Komplexe Zahlen: Verstehen, Rechnen und Darstellen

Question 1

Bestimme die Konjugierte der komplexen Zahl $z = 4 - 3i$. Erkläre, wie die Konjugierte bei der Vereinfachung von Ausdrücken mit komplexen Zahlen hilft.

Accepted Answer

Die Konjugierte von $z$ ist $4 + 3i$. Sie hilft, den Nenner in Brüchen mit komplexen Zahlen zu rationalisieren.

Answer

Die Konjugierte von $z$ ist $3 - 4i$. Sie hilft, Gleichungen mit komplexen Zahlen zu lösen.

Answer

Die Konjugierte von $z$ ist $4i$. Sie hilft, komplexe Zahlen geometrisch darzustellen.

Answer

Die Konjugierte von $z$ ist $3 + 4i$. Sie hilft, komplexe Zahlen in Polarkoordinaten umzuwandeln.

Question 2

Welche Eigenschaft gilt für komplexe Zahlen?

Accepted Answer

Die Summe zweier komplexer Zahlen mit gleichem Realteil hat denselben Realteil.

Answer

Komplexe Zahlen können nur addiert und subtrahiert werden.

Answer

Die Summe zweier komplexer Zahlen mit gleichem Realteil hat immer einen positiven Realteil.

Question 3

Welche Eigenschaft ist für komplexe Zahlen charakteristisch?

Accepted Answer

Ihre Summe ist stets eine komplexe Zahl.

Answer

Nur Addition und Subtraktion sind möglich.

Answer

Division ergibt immer eine komplexe Zahl.

Answer

Geometrische Darstellung ist nicht möglich.

Question 4

Welche der folgenden Zahlen ist eine **komplexe Zahl**?

Accepted Answer

i

Accepted Answer

2+3i

Answer

1

Answer

2-3

Question 5

Welche Aussage über komplexe Zahlen ist richtig?

Accepted Answer

Sie können Gleichungen lösen, für die reelle Zahlen nicht ausreichen.

Answer

Sie haben nur einen negativen Realteil.

Answer

Sie sind immer reelle Zahlen.

Question 6

Wie groß ist der Betrag der komplexen Zahl z = 3 + 4i?

Accepted Answer

5

Answer

1

Answer

10

Answer

16

Question 7

Welche Aussage über komplexe Zahlen ist falsch?

Accepted Answer

Komplexe Zahlen können nicht dividiert werden.

Answer

Komplexe Zahlen können addiert und subtrahiert werden.

Answer

Komplexe Zahlen können mit reellen Zahlen multipliziert werden.

Question 8

Welche Aussage über komplexe Zahlen ist **falsch**?

Accepted Answer

Das Produkt zweier komplexer Zahlen ist immer eine reelle Zahl.

Answer

Komplexe Zahlen bestehen aus einem Realteil und einem Imaginärteil.

Answer

Die Summe zweier komplexer Zahlen ist immer eine komplexe Zahl.

Answer

Die Division durch eine komplexe Zahl mit Null im Nenner ist nicht möglich.

Question 9

Berechne (3 + 2i) * (4 - 5i):

Accepted Answer

17 - 10i

Answer

17 + 10i

Answer

8 - 10i

Answer

8 + 10i

Question 10

Welche der folgenden Zahlen ist keine komplexe Zahl?

Accepted Answer

π

Answer

3 + 4i

Answer

√(-1)

Answer

-2 + 5i

Question 11

Welche der folgenden komplexen Zahlen liegt auf der reellen Achse?

Accepted Answer

6

Answer

2 + 3i

Answer

4 - i

Answer

i²

Question 12

Welche der folgenden Aussagen ist falsch für komplexe Zahlen?

Accepted Answer

Komplexe Zahlen können nicht addiert oder subtrahiert werden.

Answer

Komplexe Zahlen bestehen aus einem Realteil und einem Imaginärteil.

Answer

Komplexe Zahlen können mit reellen Zahlen multipliziert werden.

Question 13

Welche der folgenden Aussagen über komplexe Zahlen ist richtig?

Accepted Answer

Die Summe zweier komplexer Zahlen ist immer eine komplexe Zahl.

Accepted Answer

Komplexe Zahlen können in der Gaußschen Zahlenebene dargestellt werden.

Answer

Komplexe Zahlen haben keinen Realteil.

Answer

Das Produkt zweier komplexer Zahlen ist immer eine reelle Zahl.

Question 14

Bestimme die Menge aller komplexen Zahlen $z$ mit $|z| = 2$. Zeichne diese Menge in der Gaußschen Zahlenebene.

Accepted Answer

Ein Kreis mit Radius 2 um den Ursprung in der komplexen Zahlenebene.

Answer

Ein Quadrat mit Seitenlänge 2 in der komplexen Zahlenebene.

Answer

Eine Gerade in der komplexen Zahlenebene.

Answer

Die leere Menge.

Question 15

Welche Eigenschaft trifft auf komplexe Zahlen zu?

Accepted Answer

Ihre Summe ist immer eine komplexe Zahl.

Answer

Sie können nur addiert und subtrahiert werden.

Answer

Ihr Produkt ist immer eine reelle Zahl.

Answer

Sie werden nur in der Mathematik verwendet.

Question 16

Was ist eine Eigenschaft komplexer Zahlen?

Accepted Answer

Sie bestehen aus Real- und Imaginärteil.

Answer

Sie können nur addiert und subtrahiert werden.

Answer

Ihr Betrag ist immer positiv.

Answer

Sie werden in der Wissenschaft nicht verwendet.

Question 17

Welche geometrische Figur entsteht, wenn man alle komplexen Zahlen $z$ betrachtet, die einen Abstand von 2 zur komplexen Zahl $i$ haben?

Accepted Answer

Kreis

Answer

Gerade

Answer

Parabel

Answer

Hyperbel

Question 18

Welche Aussage über komplexe Zahlen trifft NICHT zu?

Accepted Answer

Sie sind immer reelle Zahlen.

Answer

Sie bestehen aus einem Realteil und einem Imaginärteil.

Answer

Der Imaginärteil wird mit dem kleinen Buchstaben i bezeichnet.

Answer

Sie werden in Mathematik, Physik und Ingenieurwissenschaften eingesetzt.

Question 19

Berechne (3 + 4i) + (5 - 2i).

Accepted Answer

8 + 2i

Answer

8 - 2i

Answer

2 + 6i

Answer

2 - 6i

Question 20

Vereinfache den Ausdruck (2 + 3i)².

Accepted Answer

13

Answer

1 + 6i

Answer

1 - 6i

Answer

-13

Question 21

Berechne den Betrag der komplexen Zahl z = 5 + 12i.

Accepted Answer

17

Answer

5

Answer

12

Answer

13

Question 22

Welche Gleichung ist äquivalent zu z³ - 8 = 0?

Accepted Answer

(z - 2)(z² + 2z + 4) = 0

Answer

(z + 2)(z² - 2z + 4) = 0

Answer

(z + 2)(z² + 4z - 2) = 0

Answer

(z - 2)(z² - 4z + 2) = 0

Question 23

Welche der folgenden Zahlen ist eine **komplexe** Zahl?

Accepted Answer

2 + 3i

Answer

-7

Answer

π

Answer

5

Question 24

Welche der folgenden Aussagen über komplexe Zahlen ist **richtig**?

Accepted Answer

Die Summe zweier komplexer Zahlen ist eine komplexe Zahl.

Answer

Die Differenz zweier komplexer Zahlen ist keine komplexe Zahl.

Answer

Das Produkt zweier komplexer Zahlen ist eine reelle Zahl.

Question 25

Welche der folgenden Aussagen über die **Argand-Diagrammebene** ist **richtig**?

Accepted Answer

Die x-Achse repräsentiert den Realteil, und die y-Achse repräsentiert den Imaginärteil komplexer Zahlen.

Answer

Die x-Achse repräsentiert den Imaginärteil, und die y-Achse repräsentiert den Realteil komplexer Zahlen.

Question 26

Welche der folgenden komplexen Zahlen liegt auf dem **Einheitskreis**?

Accepted Answer

1/√2 + 1/√2i

Answer

3 + 4i

Answer

2

Answer

5 - 3i

Question 27

Die Definition einer komplexen Zahl lautet:

Accepted Answer

Sie besteht aus einem Realteil und einem Imaginärteil.

Answer

Sie wird nur in der Physik verwendet.

Answer

Sie ist immer größer als 0.

Question 28

Welche der folgenden komplexen Zahlen liegt in der komplexen Ebene im zweiten Quadranten?

Accepted Answer

-2 + 3i

Answer

3 + 2i

Answer

2 - 3i

Answer

2 + 3i

Question 29

In welchem Bereich findet sich die größte praktische Anwendung von komplexen Zahlen?

Accepted Answer

Elektrotechnik

Answer

Buchhaltung

Answer

Philosophie

Answer

Soziologie

Question 30

Was ist die geometrische Bedeutung des Betrags einer komplexen Zahl?

Accepted Answer

Abstand zum Ursprung in der komplexen Ebene

Answer

Fläche des von der komplexen Zahl aufgespannten Rechtecks

Answer

Winkel zwischen der komplexen Zahl und der reellen Achse

Answer

Umfang des von der komplexen Zahl aufgespannten Kreises

Question 31

Welche der folgenden Zahlen ist eine komplexe Zahl?

Accepted Answer

2 + 3i

Answer

√2

Answer

-7

Answer

5

Question 32

Was ist der Imaginärteil der komplexen Zahl 4 - 5i?

Accepted Answer

-5

Answer

4

Answer

5

Answer

-4

Question 33

Welche komplexe Zahl ist die konjugierte von 2 - 3i?

Accepted Answer

2 + 3i

Answer

-2 - 3i

Answer

3 + 2i

Answer

-2 + 3i

Question 34

Welche geometrische Form repräsentiert die Menge aller komplexen Zahlen mit Betrag gleich 2?

Accepted Answer

Kreis

Answer

Gerade

Answer

Parabel

Answer

Hyperbel

Question 35

Welche komplexe Zahl entspricht dem Punkt (3, -2) in der komplexen Ebene?

Accepted Answer

3 - 2i

Answer

3 + 2i

Answer

-3 + 2i

Question 36

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt eine komplexe Zahl z mit Betrag gleich 1?

Accepted Answer

|z| = 1

Answer

z² = 1

Answer

z = 1

Answer

z + z* = 1

Question 37

Welche der folgenden Anwendungen findet man in der Regel NICHT für komplexe Zahlen?

Accepted Answer

Berechnung von Haustierfutterrationen

Answer

Lösung von Differentialgleichungen

Answer

Analyse von elektrischen Schaltkreisen

Answer

Modellierung von Wellen