort eine Tangente an ihrem Graphen.

Question 17

Gegeben sei die Funktion f(x) = (x² - 4) / (x - 2). Erklären Sie prägnant, warum f(x) an der Stelle x = 2 nicht differenzierbar ist.

Accepted Answer

Der Nenner des Differenzienzquotienten wird an der Stelle x = 2 gleich 0.

Answer

Die Funktion ist an der Stelle x = 2 nicht stetig.

Answer

Die Funktion hat an der Stelle x = 2 einen Knick.

Answer

Die erste Ableitung von f(x) existiert an der Stelle x = 2.

Question 18

Ermitteln Sie den Grenzwert von f(x) = (x² - 1)/(x - 1) für x gegen 1.

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

2

Answer

unbestimmt

Question 19

Welche Aussage über die Ableitung f'(x) einer Funktion f(x) ist korrekt?

Accepted Answer

Alle oben genannten Aussagen sind korrekt.

Answer

f'(x) repräsentiert die Steigung der Tangente an den Graphen von f(x) im Punkt (x, f(x)).

Answer

f'(x) gibt die Änderungsrate von f(x) in Bezug auf x an.

Answer

f'(x) kann zur Bestimmung lokaler Extrema von f(x) verwendet werden.

Question 20

Welche Anwendung der Differentialrechnung ist in der Physik nicht relevant?

Accepted Answer

Berechnung von Wahrscheinlichkeiten

Answer

Berechnung von Geschwindigkeiten und Beschleunigungen

Answer

Bestimmung von Krümmungsradien

Answer

Optimierung von Kostenfunktionen

Question 21

Welche der folgenden Funktionen ist eine Stammfunktion von f(x) = x³?

Accepted Answer

j(x) = x⁴/4 + C

Answer

g(x) = x⁴

Answer

h(x) = x⁴/4

Answer

i(x) = x³ + C

Question 22

Welche der folgenden Reihen ist konvergent?

Accepted Answer

∑(n=1 bis unendlich) 1/n²

Answer

∑(n=1 bis unendlich) n

Answer

∑(n=1 bis unendlich) 1/n

Answer

∑(n=1 bis unendlich) (-1)^n

Question 23

Bestimmen Sie die maximale Steigung der Funktion f(x) = -x² + 4x + 3.

Accepted Answer

4

Answer

2

Answer

6

Answer

8

Question 24

Prüfe, ob die Funktion f(x) = |x - 1| an der Stelle x = 1 stetig ist.

Accepted Answer

f(x) ist nicht stetig an der Stelle x = 1.

Answer

f(x) ist stetig von rechts an der Stelle x = 1.

Answer

f(x) ist stetig von links an der Stelle x = 1.

Answer

f(x) ist stetig an der Stelle x = 1.

Question 25

Bestimme die lokale Extremalstelle der Funktion f(x) = -x² + 4x - 3.

Accepted Answer

(2, 1)

Answer

(1, -2)

Answer

(-3, -12)

Answer

(4, 9)

Question 26

Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = x^3 - 2x^2 + 1.

Accepted Answer

f'(x) = 3x^2 - 4x

Answer

f'(x) = 3x - 4

Answer

f'(x) = x^3 - 4x

Question 27

Welche Aussage ist eine notwendige Bedingung für ein lokales Minimum?

Accepted Answer

Die erste Ableitung ist an der Stelle 0

Answer

Die erste Ableitung ist an der Stelle positiv

Answer

Die zweite Ableitung ist an der Stelle negativ

Question 28

Welche Aussage über die Funktion f(x) = sin(x) ist richtig?

Accepted Answer

f(x) ist periodisch mit der Periode 2π

Answer

f(x) hat keine Nullstellen

Answer

f(x) ist monoton wachsend

Answer

f(x) ist eine gerade Funktion

Question 29

Welche der folgenden Aussagen über Grenzwerte ist korrekt?

Accepted Answer

Ein Grenzwert existiert, wenn sich der Funktionswert für x-Werte, die sich einer bestimmten Zahl beliebig annähern, einem festen Wert nähert.

Answer

Ein Grenzwert existiert, wenn der Funktionswert gegen unendlich geht.

Answer

Ein Grenzwert existiert, wenn die Funktion an dieser Stelle definitionsgemäß ist.

Question 30

Welche der folgenden Anwendungen der Differentialrechnung ermöglicht die Berechnung der Änderungsrate einer Größe?

Accepted Answer

Differenzieren

Answer

Integrieren

Answer

Optimieren

Answer

Modellieren

Question 31

Welche der folgenden Aussagen über den Mittelwertsatz der Differentialrechnung ist richtig?

Accepted Answer

Für jede stetige Funktion auf einem abgeschlossenen Intervall existiert mindestens eine Stelle, an der der Mittelwertsatz erfüllt ist.

Answer

Der Mittelwertsatz gilt nur für differenzierbare Funktionen.

Answer

Der Mittelwertsatz gilt nur für Funktionen mit einer Ableitung.

Question 32

Welche Aussage zur Funktion f(x) = x³ - 2x² trifft zu?

Accepted Answer

Die Funktion hat ein lokales Minimum bei x = 0.

Answer

Die Funktion ist an der Stelle x = 0 nicht differenzierbar.

Answer

Die Funktion hat keinen Wendepunkt.

Answer

Die Funktion ist auf dem gesamten Definitionsbereich monoton wachsend.

Question 33

Welche Anwendung der Differentialrechnung ist zur Berechnung der Tangente an eine Kurve notwendig?

Accepted Answer

Ableitung

Answer

Integration

Answer

Stammfunktion

Answer

Grenzwertbildung

Question 34

Welche Funktion ist die Stammfunktion von f(x) = cos(x)?

Accepted Answer

F(x) = sin(x) + C

Answer

F(x) = cos(x) + C

Answer

F(x) = -sin(x) + C

Question 35

Berechne die Ableitung von f(x) = x³ - 2x² + 5.

Accepted Answer

f'(x) = 3x² - 4x

Answer

f'(x) = x² - 4x + 5

Answer

f'(x) = x³ - 2

Answer

f'(x) = 3x³ - 2x

Question 36

Berechne den Schnittpunkt der Geraden y = 2x + 1 mit der Parabel y = x².

Accepted Answer

(1, 3)

Answer

(2, 5)

Answer

(0, 1)

Answer

(3, 7)

Question 37

Welche der folgenden Aussagen über die Funktion f(x) = e^x wahr?

Accepted Answer

f(x) ist streng monoton wachsend.

Answer

f(x) ist eine gerade Funktion.

Answer

f(x) ist eine ungerade Funktion.

Answer

f(x) ist streng monoton fallend.

Question 38

Welche der folgenden Reihen ist konvergent?

Accepted Answer

∑ 1 / n²

Answer

∑ n²

Answer

∑ (-1)^n n

Answer

∑ 1 / n

Question 39

Welche der folgenden Funktionen ist eine Stammfunktion von f(x) = cos(x)?

Accepted Answer

F(x) = sin(x) + C

Answer

F(x) = cot(x) + C

Answer

F(x) = tan(x) + C

Answer

F(x) = cos(x) + C

Question 40

Welche der folgenden Funktionen hat eine Unstetigkeitsstelle bei x = 2?

Accepted Answer

f(x) = 1 / (x - 2)

Answer

f(x) = |x - 2|

Answer

f(x) = x² - 4

Answer

f(x) = √(x - 2)

Question 41

Die Ableitung der Funktion f(x) = 3x² - 2x + 1 ist:

Accepted Answer

f'(x) = 6x - 2

Answer

f'(x) = 6x² - 2x

Answer

f'(x) = 9x - 2

Answer

f'(x) = 3x - 2

Question 42

Welche der folgenden Funktionen ist **nicht** differenzierbar bei x = 0?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x³

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x²

Question 43

Die Ableitung der Exponentialfunktion f(x) = e^x ist:

Accepted Answer

f'(x) = e^x

Answer

f'(x) = ln(x)

Answer

f'(x) = 1 / e^x

Answer

f'(x) = x * e^(x-1)

Question 44

Die Funktion f(x) = x⁴ - 4x³ + 6x² - 4x + 1 hat ein lokales Minimum bei:

Accepted Answer

x = 1

Answer

x = 0

Answer

x = -1

Answer

x = 2

Question 45

Die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion f(x) = x² und der x-Achse im Intervall von 0 bis 2 beträgt:

Accepted Answer

8/3

Answer

4

Answer

2

Answer

16/3

Question 46

An welcher Stelle x besitzt die Funktion f(x) = x² + 2x - 3 einen lokalen Hochpunkt?

Accepted Answer

-1

Answer

1

Answer

3

Answer

-3

Question 47

Was beschreibt der Grenzwert einer Funktion f(x) für x gegen a?

Accepted Answer

Der Wert, dem sich f(x) nähert, wenn x sich a nähert.

Answer

Die Steigung der Tangente an den Graphen von f(x) an der Stelle x = a.

Answer

Der Wert von f(x) an der Stelle x = a.

Answer

Die Änderungsrate der Funktion f(x) an der Stelle x = a.

Question 48

Wie lautet die Ableitung der Funktion f(x) = e^x?

Accepted Answer

e^x

Answer

x * e^(x-1)

Answer

1 / (e^x)

Answer

e^(x^2)

Question 49

Welche Funktion ist eine Stammfunktion von f(x) = 2x?

Accepted Answer

x^2 + C

Answer

x^3 + C

Answer

2x^3 + C

Answer

2x^2 + C

Question 50

Welcher Ausdruck gibt das Volumen einer Kugel mit dem Radius r an?

Accepted Answer

(4/3) * π * r^3

Answer

4 * π * r^2

Answer

π * r^2

Answer

2 * π * r

Question 51

Wann ist eine Funktion f(x) monoton steigend?

Accepted Answer

Wenn f'(x) > 0 für alle x im Definitionsbereich.

Answer

Wenn f'(x) < 0 für alle x im Definitionsbereich.

Answer

Wenn f''(x) < 0 für alle x im Definitionsbereich.

Answer

Wenn f''(x) > 0 für alle x im Definitionsbereich.

Question 52

Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 1.

Accepted Answer

f'(x) = 3x^2 + 4x - 5

Answer

f'(x) = x^3 + 4x^2 - 5x - 1

Answer

f'(x) = x^3 + 2x^2 - 5

Answer

f'(x) = 3x^2 + 2x - 5

Question 53

Berechnen Sie den Grenzwert von lim (x->2) (x^2 - 4) / (x - 2).

Accepted Answer

4

Answer

undefiniert

Answer

2

Answer

0

Question 54

Untersuchen Sie die Stetigkeit der Funktion f(x) = |x - 1| an der Stelle x = 1.

Accepted Answer

f(x) ist an der Stelle x = 1 unstetig.

Answer

f(x) ist an der Stelle x = 1 linksseitig stetig.

Answer

f(x) ist an der Stelle x = 1 rechtsseitig stetig.

Answer

f(x) ist an der Stelle x = 1 stetig.

Question 55

Bestimmen Sie die Extrema der Funktion f(x) = -x^2 + 4x - 3.

Accepted Answer

Maximum bei x = 2, Minimum nicht vorhanden

Answer

Maximum bei x = 2, Minimum bei x = -2

Answer

Maximum bei x = -2, Minimum bei x = 2

Answer

Maximum nicht vorhanden, Minimum bei x = 2

Question 56

Berechnen Sie das bestimmte Integral von ∫[0,2] (x^2 + 1) dx.

Accepted Answer

5,33

Answer

2,66

Answer

8

Answer

10,66

Question 57

Welche der folgenden Funktionen ist eine Stammfunktion von f(x) = sin(x)?

Accepted Answer

-cos(x) + C

Answer

sin(x) + C

Answer

-sin(x) + C

Answer

cos(x) + C

Question 58

Bestimmen Sie die Asymptoten der Funktion f(x) = (x-1) / (x^2 - 4).

Accepted Answer

Vertikale Asymptoten: x = -2, x = 2; Horizontale Asymptote: y = 0

Answer

Vertikale Asymptote: x = 0; Horizontale Asymptoten: y = -1, y = 1

Answer

Vertikale Asymptoten: x = 1, x = -1; Horizontale Asymptote: y = 1

Question 59

Welche der folgenden Aussagen ist über die Funktion f(x) = 1 / x wahr?

Accepted Answer

f(x) ist auf dem Intervall (0,∞) nicht differenzierbar.

Answer

f(x) ist auf dem Intervall (-∞,0) nicht differenzierbar.

Answer

f(x) ist auf dem Intervall (0,∞) differenzierbar.

Question 60

Berechnen Sie die Taylor-Entwicklung zweiter Ordnung der Funktion f(x) = e^x um den Entwicklungspunkt x = 0.

Accepted Answer

1 + x + x^2 / 2

Answer

1 + x + x^2

Answer

1 + x - x^2 / 2

Answer

1 - x + x^2 / 2

Question 61

Welche der folgenden Anwendungen der Differentialrechnung ist in der Praxis von Bedeutung?

Accepted Answer

Berechnung von Tangenten an Funktionsgraphen zur Bestimmung der Steigung

Answer

Berechnung von Flächeninhalten unter Kurven zur Bestimmung von Volumina

Answer

Berechnung der Krümmung von Kurven zur Bestimmung der Krümmungsgeschwindigkeit

Question 62

Ermitteln Sie den Grenzwert von f(x) = (x^2 - 1) / (x - 1) für x → 1.

Accepted Answer

2

Answer

unbestimmt

Answer

0

Answer

1

Question 63

Überprüfen Sie die Stetigkeit der Funktion f(x) = |x - 2| an der Stelle x = 2.

Accepted Answer

stetig

Answer

unstetig vom Typ 1. Art

Answer

unstetig vom Typ 2. Art

Question 64

Berechnen Sie die Ableitung der Funktion f(x) = x^3 - 2x^2 + 1.

Accepted Answer

3x^2 - 4x

Answer

3x^3 - 4x

Answer

x^2 - 4x

Answer

x^3 - 2