Integralrechnung für Wirtschaftsingenieure: Online-Quiz und Übungen

Question 1

Welche der folgenden Aussagen über die Stammfunktion einer Konstanten ist korrekt?

Accepted Answer

Sie ist eine Gerade.

Answer

Sie ist eine Parabel.

Answer

Sie ist eine Hyperbel.

Answer

Sie ist eine Exponentialfunktion.

Question 2

Welches der folgenden Integrale ergibt die Fläche unter der Funktion f(x) = x² zwischen x = 0 und x = 2?

Accepted Answer

4/3

Answer

1/3

Answer

2/3

Answer

8/3

Question 3

Welches der folgenden Integrale ergibt das Volumen des Rotationskörpers, der durch die Rotation der Funktion f(x) = x² um die x-Achse zwischen x = 0 und x = 1 entsteht?

Accepted Answer

π

Answer

π/2

Answer

2π

Answer

4π

Question 4

Welche der folgenden Substitutionen kann verwendet werden, um das Integral ∫(x+1)² dx zu lösen?

Accepted Answer

u = x+1

Answer

u = x²

Answer

u = sin(x)

Answer

Es ist keine Substitution erforderlich.

Question 5

Welche der folgenden Funktionen ist die Stammfunktion von f(x) = cos(x)?

Accepted Answer

sin(x) + C

Answer

sin(x)

Answer

cos(x) + C

Answer

x + C

Question 6

Welche der folgenden Aussagen über die Integration von Vektorfunktionen ist korrekt?

Accepted Answer

Das Integral eines Vektors ist ein Vektor.

Answer

Das Integral einer skalaren Funktion bezüglich eines Vektors ist ein Vektor.

Answer

Das Integral eines Vektors bezüglich einer skalaren Funktion ist ein Skalar.

Answer

Die Integration eines Vektors ist nicht möglich.

Question 7

Welches der folgenden Integrale ergibt die Länge der Kurve f(x) = x² von x = 0 bis x = 1?

Accepted Answer

∫(1 + 4x²) dx

Answer

∫(1 - 4x²) dx

Answer

∫(dx / (1 + 4x²))

Answer

∫(dx / (1 - 4x²))

Question 8

Welche Aussage beschreibt die Definition einer Stammfunktion einer Funktion f(x) korrekt?

Accepted Answer

Die Stammfunktion ist eine Funktion, deren Ableitung f(x) ergibt.

Answer

Die Stammfunktion ist eine Funktion, deren Integral f(x) ergibt.

Answer

Die Stammfunktion ist eine Funktion, die immer eine Konstante enthält.

Answer

Die Stammfunktion ist eine Funktion, die eindeutig durch f(x) bestimmt ist.

Question 9

Berechne das Volumen des Rotationskörpers, der durch die Drehung der Funktion f(x) = e^x um die y-Achse zwischen x = 0 und x = ln(2) entsteht.

Accepted Answer

π(e^2 - 1)

Answer

2π(e - 1)

Answer

π(ln(2))^2

Answer

2πln(2)

Question 10

Welche Integrationstechnik eignet sich am besten zur Berechnung von ∫(x * e^x) dx?

Accepted Answer

Integration durch Teile

Answer

Integration durch Substitution

Answer

Partielle Integration

Answer

Trigonometrische Substitution

Question 11

Welche Aussage über uneigentliche Integrale ist korrekt?

Accepted Answer

Ein uneigentliches Integral kann sowohl konvergieren als auch divergieren.

Answer

Ein uneigentliches Integral konvergiert immer gegen einen endlichen Wert.

Answer

Ein uneigentliches Integral, das divergiert, hat einen unendlichen Wert.

Answer

Ein uneigentliches Integral, das konvergiert, hat immer einen positiven Wert.

Question 12

Berechnen Sie die Fläche A unterhalb der Kurve f(x) = x^2 + 1 zwischen x = 0 und x = 2 mit Hilfe eines Integrals.

Accepted Answer

∫[​0,2] (x^2 + 1) dx

Answer

2∫[​0,2] x dx + ∫[​0,2] 1 dx

Answer

(x^2 + 1) dx

Answer

∫[​2,0] (x^2 + 1) dx

Question 13

Bestimmen Sie das Volumen V des Rotationskörpers, der durch Drehung des Bereichs zwischen den Funktionen f(x) = x^2 und g(x) = 2x um die x-Achse entsteht.

Accepted Answer

V = π∫[​0,1] (2x - x^2)^2 dx

Answer

V = π∫[​0,1] (x^2)^2 dx

Answer

V = 2π∫[​0,1] (x^2)^2 dx

Answer

V = π∫[​0,1] (2x)^2 dx

Question 14

Berechnen Sie die Bogenlänge L der Kurve y = x^3 + 1 zwischen x = 0 und x = 1.

Accepted Answer

L = ∫[​0,1] √(1 + (3x^2)^2) dx

Answer

L = ∫[​0,1] (x^3 + 1) dx

Answer

L = ∫[​0,1] (1 + 3x^2)^2 dx

Question 15

Welche Methode kann verwendet werden, um das uneigentliche Integral ∫[​0,∞] x e^(-x^2) dx zu lösen?

Accepted Answer

u-Substitution und Grenzwert

Answer

Integration durch Teile

Answer

Partielle Integration

Answer

Trigonometrische Substitution

Question 16

Untersuchen Sie die Konvergenz des Integrals ∫[​1,∞] 1/x dx.

Accepted Answer

Das Integral ist divergent.

Answer

Die Konvergenz hängt vom Wert von x ab.

Answer

Das Integral ist konvergent.

Answer

Das Integral kann nicht gelöst werden.

Question 17

Welche Integrationstechnik ist für das Integral ∫[​0,1] x ln(x) dx geeignet?

Accepted Answer

Integration durch Teile

Answer

Trigonometrische Substitution

Answer

u-Substitution

Question 18

Berechnen Sie die Stammfunktion von f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 5x + 1.

Accepted Answer

x^4 + x^3 - 5x^2/2 + x + C

Answer

2x^4 + 3x^3 - 5x^2 + 1 + C

Answer

x^3 + 3x^2 - 5x + 1 + C

Question 19

Berechnen Sie die Fläche unter der Kurve von f(x) = x^2 + 2x zwischen x = 0 und x = 2.

Accepted Answer

10/3

Answer

16

Answer

4

Answer

8

Question 20

Bestimmen Sie den Wert des bestimmten Integrals ∫[0,1] (e^x + x²)dx.

Accepted Answer

e + 1/3

Answer

e - 1/3

Answer

e² - 2/3

Answer

e² + 2/3

Question 21

Welche Aussage über das Integral ist korrekt?

Accepted Answer

Es ist eine Funktion, deren Ableitung die gegebene Funktion ist.

Answer

Es ist ein Maß für die Länge der Kurve einer Funktion.

Answer

Es ist die Summe aller Funktionswerte in einem bestimmten Bereich.

Question 22

Berechnen Sie das Integral von f(x) = x^2 + 2x zwischen den Grenzen x = 0 und x = 2.

Accepted Answer

10/3

Answer

1/3

Answer

1

Answer

2/3

Question 23

Welche Aussage über uneigentliche Integrale ist richtig?

Accepted Answer

Sie können konvergent oder divergent sein.

Answer

Sie sind immer divergent.

Answer

Sie existieren nur für lineare Funktionen.

Answer

Sie sind immer konvergent.

Question 24

Welche Regel der Integralrechnung wird verwendet, um das Integral von f(x) * g(x) zu berechnen?

Accepted Answer

Produktregel

Answer

Kettenregel

Answer

Summenregel

Answer

Quotientenregel

Question 25

Welche Aussage über die geometrische Interpretation des Integrals ist falsch?

Accepted Answer

Das Volumenintegral stellt die Fläche unter einer Kurve dar.

Answer

Das unbestimmte Integral stellt die Länge einer Kurve dar.

Answer

Das bestimmte Integral stellt das Volumen eines Körpers dar.

Question 26

Welche Anwendung der Integralrechnung wird in der Physik verwendet?

Accepted Answer

Berechnung der Arbeit

Answer

Berechnung der Spannung

Answer

Berechnung der Stromstärke

Answer

Berechnung des Widerstands

Question 27

Welches Integral ergibt die Fläche unter der Parabel y = x² im Intervall [0, 2]?

Accepted Answer

8/3

Answer

4

Answer

1/3

Answer

16

Question 28

Welches der folgenden Integrale berechnet das Volumen des Rotationskörpers, der durch Rotation der Funktion f(x) = x um die x-Achse im Intervall [0, 2] entsteht?

Accepted Answer

8π/3

Answer

π/3

Answer

16π

Answer

π/2

Question 29

Welches der folgenden Integrale ist ein uneigentliches Integral?

Accepted Answer

∫[0,∞) e^(-x) dx

Answer

∫[-1,1] sin(x) dx

Answer

∫[1,3] (x-1)/(x-2) dx

Answer

∫[0,2] x² dx

Question 30

Welche der folgenden Aussagen über das bestimmte Integral ist FALSCH?

Accepted Answer

Das bestimmte Integral berechnet die Steigung einer Funktion.

Answer

Das bestimmte Integral berechnet den Flächeninhalt unter dem Graphen einer Funktion.

Answer

Das bestimmte Integral ist eine Zahl.

Answer

Das bestimmte Integral wird über ein bestimmtes Intervall berechnet.

Question 31

Die Fläche unter der Kurve der Funktion f(x) = x² zwischen x = 0 und x = 2 wird durch welches bestimmte Integral berechnet?

Accepted Answer

∫[0, 2] x² dx

Answer

∫[0, 2] x³ dx

Answer

∫[0, 2] 2x dx

Answer

∫[0, 2] x dx

Question 32

Welche der folgenden Funktionen ist die Stammfunktion von f(x) = 3x²?

Accepted Answer

F(x) = x³ + C

Answer

F(x) = x²

Answer

F(x) = 3x

Answer

F(x) = 6x

Question 33

Welche der folgenden Aussagen über den Mittelwertsatz der Integralrechnung ist RICHTIG?

Accepted Answer

Es existiert ein Wert c innerhalb des Integrationsintervalls, für den der Funktionswert gleich dem Mittelwert der Funktion über das Intervall ist.

Answer

Der Mittelwertsatz gilt nur für stetige Funktionen.

Answer

Der Mittelwert einer Funktion über ein Intervall ist immer gleich der Summe der Funktionswerte an den Intervallgrenzen.

Question 34

Welche der folgenden Aussagen über die Integration durch Substitution ist FALSCH?

Accepted Answer

Die Substitutionsregel wird nur für bestimmte Integrale angewendet.

Answer

Die Substitutionsregel kann auch für unbestimmte Integrale angewendet werden.

Answer

Die Substitutionsregel erfordert die Ableitung der Substitutionsfunktion.

Answer

Die Substitutionsregel vereinfacht die Integration, indem sie die Variable x durch eine neue Variable u ersetzt.

Question 35

Welche der folgenden Aussagen über die partielle Integration ist RICHTIG?

Accepted Answer

Partielle Integration wird verwendet, um Integrale von Produkten von Funktionen zu lösen.

Answer

Partielle Integration ist eine spezielle Form der Substitutionsregel.

Answer

Partielle Integration kann nur für bestimmte Integrale angewendet werden.

Answer

Partielle Integration wird angewendet, um Integrale von Potenzfunktionen zu lösen.

Question 36

Ein Unternehmen möchte die Produktionskosten über einen Zeitraum von 10 Jahren modellieren. Die Kostenfunktion lautet C(t) = 1000 + 50t², wobei t die Zeit in Jahren darstellt. Wie hoch sind die kumulierten Produktionskosten in den ersten 5 Jahren?

Accepted Answer

14.166,67

Answer

10.000

Answer

5.000

Answer

25.000

Question 37

Welche Funktion ist die Stammfunktion von f(x) = sin(x)?

Accepted Answer

-cos(x) + C

Answer

-cos(x)

Answer

cos(x) + C

Answer

sin(x) + C

Question 38

Berechnen Sie das unbestimmte Integral von (2x³ + 5x - 1) dx.

Accepted Answer

x⁴ + (5/2)x² - x + C

Answer

2x⁴ + 5x² - x + C

Answer

2x⁴ + (5/2)x³ - x + C

Answer

x⁴ + (5/2)x³ - x + C

Question 39

Welcher Begriff beschreibt die Fläche, die unter der Kurve einer Funktion liegt?

Accepted Answer

Bestimmtes Integral

Answer

Differential

Answer

Unbestimmtes Integral

Answer

Stammfunktion

Question 40

Berechnen Sie das bestimmte Integral ∫[0,1] (x² + 2x - 3) dx.

Accepted Answer

-4/3

Answer

1/3

Answer

2/3

Answer

4/3

Question 41

Welche Substitutionsregel wird verwendet, um Integrale von Funktionen der Form f(g(x))g'(x) dx zu lösen?

Accepted Answer

u = g(x)

Answer

u = f(x)

Answer

u = dx

Answer

u = x

Question 42

Welches Integral beschreibt das Volumen des Körpers, der durch die Drehung der Funktion f(x) = x² um die x-Achse entsteht?

Accepted Answer

π/2 ∫[0,1] x⁴ dx

Answer

2π ∫[0,1] x⁴ dx

Answer

2π ∫[0,1] x³ dx

Answer

π/2 ∫[0,1] x³ dx

Question 43

Welches Integral entspricht der Fläche der Region, die von den Funktionen f(x) = x und g(x) = x² begrenzt wird?

Accepted Answer

∫[0,1] (x - x²) dx

Answer

∫[0,1] (x + x²) dx

Answer

∫[0,1] (1 - x) dx

Answer

∫[0,1] (x² - x) dx

Question 44

Welcher Begriff bezeichnet einen Körper, der durch die Drehung einer Funktion um eine Achse entsteht?

Accepted Answer

Rotationskörper

Answer

Rotationsfläche

Answer

Rotationsachse

Answer

Rotationsintegral

Question 45

Welche Integrationstechnik ist am besten geeignet für Integrale der Form ∫√(a² - x²) dx?

Accepted Answer

Trigonometrische Substitution

Answer

Substitutionsregel

Answer

Partielle Integration

Answer

Integration durch Teile

Question 46

Welcher Ausdruck entspricht der Stammfunktion von f(x) = e^x?

Accepted Answer

e^x + C

Answer

-e^x + C

Answer

e^(-x) + C

Answer

1/e^x + C

Question 47

Welches der folgenden Integrale entspricht der Fläche unter der Kurve f(x) = x² zwischen den Punkten x = 1 und x = 3?

Accepted Answer

∫₁³ x² dx

Answer

∫₀¹ x² dx

Answer

∫₀³ x² dx

Answer

∫₁³ x dx

Question 48

Bestimmen Sie die Stammfunktion von f(x) = 3x² + 2x.

Accepted Answer

x³ + x² + C

Answer

6x + 2 + C

Answer

3x³ + 2x² + C

Answer

x³ + x + C

Question 49

Welche Integrationsmethode ist für die Berechnung von ∫ x sin(x) dx geeignet?

Accepted Answer

Partielle Integration

Answer

Direkte Integration

Answer

Integration durch Teile

Answer

Substitution

Question 50

Berechnen Sie das bestimmte Integral ∫₀¹ (2x + 1) dx.

Accepted Answer

2

Answer

4

Answer

3

Answer

1

Question 51

Welches Volumen ergibt sich, wenn die Fläche unter der Kurve f(x) = √x zwischen x = 0 und x = 4 um die x-Achse rotiert?

Accepted Answer

16π/3

Answer

32π/3

Answer

8π/3

Answer

4π/3

Question 52

Welche Formel beschreibt den Mittelwert einer Funktion f(x) über das Intervall [a, b]?

Accepted Answer

(1/(b-a)) * ∫ₐᵇ f(x) dx

Answer

∫ₐᵇ f(x) dx

Answer

∫ₐᵇ (f(x) / (b-a)) dx

Answer

(1/(b-a)) * ∫₀¹ f(x) dx

Question 53

Welches der folgenden Integrale ist unbestimmt?

Accepted Answer

∫ (x² + 1) dx

Answer

∫ (x² + 1) / (x + 1) dx

Answer

∫₁³ (x² + 1) dx

Answer

∫₀¹ (x² + 1) dx

Question 54

Welche Aussage über die Integration von Funktionen ist wahr?

Accepted Answer

Die Ableitung einer Stammfunktion ist die ursprüngliche Funktion.

Answer

Die Ableitung einer Funktion ist die Stammfunktion.

Answer

Die Stammfunktion einer Ableitung ist die ursprüngliche Funktion.

Question 55

Welche Integrationstechnik ist für die Berechnung von ∫ (x + 1) / (x² + 2x + 1) dx geeignet?

Accepted Answer

Substitution

Answer

Partielle Integration

Answer

Integration durch Teile

Answer

Direkte Integration

Question 56

Welche Aussage über die Integration von Funktionen ist korrekt?

Accepted Answer

Integration einer Funktion ergibt die Fläche unter der Kurve der Funktion.

Answer

Integration einer Funktion ergibt die Ableitung der Funktion.

Answer

Integration einer Funktion ergibt die Steigung der Funktion.