Zufallsvariablen: Definition, Eigenschaften und Anwendungen in der Elektrotechnik

Question 1

Berechnen Sie den Erwartungswert einer Zufallsvariablen X mit folgender Wahrscheinlichkeitsfunktion: P(X = 1) = 0,4, P(X = 2) = 0,3, P(X = 3) = 0,3.

Accepted Answer

2,0

Answer

1,8

Answer

2,2

Answer

2,4

Question 2

Die Varianz einer Zufallsvariablen X beträgt 4. Was ist die Standardabweichung von X?

Accepted Answer

2

Answer

1

Answer

4

Answer

8

Question 3

Welche der folgenden Zufallsvariablen ist eine diskrete Zufallsvariable?

Accepted Answer

Die Anzahl der Köpfe beim Werfen einer Münze 5 Mal.

Answer

Die Größe einer Person in cm.

Answer

Die Zeit, die ein Auto benötigt, um 100 km zu fahren.

Answer

Die Spannung an einem Widerstand in einem Stromkreis.

Question 4

Berechnen Sie die Korrelation zwischen zwei Zufallsvariablen X und Y mit folgenden Erwartungswerten, Varianzen und Kovarianz: μx = 10, μy = 15, σx² = 4, σy² = 9, cov(X, Y) = 6.

Accepted Answer

0,7

Answer

0,5

Answer

0,6

Answer

0,8

Question 5

Welche Aussage über den zentralen Grenzwertsatz ist korrekt?

Accepted Answer

Er besagt, dass sich die Stichprobenmittelwerte einer Zufallsvariablen einer Normalverteilung annähern, wenn die Stichprobengröße groß genug ist.

Answer

Er gilt nur für stetige Zufallsvariablen.

Answer

Er besagt, dass sich die Summe unabhängiger Zufallsvariablen einer Poissonverteilung annähert.

Answer

Er gilt nur für Stichproben aus einer Normalverteilung.

Question 6

Welche Aussage über Zufallsvariablen ist nicht korrekt?

Accepted Answer

Zufallsvariablen können nur stetige Werte annehmen.

Answer

Zufallsvariablen ordnen jedem Element einer Grundmenge eine Zahl zu.

Answer

Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen ist ihr Mittelwert.

Answer

Die Varianz einer Zufallsvariablen misst ihre Streuung.

Question 7

Was ist die Bedeutung der Varianz einer Zufallsvariablen in der Elektrotechnik?

Accepted Answer

Sie zeigt die durchschnittliche Abweichung der Zufallsvariablen von ihrem Mittelwert.

Answer

Sie gibt den häufigsten Wert der Zufallsvariablen an.

Answer

Sie gibt den kleinsten Wert der Zufallsvariablen an.

Question 8

Nennen Sie die drei wichtigsten Arten von Wahrscheinlichkeitsverteilungen und geben Sie für jede ein Beispiel an.

Accepted Answer

Binomialverteilung (z. B. Anzahl der Erfolge in einer Reihe unabhängiger Versuche)

Accepted Answer

Normalverteilung (z. B. Verteilung von Messwerten einer Größe)

Accepted Answer

Poissonverteilung (z. B. Anzahl von Ereignissen in einem bestimmten Zeitintervall)

Answer

Exponentialverteilung, Gleichverteilung, Chi-Quadrat-Verteilung

Question 9

Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen ist:

Accepted Answer

Der mittlere Wert aller möglichen Ergebnisse.

Answer

Der Wert, der am häufigsten vorkommt.

Answer

Der größte mögliche Wert.

Answer

Der kleinste mögliche Wert.

Question 10

Die Varianz einer Zufallsvariablen ist ein Maß für:

Accepted Answer

Die Streuung der Daten.

Answer

Die Tendenz, negative Werte anzunehmen.

Answer

Die Größe im Vergleich zum Erwartungswert.

Answer

Die Einheit des Erwartungswerts.

Question 11

Welche Zufallsvariable ist binomialverteilt?

Accepted Answer

Anzahl der Erfolge in einer Folge unabhängiger Versuche.

Answer

Zeit bis zum nächsten Ereignis.

Answer

Mittelwert einer Folge unabhängiger Zufallsvariablen.

Answer

Abstand zwischen zwei Ereignissen.

Question 12

Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion einer stetigen Zufallsvariablen beschreibt:

Accepted Answer

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen bestimmten Wert annimmt.

Answer

Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Werte.

Answer

Den Erwartungswert.

Answer

Die Varianz.

Question 13

Die Momente erzeugende Funktion und die charakteristische Funktion einer Zufallsvariablen sind:

Accepted Answer

Für komplexe Argumente identisch.

Answer

Für reelle Argumente identisch.

Answer

Unterscheiden sich um einen Faktor von i.

Answer

Nicht miteinander verbunden.

Question 14

Definieren Sie eine Zufallsvariable.

Accepted Answer

Eine Funktion, die jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments einen Zahlenwert zuordnet

Answer

Eine Variable, deren Wert zufällig bestimmt wird

Answer

Eine Variable, die nur ganzzahlige Werte annehmen kann

Answer

Eine Variable, die unabhängig von allen anderen Variablen ist

Question 15

Was gibt der Erwartungswert einer Zufallsvariablen X an?

Accepted Answer

Den Mittelwert aller möglichen Werte von X

Answer

Den wahrscheinlichsten Wert von X

Answer

Die Standardabweichung von X

Answer

Den häufigsten Wert von X

Question 16

Welcher Wert der Varianz ist korrekt für eine Zufallsvariable X ~ B(n, p)?

Accepted Answer

np(1-p)

Answer

np

Answer

p(1-p)

Answer

np²

Question 17

Welche der folgenden Aussagen zur Unabhängigkeit von Zufallsvariablen ist korrekt?

Accepted Answer

X und Y sind unabhängig, wenn P(X = a, Y = b) = P(X = a)P(Y = b)

Answer

X und Y sind unabhängig, wenn E(XY) = E(X)E(Y)

Answer

X und Y sind unabhängig, wenn Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y)

Answer

X und Y sind unabhängig, wenn P(X > a) = P(Y > a)

Question 18

Welche der folgenden Verteilungen wird häufig in der Signalverarbeitung verwendet?

Accepted Answer

Normalverteilung

Answer

Poisson-Verteilung

Answer

Exponentialverteilung

Answer

Hypergeometrische Verteilung

Question 19

Welche der folgenden Aussagen über Zufallsvariablen ist falsch?

Accepted Answer

Der Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariable ist immer eine nichtnegative ganze Zahl.

Answer

Eine Zufallsvariable ist eine Funktion, die jedem Element einer Grundmenge einen Zahlenwert zuordnet.

Answer

Die Varianz einer Zufallsvariable misst die Streuung ihrer Werte um den Erwartungswert.

Answer

Eine Zufallsvariable kann sowohl diskret als auch stetig sein.

Question 20

Welcher der folgenden Werte ist der Erwartungswert der Zufallsvariable X, die die Anzahl der Erfolge bei zehn unabhängigen Versuchen mit einer Erfolgswahrscheinlichkeit von 0,3 angibt?

Accepted Answer

3

Answer

1

Answer

6

Answer

10

Question 21

Welcher der folgenden Ansätze wird verwendet, um den Erwartungswert einer stetigen Zufallsvariable X zu berechnen?

Accepted Answer

Integration

Answer

Summation

Answer

Differentiation

Answer

Monte-Carlo-Simulation

Question 22

Welche der folgenden Anwendungen von Zufallsvariablen ist in der Elektrotechnik relevant?

Accepted Answer

Alle oben genannten Aussagen sind richtig.

Answer

Signalverarbeitung

Answer

Fehleranalyse

Answer

Optimierung von Übertragungssystemen

Question 23

Welche der folgenden Zufallsvariablen ist binomialverteilt?

Accepted Answer

Anzahl der Erfolge in einer Reihe unabhängiger Bernoulli-Experimente

Answer

Dauer bis zum nächsten Ereignis in einem Poisson-Prozess

Answer

Spannung an einem Widerstand

Answer

Fehlerwahrscheinlichkeit beim Decodieren

Question 24

Welche der folgenden Verteilungen ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung?

Accepted Answer

Normalverteilung

Answer

Binomialverteilung

Answer

Poisson-Verteilung

Answer

Hypergeometrische Verteilung

Question 25

Eine Zufallsvariable ordnet jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl zu. Welche der folgenden Aussagen beschreibt dieses Konzept korrekt?

Accepted Answer

Eine Zufallsvariable ist eine Funktion, die jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl zuordnet.

Answer

Eine Zufallsvariable ist eine Variable, die ausschließlich vom Zufall bestimmt wird.

Question 26

Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen beschreibt ihren:

Accepted Answer

Mittelwert

Answer

häufigsten Wert

Answer

maximal möglichen Wert

Question 27

Welche Aussage über die Varianz einer Zufallsvariablen ist korrekt?

Accepted Answer

Die Varianz ist ein Maß für die Streuung der Werte um den Erwartungswert.

Answer

Die Varianz ist immer eine negative Zahl.

Answer

Die Varianz ist die Differenz zwischen dem größten und dem kleinsten möglichen Wert.

Question 28

Welche Anwendung von Zufallsvariablen ist in der Elektrotechnik besonders relevant?

Accepted Answer

Modellierung des Rauschens in elektronischen Schaltungen

Answer

Modellierung von Börsenkursen

Answer

Modellierung des Bevölkerungszuwachses

Question 29

Welche Transformation einer Zufallsvariablen ändert deren Wahrscheinlichkeitsverteilung nicht?

Accepted Answer

Linearkombination

Answer

Logarithmus

Answer

Exponentiation

Answer

Quadratur

Question 30

Welche Größe ergibt sich aus der Summe der Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Werte einer Zufallsvariablen?

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

Varianz

Answer

Erwartungswert

Question 31

Welche Aussage beschreibt eine Zufallsvariable präzise?

Accepted Answer

Eine Zufallsvariable ordnet jedem Ergebnis eines Ergebnisraums eine reelle Zahl zu.

Answer

Eine Zufallsvariable ist ein fester Wert, der für alle Ergebnisse gleich ist.

Question 32

Welche Größe beschreibt den Durchschnittswert einer Zufallsvariable?

Accepted Answer

Erwartungswert

Answer

Modus

Answer

Standardabweichung

Answer

Varianz

Question 33

Welche Eigenschaft kennzeichnet eine Zufallsvariable, die nur zwei mögliche Werte annehmen kann?

Accepted Answer

Bernoulli-verteilt

Answer

Normalverteilt

Answer

Poissonverteilt

Answer

Binomialverteilt

Question 34

Welche Anwendung von Zufallsvariablen ist in der Elektrotechnik üblich?

Accepted Answer

Modellierung elektrischer Störgeräusche

Answer

Wettervorhersage

Answer

Analyse von Finanzdaten

Question 35

Welche Wahrscheinlichkeitsverteilung beschreibt die Zeitspanne zwischen zufälligen Ereignissen?

Accepted Answer

Exponentialverteilung

Answer

Normalverteilung

Answer

Poissonverteilung

Answer

Binomialverteilung

Question 36

Welche Verteilung ist eine stetige Zufallsverteilung?

Accepted Answer

Normalverteilung

Answer

Bernoulli-Verteilung

Answer

Binomialverteilung

Answer

Poissonverteilung

Question 37

Welche Methode wird zur Generierung von Zufallsvariablen verwendet?

Accepted Answer

Monte-Carlo-Simulation

Answer

Regressionsanalyse

Answer

Faktorenanalyse

Answer

Clusteranalyse

Question 38

Welche Größe misst die Streuung einer Zufallsvariablen?

Accepted Answer

Standardabweichung

Answer

Modus

Answer

Median

Answer

Erwartungswert

Question 39

Welche Aussage über die Varianz einer Zufallsvariable trifft nicht zu?

Accepted Answer

Die Varianz kann negative Werte annehmen.

Answer

Die Varianz ist eine dimensionslose Größe.

Answer

Die Varianz misst die Streuung der Zufallsvariable.

Answer

Die Varianz ist der Erwartungswert des Quadrats der Abweichungen vom Erwartungswert.

Question 40

Wann sind zwei Zufallsvariablen X und Y unabhängig?

Accepted Answer

Wenn jede mögliche Kombination ihrer Werte die gleiche Wahrscheinlichkeit hat, unabhängig von den Werten der anderen Zufallsvariablen.

Answer

Wenn die Erwartungswerte von X und Y gleich sind.

Answer

Wenn die Wahrscheinlichkeit von X unabhängig von der Wahrscheinlichkeit von Y ist.

Question 41

Eine Zufallsvariable X hat die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f(x) = 2x für 0 ≤ x ≤ 1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P(X < 0,5)?

Accepted Answer

0,25

Answer

0,5

Answer

0,75

Answer

1

Question 42

Welche der folgenden Aussagen charakterisiert eine binomialverteilte Zufallsvariable?

Accepted Answer

Sie beschreibt die Anzahl der Erfolge in einer Folge von unabhängigen Bernoulli-Experimenten.

Answer

Sie modelliert die Lebensdauer von elektrischen Bauteilen.

Answer

Sie beschreibt die Verteilung von Körpergrößen in einer Population.

Question 43

Welche der folgenden Funktionen ist eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion?

Accepted Answer

f(x) = (1/√(2πσ²)) * e^(-(x-μ)²/(2σ²))

Answer

f(x) = 1/x

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = sin(x)

Question 44

Welche Verteilungsart trifft auf eine Zufallsvariable zu, die nur ganzzahlige Werte annehmen kann?

Accepted Answer

Diskret

Answer

Binomialverteilt

Answer

Stetig

Answer

Normalverteilt

Question 45

Was beschreibt die Varianz einer Zufallsvariable?

Accepted Answer

Die mittlere quadratische Abweichung der einzelnen Werte vom Erwartungswert

Answer

Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Werte

Answer

Der kleinste mögliche Wert der Zufallsvariable

Question 46

Was ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit?

Accepted Answer

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses unter der Voraussetzung, dass ein anderes Ereignis eingetreten ist

Answer

Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Ergebnisse

Answer

Die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Ereignisse gleichzeitig eintreten

Question 47

Welche Eigenschaft zeichnet eine unabhängige Zufallsvariable aus?

Accepted Answer

Ihre Verteilung ist unabhängig von anderen Zufallsvariablen

Answer

Ihre Varianz ist eins

Answer

Ihr Erwartungswert ist null

Question 48

Welche Verteilung ist für eine Zufallsvariable geeignet, die die Anzahl fehlerhafter Produkte in einer Produktionscharge zählt?

Accepted Answer

Poissonverteilung

Answer

Binomialverteilung

Answer

Hypergeometrische Verteilung

Answer

Normalverteilung

Question 49

Definieren Sie eine Zufallsvariable.

Accepted Answer

Eine Zufallsvariable ist eine Variable, deren Wert durch ein zufälliges Ereignis bestimmt wird.

Answer

Eine Zufallsvariable ist eine Variable, die nur diskrete Werte annehmen kann.

Answer

Eine Zufallsvariable ist eine Variable, die konstant ist.

Question 50

Welche Formel berechnet den Erwartungswert E(X) einer diskreten Zufallsvariable X?

Accepted Answer

E(X) = Σ [x * P(X = x)]

Answer

E(X) = Σ [P(X = x)]

Answer

E(X) = Σ [x^2 * P(X = x)]

Answer

E(X) = Σ [x * P(X = x)]^2

Question 51

Ein Würfel wird geworfen. Die Zufallsvariable X repräsentiert die Augenzahl. Bestimmen Sie den Erwartungswert von X.

Accepted Answer

3,5

Answer

3

Answer

6

Answer

4

Question 52

Welche Formel berechnet die Varianz Var(X) einer diskreten Zufallsvariable X?

Accepted Answer

Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2

Answer

Var(X) = E(X) - [E(X)]^2

Answer

Var(X) = E(X^2)

Answer

Var(X) = [E(X)]^2

Question 53

Die Spannung an einem Kondensator ist eine Zufallsvariable mit einer Varianz von 4 Volt^2. Wie groß ist die Streuung der Spannung?

Accepted Answer

Die Spannung schwankt um 2 Volt um ihren Erwartungswert.

Answer

Die Spannung schwankt um 4 Volt um ihren Erwartungswert.

Answer

Die Spannung schwankt um 16 Volt um ihren Erwartungswert.

Question 54

Welche Aussage zur Standardabweichung einer Zufallsvariable ist korrekt?

Accepted Answer

Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz.

Answer

Die Standardabweichung ist der Kehrwert der Varianz.

Answer

Die Standardabweichung ist gleich der Varianz.

Question 55

Ein Signalgenerator erzeugt ein zufälliges Spannungssignal mit einer Normalverteilung. Was geben Erwartungswert und Standardabweichung des Signals an?

Accepted Answer

Die wahrscheinlichsten Spannungswerte liegen um den Erwartungswert, wobei die Standardabweichung die Streuung um den Erwartungswert angibt.

Answer

Der Erwartungswert gibt die maximale Spannung an, die das Signal annehmen kann.

Question 56

Welches Konzept ist in der Elektrotechnik bei der Analyse zufälliger Signale von zentraler Bedeutung?

Accepted Answer

Wahrscheinlichkeitstheorie

Answer

Differentialgleichungen

Answer

Lineare Algebra

Answer

Numerische Integration

Question 57

In einer Schaltung wird ein Widerstand mit einem zufälligen Wert eingebaut. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Widerstandswerts ist gegeben. Wie berechnet man die mittlere Leistung der Schaltung?

Accepted Answer

Die Leistung wird für jeden möglichen Widerstandswert berechnet und diese Werte werden mit der jeweiligen Wahrscheinlichkeit gewichtet.

Answer

Die Leistung wird für den Mittelwert des Widerstandswerts berechnet.

Question 58

Welche Kenngröße einer Zufallsvariablen gibt die häufigste Ausprägung an?

Accepted Answer

Modus

Answer

Mittelwert

Answer

Varianz

Answer

Standardabweichung

Question 59

Welche Verteilung weist eine symmetrische, glockenförmige Kurve auf und wird in der Elektrotechnik häufig verwendet?

Accepted Answer

Normalverteilung

Answer

Binomialverteilung

Answer

Poisson-Verteilung

Answer

Exponentialverteilung

Question 60

In welchem Bereich der Elektrotechnik finden Zufallsvariablen Anwendung?

Accepted Answer

Analyse und Modellierung von Rauschen in elektronischen Schaltungen

Answer

Optimierung von Verkehrssystemen

Answer

Planung von Produktionsabläufen

Question 61

Welche Aussage zur Varianz einer Zufallsvariablen ist zutreffend?

Accepted Answer

Die Varianz misst die Streuung der Werte der Zufallsvariablen um ihren Erwartungswert.

Answer

Die Varianz ist gleich dem Quadrat des Erwartungswertes.

Answer

Die Varianz ist immer positiv oder null.

Question 62

Welche Transformation führt eine Zufallsvariable auf eine Standardnormalverteilung zurück?

Accepted Answer

Z = (X - Erwartungswert(X)) / Standardabweichung(X)

Answer

Z = X^2

Answer

Z = e^X

Question 63

Was besagt der zentrale Grenzwertsatz?

Accepted Answer

Die Summe einer großen Anzahl unabhängiger Zufallsvariablen mit endlichem Erwartungswert und Varianz ist ungefähr normalverteilt.

Answer

Der zentrale Grenzwertsatz gilt nur für Zufallsvariablen mit diskreter Verteilung.

Question 64

Was beschreibt die Kovarianz zweier Zufallsvariablen X und Y?

Accepted Answer

Das Maß der linearen Abhängigkeit zwischen X und Y

Answer

Die Differenz zwischen X und Y

Answer

Die gemeinsame Wahrscheinlichkeit von X und Y