Grenzwerte von Funktionen - Interaktive Übungen und Quizze

Question 1

Bestimme den allgemeinen Grenzwert der Funktion f(x) = (3x² - 2x + 1) / (2x² - x + 3).

Accepted Answer

3/2

Answer

1

Answer

3

Answer

2

Question 2

Die Ungleichung |f(x) - L| < ε ist äquivalent zu:

Accepted Answer

L - ε < f(x) < L + ε

Answer

f(x) > L + ε

Answer

f(x) < L - ε

Answer

f(x) > L - ε

Question 3

Welche der folgenden Aussagen über Grenzwerte ist falsch?

Accepted Answer

Der Grenzwert einer Funktion muss für alle Werte von x existieren.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion kann unendlich sein.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion kann sowohl einseitig als auch allgemein bestimmt werden.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion ist immer der Wert der Funktion an diesem Punkt.

Question 4

Betrachte die Funktion f(x) = |x - 2|. Welcher der folgenden Grenzwerte existiert nicht?

Accepted Answer

f(x) für x gegen 2 von links

Answer

f(x) für x gegen 2 von rechts

Answer

f(x) für x gegen unendlich

Answer

f(x) für x gegen minus unendlich

Question 5

Welche der folgenden Funktionen besitzt den Grenzwert e für x gegen unendlich?

Accepted Answer

f(x) = (1 + 1/x)^x

Answer

f(x) = ln(x + 1)

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x³ - 2x² + 1

Question 6

Welche der folgenden Aussagen ist eine notwendige Bedingung für die Existenz des Grenzwerts einer Funktion?

Accepted Answer

Die Funktion muss an diesem Punkt definiert sein.

Answer

Die Funktion muss stetig sein.

Answer

Die Funktion muss differenzierbar sein.

Answer

Die Funktion muss einen lokalen Extremwert haben.

Question 7

Was ist der Grenzwert einer Funktion f(x) an der Stelle a?

Accepted Answer

Der Wert, dem sich f(x) beliebig nähert, wenn sich x der Stelle a beliebig nähert.

Answer

Der Wert, den f(x) an der Stelle a annimmt.

Answer

Der Wert, den die Funktion im Unendlichen annimmt.

Question 8

Bestimme den Grenzwert der Funktion f(x) = e^(2x-1) für x gegen unendlich.

Accepted Answer

unendlich

Answer

0

Answer

e

Answer

-unendlich

Question 9

Welche der folgenden Funktionen hat keinen Grenzwert für x gegen 0?

Accepted Answer

1/x

Answer

sin(x)

Answer

cos(x)

Answer

x²

Question 10

Welche Aussage über die Funktion o(x) = x / √(x² + 1) für x gegen ∞ ist wahr?

Accepted Answer

Der Grenzwert ist 0.

Answer

Der Grenzwert ist 1.

Answer

Der Grenzwert ist ∞.

Answer

Die Funktion hat keinen Grenzwert im Unendlichen.

Question 11

Welche der folgenden Funktionen weist einen Sprung an der Stelle x = 2 auf?

Accepted Answer

f(x) = |x - 2|

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Question 12

Welche Aussage trifft auf das Verhalten der Funktion f(x) = 1 / x² für x → 0 zu?

Accepted Answer

Die Funktion hat keinen Grenzwert.

Answer

Die Funktion hat einen Grenzwert von 0.

Answer

Die Funktion hat einen Grenzwert von ∞.

Answer

Die Funktion hat einen Sprung an der Stelle x = 0.

Question 13

Welche der folgenden Aussagen über Grenzwerte ist korrekt?

Accepted Answer

Der Grenzwert einer Funktion für x gegen a ist eindeutig.

Answer

Ein einseitiger Grenzwert existiert immer, wenn auch der allgemeine Grenzwert existiert.

Answer

Ein Grenzwert kann für nicht definierte Funktionen existieren.

Answer

Alle Funktionen haben einen Grenzwert für jeden beliebigen Wert von x.

Question 14

Welche der folgenden Funktionen hat einen vertikalen Asymptoten bei x = 2?

Accepted Answer

h(x) = 1 / (x - 2)

Answer

f(x) = (x - 2) / (x + 2)

Answer

g(x) = x² - 4

Answer

k(x) = cos(2x)

Question 15

Bestimme den Grenzwert von m(x) = tan(x) für x gegen π / 2.

Accepted Answer

undefined

Answer

0

Answer

1

Answer

∞

Question 16

Welcher Wert ist der einseitige Grenzwert der Funktion f(x) = x² - 1 für x gegen 2 von links?

Accepted Answer

3

Answer

5

Question 17

Für welche Definition gilt: "Für alle ε > 0 existiert ein δ > 0, sodass für alle x mit 0 < |x - x₀| < δ gilt: |f(x) - L| < ε"?

Accepted Answer

Grenzwertdefinition

Answer

Stetigkeitsdefinition

Answer

Differenzierbarkeitsdefinition

Question 18

Welche der folgenden Aussagen über den Grenzwert der Funktion f(x) = x / (x² + 1) für x gegen ∞ ist richtig?

Accepted Answer

Der Grenzwert existiert und ist gleich 0

Answer

Der Grenzwert existiert und ist gleich 1

Question 19

Welche der folgenden Aussagen beschreibt am besten die Definition des einseitigen Grenzwertes einer Funktion f für x gegen a von rechts?

Accepted Answer

Für jede beliebig kleine positive Zahl ε gibt es eine entsprechende positive Zahl δ, sodass für alle x mit einem Abstand kleiner als δ rechts von a der Abstand zwischen f(x) und L kleiner als ε ist.

Answer

f(a) muss gleich L sein.

Answer

f(x) muss auf dem gesamten Intervall [a, ∞) gleich L sein.

Answer

f(x) nähert sich immer weiter L an, wenn sich x rechts von a nähert.

Question 20

Welche der folgenden Aussagen definiert den Grenzwert einer Funktion f(x)?

Accepted Answer

Der Grenzwert ist der Wert, dem sich f(x) nähert, wenn sich x einem bestimmten Wert nähert.

Answer

Der Grenzwert existiert immer.

Answer

Der Grenzwert kann für verschiedene Annäherungsrichtungen an den Wert verschieden sein.

Answer

Der Grenzwert ist immer eine rationale Zahl.

Question 21

Welche der folgenden Funktionen ist monoton steigend auf dem Intervall (0, ∞)?

Accepted Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = 1 / x

Answer

f(x) = sin(x)

Question 22

Sei f(x) = x^2 - 4. Für welchen Wert von x ist der einseitige Grenzwert von f(x) für x gegen 2 ungleich dem allgemeinen Grenzwert?

Accepted Answer

x = 2

Answer

x = 1

Answer

x = 3

Answer

x = 0

Question 23

Sei f(x) eine Funktion mit dem Grenzwert 2 für x gegen a. Welcher Grenzwert ergibt sich für die Funktion g(x) = f(x) + 3 für x gegen a?

Accepted Answer

5

Answer

1

Answer

2

Answer

3

Question 24

Welche der folgenden Funktionen hat einen Grenzwert von 0 für x gegen ∞?

Accepted Answer

f(x) = (sin(x)) / x

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = ln(x)

Answer

f(x) = x³

Question 25

Welche der folgenden Funktionen hat einen Grenzwert von e für x gegen ∞?

Accepted Answer

f(x) = (1 + 1/x)^x

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = ln(x)

Question 26

Bestimme den einseitigen Grenzwert $\lim_{x	o\infty}\sqrt{x^2+3x-4}$

Accepted Answer

$+\infty$

Answer

Der Grenzwert existiert nicht

Answer

$-\infty$

Answer

$0$

Question 27

Bestimme den Grenzwert $\lim_{x	o\pi^-}\frac{\cos x+1}{x-pi}$

Accepted Answer

$-\infty$

Answer

$0$

Answer

Der Grenzwert existiert nicht

Answer

$+\infty$

Question 28

Welche Funktion hat den Grenzwert $\lim_{x	o\infty}f(x)=0$?

Accepted Answer

$f(x)=\frac{1}{x}$

Answer

$f(x)=sin x$

Answer

$f(x)=x^2$

Answer

$f(x)=\cos x$

Question 29

Ermittle den Grenzwert von f(x) = x³ - 2x für x, das gegen -∞ strebt.

Accepted Answer

-∞

Answer

2

Answer

0

Answer

∞

Question 30

Ermittle den Grenzwert von m(x) = √(x² + 1) für x, das sich der 0 nähert.

Accepted Answer

1

Answer

-1

Answer

∞

Answer

0

Question 31

Bestimme den Grenzwert von r(x) = e^(x³ - 2) für x, das gegen ∞ strebt.

Accepted Answer

∞

Answer

-∞

Answer

1

Answer

0

Question 32

Was ist die Aussage des Grenzwertes lim_(x->2) f(x) = 5?

Accepted Answer

Die Funktionswerte f(x) nähern sich beliebig nahe an den Wert 5 an, wenn x beliebig nahe an den Wert 2 heranrückt.

Answer

Die Funktion f(x) hat an der Stelle x = 2 den Funktionswert 5.

Answer

Die Funktion f(x) ist an der Stelle x = 2 nicht stetig.

Answer

Die Funktion f(x) hat an der Stelle x = 2 keine Definitionslücke.

Question 33

Berechne den Grenzwert: lim_(x->3) (x² - 9) / (x - 3)

Accepted Answer

6

Answer

0

Answer

3

Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Question 34

Welcher Wert trifft auf den Grenzwert lim_(x->∞) (1/x) zu?

Accepted Answer

0

Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Answer

Der Grenzwert ist 1.

Answer

Der Grenzwert ist unendlich groß.

Question 35

Bestimme den rechtsseitigen Grenzwert: lim_(x->0+) 1/x

Accepted Answer

Unendlich groß

Answer

0

Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Answer

-Unendlich groß

Question 36

Die Funktion f(x) = (x² - 1) / (x - 1) weist an der Stelle x = 1 auf:

Accepted Answer

Eine hebbare Definitionslücke

Answer

Eine Sprungstelle

Answer

Einen Pol

Answer

Keine Unstetigkeitsstelle

Question 37

Was ist der Grenzwert von lim_(x->-2) (x² + 5x + 6) / (x + 2)?

Accepted Answer

-1

Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Answer

Unendlich groß

Answer

0

Question 38

Bestimme den Grenzwert: lim_(x->∞) (3x² + 2x) / (x² - 1)

Accepted Answer

3

Answer

Unendlich groß

Answer

0

Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Question 39

Die Funktion f(x) = |x| / x hat an der Stelle x = 0:

Accepted Answer

Eine Sprungstelle

Answer

Einen Pol

Answer

Eine hebbare Definitionslücke

Question 40

Berechne den Grenzwert: lim_(x->4) √(x + 5)

Accepted Answer

3

Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Answer

4

Answer

√5

Question 41

Welchen Wert muss der Parameter a annehmen, damit der Grenzwert lim_(x->2) (ax² - 4) / (x - 2) existiert?

Accepted Answer

a = 1

Answer

a = 4

Answer

Für kein a existiert der Grenzwert.

Answer

a = 2

Question 42

Welche Aussage über den Grenzwert der Funktion f(x) = 1/x für x → ∞ ist richtig?

Accepted Answer

Der Grenzwert existiert und ist gleich 0.

Answer

Der Grenzwert existiert und ist gleich 1.

Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Question 43

Betrachte die Funktion f(x) = (x^2 - 4)/(x - 2). Welcher Wert ist der Grenzwert von f(x) für x → 2?

Accepted Answer

4

Answer

2

Answer

0

Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Question 44

Was ist der einseitige Grenzwert der Funktion f(x) = |x|/x für x → 0+?

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Answer

-1

Question 45

Für welche der folgenden Funktionen existiert der Grenzwert für x → ∞?

Accepted Answer

f(x) = 1/x^2

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x^2

Question 46

Welche Aussage über den Grenzwert der Funktion f(x) = (x^2 - 1)/(x - 1) für x → 1 ist richtig?

Accepted Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Answer

Der Grenzwert existiert und ist gleich 1.

Answer

Der Grenzwert existiert und ist gleich 2.

Answer

Der Grenzwert existiert und ist gleich 0.

Question 47

Die Funktion f(x) = 1/(x-3) hat eine vertikale Asymptote bei x = ...

Accepted Answer

3

Answer

1

Answer

0

Answer

-3

Question 48

Welcher Wert ist der Grenzwert der Funktion f(x) = 2x + 1 für x → -∞?

Accepted Answer

-∞

Answer

0

Answer

1

Answer

∞

Question 49

Welche Funktion hat eine horizontale Asymptote bei y = 0?

Accepted Answer

f(x) = 1/x

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = x

Answer

f(x) = e^x

Question 50

Welche Aussage über den Grenzwert der Funktion f(x) = sin(x)/x für x → 0 ist richtig?

Accepted Answer

Der Grenzwert existiert und ist gleich 1.

Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Answer

Der Grenzwert existiert und ist gleich 0.

Answer

Der Grenzwert ist unendlich.

Question 51

Welche Aussage über den Grenzwert der Funktion f(x) = 1/x für x gegen unendlich ist korrekt?

Accepted Answer

Der Grenzwert existiert und beträgt 0.

Answer

Der Grenzwert ist 1.

Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Answer

Der Grenzwert ist unendlich.

Question 52

Was ist der einseitige Grenzwert der Funktion f(x) = (x^2 - 1)/(x - 1) für x gegen 1 von rechts?

Accepted Answer

2

Answer

1

Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Answer

-1

Question 53

Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit der Grenzwert einer Funktion an einer Stelle existiert?

Accepted Answer

Der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert müssen existieren und gleich sein.

Answer

Die Funktion muss an dieser Stelle definiert sein.

Answer

Die Funktion muss stetig sein.

Question 54

Die Funktion f(x) = |x| ist an der Stelle x = 0 ...

Accepted Answer

nicht stetig

Answer

stetig

Answer

differenzierbar

Answer

kontinuierlich

Question 55

Berechnen Sie den Grenzwert der Folge a_n = (n^2 + 1)/(n^2 - 1) für n gegen unendlich.

Accepted Answer

1

Answer

2

Answer

0

Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Question 56

Welche der folgenden Funktionen hat einen Grenzwert von 0 für x gegen unendlich?

Accepted Answer

f(x) = 1/x

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Question 57

Der Grenzwert der Funktion f(x) = (x^2 - 4)/(x - 2) für x gegen 2 existiert ...

Accepted Answer

nur, wenn man den Ausdruck umformt und x = 2 einsetzt.

Answer

nur, wenn man den einseitigen Grenzwert betrachtet.

Answer

ohne Umformung.

Question 58

Welche Aussage über die Stetigkeit einer Funktion an einer Stelle ist korrekt?

Accepted Answer

Eine Funktion ist stetig an einer Stelle, wenn der Grenzwert an dieser Stelle existiert und mit dem Funktionswert übereinstimmt.

Answer

Eine Funktion ist stetig an einer Stelle, wenn der Grenzwert an dieser Stelle existiert.

Question 59

Welche der folgenden Funktionen ist nicht stetig an der Stelle x = 0?

Accepted Answer

f(x) = 1/x

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x^2

Question 60

Welche Aussage über den Grenzwert der Funktion f(x) = sin(x)/x für x gegen 0 ist korrekt?

Accepted Answer

Der Grenzwert existiert und beträgt 1.

Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Answer

Der Grenzwert ist 0.

Answer

Der Grenzwert ist unendlich.