Differentialrechnung lernen: Online-Quizze und Übungen für die 13. Klasse

Question 1

Welche Aussage zur Ableitungsregel für die Summe zweier Funktionen trifft zu?

Accepted Answer

Die Ableitung der Summe ist gleich der Summe der Ableitungen.

Answer

Die Ableitung der Summe ist gleich dem Produkt der Ableitungen.

Answer

Die Ableitung der Summe ist gleich der Differenz der Ableitungen.

Answer

Die Ableitung der Summe ist gleich dem Quotienten der Ableitungen.

Question 2

Welche Funktion ist auf dem Intervall [0, 2] monoton fallend?

Accepted Answer

f(x) = -x^2

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = x^3

Answer

f(x) = -x^3

Question 3

Wie lautet die Ableitung der Funktion f(x) = e^(2x)?

Accepted Answer

f'(x) = 2e^(2x)

Answer

f'(x) = e^(2x)

Answer

f'(x) = 1/(2e^(2x))

Answer

f'(x) = 0

Question 4

Welche Funktion hat einen lokalen Minimalwert bei x = 1?

Accepted Answer

f(x) = -(x - 1)^2

Answer

f(x) = (x - 1)^2

Answer

f(x) = |x - 1|

Answer

f(x) = x^2 - 2x + 1

Question 5

Welche Methode wird zur Bestimmung der Ableitung einer impliziten Funktion verwendet?

Accepted Answer

Implizite Differenzierung

Answer

Produktregel

Answer

Quotientenregel

Answer

Kettenregel

Question 6

Welche Aussage zur Ableitung einer Funktion f(x) mit f'(x) = 0 für alle x trifft zu?

Accepted Answer

Die Funktion ist konstant.

Answer

Die Funktion ist linear.

Answer

Die Funktion ist parabolisch.

Answer

Die Funktion ist exponential.

Question 7

Welche der folgenden Aussagen zur Ableitung der Potenzfunktion f(x) = x^n ist korrekt?

Accepted Answer

f'(x) = nx^(n-1)

Answer

f'(x) = (n-1)x^(n-2)

Answer

f'(x) = n/x^(n-1)

Answer

f'(x) = x^(n-1)

Question 8

Bestimme die Ableitung der Funktion f(x) = ln(x^2 + 1).

Accepted Answer

f'(x) = 2x/(x^2 + 1)

Answer

f'(x) = 1/(x^2 + 1)

Answer

f'(x) = (x^2 + 1)/x

Answer

f'(x) = 2x

Question 9

Welcher der folgenden Punkte ist ein kritischer Punkt der Funktion f(x) = x^4 - 2x^2 + 1?

Accepted Answer

(±√2, 0)

Answer

(0, 1)

Answer

(1, 0)

Answer

Die Funktion hat keine kritischen Punkte.

Question 10

Welche der folgenden Funktionen besitzt an der Stelle x = 2 einen Extrempunkt?

Accepted Answer

f(x) = x³ - 3x² + 2x

Answer

f(x) = x² - 4x + 3

Answer

f(x) = sin(x) + cos(x)

Answer

f(x) = e^x + ln(x)

Question 11

Welche Funktion ist nicht differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = sin(x²)

Answer

f(x) = e^(sin(x))

Answer

f(x) = x³ - x

Question 12

Der Grenzwert der Funktion f(x) = (sin(x) - x)/x³ für x gegen 0 ist:

Accepted Answer

0

Answer

1/6

Answer

1/3

Answer

1/2

Question 13

Welche der folgenden Funktionen ist **nicht** differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = ln(x)

Question 14

Wie lautet die Bedingung dafür, dass eine Funktion an einer Stelle konvex ist?

Accepted Answer

f''(x) > 0

Answer

f''(x) < 0

Answer

f''(x) = 0

Answer

f''(x) ≠ 0

Question 15

Wie lautet die Kettenregel für die Ableitung von f(g(x))?

Accepted Answer

f'(g(x)) · g'(x)

Answer

g'(f(x)) · f'(x)

Answer

f'(g(x)) + g'(x)

Answer

f'(g(x)) - g'(x)

Question 16

Für welche Werte von x ist die Funktion f(x) = x³ - 3x² + 2 streng monoton wachsend?

Accepted Answer

x < -1 oder x > 2

Answer

x < -2 oder x > 1

Answer

-1 < x < 2

Answer

Die Funktion ist nie streng monoton wachsend.

Question 17

Berechne die erste Ableitung der Funktion f(x) = e^x + ln(x).

Accepted Answer

e^x + 1/x

Answer

e^x - 1/x

Answer

e^x / x

Answer

x * e^x

Question 18

Welcher der folgenden Ausdrücke ist die zweite Ableitung der Funktion f(x) = sin(x)?

Accepted Answer

-cos(x)

Answer

cos(x)

Answer

-sin(x)

Answer

sin(x)

Question 19

Berechnen Sie die Ableitung der Funktion f(x) = x³ + 2x.

Accepted Answer

3x² + 2

Answer

3x² - 2

Answer

x³ + 2

Answer

x³ - 2

Question 20

Ermitteln Sie die Extrempunkte der Funktion h(x) = -x^2 + 6x - 5.

Accepted Answer

Minimum bei (3, -4)

Answer

Maximum bei (3, -4)

Answer

Minimum bei (-3, -4)

Answer

Maximum bei (-3, -4)

Question 21

Untersuchen Sie die Monotonie der Funktion f(x) = x^4 - 4x^2 + 3.

Accepted Answer

Steigend für x < -1 und x > 1, fallend für -1 < x < 1

Answer

Steigend für alle x

Answer

Fallend für alle x

Answer

Fallend für x < -1 und x > 1, steigend für -1 < x < 1

Question 22

Berechnen Sie den Krümmungsradius der Funktion s(x) = cos(x).

Accepted Answer

1/cos(x)

Answer

sin(x)

Answer

cos(x)

Answer

1/sin(x)

Question 23

Welche der folgenden Funktionen ist nicht differenzierbar an der Stelle x = 0?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x³

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Question 24

Welche der folgenden Funktionen ist monoton fallend auf dem Intervall [0, 2]?

Accepted Answer

f(x) = -x² + 2x + 3

Answer

f(x) = x² + 1

Answer

f(x) = x³ + 2x²

Answer

f(x) = (x - 1)² + 1

Question 25

Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = e^(2x)

Accepted Answer

2e^(2x)

Answer

e^(2x)/2

Question 26

Was ist die erste Ableitung der Funktion f(x) = ln(x)?

Accepted Answer

1/x

Answer

x

Question 27

Welche Aussage zur Funktion f(x) = x³ + 2x² - 5x ist korrekt?

Accepted Answer

Sie hat an der Stelle x = 0 eine Wendestelle.

Answer

Die Funktion ist an der Stelle x = -1 streng monoton fallend.

Question 28

Bestimme die Stammfunktion von f(x) = 2x + 1.

Accepted Answer

x² + x + C

Answer

x² - x + C

Question 29

Berechne die erste Ableitung von f(x) = (x² - 3x + 2) * (2x + 1).

Accepted Answer

4x³ - 6x² - 5x + 2

Answer

4x³ + 6x² - 5x - 2

Answer

4x² - 6x + 5

Answer

4x + 6

Question 30

Welche der folgenden Funktionen ist konkav?

Accepted Answer

f(x) = -x² + 2x - 1

Answer

f(x) = x³ - 3x + 1

Answer

f(x) = sin(x) + cos(x)

Answer

f(x) = e^x

Question 31

Ermitteln Sie die Funktion, deren erste Ableitung für alle x-Werte negativ ist.

Accepted Answer

f(x) = -x² + 1

Answer

f(x) = x³

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Question 32

Wenn die Ableitung einer Funktion f(x) für alle x-Werte positiv ist, was lässt sich daraus schließen?

Accepted Answer

f(x) nimmt streng monoton zu.

Answer

f(x) nimmt streng monoton ab.

Answer

f(x) besitzt keine Extrempunkte.

Answer

f(x) ist eine ungerade Funktion.

Question 33

Bestimme die Ableitung von f(x) = x^2 + 3x - 5.

Accepted Answer

f'(x) = 2x + 3

Answer

f'(x) = 2x - 5

Answer

f'(x) = x^2 + 3

Answer

f'(x) = x - 5

Question 34

Welche der folgenden Funktionen ist die Stammfunktion von f(x) = 2x + 1?

Accepted Answer

F(x) = x^2 + x + C

Answer

F(x) = 2x^2 + x + C

Answer

F(x) = x^2 + 2x + C

Answer

F(x) = 2x^2 + 2x + C

Question 35

Welche der folgenden Funktionen ist eine rationale Funktion?

Accepted Answer

f(x) = x / (x - 1)

Answer

f(x) = x^2 + 1

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Question 36

Welche der folgenden Aussagen zur Quotientenregel ist falsch ?

Accepted Answer

Die Quotientenregel ist eine Sonderform der Produktregel

Answer

Die Quotientenregel lautet: f(x) = g(x) / h(x) => f'(x) = (h(x) * g'(x) - g(x) * h'(x)) / h(x)^2

Answer

Die Quotientenregel kann nur angewendet werden, wenn h(x) ungleich 0 ist

Answer

Die Quotientenregel kann auch zur Berechnung der Ableitung von gebrochenen Funktionen verwendet werden

Question 37

Welche der folgenden Funktionen besitzt an der Stelle x = 2 ein lokales Minimum ?

Accepted Answer

g(x) = -x^2 + 6x - 7

Answer

f(x) = x^2 + 4x - 5

Answer

h(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1

Answer

k(x) = |x - 2|

Question 38

Welche der folgenden Aussagen zur Krümmung der Funktion f(x) = x^4 - 2x^2 + 1 ist richtig ?

Accepted Answer

Die Funktion hat zwei Wendepunkte bei x = ±√2.

Answer

Die Funktion hat einen Wendepunkt bei x = 0.

Answer

Die Funktion hat einen Wendepunkt bei x = ±1.

Answer

Die Funktion hat keine Wendepunkte.

Question 39

Die Ableitung der Funktion f(x) = e^x * sin(x) lautet:

Accepted Answer

f'(x) = e^x * cos(x) + sin(x)

Answer

f'(x) = e^x * cos(x)

Answer

f'(x) = e^x * sin(x) + cos(x)

Answer

f'(x) = x * e^x * sin(x)

Question 40

Die dritte Ableitung der Funktion f(x) = cos(3x) lautet:

Accepted Answer

f'''(x) = -27 cos(3x)

Answer

f'''(x) = -9 cos(3x)

Answer

f'''(x) = 9 cos(3x)

Answer

f'''(x) = 27 cos(3x)

Question 41

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 0 nicht differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x^2

Question 42

Berechne die Ableitung von f(x) = ln(x^2 + 1).

Accepted Answer

2x/(x^2 + 1)

Answer

-2x/(x^2 + 1)

Answer

x^2/(x^2 + 1)

Answer

1/(x^2 + 1)

Question 43

Welche der folgenden Funktionen hat eine Ableitung von f'(x) = 2x?

Accepted Answer

f(x) = x² + C

Answer

f(x) = e^x + C

Answer

f(x) = sin(x) + C

Answer

f(x) = x³ + C

Question 44

Berechnen Sie die Ableitung der Funktion f(x) = x³ - 2x² + 5x - 1. Verwenden Sie dabei die Potenz- und Summenregel.

Accepted Answer

3x² - 4x + 5

Answer

3x² + 4x + 5

Answer

x² + 4x - 5

Answer

x² - 4x + 5

Question 45

Ermitteln Sie den Extrempunkt der Funktion f(x) = -x² + 4x - 3. Setzen Sie dazu die erste Ableitung gleich 0.

Accepted Answer

(2 | 1)

Answer

(1 | 0)

Answer

(3 | 0)

Answer

(0 | -3)

Question 46

Berechnen Sie den Krümmungsradius der Funktion f(x) = sin(x) im Punkt (π/2 | 1). Nutzen Sie dazu die Formel für den Krümmungsradius.

Accepted Answer

1

Answer

2

Answer

1/2

Question 47

Berechnen Sie den Grenzwert von lim(x→0) (sin(x) / x) unter Verwendung der Grenzwertsätze und trigonometrischen Identitäten.

Accepted Answer

1

Answer

Unerreicht

Answer

Unendlich

Answer

0

Question 48

Begründen Sie, warum die Funktion f(x) = 1 / (x - 1) an der Stelle x = 1 nicht stetig ist.

Accepted Answer

Die Funktion ist an der Stelle x = 1 nicht stetig, da sie dort unendlich wird.

Answer

Die Funktion ist an der Stelle x = 1 stetig, da ihr Grenzwert an dieser Stelle existiert.

Answer

Die Funktion ist an der Stelle x = 1 stetig, da sie dort den Wert 0 annimmt.

Question 49

Berechnen Sie die Stammfunktion von f(x) = x³ - 2x² + 5x - 1. Verwenden Sie dazu die Stammfunktionssätze.

Accepted Answer

(x^4/4) - (2x^3/3) + (5x^2/2) - x + C

Answer

(x^4/3) - (2x^3/2) + (5x^2/1) - x + C

Answer

(x^3/3) - (2x^2/2) + (5x^1/1) - x + C

Answer

x³ - 2x² + 5x - 1

Question 50

Begründen Sie, warum die Funktion f(x) = x⁴ - 2x³ + 3x² - 4x + 5 mindestens eine reelle Nullstelle besitzt.

Accepted Answer

Die Funktion besitzt mindestens eine reelle Nullstelle aufgrund des Zwischenwertsatzes.

Answer

Die Funktion besitzt genau eine reelle Nullstelle.

Answer

Die Funktion besitzt keine reelle Nullstelle.

Question 51

Bestimmen Sie die Funktion unter den folgenden, die ein globales Maximum besitzt. Begründen Sie Ihre Antwort.

Accepted Answer

f(x) = -x² + 4x - 3

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x³ - 2x² + 1

Question 52

Welche Aussage ist über die Funktion f(x) = x² - 4x + 4 richtig?

Accepted Answer

f'(x) = 0 für x = 2

Answer

f'(x) = 0 für x = 4

Answer

f'(x) = 0 für x = -2

Answer

f'(x) = 0 für x = 0

Question 53

Bestimme die Asymptoten der Funktion f(x) = (x - 1) / (x² - 1).

Accepted Answer

senkrechte Asymptoten: x = -1, x = 1; waagerechte Asymptote: y = 0

Answer

senkrechte Asymptote: x = 1; waagerechte Asymptote: y = x

Answer

senkrechte Asymptoten: x = 0, x = 2; waagerechte Asymptote: y = 1

Question 54

Berechne das Differential dy der Funktion f(x) = sin(x²).

Accepted Answer

dy = 2x * cos(x²) dx

Answer

dy = cos(x²) dx

Answer

dy = x² * cos(x²) dx

Answer

dy = sin(x²) dx

Question 55

Welche Funktion hat einen Wendepunkt?

Accepted Answer

f(x) = x³ - 3x² + 2x

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x² - 4x + 3

Question 56

Die Ableitung der Funktion  f(x) = sin(x) * cos(x) ist:

Accepted Answer

a) cos²(x) - sin²(x)

Answer

c) cos²(x) + sin²(x)

Answer

b) sin²(x) - cos²(x)

Answer

d) -cos²(x) - sin²(x)

Question 57

Die zweite Ableitung der Funktion f(x) = eˣ ist:

Accepted Answer

a) eˣ

Answer

b) -eˣ

Answer

c) e^(2x)

Answer

d) e^(-x)

Question 58

Die Funktion f(x) = x³ - 3x² + 2x hat einen Wendepunkt bei:

Accepted Answer

a) x = 1

Answer

d) x = -1

Answer

b) x = 2

Answer

c) x = 0

Question 59

Welche der folgenden Funktionen ist ableitbar?

Accepted Answer

f(x) = x³ + 2x - 1

Answer

f(x) = cos(x²) + sin(x)

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = 1 / x

Question 60

Die erste Ableitung der Funktion f(x) = (x + 1)² ist:

Accepted Answer

a) f'(x) = 2(x + 1)

Answer

c) f'(x) = x + 1

Answer

d) f'(x) = 2x

Answer

b) f'(x) = 4(x + 1)

Question 61

Die Funktion f(x) = x⁴ - 4x² + 3 ist:

Accepted Answer

a) steigend für x < -√2 und x > √2, fallend für -√2 < x < √2

Answer

c) steigend für x < 0 und x > 1, fallend für 0 < x < 1

Answer

b) steigend für x < -1 und x > 1, fallend für -1 < x < 1

Question 62

Die Funktion f(x) = x³ - 3x² + 2x - 1 ist:

Accepted Answer

a) konkav nach oben für x < 1 und konkav nach unten für x > 1

Answer

b) immer konkav nach oben

Answer

c) konkav nach unten für x < 1 und konkav nach oben für x > 1

Question 63

Welche der folgenden Funktionen ist die Stammfunktion von f(x) = eˣ?

Accepted Answer

a) F(x) = eˣ + C

Answer

c) F(x) = x * eˣ + C

Answer

b) F(x) = 1 / eˣ + C

Answer

d) F(x) = eˣ² + C

Question 64

Welche der folgenden Aussagen ist über die Funktion f(x) = log₂(x) richtig?

Accepted Answer

f(x) ist monoton wachsend für x > 0

Answer

f(x) ist monoton wachsend für x < 0

Answer

f(x) ist monoton fallend für x < 0

Answer

f(x) ist monoton fallend für x > 0