Eigenwerte und Eigenvektoren: Interaktive Quizfragen für Wirtschaftsingenieure

Question 1

Welche der folgenden Aussagen über Eigenvektoren ist korrekt?

Accepted Answer

Sie sind stets linear unabhängig.

Answer

Sie haben immer die Länge 1.

Answer

Sie sind stets orthogonal zueinander.

Answer

Sie sind immer ganzzahlig.

Question 2

Bestimmen Sie die Eigenwerte der Matrix A = [[2, 1], [-1, 2]]

Accepted Answer

1 und 3

Answer

2 und 1

Answer

3 und 1

Answer

-1 und 3

Question 3

Welche der folgenden Anwendungen von Eigenwerten und Eigenvektoren finden Sie in der Praxis?

Accepted Answer

Alle der genannten Optionen

Answer

Schwingungsanalyse

Answer

Stabilitätsanalyse

Answer

Signalanalyse

Question 4

Welche Gleichung beschreibt das charakteristische Polynom einer Matrix A?

Accepted Answer

det(A - λI)

Answer

det(A + λI)

Answer

tr(A) - λ

Answer

tr(A) + λ

Question 5

Welche Aussage zur Determinante einer Matrix ist richtig?

Accepted Answer

Die Determinante einer Matrix ist gleich dem Produkt ihrer Eigenwerte.

Answer

Die Determinante einer Matrix ist gleich der Summe ihrer Eigenwerte.

Answer

Die Determinante einer Matrix ist gleich dem Quotienten ihrer Eigenwerte.

Answer

Die Determinante einer Matrix ist unabhängig von ihren Eigenwerten.

Question 6

Wie viele Eigenwerte hat eine Matrix der Größe n?

Accepted Answer

n

Answer

n-1

Answer

n+1

Answer

n^2

Question 7

Wie kann man überprüfen, ob eine Matrix diagonalisierbar ist?

Accepted Answer

Überprüfen, ob die Matrix eine volle Anzahl linear unabhängiger Eigenvektoren besitzt.

Answer

Überprüfen, ob die Matrix invertierbar ist.

Answer

Überprüfen, ob die Matrix symmetrisch ist.

Answer

Überprüfen, ob die Matrix ähnliche Eigenwerte hat.

Question 8

Wie wird das charakteristische Polynom einer Matrix A definiert?

Accepted Answer

det(A - λI)

Answer

λdet(A - λI)

Answer

det(A + λI)

Answer

λdet(A + λI)

Question 9

Welche Aussage über Eigenwerte ist korrekt?

Accepted Answer

Sie können sowohl reell als auch komplex sein.

Answer

Sie sind immer reell.

Answer

Sie sind immer komplex.

Answer

Sie sind immer positiv.

Question 10

Welche Aussage über Eigenvektoren ist falsch?

Accepted Answer

Sie sind stets normiert.

Answer

Sie sind linear unabhängig.

Answer

Sie spannen den Vektorraum auf.

Answer

Sie können den Nullvektor beinhalten.

Question 11

Welche Aussage über das charakteristische Polynom ist falsch?

Accepted Answer

Es ist immer ein Polynom zweiten Grades.

Answer

Es ist invariant gegenüber Matrixtransformationen.

Answer

Es hat den Grad n, wobei n die Dimension der Matrix ist.

Answer

Es kann komplexe Wurzeln haben.

Question 12

Welche Aussage über Eigenwerte ist korrekt?

Accepted Answer

Sie können sowohl reell als auch komplex sein.

Answer

Sie sind immer reell und verschieden.

Answer

Sie sind immer komplex und konjugiert.

Answer

Sie sind immer positiv und negativ.

Question 13

Berechnen Sie den Eigenvektor der Matrix A = [[2, 1], [-1, 2]] zum Eigenwert λ = 1.

Accepted Answer

[[-1], [1]]

Answer

[[-1], [-1]]

Answer

[[1], [-1]]

Answer

[[1], [1]]

Question 14

Welche der folgenden Matrizen ist orthogonal?

Accepted Answer

[[cos(α), -sin(α)], [sin(α), cos(α)]]

Answer

[[2, 1], [-1, 2]]

Answer

[[1, 2], [2, 1]]

Answer

[[1, 1], [1, 1]]

Question 15

Welche der folgenden Aussagen definiert Eigenwerte korrekt?

Accepted Answer

Eigenwerte einer Matrix sind Zahlen, für welche es nicht-triviale lineare Gleichungssysteme gibt, deren Lösungen Eigenvektoren genannt werden.

Answer

Eigenwerte sind Vektoren, die parallel zum Eigenraum sind.

Answer

Eigenwerte sind Matrizen, die diagonalisierbar sind.

Question 16

Welche der folgenden Aussagen über Eigenvektoren ist korrekt?

Accepted Answer

Eigenvektoren sind linear unabhängig, wenn es so viele linear unabhängige Eigenvektoren wie Eigenwerte gibt.

Answer

Eigenvektoren sind immer orthogonal zueinander.

Answer

Eigenvektoren sind immer normiert.

Question 17

Welche der folgenden Aussagen über die Diagonalisierung einer Matrix ist korrekt?

Accepted Answer

Eine Matrix ist diagonalisierbar, wenn sie eine Basis aus Eigenvektoren besitzt.

Answer

Eine Matrix ist diagonalisierbar, wenn sie eine Determinante von 0 hat.

Question 18

Berechnen Sie die Matrix P, die die Diagonalisierung der Matrix A = [[2, 1], [-1, 2]] ermöglicht.

Accepted Answer

[[1/√2, 1/√2], [1/√2, -1/√2]]

Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Answer

[[1, 1], [1, 1]]

Answer

[[2, 1], [-1, 2]]

Question 19

Welche der folgenden Aussagen ist äquivalent zur Definition eines Eigenvektors?

Accepted Answer

Ein Vektor, der durch die Multiplikation mit der Matrix skaliert wird.

Answer

Ein Vektor, der die Länge 1 hat.

Answer

Ein Vektor, der senkrecht zum Eigenraum steht.

Question 20

Was ist die geometrische Bedeutung eines Eigenvektors?

Accepted Answer

Er gibt die Richtung an, in die der Vektorraum bei Multiplikation mit der Matrix gedreht wird.

Answer

Er gibt die Länge des Vektorraums an.

Answer

Er gibt den Winkel zwischen dem Vektorraum und der x-Achse an.

Question 21

Welche der folgenden Aussagen über Eigenwerte ist richtig?

Accepted Answer

Eigenwerte sind die Wurzeln des charakteristischen Polynoms einer Matrix.

Answer

Eigenwerte sind nur für symmetrische Matrizen definiert.

Answer

Eigenwerte sind immer negativ.

Answer

Eigenwerte sind immer positive ganze Zahlen.

Question 22

Was ist die geometrische Bedeutung von Eigenwerten und Eigenvektoren?

Accepted Answer

Sie beschreiben die Skalen und Richtungen von linearen Transformationen.

Answer

Sie bestimmen die Maxima und Minima von Funktionen.

Answer

Sie geben die Steigung und den y-Achsenabschnitt von Geraden an.

Answer

Sie haben keine geometrische Bedeutung.

Question 23

Bestimmen Sie den Eigenwert der Matrix A = [[2, 1], [-1, 2]].

Accepted Answer

3

Answer

1

Answer

2

Question 24

Welches ist die geometrische Bedeutung eines Eigenvektors?

Accepted Answer

Ein Eigenvektor gibt die Richtung im Vektorraum an, in die der lineare Operator den Vektor streckt oder staucht.

Answer

Ein Eigenvektor ist die Lösung des linearen Gleichungssystems.

Answer

Ein Eigenvektor ist der Vektor mit der größten Norm.

Question 25

Welche Aussage über Eigenwerte ist korrekt?

Accepted Answer

Eigenwerte sind skalare Größen.

Answer

Eigenwerte sind Matrizen.

Answer

Eigenwerte sind Vektoren.

Answer

Eigenwerte sind stets reell.

Question 26

Welche der folgenden Aussagen über Eigenvektoren ist **falsch**?

Accepted Answer

Eigenvektoren können linear abhängig sein.

Answer

Eigenvektoren werden durch lineare Transformationen nicht verändert.

Answer

Eigenvektoren können mit einem Skalar multipliziert werden, ohne ihre Eigenschaft als Eigenvektor zu verlieren.

Answer

Eigenvektoren geben die Richtung an, in der eine lineare Transformation einen Vektor streckt oder staucht.

Question 27

Welche der folgenden Aussagen über das charakteristische Polynom ist **richtig**?

Accepted Answer

Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind die Eigenwerte der Matrix.

Answer

Das charakteristische Polynom ist immer ein Polynom ersten Grades.

Answer

Das charakteristische Polynom ist unabhängig von der Matrix.

Question 28

Eine Matrix A ist diagonalisierbar, wenn sie eine Basis aus linear unabhängigen Eigenvektoren besitzt. Was bedeutet es, dass eine Matrix eine Basis aus linear unabhängigen Eigenvektoren besitzt?

Accepted Answer

Es bedeutet, dass man eine lineare Kombination von Eigenvektoren finden kann, die jeden Vektor im Vektorraum darstellen kann.

Answer

Es bedeutet, dass alle Eigenvektoren der Matrix orthogonal zueinander sind.

Question 29

Welche der folgenden Aussagen beschreibt **nicht** den Zusammenhang zwischen Eigenwerten und der Transformation einer Matrix?

Accepted Answer

Eigenwerte beschreiben die Richtung, in die die Matrix einen Vektor dreht.

Answer

Eigenwerte beschreiben die Streckung oder Stauchung eines Vektors unter der Transformation.

Answer

Eigenvektoren geben die Richtung an, in die eine Matrix einen Vektor streckt oder staucht.

Question 30

Welche der folgenden Aussagen über Eigenvektoren ist FALSCH?

Accepted Answer

Eigenvektoren sind immer orthogonal zueinander.

Answer

Eigenvektoren werden durch lineare Transformationen nicht verändert, bis auf einen Skalierungsfaktor.

Answer

Eigenvektoren können für verschiedene Eigenwerte identisch sein.

Answer

Die Richtung eines Eigenvektors bleibt nach einer linearen Transformation erhalten.

Question 31

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt die Beziehung zwischen einem Eigenwert (λ) und seinem zugehörigen Eigenvektor (v) einer Matrix A?

Accepted Answer

Av = λv

Answer

v = λA

Answer

λ = Av

Answer

A = λv

Question 32

Eine 3x3-Matrix hat drei verschiedene Eigenwerte. Welche der folgenden Aussagen ist KORREKT?

Accepted Answer

Die Matrix ist diagonalisierbar.

Answer

Die Matrix hat drei linear unabhängige Eigenvektoren.

Answer

Die Matrix ist singulär.

Answer

Die Matrix ist nicht diagonalisierbar.

Question 33

Welches ist das charakteristische Polynom der Matrix A = [[2, 1], [1, 2]]?

Accepted Answer

λ² - 4λ + 3

Answer

λ² - 4λ - 3

Answer

λ² + 4λ + 3

Answer

λ² - 2λ + 1

Question 34

Was sind die Eigenwerte der Matrix A = [[1, 2], [0, 1]]?

Accepted Answer

λ1 = 1, λ2 = 1

Answer

λ1 = 1, λ2 = 0

Answer

λ1 = 1, λ2 = 2

Answer

λ1 = 0, λ2 = 1

Question 35

Welche der folgenden Aussagen über die Diagonalisierung einer Matrix ist FALSCH?

Accepted Answer

Jede Matrix kann diagonalisiert werden.

Answer

Die Eigenvektoren einer diagonalisierbaren Matrix bilden eine Basis des Vektorraums.

Answer

Eine diagonalisierbare Matrix kann als Produkt aus einer diagonalen Matrix und zwei invertierbaren Matrizen dargestellt werden.

Answer

Die Diagonalisierung einer Matrix vereinfacht die Berechnung von Potenzen der Matrix.

Question 36

Ein Unternehmen produziert zwei Produkte A und B. Die Produktionskosten für A und B werden durch die Matrix A = [[2, 1], [1, 2]] dargestellt. Welche der folgenden Aussagen über die Eigenwerte der Matrix A ist KORREKT?

Accepted Answer

Die Eigenwerte geben die Produktionskosten pro Einheit an, bei denen die Kosten proportional zum Produktionsvolumen bleiben.

Answer

Die Eigenwerte geben die Produktionskosten für eine bestimmte Produktionsmenge an.

Question 37

Welche der folgenden Aussagen über das charakteristische Polynom einer Matrix ist KORREKT?

Accepted Answer

Das charakteristische Polynom ist ein Polynom, dessen Nullstellen die Eigenwerte der Matrix sind.

Answer

Das charakteristische Polynom ist ein Vektor, der die Eigenwerte der Matrix enthält.

Answer

Das charakteristische Polynom ist eine Zahl, die die Eigenwerte der Matrix darstellt.

Question 38

Eine Matrix A hat den Eigenwert λ = 0. Welche der folgenden Aussagen ist KORREKT?

Accepted Answer

Die Matrix A ist nicht invertierbar.

Answer

Die Matrix A ist orthogonal.

Answer

Die Matrix A ist invertierbar.

Answer

Die Matrix A ist diagonal.

Question 39

Gegeben ist eine Matrix A und ein Eigenvektor v mit zugehörigem Eigenwert λ. Welche der folgenden Gleichungen ist KORREKT?

Accepted Answer

A²v = λ²v

Answer

A²v = λv

Answer

A²v = λ⁴v

Answer

A²v = 2λv

Question 40

Berechnen Sie die Eigenwerte der Matrix A = [2 1] 
 [1 2].

Accepted Answer

λ₁ = 3, λ₂ = 1

Answer

λ₁ = -1, λ₂ = -3

Answer

λ₁ = 1, λ₂ = 3

Answer

λ₁ = 2, λ₂ = 2

Question 41

Bestimmen Sie einen Eigenvektor zum Eigenwert λ = 2 der Matrix B = [3 -2] 
 [-1 4].

Accepted Answer

v = [2 1]

Answer

v = [0 1]

Answer

v = [1 0]

Answer

v = [1 2]

Question 42

Berechnen Sie das charakteristische Polynom der Matrix C = [0 1] 
 [-1 0].

Accepted Answer

p(λ) = λ² + 1

Answer

p(λ) = λ - 1

Answer

p(λ) = λ² - 1

Answer

p(λ) = λ + 1

Question 43

Ist die folgende Matrix diagonalisierbar?

Accepted Answer

A = [2 1] 
 [0 2]

Answer

B = [1 2] 
 [2 1]

Answer

C = [2 1] 
 [-1 2]

Answer

D = [3 2] 
 [-2 1]

Question 44

Bestimmen Sie die Eigenwerte der Matrix D = [1 2] 
 [2 1].

Accepted Answer

λ₁ = 3, λ₂ = -1

Answer

λ₁ = 2, λ₂ = 2

Answer

λ₁ = -1, λ₂ = 3

Answer

λ₁ = 1, λ₂ = -3

Question 45

Berechnen Sie einen Eigenvektor zum Eigenwert λ = 1 der Matrix E = [2 2] 
 [-1 1].

Accepted Answer

v = [1 1]

Answer

v = [0 1]

Answer

v = [1 -1]

Question 46

Berechnen Sie das charakteristische Polynom der Matrix F = [1 0] 
 [0 1].

Accepted Answer

p(λ) = (λ - 1)²

Answer

p(λ) = λ - 1

Answer

p(λ) = λ + 1

Answer

p(λ) = λ² - 1

Question 47

Ist die folgende Matrix diagonalisierbar?

Accepted Answer

G = [3 1] 
 [2 2]

Answer

H = [1 2] 
 [2 1]

Answer

J = [0 2] 
 [-2 1]

Answer

I = [2 1] 
 [-1 2]

Question 48

Welche der folgenden Aussagen über Eigenwerte ist richtig?

Accepted Answer

Eigenwerte sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms.

Answer

Eigenwerte sind die Diagonaleneinträge einer Matrix.

Answer

Eigenwerte sind die Lösungen der Matrixgleichung Ax = 0.

Question 49

Welche der folgenden Aussagen über Eigenvektoren ist richtig?

Accepted Answer

Eigenvektoren sind die von 0 verschiedenen Lösungen der Matrixgleichung Ax = λx.

Answer

Eigenvektoren sind die Zeilenvektoren einer Matrix.

Answer

Eigenvektoren sind die Spaltenvektoren einer Matrix.

Question 50

Berechnen Sie die Eigenwerte der Matrix A = [[1,2],[3,4]].

Accepted Answer

1 und 5

Answer

-1 und 3

Answer

2 und 6

Question 51

Bestimmen Sie einen Eigenvektor zum Eigenwert 2 der Matrix B = [[5,1],[-3,2]].

Accepted Answer

[-1,1]

Answer

[0,1]

Answer

[1,2]

Answer

[2,-1]

Question 52

Berechnen Sie das charakteristische Polynom der Matrix C = [[0,1],[2,3]].

Accepted Answer

x² - 3x + 2

Answer

x² - 2x + 3

Answer

x² + 2x - 3

Answer

x² + 3x - 2

Question 53

Welche der folgenden Aussagen über diagonalisierbare Matrizen ist richtig?

Accepted Answer

Sie besitzen n linear unabhängige Eigenvektoren.

Answer

Sie sind immer symmetrisch.

Answer

Ihre Eigenwerte sind immer verschieden.

Answer

Sie haben immer reelle Eigenwerte.

Question 54

Untersuchen Sie, ob die Matrix D = [[1,0],[0,1]] diagonalisierbar ist.

Accepted Answer

Ja, sie ist diagonalisierbar.

Answer

Sie ist nur teilweise diagonalisierbar.

Answer

Nein, sie ist nicht diagonalisierbar.

Answer

Es lässt sich nicht bestimmen.

Question 55

Welche der folgenden Matrizen ist nicht diagonalisierbar?

Accepted Answer

[[1,1],[1,0]]

Answer

[[2,0],[0,3]]

Answer

[[0,1],[-1,0]]

Answer

[[1,2],[3,4]]

Question 56

Bestimmen Sie eine orthogonale Matrix, die die Matrix E = [[2,1],[1,2]] diagonalisiert.

Accepted Answer

[[(1/√5),(2/√5)],[(2/√5),(-1/√5)]]

Answer

[[(2/√5),(1/√5)],[(1/√5),(2/√5)]]

Answer

[[(1/√3),(1/√3)],[(1/√3),(2/√3)]]

Answer

[[(1/√2),(1/√2)],[(1/√2),(-1/√2)]]

Question 57

Berechnen Sie die Eigenwerte der Matrix F = [[cos(θ),-sin(θ)],[sin(θ),cos(θ)]].

Accepted Answer

1 und -1

Answer

√2 und -√2

Answer

0 und 2

Answer

cos(θ) und sin(θ)

Question 58

Welche der folgenden Aussagen über die Spur einer Matrix ist richtig?

Accepted Answer

Sie ist gleich der Summe der Eigenwerte.

Answer

Sie ist gleich der Determinante der Matrix.

Answer

Sie ist gleich dem Rang der Matrix.

Answer

Sie ist gleich dem Produkt der Eigenwerte.

Question 59

Bestimmen Sie die Determinante der Matrix G = [[eigenwert1,0],[0,eigenwert2]].

Accepted Answer

eigenwert1 * eigenwert2

Answer

eigenwert1 - eigenwert2

Answer

eigenwert1 + eigenwert2

Answer

0

Question 60

Eigenwerte sind Nullstellen des

Accepted Answer

Charakteristischen Polynoms

Answer

Minimumspolynoms

Answer

Skalarprodukts

Answer

Spurpolynoms

Question 61

Eine Matrix ist diagonalisierbar, wenn sie

Accepted Answer

eine vollständige Menge linear unabhängiger Eigenvektoren besitzt

Answer

eine Determinante von 0 hat

Answer

eine Spur von 0 hat

Question 62

Die Eigenvektoren zu einem Eigenwert sind

Accepted Answer

vieldimensionale Vektoren

Answer

Skalare

Answer

Tensoren

Answer

Matrizen

Question 63

Die Summe aller Eigenwerte einer Matrix ist gleich

Accepted Answer

der Spur der Matrix

Answer

der Determinante der Matrix

Answer

der Ordnung der Matrix

Answer

dem Rang der Matrix

Question 64

Das charakteristische Polynom einer Matrix

Accepted Answer

ist ein Polynom vom Grad der Matrixordnung

Answer

ist ein Polynom vom Grad der Determinante

Answer

ist ein Polynom vom Grad der Eigenwerte

Answer

ist ein Polynom vom Grad der Eigenvektoren