Differentialrechnung lernen: Online-Quizze und Übungen für Klasse 11

Question 1

Was gibt die erste Ableitung f'(x) einer Funktion f(x) an der Stelle x an?

Accepted Answer

Die Steigung der Tangente an den Graphen von f(x) an der Stelle x.

Answer

Die Änderungsrate von f(x) im Intervall von x bis x+h.

Answer

Den Flächeninhalt unter dem Graphen von f(x) zwischen x und x+h.

Answer

Die Krümmung des Graphen von f(x) an der Stelle x.

Question 2

Welche Funktion hat an der Stelle x = 0 einen Knick und ist deshalb dort nicht ableitbar?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = eˣ

Answer

f(x) = ln(x)

Question 3

Die Funktion f(x) ist definiert als f(x) = sqrt(x^3 + 2x^2 - 1). Berechne die Ableitung von f(x).

Accepted Answer

(3x^2 + 4x) / (2 * sqrt(x^3 + 2x^2 - 1))

Answer

(x^3 + 2x^2 - 1)^(-1/2)

Answer

3x^2 + 4x

Question 4

Welche Funktion ist die Ableitung von f(x) = sin(x)?

Accepted Answer

cos(x)

Answer

-sin(x)

Answer

x*cos(x)

Answer

1/cos(x)

Question 5

Welche der folgenden Aussagen beschreibt die Stetigkeit der Funktion (f(x) = rac{1}{x}) korrekt?

Accepted Answer

Die Funktion ist für alle Werte von (x) außer (x = 0) stetig.

Answer

Die Funktion ist nur für (x = 0) stetig.

Answer

Die Funktion ist für keine der angegebenen Werte von (x) stetig.

Answer

Die Funktion ist für alle Werte von (x) stetig.

Question 6

Berechne den Grenzwert von (lim_{x 	o infty} rac{2x^3 - 3x^2 + 1}{x^3 + 2x^2 - 5})

Accepted Answer

2

Answer

0

Answer

(infty)

Answer

1

Question 7

Welche Funktion ist an der Stelle x = 0 **nicht** differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

g(x) = x²

Answer

h(x) = sin(x)

Question 8

Ein Unternehmen hat eine Nachfragefunktion f(x) = (x³ - 2x² + 1)⁵. Wie hoch ist die Änderungsrate der Nachfrage in Abhängigkeit von x?

Accepted Answer

5(x³ - 2x² + 1)⁴(3x² - 4x)

Answer

(x³ - 2x² + 1)⁵

Answer

5x(x³ - 2x² + 1)⁴

Answer

(x³ - 2x² + 1)⁴

Question 9

Ermittle die Ableitung der Funktion (f(x) = sqrt{x^3 + e^{2x}}) mithilfe der Kettenregel.

Accepted Answer

(rac{1}{2} cdot (x^3 + e^{2x})^{-1/2} cdot (3x^2 + 2e^{2x}))

Answer

(x^3 + e^{2x})

Answer

(rac{1}{2} cdot x^{-1/2} cdot (3x^2 + 2e^{2x}))

Answer

(2x + e^{2x})

Question 10

Welche Bedingung muss für eine differenzierbare Funktion f(x) an einer Stelle x erfüllt sein, damit dort ein lokales Minimum vorliegt?

Accepted Answer

f'(x) = 0 und f''(x) > 0

Answer

f'(x) > 0 und f''(x) = 0

Answer

f'(x) < 0 und f''(x) > 0

Answer

f'(x) = 0 und f''(x) < 0

Question 11

Bestimme die Ableitung der rationalen Funktion f(x) = (x² + 3x + 2) / (x² - 1) mithilfe der Quotientenregel.

Accepted Answer

(-(x² + 3x + 2) * (2x - 2)) / (x² - 1)²

Answer

((x² + 3x + 2) * (2x - 2)) / (x² - 1)²

Answer

(2x + 3) / (x² - 1)

Answer

0

Question 12

Untersuche die Existenz des Grenzwerts $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin(x) - x}{x^3}$ und begründe deine Antwort.

Accepted Answer

Der Grenzwert existiert und ist gleich $0$.

Answer

Der Grenzwert existiert und ist gleich $1$.

Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Question 13

Welche der folgenden Funktionen ist stetig und differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = x²

Accepted Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = 1/x

Question 14

Welche Regel wird zur Berechnung der Ableitung von f(x) = x^2 + 2x + 3 verwendet?

Accepted Answer

Summenregel

Answer

Produktregel

Answer

Quotientenregel

Question 15

Welche Funktion ist an der Stelle **x = 0** nicht differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Question 16

Ermittle den Verlauf der Monotonie der Funktion f(x) = x³ - 6x² + 9x + 2 im Intervall [-2; 4]. Erläutere deine Antwort.

Accepted Answer

Die Funktion ist im Intervall (-2; 2) streng monoton steigend und im Intervall (2; 4) streng monoton fallend.

Answer

Die Funktion ist im Intervall [-2; 4] streng monoton steigend.

Answer

Die Funktion ist im Intervall [-2; 4] streng monoton fallend.

Answer

Die Funktion ist im Intervall [-2; 4] weder streng monoton steigend noch streng monoton fallend.

Question 17

An welcher Stelle ist die Funktion f(x) = (x^2 - 1) / (x-1) nicht definiert?

Accepted Answer

x = 1

Answer

x = 0

Answer

x = 2

Question 18

Die Funktion f(x) ist durch die Parametergleichungen x = t² und y = t³ gegeben. Bestimme die Ableitung von y nach x.

Accepted Answer

dy/dx = 3t²

Answer

dy/dx = 2t

Answer

dy/dx = t

Answer

dy/dx = 1

Question 19

Die Funktion f(x) = sin(x) ist differenzierbar:

Accepted Answer

für alle x

Answer

nur an den rationalen Zahlen

Answer

nur an den irrationalen Zahlen

Answer

an keiner Stelle

Question 20

Die Ableitung der Funktion f(x) = e^(2x) lautet:

Accepted Answer

2e^(2x)

Answer

e^(2x)

Answer

1/e^(2x)

Answer

2/e^(2x)

Question 21

Die Regel von Leibniz besagt, dass die Ableitung eines Integrals einer Funktion f(x) von a bis x ist:

Accepted Answer

∫_a^x f'(t) dt

Answer

f'(x)

Answer

f(x)-f(a)

Answer

∫_x^a f'(t) dt

Question 22

Die Kettenregel ermöglicht es, die Ableitung einer zusammengesetzten Funktion f(g(x)) zu bestimmen:

Accepted Answer

durch Multiplikation von f'(g(x)) mit g'(x)

Answer

durch Multiplikation von f'(x) mit g'(x)

Answer

durch Multiplikation von g'(f(x)) mit f'(x)

Answer

durch Multiplikation von f'(g(x)) mit g(x)

Question 23

Bestimme die Ableitung der Funktion f(x) = (x² + 3x - 5) * e^(2x).

Accepted Answer

(2x + 3) * e^(2x) + (x² + 3x - 5) * 2e^(2x)

Answer

(x² + 3x - 5) * e^(2x)

Answer

(2x + 3) * e^(2x)

Answer

e^(2x)

Question 24

Ermitteln Sie den Grenzwert der Funktion f(x) = (x^2 - 4) / (x - 2) für x gegen 2.

Accepted Answer

2

Answer

4

Answer

unendlich

Answer

nicht definiert

Question 25

Welche Ableitungsregel verwenden Sie, um die Funktion f(x) = x^3 - 2x + 5 abzuleiten?

Accepted Answer

Potenzregel

Answer

Produktregel

Answer

Quotientenregel

Answer

Kettenregel

Question 26

Welche Ableitungsregel verwenden Sie, um die Funktion f(x) = ln(x^2 + 1) abzuleiten?

Accepted Answer

Kettenregel

Answer

Produktregel

Answer

Quotientenregel

Answer

Potenzregel

Question 27

Welche Funktion ist die Stammfunktion von f(x) = 1 / x?

Accepted Answer

ln(x) + C

Answer

-ln(x) + C

Answer

1 / x + C

Answer

-1 / x + C

Question 28

Welche Ableitungsregel verwenden Sie, um die Funktion f(x) = (x^2 + 1) / (x - 1) abzuleiten?

Accepted Answer

Quotientenregel

Answer

Produktregel

Answer

Kettenregel

Answer

Potenzregel

Question 29

Bestimme das Taylor-Polynom 2. Grades der Funktion (f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 1) um den Entwicklungspunkt (x_0 = 1) und untersuche die Konvergenz des Taylor-Polynoms.

Accepted Answer

Taylor-Polynom: (2x^2 - 5x + 2), konvergent

Answer

Taylor-Polynom: (x^3 + 2x^2 - 5x + 1), konvergent

Answer

Taylor-Polynom: (2x^2 - 5x + 2), divergent

Answer

Taylor-Polynom: (x^3 + 2x^2 - 5x + 1), divergent

Question 30

Berechne die partielle Ableitung nach x der Funktion f(x,y) = x²y - y³.

Accepted Answer

2xy - 3y²

Answer

2xy + y³

Answer

x² - 3y²

Answer

y³ - x²

Question 31

Bestimme den Grenzwert von (sin(x) / x) für x gegen 0.

Accepted Answer

0

Answer

1

Answer

unendlich

Answer

existiert nicht

Question 32

Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = x^3 - 4x + 2.

Accepted Answer

f'(x) = 3x^2 - 4

Answer

f'(x) = 3x^2 + 4

Answer

f'(x) = 2x^2 - 4

Answer

f'(x) = 2x^2 + 4

Question 33

Welche der folgenden Funktionen ist streng monoton wachsend?

Accepted Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = x^2 - 4x + 2

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = -x^3 + 4x^2

Question 34

Wie lautet die Kettenregel?

Accepted Answer

f'(x) = g'(h(x)) * h'(x)

Answer

f'(x) = h'(x) * g'(h(x))

Answer

f'(x) = g'(x) / h'(x)

Answer

f'(x) = h'(x) / g'(x)

Question 35

Welcher Grenzwert ergibt sich für den Ausdruck (x³ - 1) / (x - 1) für x gegen 1?

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

2

Answer

3

Question 36

Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = sin(x) + cos(x).

Accepted Answer

cos(x) + sin(x)

Answer

cos(x) - sin(x)

Answer

-cos(x) + sin(x)

Answer

-cos(x) - sin(x)

Question 37

Welche Aussage über Extremwerte ist richtig?

Accepted Answer

An einer Extremstelle kann die Ableitung null sein oder nicht existieren.

Answer

An einer Extremstelle ist die Ableitung immer gleich null.

Answer

An einer Extremstelle ist die Ableitung immer ungleich null.

Answer

An einer Extremstelle ist die Ableitung immer positiv.

Question 38

Welche Tangente an den Graphen der Funktion f(x) = x³ - 2x² + 1 im Punkt (1,0) hat die Steigung 2?

Accepted Answer

y = 2x + 1

Answer

y = 2x - 1

Answer

y = -2x - 1

Answer

y = -2x + 1

Question 39

Berechne das bestimmte Integral ∫[0;1] (x² - 1) dx.

Accepted Answer

2/3

Answer

-2/3

Answer

0

Answer

1

Question 40

Welche Aussage über die Konvexität einer Funktion ist korrekt?

Accepted Answer

Eine konvexe Funktion hat einen nach oben geöffneten Graphen und eine positive zweite Ableitung.

Answer

Eine konvexe Funktion hat einen nach unten geöffneten Graphen und eine negative zweite Ableitung.

Answer

Eine konkave Funktion hat einen nach oben geöffneten Graphen und eine negative zweite Ableitung.

Answer

Eine konkave Funktion hat einen nach unten geöffneten Graphen und eine positive zweite Ableitung.

Question 41

Welche Funktion ist die Lösung der Differentialgleichung y' - 2y = 0?

Accepted Answer

y = Ce^(-2x)

Answer

y = Ce²x

Answer

y = 2Ce²x

Answer

y = 2Ce^(-2x)

Question 42

Welche der folgenden Funktionen hat einen Wendepunkt?

Accepted Answer

f(x) = x³

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = x

Answer

f(x) = e^x

Question 43

Bestimme den Grenzwert von lim (x gegen 0) (sin(x) / x).

Accepted Answer

0

Answer

1

Answer

π/2

Answer

Unendlich

Question 44

Mit welcher Ableitungsregel berechnest du die Ableitung von (x^2 + 3x - 5)?

Accepted Answer

Potenzregel

Answer

Produktregel

Answer

Quotientenregel

Answer

Kettenregel

Question 45

Berechne die Tangentengleichung an die Funktion f(x) = e^x im Punkt (0, 1).

Accepted Answer

y = x + 1

Answer

y = e^x

Answer

y = x

Answer

y = 1

Question 46

Welche der folgenden Funktionen ist die Umkehrfunktion von f(x) = 2x + 1?

Accepted Answer

g(x) = (x - 1) / 2

Answer

g(x) = 2x - 1

Answer

g(x) = 1/(2x + 1)

Answer

g(x) = √(x - 1) / 2

Question 47

Welche Anwendung der Differentialrechnung verwendest du, um die Geschwindigkeit eines Körpers zu berechnen?

Accepted Answer

Ableitung der Weg-Zeit-Funktion

Answer

Integration der Beschleunigungs-Zeit-Funktion

Answer

Differentiation der Geschwindigkeits-Zeit-Funktion

Answer

Integration der Weg-Zeit-Funktion

Question 48

Welche der folgenden Funktionen ist eine implizite Funktion?

Accepted Answer

y^2 + x^2 = 1

Answer

y = x^2 + 1

Answer

y = sin(x)

Answer

y = e^x

Question 49

Welche der folgenden Aussagen beschreibt die Ableitungsregel für die Sinusfunktion f(x) = sin(x) korrekt?

Accepted Answer

f'(x) = cos(x)

Answer

f'(x) = sin(x)

Answer

f'(x) = -sin(x)

Question 50

Die Tangente an den Graphen der Funktion f(x) = x^3 - 2x im Punkt P(1, -1) hat die Gleichung:

Accepted Answer

y = 2(x - 1) - 1

Answer

y = x^3 - 2x + 1

Answer

y = x - 1

Answer

y = 2x + 1

Question 51

Welche der folgenden Aussagen beschreibt die zweite Ableitung der Exponentialfunktion f(x) = e^x korrekt?

Accepted Answer

f''(x) = e^x

Answer

f''(x) = e^(x^2)

Answer

f''(x) = x * e^x

Answer

f''(x) = 0

Question 52

Die Funktion f(x) = |x - 2| ist an der Stelle x = 2:

Accepted Answer

nicht differenzierbar

Answer

differenzierbar mit f'(2) = 0

Answer

differenzierbar mit f'(2) = 1

Answer

differenzierbar mit f'(2) = -1

Question 53

Die Stammfunktion der Funktion f(x) = x^2 + 2x + 1 ist:

Accepted Answer

(x^3) / 3 + x^2 + x + C

Answer

(x^2) / 2 + 2x + C

Answer

3x^2 + 2x + 1 + C

Answer

x^3 + 2x^2 + x + C

Question 54

Bestimme die Ableitung der Funktion f(x) = x² - 3x + 2.

Accepted Answer

f'(x) = 2x - 3

Answer

f'(x) = x - 3

Answer

f'(x) = 2x + 3

Answer

f'(x) = x² - 3

Question 55

Welche Anwendung der Differentialrechnung erlaubt die Bestimmung der Steigung einer Tangente an einen Graphen?

Accepted Answer

Ableitung

Answer

Integralrechnung

Answer

Extremwertberechnung

Answer

Grenzwerte

Question 56

Welche Aussage zur Stetigkeit der Funktion f(x) = (x - 2)/(x² - 4) ist korrekt?

Accepted Answer

f(x) ist stetig für alle x außer x = ±2

Answer

f(x) ist überall stetig

Answer

f(x) ist stetig für alle x außer x = 0

Answer

f(x) ist nirgends stetig

Question 57

Welche der folgenden Ableitungen ist die zweite Ableitung von f(x) = e^(2x)?

Accepted Answer

f''(x) = 4e^(2x)

Answer

f''(x) = 1/e^(2x)

Answer

f''(x) = 2e^(2x)

Answer

f''(x) = e^(4x)

Question 58

Welche Anwendung der Differentialrechnung ermöglicht es, die Fläche unter einer Kurve zu berechnen?

Accepted Answer

Integralrechnung

Answer

Grenzwertberechnung

Answer

Extremwertberechnung

Answer

Ableitung

Question 59

Welche Aussage beschreibt die Ableitung einer Konstanten?

Accepted Answer

Sie ist immer gleich 0.

Answer

Sie ist undefiniert.

Answer

Sie ist gleich dem Kehrwert der Konstanten.

Answer

Sie ist gleich der Konstanten.

Question 60

Welche Funktion ist an der Stelle x = 1 nicht differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x - 1|

Answer

f(x) = eˣ

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x²

Question 61

Welche Aussage über die Funktion f(x) = -x⁴ + 4x² - 2 ist korrekt?

Accepted Answer

Die Funktion hat zwei Extrempunkte.

Answer

Die Funktion ist monoton steigend.

Answer

Die Funktion hat keine Nullstelle.

Answer

Die Funktion hat einen Wendepunkt bei x = 0.

Question 62

Berechne das unbestimmte Integral ∫(2x² + 5x - 1) dx.

Accepted Answer

(2/3)x³ + (5/2)x² - x + C

Answer

(4/3)x³ + (10/2)x² - x + C

Answer

(1/3)x³ + (5/2)x² - x + C

Answer

x³ + 5x² - x + C

Question 63

Welche Anwendung der Integralrechnung wird bei der Berechnung des Flächeninhalts einer beliebigen ebenen Figur verwendet?

Accepted Answer

Berechnung des Flächeninhalts einer ebenen Figur durch Aufsummieren unendlich vieler infinitesimal kleiner Rechtecksflächen

Answer

Berechnung der Länge einer Kurve durch Aufsummieren unendlich vieler infinitesimal kleiner Kurvensegmente

Answer

Berechnung des Umfangs einer Figur durch Aufsummieren unendlich vieler infinitesimal kleiner Rechteckseiten

Answer

Berechnung des Volumens eines Körpers durch Aufsummieren unendlich vieler infinitesimal kleiner Quader

Question 64

Sei f(x) = x² + 5x - 3. Bestimme die Ableitung von f(x) nach x.

Accepted Answer

f'(x) = 2x + 5

Answer

f'(x) = 2

Answer

f'(x) = x