Differentialgleichungen lernen: Online-Quizze und Übungen für Mechatronik-Studierende

Question 1

Welche Aussage zur allgemeinen Lösung einer linearen Differentialgleichung erster Ordnung ist korrekt?

Accepted Answer

Die allgemeine Lösung enthält eine Integrationskonstante C.

Answer

Die allgemeine Lösung hat eine bestimmte Anzahl von Nullstellen.

Answer

Die allgemeine Lösung ist immer eine rationale Funktion.

Answer

Die allgemeine Lösung ist immer eine transzendente Funktion.

Question 2

Welche Methode eignet sich zur Lösung folgender Differentialgleichung: y' + y = e^x?

Accepted Answer

Integrierender Faktor

Answer

Variation der Konstanten

Answer

Separation der Variablen

Answer

Lineare Transformation

Question 3

Welche Differentialgleichung beschreibt die Bewegung eines Feder-Masse-Systems mit Federkonstante k?

Accepted Answer

y'' + ky = 0

Answer

y'' - ky = 0

Answer

y'' + ky' = 0

Answer

y'' - ky' = 0

Question 4

Welche Methode eignet sich zur Lösung folgender System von Differentialgleichungen: x' = x + y, y' = -x + y?

Accepted Answer

Eigenwert-Eigenvektor-Analyse

Answer

Laplace-Transformation

Answer

Variationsrechnung

Answer

Numerische Methoden

Question 5

Welche Methode zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen erster Ordnung eignet sich, wenn die Gleichung in der Form y' = f(x,y) vorliegt?

Accepted Answer

Trennung der Variablen

Answer

Lineare Differentialgleichungen

Answer

Lösen durch Faktorisierung

Answer

Variationskonstante

Question 6

Gegeben sei die Differentialgleichung y' = -2y. Bestimme die allgemeine Lösung.

Accepted Answer

y = ce^(-2x)

Answer

y = -ce^(-2x)

Answer

y = ce^(2x)

Answer

y = -ce^(2x)

Question 7

Nenne eine Anwendung von Differentialgleichungen in der Physik.

Accepted Answer

Modellierung der Schwingungen eines Feder-Masse-Systems

Answer

Berechnung der Durchschnittstemperatur eines Raumes

Answer

Optimierung von Produktionsabläufen in der Industrie

Answer

Analyse finanzieller Investitionen

Question 8

In welche Kategorie fällt die Differentialgleichung y' = x^2 * y?

Accepted Answer

Nichtlineare Differentialgleichung erster Ordnung

Answer

Lineare Differentialgleichung erster Ordnung

Answer

Lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung

Answer

Nichtlineare Differentialgleichung zweiter Ordnung

Question 9

Welche Differentialgleichung beschreibt den Zerfall eines radioaktiven Stoffes?

Accepted Answer

y' = -ky

Answer

y'' + ky = 0

Answer

y' + ky^2 = 0

Answer

y'' + ky' = 0

Question 10

Welche Randbedingung ist eine Dirichlet-Randbedingung?

Accepted Answer

Der Funktionswert an der Randkurve ist vorgegeben.

Answer

Die erste Ableitung der Funktion an der Randkurve ist vorgegeben.

Answer

Die zweite Ableitung der Funktion an der Randkurve ist vorgegeben.

Answer

Die Funktion und ihre erste Ableitung sind an der Randkurve vorgegeben.

Question 11

Welche der folgenden Aussagen über Differentialgleichungen trifft zu?

Accepted Answer

Differentialgleichungen sind Gleichungen, die eine Ableitung einer Funktion enthalten.

Answer

Differentialgleichungen können nur für lineare Funktionen gelöst werden.

Answer

Differentialgleichungen haben immer eindeutige Lösungen.

Answer

Differentialgleichungen finden keine Anwendung in Physik und Technik.

Question 12

Welche Art von Differentialgleichung ist die folgende: y' = 2x + y?

Accepted Answer

Lineare Differentialgleichung erster Ordnung

Answer

Nichtlineare Differentialgleichung erster Ordnung

Answer

Lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung

Answer

Nichtlineare Differentialgleichung zweiter Ordnung

Question 13

Welches Lösungsverfahren wird für die folgende Differentialgleichung verwendet: y' + 2y = e^x?

Accepted Answer

Integrierender Faktor

Answer

Trennung der Variablen

Answer

Variation der Konstanten

Answer

Laplace-Transformation

Question 14

Welche Aussage über die allgemeine Lösung einer Differentialgleichung erster Ordnung ist falsch?

Accepted Answer

Sie ist immer eine eindeutige Funktion.

Answer

Sie enthält eine willkürliche Konstante.

Answer

Sie beschreibt alle möglichen Lösungen der Differentialgleichung.

Answer

Sie kann durch Einsetzen eines Anfangswertes zu einer partikulären Lösung werden.

Question 15

Welche Differentialgleichung beschreibt den radioaktiven Zerfall eines Isotops?

Accepted Answer

y' = -ky

Answer

y'' + ky = 0

Answer

y'' - ky' + k^2y = 0

Answer

y' = ky

Question 16

Welche der folgenden Methoden dient zur numerischen Lösung von Differentialgleichungen?

Accepted Answer

Alle der genannten Methoden

Answer

Euler-Verfahren

Answer

Runge-Kutta-Verfahren

Answer

Finite-Elemente-Methode

Question 17

Welche Differentialgleichung modelliert das Wachstum einer Bakterienpopulation?

Accepted Answer

y' = ky(1 - y/M)

Answer

y' = ky

Answer

y'' = ky

Answer

y'' = ky(1 - y/M)

Question 18

Welche Aussage über Differentialgleichungen ist korrekt?

Accepted Answer

Differentialgleichungen beschreiben die Änderungsrate einer abhängigen Variablen in Abhängigkeit von einer oder mehrerer unabhängiger Variablen.

Answer

Differentialgleichungen sind immer lineare Gleichungen.

Question 19

Welche der folgenden Differentialgleichungen ist eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung?

Accepted Answer

y' + 2y = 0

Answer

y' = y^2

Answer

y'' + y' = sin(x)

Question 20

Mit welcher Methode kann die Differentialgleichung y' = x + y gelöst werden?

Accepted Answer

Trennung der Variablen

Answer

Variation der Konstanten

Answer

Laplace-Transformation

Answer

Numerische Integration

Question 21

Welche Differentialgleichung ist eine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung?

Accepted Answer

∂^2 u / ∂x^2 + ∂^2 u / ∂y^2 = 0

Answer

y' = x + y

Answer

m y'' + c y' + ky = 0

Answer

y'' + y = 0

Question 22

Welche Differentialgleichung ist eine nichtlineare Differentialgleichung?

Accepted Answer

y' = y^2

Answer

y''' - 3y'' + 2y' = 0

Answer

y' + 2y = 0

Answer

y'' - y = 0

Question 23

Welche der folgenden Aussagen zur Lösbarkeit einer gewöhnlichen Differentialgleichung ist richtig?

Accepted Answer

Eine gewöhnliche Differentialgleichung ist genau dann eindeutig lösbar, wenn für ihre Anfangsbedingungen eine Lösung existiert und diese Lösung eindeutig ist.

Answer

Eine gewöhnliche Differentialgleichung ist genau dann lösbar, wenn sie keine Singularitäten besitzt.

Answer

Eine gewöhnliche Differentialgleichung ist immer lösbar, wenn ihr Grad ungerade ist.

Question 24

Welche der folgenden Aussagen zur Stabilität eines linearen Gleichungssystems ist richtig?

Accepted Answer

Ein lineares Gleichungssystem ist genau dann stabil, wenn alle Eigenwerte seiner Koeffizientenmatrix negative Realteile besitzen.

Answer

Ein lineares Gleichungssystem ist genau dann stabil, wenn alle Eigenwerte seiner Koeffizientenmatrix positive Realteile besitzen.

Question 25

Welche der folgenden Differentialgleichungen ist eine partielle Differentialgleichung?

Accepted Answer

∂u/∂x + ∂u/∂y = 0

Answer

y'' - ω^2y = 0

Answer

y' + sin(x)y = 0

Answer

y'' + xy' + x^2y = 0

Question 26

Welche der folgenden Methoden eignet sich zur numerischen Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung?

Accepted Answer

Runge-Kutta-Verfahren

Answer

Laplace-Transformation

Answer

Sturm-Liouville-Theorie

Answer

Variationsrechnung

Question 27

Welche Aussage über Differentialgleichungen erster Ordnung ist korrekt?

Accepted Answer

Sie können von einer unabhängigen Variablen abhängige Funktionen beinhalten.

Answer

Sie können lediglich von Ableitungen der abhängigen Variablen abhängig sein.

Answer

Sie können ausschließlich von Konstanten abhängen.

Question 28

Welche Methode eignet sich zur Lösung einer Differentialgleichung erster Ordnung vom Grad 1?

Accepted Answer

Trennung der Variablen

Answer

Variation der Konstanten

Answer

Linearkombination

Answer

Laplace-Transformation

Question 29

Welche der folgenden Gleichungen ist eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung?

Accepted Answer

y'' + 2y' + y = 0

Answer

y' = e^y

Answer

cos(y) = y'

Answer

y''' = y

Question 30

Welche Differentialgleichung besitzt keine konstanten Koeffizienten?

Accepted Answer

y'' + p(x)y' + q(x)y = 0

Answer

y'' + 2y' + y = 0

Answer

y' = x^2y

Answer

y'' - y' = 0

Question 31

In welchem Bereich der Physik finden Differentialgleichungen Anwendung?

Accepted Answer

Modellierung harmonischer Schwingungen

Answer

Optimierung von Funktionen

Answer

Berechnung von Flächen unter Kurven

Answer

Lösen linearer Gleichungssysteme

Question 32

In welchem technischen Bereich werden Differentialgleichungen eingesetzt?

Accepted Answer

Modellierung elektrischer Schaltkreise

Answer

Berechnung von Ereigniswahrscheinlichkeiten

Answer

Finanzmarktanalyse

Answer

Wettervorhersage

Question 33

Welche Aussage über Lösungen von Differentialgleichungen ist zutreffend?

Accepted Answer

Sie können je nach Anfangsbedingungen variieren.

Answer

Sie sind immer eindeutig bestimmt.

Answer

Sie sind immer stabil.

Answer

Sie sind stets analytisch lösbar.

Question 34

Welche numerische Methode eignet sich zur Annäherung von Lösungen von Differentialgleichungen?

Accepted Answer

Runge-Kutta-Verfahren

Answer

Newton-Verfahren

Answer

Biсекtionsverfahren

Answer

Gauß-Jordan-Elimination

Question 35

Welche der folgenden Aussagen zur allgemeinen Lösung der Differentialgleichung y' = y ist korrekt?

Accepted Answer

y = C * e^x

Answer

y = C * x

Answer

y = C / e^x

Answer

y = C / x

Question 36

Welche der folgenden Funktionen ist eine Partikulärlösung der Differentialgleichung y' - 2y = e^x?

Accepted Answer

y = (1/2) * e^x

Answer

y = 0

Answer

y = e^x

Answer

y = -e^x

Question 37

Welche der folgenden Aussagen zur Laplace-Transformation ist korrekt?

Accepted Answer

Die Laplace-Transformation wandelt eine Funktion im Zeitbereich in eine Funktion im Frequenzbereich um.

Answer

Die Laplace-Transformation wandelt eine Funktion im Frequenzbereich in eine Funktion im Zeitbereich um.

Question 38

Welche der folgenden Differentialgleichungen beschreibt die Bewegung eines Teilchens unter dem Einfluss einer Feder mit der Federkonstante k und der Masse m?

Accepted Answer

m * y'' + k * y = 0

Answer

k * y'' - m * y = 0

Answer

m * y'' - k * y = 0

Answer

k * y'' + m * y = 0

Question 39

Welche der folgenden Aussagen zur numerischen Lösung von Differentialgleichungen ist falsch?

Accepted Answer

Das Runge-Kutta-Verfahren ist eine implizite Lösungsmethode.

Answer

Das finite Differenzenverfahren kann verwendet werden, um partielle Differentialgleichungen zu lösen.

Answer

Das Euler-Verfahren ist eine explizite Lösungsmethode.

Question 40

Welche der folgenden Differentialgleichungen ist eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung?

Accepted Answer

y' + 2y = x

Answer

y'' + 3y' + 2y = 0

Answer

y' = y^2 + x

Answer

y' = x*y

Question 41

Welche der folgenden Aussagen über die allgemeine Lösung einer Differentialgleichung zweiter Ordnung ist korrekt?

Accepted Answer

Sie ist eine Linearkombination aus zwei linear unabhängigen Lösungen.

Answer

Sie ist eine nichtlineare Funktion.

Answer

Sie hat nur eine einzige Lösung.

Question 42

Welche der folgenden Anwendungen von Differentialgleichungen wird in der Physik verwendet?

Accepted Answer

Modellierung von Schwingungen und elektrischen Schaltkreisen

Answer

Lösen von linearen Gleichungssystemen

Answer

Berechnung von Wahrscheinlichkeiten

Question 43

Welche der folgenden Differentialgleichungen beschreibt die Bewegung eines fallenden Objekts mit Luftwiderstand?

Accepted Answer

y'' + b*y' + g = 0

Answer

y'' + g = 0

Answer

y' + b*y' = 0

Answer

y' + g = 0

Question 44

Welche der folgenden Methoden kann zur numerischen Lösung einer Differentialgleichung verwendet werden?

Accepted Answer

Runge-Kutta-Verfahren

Answer

Cramer-Regel

Answer

Gaußsche Elimination

Answer

Laplace-Transformation

Question 45

Welche der folgenden Aussagen über Existenz- und Eindeutigkeitssätze für Differentialgleichungen ist korrekt?

Accepted Answer

Der Satz von Picard-Lindelöf garantiert die Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen unter bestimmten Bedingungen.

Answer

Eindeutigkeit von Lösungen ist immer gegeben.

Answer

Der Satz von Picard-Lindelöf gilt nur für lineare Differentialgleichungen.

Question 46

Welche der folgenden Differentialgleichungen ist eine separable Differentialgleichung?

Accepted Answer

y' = f(x) * g(y)

Answer

y'' = f(x) * y'

Answer

y' = x * y + 1

Answer

y' + y = f(x)

Question 47

Welche Methode wird typischerweise verwendet, um eine Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten zu lösen?

Accepted Answer

Charakteristische Gleichung

Answer

Trennung der Variablen

Answer

Integrierfaktor

Answer

Variationskonstanten

Question 48

Welche Anfangsbedingungen sind für die eindeutige Lösung einer Differentialgleichung zweiter Ordnung notwendig?

Accepted Answer

y(x0) und y'(x0)

Answer

y(x0), y'(x0) und y''(x0)

Answer

Nur y'(x0)

Answer

Nur y(x0)

Question 49

Welche der folgenden Gleichungen ist eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung?

Accepted Answer

y'' + p(x)y' + q(x)y = 0

Answer

y'' + y = sin(x)

Answer

y^(3) + y' = 0

Answer

y'y'' = 1

Question 50

Welche der folgenden Differentialgleichungen ist eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung?

Accepted Answer

y' + 2y = sin(x)

Answer

y'' + y' + y = 0

Answer

y'² + y = x

Answer

y' + y² = 1

Question 51

Welche der folgenden Methoden kann zur Lösung einer Differentialgleichung erster Ordnung mit getrennten Variablen verwendet werden?

Accepted Answer

Integration beider Seiten

Answer

Potenzreihenentwicklung

Answer

Laplace-Transformation

Answer

Variation der Konstanten

Question 52

Welche der folgenden Differentialgleichungen beschreibt den freien Fall eines Objekts unter dem Einfluss der Erdanziehungskraft?

Accepted Answer

y'' = -g

Answer

y' = g

Answer

y' = -g

Answer

y'' = g

Question 53

Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung y' = ky ist:

Accepted Answer

y = Ce^(kt)

Answer

y = k + Ce^(t)

Answer

y = Ce^(-kt)

Answer

y = Ct + k

Question 54

Welche der folgenden Aussagen trifft auf die Lösung einer Differentialgleichung zweiter Ordnung zu?

Accepted Answer

Die Lösung beinhaltet zwei Integrationskonstanten.

Answer

Die Lösung ist immer eine Sinusfunktion.

Answer

Die Lösung ist immer eindeutig.

Answer

Die Lösung ist immer eine Exponentialfunktion.

Question 55

Eine Differentialgleichung, die die Änderungsrate einer Größe in Bezug auf eine andere Größe beschreibt, wird als ____ bezeichnet.

Accepted Answer

Differentialgleichung

Answer

Integralgleichung

Answer

Trigonometrische Gleichung

Answer

Algebraische Gleichung

Question 56

Welche der folgenden Methoden kann zur Lösung einer linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten verwendet werden?

Accepted Answer

Charakteristische Gleichung

Answer

Separation der Variablen

Answer

Laplace-Transformation

Answer

Variation der Konstanten

Question 57

Die Lösung einer homogenen Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten ist gegeben durch:

Accepted Answer

Eine Linearkombination von Exponentialfunktionen und/oder trigonometrischen Funktionen

Answer

Eine einzelne Exponentialfunktion

Answer

Eine einzelne trigonometrische Funktion

Question 58

Welche der folgenden Differentialgleichungen beschreibt die Bewegung eines harmonischen Oszillators?

Accepted Answer

y'' + ω²y = 0

Answer

y' - ω²y = 0

Answer

y'' - ω²y = 0

Answer

y' + ω²y = 0

Question 59

Die Lösung einer nichtlinearen Differentialgleichung ist:

Accepted Answer

Im Allgemeinen nicht analytisch bestimmbar

Answer

Immer eine Exponentialfunktion

Answer

Immer analytisch bestimmbar

Question 60

Welche der folgenden Gleichungen ist eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung?

Accepted Answer

y' + 2y = x

Answer

y'' + y' + y = 0

Answer

y = x^2 + y^3

Answer

y' = y^2

Question 61

Welche Methode wird verwendet, um die folgende Differentialgleichung zu lösen? y' = y + x

Accepted Answer

Trennung der Variablen

Answer

Numerische Integration

Answer

Variation der Konstanten

Answer

Laplace-Transformation

Question 62

Welche der folgenden Anwendungen ist mit Differentialgleichungen verbunden?

Accepted Answer

Modellierung von Schwingungen in Feder-Masse-Systemen

Answer

Quantenmechanik

Answer

Soziologie

Question 63

Welche der folgenden Aussagen über homogene Differentialgleichungen ist korrekt?

Accepted Answer

Ihre Lösungen sind stets lineare Kombinationen der Lösungen der zugehörigen charakteristischen Gleichung

Answer

Sie haben immer eine eindeutige Lösung

Question 64

Welche Differentialgleichung beschreibt die Abkühlung eines Objekts?

Accepted Answer

dT/dt = -k(T - T_umgebung)

Answer

dT/dx = kT

Answer

T = k(t-t_0)

Answer

d^2T/dt^2 = -kT