Lineare Gleichungssysteme: Interaktive Übungen und Quizze für Maschinenbau-Studierende

Question 1

Welche Aussage über die Gauß-Elimination zur Lösung linearer Gleichungssysteme ist korrekt?

Accepted Answer

Sie führt Zeilenoperationen wie Zeilenvertauschung und Zeilenaddition durch.

Answer

Sie wandelt die Koeffizientenmatrix in eine Diagonalmatrix um.

Answer

Sie bestimmt die Lösungen des Gleichungssystems direkt.

Answer

Sie ist nur für Systeme mit drei Unbekannten anwendbar.

Question 2

Welche der folgenden Gleichungen repräsentiert ein homogenes lineares Gleichungssystem?

Accepted Answer

x - 2y = 0

Answer

2x + 3y = 5

Answer

x = 3

Answer

y = 2x + 1

Question 3

Welche Methode eignet sich am besten zur Lösung großer, dichter linearer Gleichungssysteme?

Accepted Answer

Iteration (z. B. Jacobi- oder Gauß-Seidel-Verfahren)

Answer

Cramer'sche Regel

Answer

Gauß-Jordan-Elimination

Answer

Direkte Matrixinversion

Question 4

Welche der folgenden Matrizen ist invertierbar?

Accepted Answer

[[1, 2], [3, 4]]

Answer

[[1, 0], [0, 0]]

Answer

[[1, 2], [2, 4]]

Answer

[[0, 1], [0, 0]]

Question 5

Welche Aussage über die Zeilenstufenform einer Matrix ist korrekt?

Accepted Answer

Alle Einträge unterhalb der Pivotelemente sind Null.

Answer

Alle Pivotelemente sind gleich 1.

Answer

Alle Zeilen sind linear unabhängig.

Answer

Die Matrix ist invertierbar.

Question 6

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt eine Parameterdarstellung einer Geraden im R³?

Accepted Answer

x = t, y = 2t, z = 3t

Answer

x = 1, y = 2, z = 3

Answer

x + y = 1, z = 2

Answer

x = y + z

Question 7

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt eine Ebene im R³?

Accepted Answer

x + y + z = 0

Answer

x = y

Answer

x² + y² = 1

Answer

z = 0

Question 8

Welches der folgenden Verfahren löst lineare Gleichungssysteme direkt und liefert eine eindeutige Lösung, wenn das System lösbar ist?

Accepted Answer

Gauß-Elimination

Answer

Gauß-Seidel-Verfahren

Answer

Jacobi-Verfahren

Answer

Potenzreihenverfahren

Question 9

Welches iterative Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme ist in der Regel schneller, aber weniger genau als das Gauß-Seidel-Verfahren?

Accepted Answer

Jacobi-Verfahren

Answer

Gauß-Seidel-Verfahren

Answer

SOR-Verfahren

Answer

Newton-Raphson-Verfahren

Question 10

Welches Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme ist ein Iterationsverfahren?

Accepted Answer

Jacobi-Iteration

Answer

Gauß-Jordan-Elimination

Answer

LU-Zerlegung

Answer

Cholesky-Zerlegung

Question 11

Welche Zeilenoperation ist bei der Gauß-Elimination nicht zulässig?

Accepted Answer

Eine Zeile mit einer Spalte multiplizieren

Answer

Zeilen vertauschen

Answer

Zeilen mit einem Faktor multiplizieren

Answer

Eine Zeile zu einer anderen Zeile addieren

Question 12

Welches Kriterium wird verwendet, um die Eindeutigkeit der Lösung eines linearen Gleichungssystems zu bestimmen?

Accepted Answer

Rang der Matrix

Answer

Determinante der Matrix

Answer

Spur der Matrix

Answer

Eigenwerte der Matrix

Question 13

In welchen Bereichen finden lineare Gleichungssysteme Anwendung?

Accepted Answer

Alle der genannten Bereiche

Answer

Finite-Elemente-Methoden

Answer

Optimierungsprobleme

Answer

Regelungstechnik

Question 14

Welche Variable wird in einem linearen Gleichungssystem der Form Ax = b durch x dargestellt?

Accepted Answer

Variablen

Answer

Koeffizienten

Answer

Gleichungen

Answer

Lösungen

Question 15

Welche Eigenschaft trifft auf eine reguläre Matrix zu?

Accepted Answer

Eine Determinante ungleich Null

Answer

Eine Zeile aus Nullen

Answer

Eine Spalte aus Nullen

Answer

Linear abhängige Zeilenvektoren

Question 16

Welche Aussage über lineare Gleichungssysteme ist korrekt?

Accepted Answer

Keine der Aussagen trifft auf alle linearen Gleichungssysteme zu.

Answer

Jedes lineare Gleichungssystem hat mindestens eine Lösung.

Answer

Jedes lineare Gleichungssystem hat höchstens eine Lösung.

Answer

Jedes lineare Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen.

Question 17

Welches der folgenden Verfahren wandelt eine Matrix durch Zeilenoperationen in eine Dreiecksmatrix um?

Accepted Answer

Gauß-Elimination

Answer

Jacobi-Verfahren

Answer

LU-Zerlegung

Answer

QR-Zerlegung

Question 18

Welche Aussage über iterative Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme ist korrekt?

Accepted Answer

Ihre Konvergenzrate hängt von der Kondition der Matrix ab.

Answer

Sie liefern immer die exakte Lösung.

Answer

Sie sind immer schneller als direkte Verfahren.

Answer

Sie benötigen den genauen Wert der Lösung.

Question 19

Was beschreibt die Kondition einer Matrix?

Accepted Answer

Empfindlichkeit der Lösung gegenüber Datenänderungen

Answer

Größe der Matrix

Answer

Rang der Matrix

Answer

Determinante der Matrix

Question 20

Welche Eigenschaft gilt für ein lineares Gleichungssystem mit mehreren Lösungen?

Accepted Answer

Das System hat unendlich viele Lösungen.

Answer

Das System hat eine eindeutige Lösung.

Answer

Das System hat keine Lösung.

Answer

Die Anzahl der Lösungen hängt von der Matrixkondition ab.

Question 21

Welcher Begriff beschreibt eine Matrix, die eine Inverse besitzt?

Accepted Answer

regulär

Answer

singulär

Answer

defekt

Answer

vollständig

Question 22

Welche Aussage beschreibt die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems korrekt?

Accepted Answer

Es ist lösbar, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix ungleich null ist.

Answer

Es ist immer lösbar, wenn es mindestens eine Variable hat.

Answer

Es ist lösbar, wenn es mehr Gleichungen als Variablen gibt.

Answer

Es ist lösbar, wenn der Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix kleiner ist als der Rang der Koeffizientenmatrix.

Question 23

Welche der folgenden Aussagen beschreibt am besten die Hauptanwendung orthogonaler Matrizen bei der Lösung linearer Gleichungssysteme?

Accepted Answer

Vereinfachung linearer Gleichungssysteme durch Drehung des Koordinatensystems

Answer

Bestimmung des Ranges eines linearen Gleichungssystems

Answer

Verbesserung der Genauigkeit der Lösungen linearer Gleichungssysteme

Answer

Lösung großer linearer Gleichungssysteme

Question 24

Welches der folgenden Verfahren ist ein Iterationsverfahren zur iterativen Lösung linearer Gleichungssysteme?

Accepted Answer

Jacobi-Iteration

Answer

Gauß-Elimination

Answer

QR-Zerlegung

Answer

LU-Zerlegung

Question 25

Was ist das Pivotelement in der Gauß-Elimination?

Accepted Answer

Das größte Element in der aktuellen Spalte

Answer

Das kleinste Element in der aktuellen Spalte

Answer

Das Element in der linken oberen Ecke der aktuellen Matrix

Answer

Das Element in der rechten unteren Ecke der aktuellen Matrix

Question 26

Welche der folgenden Aussagen beschreibt den Rang eines linearen Gleichungssystems korrekt?

Accepted Answer

Die Anzahl der linear unabhängigen Gleichungen

Answer

Die Anzahl der linear abhängigen Gleichungen

Answer

Die Anzahl der Variablen im System

Answer

Die Anzahl der Lösungen des Systems

Question 27

Welches Kriterium wird verwendet, um zu bestimmen, ob ein lineares Gleichungssystem eindeutig lösbar ist?

Accepted Answer

Rang des Systems gleich Anzahl der Variablen

Answer

Rang des Systems kleiner als Anzahl der Variablen

Answer

Rang des Systems größer als Anzahl der Variablen

Answer

Determinante der Koeffizientenmatrix gleich Null

Question 28

Welche der folgenden Aussagen ist über die Jacobi-Iteration richtig?

Accepted Answer

Sie ist nur für diagonal dominante Systeme konvergent

Answer

Sie ist immer konvergent

Answer

Sie ist nur für symmetrische Systeme konvergent

Answer

Sie hat eine quadratische Konvergenzrate

Question 29

Welche der folgenden Darstellungen ist eine parametrische Darstellung der Lösung eines homogenen linearen Gleichungssystems?

Accepted Answer

x = c₁v₁ + c₂v₂ + ... + cₙvₙ

Answer

x = a₁v₁ + a₂v₂ + ... + aₙvₙ

Answer

x = v₁ + v₂ + ... + vₙ

Answer

x = 0

Question 30

Welches Verfahren wird verwendet, um das Vorhandensein mehrdeutiger oder inkonsistenter Lösungen in einem linearen Gleichungssystem zu bestimmen?

Accepted Answer

Rangenbestimmung

Answer

Gauß-Elimination

Answer

Rückwärtseinsetzen

Answer

Iterationsverfahren

Question 31

Welche der folgenden Aussagen beschreibt eine Eigenschaft diagonal dominanter Matrizen richtig?

Accepted Answer

Der Betrag des Diagonalelements ist größer als die Summe der Beträge aller anderen Elemente in derselben Zeile

Answer

Der Betrag des Diagonalelements ist kleiner als die Summe der Beträge aller anderen Elemente in derselben Spalte

Answer

Die Summe aller Elemente in jeder Zeile ist gleich

Answer

Die Determinante der Matrix ist ungleich Null

Question 32

Welcher Schritt steht am Anfang der Gauß-Elimination?

Accepted Answer

Umformung der Matrix in Stufenform

Answer

Berechnung der Determinante

Answer

Aufstellen des erweiterten Gleichungssystems

Answer

Einsetzen der Koeffizienten in eine Lösungsformel

Question 33

Mit welchem Kriterium muss sich eine Koeffizientenmatrix auszeichnen, damit ein lineares Gleichungssystem mittels Iterationsverfahren gelöst werden kann?

Accepted Answer

Diagonaldominanz

Answer

Symmetrie

Answer

Gleichheit der rechten Seiten

Question 34

Wie lautet die Formel zur Berechnung der Lösung eines linearen Gleichungssystems mit n Unbekannten?

Accepted Answer

x = A^-1 * b

Answer

x = (A * b)^-1

Answer

x = b * A^-1

Answer

x = A * b

Question 35

Welche Aussagen über lineare Gleichungssysteme sind zutreffend?

Accepted Answer

Sie können eindeutig lösbar, überbestimmt oder unterbestimmt sein.

Answer

Sie lassen sich immer durch Gauß-Elimination lösen.

Answer

Sie haben immer genau eine Lösung.

Question 36

Welches Verfahren ist besonders geeignet für die Lösung von dünn besetzten linearen Gleichungssystemen?

Accepted Answer

Sparse-Matrix-Techniken

Answer

Jacobi-Verfahren

Answer

LU-Zerlegung

Answer

Gauß-Seidel-Verfahren

Question 37

Auf welchem Prinzip beruht das Jacobi-Verfahren?

Accepted Answer

Iterative Aktualisierung der Variablen auf Basis alter Werte

Answer

Spaltenweises Vorwärts- und Rückwärtslösen

Answer

Direkte Matrixinversion

Question 38

Welcher Grenzwert muss für die Konvergenz des Gauß-Seidel-Verfahrens eingehalten sein?

Accepted Answer

ρ(A) < 1

Answer

ρ(A) = 0

Answer

ρ(A) > 1

Answer

ρ(A) = 1

Question 39

Was versteht man unter der Konditionszahl einer Matrix?

Accepted Answer

Ein Maß für die Empfindlichkeit der Lösung gegenüber Änderungen der Koeffizienten

Answer

Die Anzahl der Lösungen des Gleichungssystems

Answer

Die Determinante der Matrix

Question 40

Welche Aussage zur Matrizenform eines linearen Gleichungssystems ist korrekt?

Accepted Answer

Die Koeffizientenmatrix hat die Dimension m x n, wobei m die Anzahl der Gleichungen und n die Anzahl der Unbekannten ist.

Answer

Die erweiterte Matrix enthält die Lösungen des Gleichungssystems.

Answer

Die Koeffizientenmatrix ist immer invertierbar.

Answer

Die erweiterte Matrix hat die Dimension n x m.

Question 41

Welcher der folgenden Schritte ist beim Gauß-Eliminationsverfahren nicht erforderlich?

Accepted Answer

Multiplikation einer Zeile mit einer negativen Zahl

Answer

Vertauschung zweier Zeilen

Answer

Addition von Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile

Answer

Division einer Zeile durch einen Nicht-Null-Wert

Question 42

Welche Aussage zur Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems ist richtig?

Accepted Answer

Ein lineares Gleichungssystem ist genau dann lösbar, wenn der Rang der Koeffizientenmatrix gleich dem Rang der erweiterten Matrix ist.

Answer

Ein lineares Gleichungssystem ist immer lösbar, wenn die Koeffizientenmatrix invertierbar ist.

Answer

Ein lineares Gleichungssystem ist immer lösbar, wenn die erweiterte Matrix keine Nullzeile enthält.

Answer

Ein lineares Gleichungssystem ist immer lösbar, wenn die Anzahl der Gleichungen kleiner ist als die Anzahl der Unbekannten.

Question 43

Welche Aussage zur Konvergenz des Gauß-Seidel-Verfahrens ist korrekt?

Accepted Answer

Das Gauß-Seidel-Verfahren konvergiert immer gegen die Lösung, wenn die Koeffizientenmatrix diagonaldominant ist und symmetrisch positiv definit.

Answer

Das Gauß-Seidel-Verfahren konvergiert nur dann gegen die Lösung, wenn die Koeffizientenmatrix invertierbar ist.

Answer

Das Gauß-Seidel-Verfahren konvergiert immer gegen die Lösung, unabhängig von der Koeffizientenmatrix.

Answer

Das Gauß-Seidel-Verfahren kann nur verwendet werden, um lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten zu lösen.

Question 44

Welche der folgenden Aussagen beschreibt die Anwendung linearer Gleichungssysteme in der Ingenieurspraxis?

Accepted Answer

Sie werden verwendet, um komplexe Probleme wie die Berechnung von Schaltungen, die Analyse von Spannungen und die Optimierung von Strukturen zu lösen.

Answer

Sie haben keine praktische Anwendung.

Answer

Sie werden hauptsächlich in der theoretischen Mathematik verwendet.

Answer

Sie werden nur in der Bauingenieurwesen verwendet.

Question 45

Welcher Begriff beschreibt eine Matrix, bei der alle Elemente unterhalb der Hauptdiagonale Null sind?

Accepted Answer

Treppenmatrix

Answer

Orthonormalmatrix

Answer

Symmetrische Matrix

Answer

Diagonalmatrix

Question 46

Welche Operation wandelt eine Matrix in eine Treppenmatrix um?

Accepted Answer

Gauß-Elimination

Answer

Eigenwertzerlegung

Answer

Iterationsverfahren

Answer

Cramer-Regel

Question 47

Welches Symbol wird verwendet, um den Definitionsbereich eines linearen Gleichungssystems darzustellen?

Accepted Answer

Menge der zulässigen Werte für die Variablen

Answer

Wertebereich

Answer

Lösungsmenge

Answer

Nullraum

Question 48

Welches Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme basiert auf zeilenweisen Umformungen, um die Matrix in eine Stufenform zu bringen?

Accepted Answer

Gauß-Elimination

Answer

Iterationsverfahren

Answer

Relaxationsverfahren

Answer

Jacobi-Verfahren

Question 49

Welche Eigenschaft einer Matrix ist notwendig für die eindeutige Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems mit dieser Matrix als Koeffizientenmatrix?

Accepted Answer

Regulär

Answer

Symmetrisch

Answer

Quadratisch

Question 50

Welches Kriterium wird verwendet, um die Konvergenz des Jacobi-Verfahrens zu beurteilen?

Accepted Answer

Spektralradius der Iterationsmatrix

Answer

Determinante der Koeffizientenmatrix

Answer

Rang der Koeffizientenmatrix

Answer

Eigenwerte der Koeffizientenmatrix

Question 51

Welche Aussage über die Gauß-Elimination ist korrekt?

Accepted Answer

Sie transformiert die Koeffizientenmatrix in eine Dreiecksmatrix (Stufenform).

Answer

Sie erzeugt eine orthogonale Matrix.

Answer

Sie berechnet die Determinante der Matrix.

Question 52

Welcher Ansatz wird verwendet, um ein überbestimmtes lineares Gleichungssystem zu lösen?

Accepted Answer

Kleinste-Quadrate-Ansatz

Answer

Iterationsverfahren

Answer

Zerlegung in Eigenvektoren

Answer

Direkte Lösung

Question 53

Welche Art von Gleichungssystem ist durch eine Matrix mit Determinante Null gekennzeichnet?

Accepted Answer

Singuläres Gleichungssystem

Answer

Inhomogenes Gleichungssystem

Answer

Reguläres Gleichungssystem

Question 54

Welche Aussage über die Lösung eines linearen Gleichungssystems ist korrekt?

Accepted Answer

Wenn die Koeffizientenmatrix regulär ist, existiert genau eine Lösung.

Answer

Wenn die Koeffizientenmatrix quadratisch ist, existiert immer eine Lösung.

Answer

Wenn die Koeffizientenmatrix symmetrisch ist, existiert immer eine Lösung.

Question 55

Welches der folgenden Lösungsverfahren ist für lineare Gleichungssysteme mit einer großen Anzahl von Variablen am besten geeignet?

Accepted Answer

Iteratives Verfahren

Answer

Cramer-Regel

Answer

Berechnung der Sylvester-Determinante

Answer

Gauß-Elimination

Question 56

Welche der folgenden Matrizen ist die Einheitsmatrix?

Accepted Answer

[1 0; 0 1]

Answer

[0 1; 1 0]

Answer

[0 0; 0 0]

Answer

[1 1; 1 1]

Question 57

Welche der folgenden Bedingungen ist notwendig, damit ein lineares Gleichungssystem eine eindeutige Lösung hat?

Accepted Answer

Die Koeffizientenmatrix hat vollen Rang

Answer

Die rechte Seite des Systems ist der Nullvektor

Answer

Die Anzahl der Variablen ist größer als die Anzahl der Gleichungen

Question 58

Welche der folgenden Aussagen über das Gauß-Seidel-Verfahren ist korrekt?

Accepted Answer

Es konvergiert immer, wenn die Koeffizientenmatrix diagonal dominant ist

Answer

Es konvergiert immer, wenn die Koeffizientenmatrix positiv definit ist

Answer

Es konvergiert immer, wenn die Koeffizientenmatrix symmetrisch ist

Question 59

Welche der folgenden Aussagen über die inverse Matrix ist korrekt?

Accepted Answer

Sie existiert nur, wenn die Matrix nicht singulär ist

Answer

Sie ist immer symmetrisch

Answer

Sie ist immer positiv definit

Question 60

Welche der folgenden Aussagen über homogene lineare Gleichungssysteme ist korrekt?

Accepted Answer

Das homogene Gleichungssystem hat immer die triviale Lösung (x = 0), es sei denn, die Koeffizientenmatrix ist singulär.

Answer

Das homogene Gleichungssystem hat immer genau eine nicht-triviale Lösung.

Answer

Das homogene Gleichungssystem hat immer unendlich viele Lösungen.

Question 61

Welches Verfahren eignet sich am besten zum Lösen großer und dünn besetzter linearer Gleichungssysteme (d. h. die Matrix hat viele Nullen)?

Accepted Answer

Iteratives Verfahren (z. B. Jacobi- oder Gauß-Seidel-Iteration)

Answer

Gauß-Elimination

Answer

QR-Zerlegung

Answer

LU-Zerlegung

Question 62

Was ist der Rang einer Matrix?

Accepted Answer

Die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen (oder Spalten).

Answer

Die Summe der Elemente in der Matrix.

Answer

Die Anzahl der Zeilen in der Matrix.

Question 63

Welcher der folgenden Sätze ist eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass ein lineares Gleichungssystem lösbar ist?

Accepted Answer

Der Rang der Koeffizientenmatrix ist gleich dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix.

Answer

Die Determinante der Koeffizientenmatrix ist ungleich Null.

Answer

Die Anzahl der Variablen ist größer als die Anzahl der Gleichungen.

Question 64

Was ist die Bedingungszahl einer Matrix?

Accepted Answer

Ein Maß für die Empfindlichkeit der Lösung eines linearen Gleichungssystems gegenüber Änderungen in den Koeffizienten der Matrix. Eine hohe Bedingungszahl bedeutet, dass kleine Änderungen in den Koeffizienten zu großen Änderungen in der Lösung führen können.

Answer

Die Anzahl der Eigenwerte der Matrix.