Vektorräume und Matrizen: Online-Quiz für Maschinenbau-Studierende

Question 1

Was beschreibt die Dimension eines Vektorraums?

Accepted Answer

Anzahl linear unabhängiger Vektoren, die den Vektorraum aufspannen

Answer

Anzahl aller Vektoren im Vektorraum

Answer

Kann negativ sein

Answer

Anzahl der Zeilen oder Spalten einer Matrix, die den Vektorraum darstellt

Question 2

Was ist die korrekte Definition eines Vektorraums?

Accepted Answer

Eine Menge von Vektoren, die unter Addition und Skalarmultiplikation abgeschlossen ist.

Answer

Eine Menge von Vektoren, die unter Addition und Multiplikation abgeschlossen ist.

Answer

Eine Menge von Vektoren, die unter Skalarmultiplikation und Division abgeschlossen ist.

Answer

Eine Menge von Vektoren, die unter Addition und Subtraktion abgeschlossen ist.

Question 3

Welche der folgenden Matrizen ist eine Einheitsmatrix?

Accepted Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Answer

[[1, 2], [3, 4]]

Answer

[[0, 1], [1, 0]]

Answer

[[2, 1], [1, 2]]

Question 4

Welche der folgenden Operationen ist für Matrizen nicht definiert?

Accepted Answer

Division

Answer

Addition

Answer

Subtraktion

Answer

Multiplikation mit einem Skalar

Question 5

Welche der folgenden Aussagen über die Determinante einer Matrix ist korrekt?

Accepted Answer

Alle Aussagen sind richtig.

Answer

Die Determinante einer Matrix ist invariant gegenüber Zeilen- und Spaltenvertauschungen.

Answer

Die Determinante einer Dreiecksmatrix ist gleich dem Produkt ihrer Diagonalelemente.

Answer

Die Determinante einer Matrix ist ungleich null, wenn und nur wenn die Matrix invertierbar ist.

Question 6

Welche der folgenden Methoden zur Lösung linearer Gleichungssysteme ist die effizienteste?

Accepted Answer

Gauß-Elimination

Answer

Cramer-Regel

Answer

Jacobi-Iteration

Answer

Gauß-Seidel-Iteration

Question 7

Welche der folgenden Aussagen über Eigenwerte ist korrekt?

Accepted Answer

Alle Aussagen sind richtig.

Answer

Die Eigenwerte einer Matrix sind die Wurzeln ihres charakteristischen Polynoms.

Answer

Die Eigenwerte einer symmetrischen Matrix sind reell.

Answer

Die Summe der Eigenwerte einer Matrix ist gleich der Summe ihrer Hauptdiagonalelemente.

Question 8

Welches der folgenden Kriterien gewährleistet die Diagonalisierbarkeit einer Matrix?

Accepted Answer

Die Matrix hat n verschiedene Eigenwerte.

Answer

Die Matrix ist symmetrisch.

Answer

Die Matrix ist eine Diagonalmatrix.

Answer

Die Matrix ist invertierbar.

Question 9

Welche Aussage über eine Basis eines Vektorraums ist korrekt?

Accepted Answer

Eine Basis ist eine minimale erzeugende Menge, die linear unabhängig ist.

Answer

Eine Basis ist eine maximale unabhängige Menge, die nicht erzeugend ist.

Answer

Eine Basis ist eine minimale unabhängige Menge, die nicht erzeugend ist.

Answer

Eine Basis ist eine maximale erzeugende Menge, die linear abhängig ist.

Question 10

Wie hoch ist die Dimension des Vektorraums, der von den Vektoren (1, 2, 3), (2, 4, 7) und (3, 6, 10) aufgespannt wird?

Accepted Answer

3

Answer

1

Answer

2

Answer

4

Question 11

Welche der folgenden Operationen ist NICHT für Matrizen definiert?

Accepted Answer

Potenzierung

Answer

Addition

Answer

Subtraktion

Answer

Multiplikation

Question 12

Welche Aussage über Determinanten ist korrekt?

Accepted Answer

Die Determinante einer Matrix ist eine Zahl, die die Größe der Matrix angibt.

Answer

Die Determinante einer Matrix ist immer positiv.

Answer

Die Determinante einer Matrix ist gleich dem Produkt ihrer Eigenwerte.

Answer

Die Determinante einer Matrix ist immer ungleich Null.

Question 13

Was sind Eigenwerte und Eigenvektoren und welche Bedeutung haben sie in der linearen Algebra?

Accepted Answer

Eigenwerte sind Skalare, die die Größe eines Vektors beschreiben, wenn er mit einer Matrix multipliziert wird. Eigenvektoren sind Vektoren, die sich bei Multiplikation mit einer Matrix nicht verändern.

Answer

Eigenwerte sind Vektoren, die die Richtung eines Vektors beschreiben, wenn er mit einer Matrix multipliziert wird. Eigenvektoren sind Skalare, die sich bei Multiplikation mit einer Matrix nicht verändern.

Answer

Eigenwerte und Eigenvektoren sind identisch.

Answer

Eigenwerte und Eigenvektoren sind nur für symmetrische Matrizen definiert.

Question 14

Welche der folgenden Aussagen über Matrizen ist falsch?

Accepted Answer

Eine Matrix kann leer sein.

Answer

Eine Matrix kann quadratisch sein.

Answer

Eine Matrix kann aus komplexen Zahlen bestehen.

Question 15

Was versteht man unter einem Vektorraum? Nennen Sie außerdem ein Beispiel für einen dreidimensionalen Vektorraum.

Accepted Answer

Eine Menge mit Addition und Skalarmultiplikation, die die Vektorraumaxiome erfüllt.

Answer

Eine Menge linear unabhängiger Vektoren.

Answer

Eine Matrix mit beliebig vielen Zeilen und drei Spalten.

Question 16

Was ist die korrekte Definition eines Vektorraums?

Accepted Answer

Eine Menge von Vektoren, die unter Addition und Skalarmultiplikation abgeschlossen ist.

Answer

Eine Menge von Vektoren, die unter Addition abgeschlossen ist.

Answer

Eine Menge von skalaren Werten, die unter Addition und Multiplikation abgeschlossen ist.

Question 17

Welche der folgenden Matrizen ist eine Einheitsmatrix?

Accepted Answer

[[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]]

Answer

[[0, 1, 0], [1, 0, 0], [0, 0, 1]]

Answer

[[0, 1, 2], [3, 4, 5], [6, 7, 8]]

Answer

[[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]

Question 18

Welche der folgenden Aussagen über Eigenwerte ist falsch?

Accepted Answer

Jede Matrix hat mindestens einen Eigenwert.

Answer

Jede symmetrische Matrix hat reelle Eigenwerte.

Answer

Jede Diagonalmatrix hat Eigenwerte, die ihren Diagonalelementen entsprechen.

Answer

Jede orthogonale Matrix hat Eigenwerte mit Betrag 1.

Question 19

Welche der folgenden Eigenschaften trifft auf eine nullteilige Matrix zu?

Accepted Answer

Ihre Determinante ist gleich 0.

Answer

Sie ist invertierbar.

Answer

Sie hat vollen Spaltenränge.

Answer

Sie ist diagonalisierbar.

Question 20

Bestimmen Sie die Dimension des Vektorraums, der von den folgenden Vektoren aufgespannt wird: (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)

Accepted Answer

3

Answer

4

Answer

5

Answer

2

Question 21

Berechnen Sie die Inverse der Matrix A = | 2 -1 | | 1 2 |

Accepted Answer

1/5 * | 2 1 | | -1 2 |

Answer

| 2 1 |

Answer

Die Matrix A ist nicht invertierbar.

Answer

| -1 2 |

Question 22

Welche der folgenden Matrizen ist orthogonal?

Accepted Answer

| 1/sqrt(2) 1/sqrt(2) | | -1/sqrt(2) 1/sqrt(2) |

Answer

| 0 1 |

Answer

| 1 0 |

Answer

| 1 1 |

Question 23

Welche der folgenden Abbildungen ist linear?

Accepted Answer

f(x) = 2x + 1

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = |x|

Question 24

Bestimmen Sie die Basis des Vektorraums, der von den Vektoren (1, 0) und (0, 1) aufgespannt wird.

Accepted Answer

{ (1, 0), (0, 1) }

Answer

{ (1, 0), (1, 1) }

Answer

{ (0, 1), (1, 1) }

Answer

{ (1, 1), (0, 1) }

Question 25

Welches Kriterium definiert lineare Unabhängigkeit eines Vektorsystems im Vektorraum V?

Accepted Answer

Die Vektoren sind linear unabhängig

Answer

Die Vektoren erzeugen V nicht

Answer

Die Vektoren haben eine gemeinsame Nullstelle

Answer

Die Vektoren sind paarweise orthogonal

Question 26

Welche Aussage über Basen eines Vektorraums ist korrekt?

Accepted Answer

Eine Basis muss ein minimales Erzeugendensystem sein

Answer

Eine Basis ist ein linear abhängiges Erzeugendensystem

Answer

Jede Basis hat eine unterschiedliche Anzahl von Vektoren

Answer

Ein Vektorraum hat nur eine einzige Basis

Question 27

Wie lautet die Dimension eines Vektorraums mit der Basis {v1, v2, v3}?

Accepted Answer

3

Answer

Unendlich

Answer

2

Answer

4

Question 28

Welche der folgenden Matrizen ist eine Einheitsmatrix zweiter Ordnung?

Accepted Answer

A = [[1, 0], [0, 1]]

Answer

C = [[1, 1, 0], [0, 1, 1], [0, 0, 1]]

Answer

D = [[0, 1, 1], [1, 0, 1], [1, 1, 0]]

Answer

B = [[0, 1], [1, 0]]

Question 29

Welche Aussage über die Determinante einer quadratischen Matrix ist korrekt?

Accepted Answer

Die Determinante einer Matrix ist eine Zahl

Answer

Die Determinante einer Matrix ist gleich der Summe ihrer Elemente

Answer

Die Determinante einer Matrix ist gleich dem Produkt ihrer Elemente

Answer

Die Determinante einer Matrix ist immer positiv

Question 30

Welche Eigenschaft trifft auf einen Vektorraum zu?

Accepted Answer

Die Verknüpfungen Addition und skalare Multiplikation erfüllen bestimmte Axiome

Answer

Er ist eine Menge von Vektoren mit gleicher Länge

Answer

Er enthält eine eindeutig bestimmte Basis

Question 31

Welche Aussage beschreibt lineare Unabhängigkeit von Vektoren korrekt?

Accepted Answer

Keine Linearkombination der Vektoren ergibt den Nullvektor, es sei denn alle Koeffizienten sind Null

Answer

Alle Vektoren haben die gleiche Länge

Question 32

Welche Matrix repräsentiert die lineare Abbildung, die einen Vektor um den Faktor 2 skaliert?

Accepted Answer

[[2, 0], [0, 2]]

Answer

[[2, 1], [1, 2]]

Answer

[[1, 1], [1, 1]]

Answer

[[0, 2], [2, 0]]

Question 33

Welche Eigenschaft beschreibt eine nicht-invertierbare Matrix?

Accepted Answer

Ihre Determinante ist gleich Null.

Answer

Ihre Zeilen sind linear abhängig.

Answer

Sie ist nicht symmetrisch.

Answer

Sie ist nicht quadratisch.

Question 34

Welcher Vorgang wird durch die Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor ausgeführt?

Accepted Answer

Lineare Kombination der Vektoren der Matrix

Answer

Subtraktion der Elemente

Answer

Addition der Elemente

Answer

Determinantenberechnung

Question 35

Welche der folgenden Transformationen ist eine lineare Abbildung?

Accepted Answer

f(x) = 2x + 3

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = |x|

Question 36

Welche der folgenden Aussagen ist über die Dimension des Vektorraums R³ richtig?

Accepted Answer

3

Answer

4

Answer

Unendlich

Answer

2

Question 37

Welche der folgenden Matrizen ist eine Diagonalmatrix?

Accepted Answer

[[2, 0, 0], [0, 3, 0], [0, 0, 4]]

Answer

[[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]

Answer

[[1, 0, 2], [3, 4, 5], [6, 7, 8]]

Answer

[[0, 1, 1], [1, 0, 1], [1, 1, 0]]

Question 38

Welche der folgenden Mengen bildet eine **Basis** des Vektorraums R³?

Accepted Answer

{[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]}

Answer

{[1, 1, 1], [2, 2, 2], [3, 3, 3]}

Answer

{[1, 0, 0], [0, 1, 0], [1, 0, 1]}

Answer

{[1, 0, 0], [0, 1, 0], [1, 1, 1]}

Question 39

Was ist die **Dimension** des Vektorraums R⁴?

Accepted Answer

4

Answer

3

Answer

2

Question 40

Welche der folgenden Matrizen ist die **Einheitsmatrix**?

Accepted Answer

[1 0; 0 1]

Answer

[0 0; 1 1]

Answer

[1 1; 0 0]

Answer

[0 1; 1 0]

Question 41

Was ist das Ergebnis der **Addition** der Matrizen A = [1 2; 3 4] und B = [5 6; 7 8]?

Accepted Answer

[6 8; 10 12]

Answer

[1 8; 10 12]

Answer

[6 12; 10 24]

Answer

[6 8; 10 24]

Question 42

Welche der folgenden Matrizen ist die **Inverse** der Matrix A = [2 1; 4 3]?

Accepted Answer

[1.5 -0.5; -2 1]

Answer

[3 -1; -4 2]

Answer

[2 1; 4 3]

Answer

[1 -1; -2 1]

Question 43

Welche der folgenden Aussagen über die **Determinante** einer Matrix ist richtig?

Accepted Answer

Die Determinante einer Matrix ist eine Zahl.

Answer

Die Determinante einer Matrix ist immer positiv.

Answer

Die Determinante einer Matrix ist eine andere Matrix.

Answer

Die Determinante einer Matrix ist eine Vektor.

Question 44

Welche der folgenden Matrizen ist **singulär**?

Accepted Answer

[1 2; 2 4]

Answer

[2 1; 4 3]

Answer

[1 0; 0 1]

Answer

[1 1; 1 0]

Question 45

Welche der folgenden Aussagen über die **Eigenwerte** einer Matrix ist richtig?

Accepted Answer

Eigenwerte sind die Skalare, die in der Eigenwertgleichung vorkommen.

Answer

Eigenwerte sind die Matrizen, die in der Eigenwertgleichung vorkommen.

Answer

Eigenwerte sind die Vektoren, die in der Eigenwertgleichung vorkommen.

Question 46

Welche der folgenden Mengen ist ein Vektorraum über den reellen Zahlen?

Accepted Answer

Die Menge aller Polynome vom Grad höchstens 2.

Answer

Die Menge aller 2x2-Matrizen mit positiven Einträgen.

Answer

Die Menge aller Vektoren in der Ebene, deren erste Komponente größer als die zweite ist.

Answer

Die Menge aller reellen Zahlen, die größer als 0 sind.

Question 47

Welche der folgenden Vektoren sind linear unabhängig?

Accepted Answer

v1 = (1, 0, 1), v2 = (0, 1, 1), v3 = (1, 1, 0)

Answer

v1 = (1, 1, 1), v2 = (2, 2, 2), v3 = (3, 3, 3)

Answer

v1 = (1, 2, 3), v2 = (2, 4, 6), v3 = (3, 6, 9)

Answer

v1 = (1, 0, 0), v2 = (0, 1, 0), v3 = (0, 0, 0)

Question 48

Was ist die Dimension des Vektorraums aller Polynome vom Grad höchstens 3?

Accepted Answer

4

Answer

3

Answer

1

Answer

2

Question 49

Welche der folgenden Matrizen ist die Inverse der Matrix A = [[1, 2], [3, 4]]?

Accepted Answer

[[ -2, 1], [ 3/2, -1/2]]

Answer

[[ 1, -2], [ -3, 4]]

Answer

[[ 1, 2], [ 3, 4]]

Answer

[[ 4, -2], [ -3, 1]]

Question 50

Welche der folgenden Matrizen ist die Transponierte der Matrix A = [[1, 2, 3], [4, 5, 6]]?

Accepted Answer

[[1, 4], [2, 5], [3, 6]]

Answer

[[ 4, 1], [ 5, 2], [ 6, 3]]

Answer

[[ 3, 2, 1], [ 6, 5, 4]]

Answer

[[ 1, 2, 3], [ 4, 5, 6]]

Question 51

Welche der folgenden Operationen ist für Matrizen nicht definiert?

Accepted Answer

Division

Answer

Multiplikation

Answer

Addition

Answer

Subtraktion

Question 52

Welche der folgenden Aussagen ist falsch?

Accepted Answer

Die Summe zweier Matrizen ist immer eine quadratische Matrix.

Answer

Die Transponierte einer quadratischen Matrix ist ebenfalls quadratisch.

Answer

Die Produkt zweier Matrizen ist immer eine Matrix.

Question 53

Sei A = [[1, 2], [3, 4]] und B = [[5, 6], [7, 8]]. Was ist das Produkt A * B?

Accepted Answer

[[19, 22], [43, 50]]

Answer

[[ 8, 10], [ 24, 30]]

Answer

[[ 5, 6], [ 21, 24]]

Answer

[[ 6, 8], [ 15, 20]]

Question 54

Sei A eine 3x3-Matrix und B eine 3x2-Matrix. Welche Dimension hat das Produkt A * B?

Accepted Answer

3x2

Answer

2x2

Answer

2x3

Answer

3x3

Question 55

Welches der folgenden Systeme von linearen Gleichungen hat unendlich viele Lösungen?

Accepted Answer

x + y = 2, 2x + 2y = 4

Answer

x + 2y = 3, 2x + 4y = 6

Answer

x + y = 2, x - y = 1

Question 56

Welche der folgenden Aussagen über Basen eines Vektorraums ist richtig?

Accepted Answer

Eine Basis ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem.

Answer

Eine Basis ist eine Menge von Vektoren, die orthogonal zueinander sind.

Answer

Eine Basis ist eine Menge von Vektoren, die den Vektorraum aufspannen.

Question 57

Die Dimension eines Vektorraums ist:

Accepted Answer

Die Anzahl der Vektoren in einer Basis.

Answer

Die Anzahl der linearen Abhängigkeiten.

Answer

Die Anzahl der Unterräume.

Answer

Die Anzahl der unabhängigen Variablen.

Question 58

Welche der folgenden Matrizen ist eine Einheitsmatrix?

Accepted Answer

[1 0; 0 1]

Answer

[0 0; 0 0]

Answer

[0 1; 1 0]

Answer

[1 1; 1 1]

Question 59

Die Inverse einer Matrix A mit Determinante det(A) = 0:

Accepted Answer

Existiert nicht

Answer

Ist eine Nullmatrix

Answer

Ist eine invertierbare Matrix

Answer

Ist eine Einheitsmatrix

Question 60

Die Spur einer Matrix ist:

Accepted Answer

Die Summe der Diagonalelemente

Answer

Die Determinante der Matrix

Answer

Das Produkt der Diagonalelemente

Answer

Der Rang der Matrix

Question 61

Welche der folgenden Operationen ist nicht für Matrizen definiert?

Accepted Answer

Subtraktion

Answer

Addition

Answer

Multiplikation

Question 62

Die Eigenwerte einer Matrix sind die:

Accepted Answer

Lösungen der charakteristischen Gleichung

Answer

Inversen der Eigenvektoren

Answer

Rang der Matrix

Answer

Spuren der Matrix

Question 63

Welche der folgenden Matrizen ist diagonalisierbar?

Accepted Answer

Eine Matrix mit paarweise verschiedenen Eigenwerten

Answer

Eine Matrix mit nur einem Eigenwert

Answer

Eine Matrix mit komplexen Eigenwerten

Question 64

Die Orthogonalisierung von Vektoren mittels des Gram-Schmidt-Verfahrens führt zu:

Accepted Answer

Orthonormalen Vektoren

Answer

Linear unabhängigen Vektoren

Answer

Eigenvektoren

Answer

Normalisierten Vektoren