Komplexe Zahlen: Verstehen, Darstellen und Anwenden

Question 1

Welche algebraische Darstellung ist korrekt für die komplexe Zahl 3-4i?

Accepted Answer

3-4i

Answer

3+4i

Answer

4-3i

Answer

4+3i

Question 2

Berechnen Sie das Produkt der komplexen Zahlen (2 + 3i) und (4 - 5i).

Accepted Answer

22 - 11i

Answer

2 + 17i

Answer

-2 + 17i

Question 3

Skizzieren Sie die Menge aller komplexen Zahlen z, die die Ungleichung |z - (2 + 3i)| ≤ 2 erfüllen.

Accepted Answer

Ein Kreis mit dem Radius 2 um den Mittelpunkt (2; 3)

Answer

Ein Kreis mit dem Radius 2 um den Mittelpunkt (2; -3)

Answer

Ein Rechteck mit den Eckpunkten (0; 2), (0; 4), (2; 2), (2; 4)

Answer

Die gesamte komplexe Ebene

Question 4

Berechne Betrag und Argument der komplexen Zahl z = 2 + 3i in trigonometrischer Form.

Accepted Answer

Betrag: √13, Argument: arctan(3/2)

Answer

Betrag: 5, Argument: π/4

Answer

Betrag: 13, Argument: 3π/4

Question 5

Was ist die geometrische Bedeutung des Arguments einer komplexen Zahl in der Gaußschen Zahlenebene?

Accepted Answer

Der Winkel zwischen dem Vektor zur komplexen Zahl und der positiven reellen Achse

Answer

Der Realteil der komplexen Zahl

Answer

Der Quadrant, in dem die komplexe Zahl liegt

Question 6

Wie groß ist der Betrag des komplexen Ausdrucks $$e^(iθ)$$?

Accepted Answer

1

Answer

-1

Answer

i

Answer

e

Question 7

Berechnen Sie die Ableitung der Funktion $$f(z) = e^z$$.

Accepted Answer

$$e^z$$

Answer

$$z cdot e^z$$

Answer

$$0$$

Answer

$$e^{-z}$$

Question 8

Welche der folgenden Darstellungen ist eine komplexe Zahl?

Accepted Answer

1 + 2i

Answer

1 - 2

Answer

i^3

Answer

2/3

Question 9

Welche der folgenden Aussagen über die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen ist richtig?

Accepted Answer

Sie sind notwendig und hinreichend für die Holomorphie einer Funktion.

Answer

Sie sind nur notwendig für die Holomorphie einer Funktion.

Answer

Sie sind nur hinreichend für die Holomorphie einer Funktion.

Answer

Sie sind weder notwendig noch hinreichend für die Holomorphie einer Funktion.

Question 10

Wie lässt sich der Betrag einer komplexen Zahl in der Gaußschen Zahlenebene geometrisch interpretieren?

Accepted Answer

Als Länge des Vektors, der die komplexe Zahl darstellt, mit dem Ursprung als Startpunkt

Answer

Als Abstand zwischen Ursprung und der Projektion des Vektors auf die positive Realachse

Answer

Als Quotient aus Real- und Imaginärteil der komplexen Zahl

Question 11

Welche Aussage definiert komplexe Zahlen korrekt?

Accepted Answer

Zahlen, die in der Form a + bi darstellbar sind, wobei a und b reelle Zahlen sind.

Answer

Zahlen, die aus zwei reellen Zahlen bestehen.

Answer

Zahlen, die durch Addition, Subtraktion und Multiplikation reeller Zahlen gebildet werden können.

Answer

Zahlen ohne reellen oder imaginären Anteil.

Question 12

Berechne den Betrag der komplexen Zahl z = 3 + 4i.

Accepted Answer

5

Answer

1

Answer

12

Answer

25

Question 13

Welche Operation ist für komplexe Zahlen nicht zulässig?

Accepted Answer

Division durch 0

Answer

Addition

Answer

Subtraktion

Answer

Multiplikation

Question 14

Welche komplexe Zahl liegt auf der imaginären Achse?

Accepted Answer

3i

Answer

1 + 2i

Answer

4 - 5i

Answer

0 + 6i

Question 15

Welche der folgenden Gleichungen ist äquivalent zu z^2 = 4?

Accepted Answer

z = ±2

Answer

z = 2

Answer

z = 2i

Answer

z = -2

Question 16

Bestimme den Realteil von 5 - 3i.

Accepted Answer

5

Answer

3i

Answer

-5

Answer

-3i

Question 17

Welche der folgenden komplexen Zahlen hat den größten Betrag?

Accepted Answer

5 + 3i

Answer

2 - i

Answer

1 + 2i

Answer

3 + 4i

Question 18

Welche der folgenden komplexen Zahlen ist eine Einheitswurzel?

Accepted Answer

1 + i

Answer

3 - 4i

Answer

5 + 3i

Answer

2

Question 19

Welche der folgenden Anwendungen komplexer Zahlen wird in der Elektrotechnik verwendet?

Accepted Answer

Impedanzberechnung

Answer

Uhrzeitmessung

Answer

Kalenderberechnung

Answer

Meteorologie

Question 20

Welche der folgenden Aussagen über komplexe Zahlen ist korrekt?

Accepted Answer

Komplexe Zahlen sind Zahlen der Form a + bi, wobei a und b reelle Zahlen sind und i die imaginäre Einheit ist.

Answer

Komplexe Zahlen sind Zahlen, die ausschließlich positive reelle Zahlen enthalten.

Question 21

Welche der folgenden komplexen Zahlen ist eine rein imaginäre Zahl?

Accepted Answer

5i

Answer

0

Answer

2 - 3i

Answer

3 + 4i

Question 22

Berechnen Sie die komplexe Zahl, die der Konjugierten von (3 - 2i) entspricht.

Accepted Answer

3 + 2i

Answer

3 - 2i

Answer

-3 - 2i

Answer

-3 + 2i

Question 23

Welche der folgenden Anwendungen komplexer Zahlen wird in der Elektrotechnik verwendet?

Accepted Answer

Impedanzanalyse

Answer

Schmelzpunktsbestimmung

Answer

Löslichkeitsermittlung

Answer

Spracherkennung

Question 24

Welche Aussage über komplexe Zahlen ist korrekt?

Accepted Answer

Sie sind Zahlen der Form a + bi, wobei a und b reelle Zahlen und i die imaginäre Einheit ist (i² = -1).

Answer

Sie sind Zahlen, die sich nur in der Form a darstellen lassen.

Answer

Sie sind Zahlen, die sich in der Form a + bi darstellen lassen, wobei a und b imaginäre Zahlen und i die reelle Einheit ist.

Question 25

Welche Operation ist für komplexe Zahlen nicht zulässig?

Accepted Answer

Division durch 0.

Answer

Subtraktion.

Answer

Multiplikation.

Answer

Addition.

Question 26

Berechne das Ergebnis der Multiplikation (2 + 3i) · (4 - i).

Accepted Answer

14 + 5i.

Answer

14 - 5i.

Answer

4 + 5i.

Answer

4 - 5i.

Question 27

Was ist die Definition der imaginären Einheit i?

Accepted Answer

Eine Zahl mit der Eigenschaft i² = -1.

Answer

Eine Zahl mit der Eigenschaft i³ = -1.

Answer

Eine Zahl mit der Eigenschaft i⁴ = 1.

Answer

Eine Zahl mit der Eigenschaft i = 0.

Question 28

Berechne den konjugiert komplexen Wert der Zahl z = 3 + 2i.

Accepted Answer

3 - 2i.

Answer

6 + 4i.

Answer

3 + 4i.

Question 29

Welche der folgenden komplexen Zahlen liegt auf der imaginären Achse?

Accepted Answer

4i.

Answer

4 + 4i.

Answer

4 - 4i.

Answer

2 + 3i.

Question 30

Welche der folgenden Zahlen ist die zu 3 - 4i konjugiert komplexe Zahl?

Accepted Answer

3 + 4i

Answer

-3 + 4i

Answer

3 - 4i

Answer

-3 - 4i

Question 31

Bestimme den Hauptwert des Arguments der komplexen Zahl -1 + √3i.

Accepted Answer

2π/3

Answer

π/3

Answer

4π/3

Answer

5π/3

Question 32

Welche Aussage über die Menge der komplexen Zahlen ist korrekt?

Accepted Answer

Die Menge der komplexen Zahlen ist abgeschlossen unter Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division.

Answer

Die Menge der komplexen Zahlen ist nur unter Addition und Subtraktion abgeschlossen.

Question 33

Gib die Formel von Euler an.

Accepted Answer

e^(iθ) = cos(θ) + isin(θ)

Answer

e^(iθ) = sin(θ) + icos(θ)

Answer

e^(iθ) = cos(θ) - isin(θ)

Answer

e^(iθ) = sin(θ) - icos(θ)

Question 34

Welche der folgenden Ausdrücke stellt eine komplexe Zahl dar?

Accepted Answer

a + bi, wobei a und b reelle Zahlen sind

Answer

a² + b², wobei a und b reelle Zahlen sind

Answer

a - bi, wobei a und b reelle Zahlen sind

Answer

a/b, wobei a und b reelle Zahlen sind

Question 35

Wie wird die komplexe Zahl z = 3 + 4i in der Gaußschen Zahlenebene dargestellt?

Accepted Answer

Als Punkt mit den Koordinaten (3, 4)

Answer

Als Kreis mit Radius 5 und Mittelpunkt (0, 0)

Answer

Als Gerade mit Steigung 4 und y-Achsenabschnitt 3

Answer

Als Parabel mit Leitlinie y = 3 und Scheitelpunkt (3, 4)

Question 36

Welche der folgenden Rechenoperationen ist für komplexe Zahlen *nicht* kommutativ?

Accepted Answer

Subtraktion

Answer

Division

Answer

Addition

Answer

Multiplikation

Question 37

Berechnen Sie den Betrag der komplexen Zahl z = 5 - 12i.

Accepted Answer

13

Answer

5

Answer

25

Answer

12

Question 38

Welche Aussage über komplexe Zahlen ist korrekt?

Accepted Answer

Die Summe zweier komplexer Zahlen ist immer eine komplexe Zahl.

Answer

Die Differenz zweier komplexer Zahlen ist immer eine komplexe Zahl.

Answer

Der Quotient zweier komplexer Zahlen ist immer eine komplexe Zahl.

Answer

Das Produkt zweier komplexer Zahlen ist immer eine reelle Zahl.

Question 39

Lösen Sie die Gleichung (2 + 3i)z = 4 - 5i nach z auf.

Accepted Answer

z = (2/11) - (1/11)i

Answer

z = (2/5) + (3/5)i

Answer

z = (4/5) - (5/5)i

Answer

z = (4/11) - (5/11)i

Question 40

Welche der folgenden Funktionen ist holomorph?

Accepted Answer

f(z) = z²

Answer

f(z) = |z|

Answer

f(z) = 1/z

Answer

f(z) = arg(z)

Question 41

Welches der folgenden Integrale konvergiert?

Accepted Answer

∫[0, ∞] e^(-z²) dz

Answer

∫[1, ∞] 1/z dz

Answer

∫[-∞, ∞] e^(-z) dz

Answer

∫[0, π] sin(z) dz

Question 42

Welche der folgenden Reihen konvergiert?

Accepted Answer

∑[n=1, ∞] 1/n²

Answer

∑[n=1, ∞] cos(n)

Answer

∑[n=1, ∞] e^n

Answer

∑[n=1, ∞] 1/n

Question 43

Welche Aussage über komplexe Zahlen ist falsch?

Accepted Answer

Jede komplexe Zahl kann als Summe einer reellen und einer imaginären Zahl dargestellt werden.

Answer

Die Menge der komplexen Zahlen ist ein Körper.

Answer

Jede reelle Zahl kann als komplexe Zahl mit Imaginärteil 0 dargestellt werden.

Answer

Die Multiplikation komplexer Zahlen ist kommutativ.