Vektorräume und lineare Abbildungen: Online-Quiz für Bauingenieure

Question 1

Gegeben sei eine lineare Abbildung f: V -> W. Welche Aussage ist äquivalent zur Injektivität von f?

Accepted Answer

Der Kern von f ist trivial (nur der Nullvektor)

Answer

Der Bildraum von f ist der gesamte Zielraum W

Answer

Die Matrixdarstellung von f ist invertierbar

Answer

Die Dimension des Kerns von f ist gleich der Dimension des Zielraums W

Question 2

Welche der folgenden Matrizen repräsentiert eine lineare Abbildung, die eine Drehung gegen den Uhrzeigersinn um den Ursprung im R^2 durchführt?

Accepted Answer

[[cos(theta), sin(theta)], [-sin(theta), cos(theta)]]

Answer

[[cos(theta), -sin(theta)], [sin(theta), cos(theta)]]

Answer

[[1, 0], [0, -1]]

Answer

[[0, -1], [1, 0]]

Question 3

Wann ist eine Teilmenge S eines Vektorraums V über einem Körper K ein Untervektorraum von V?

Accepted Answer

Wenn S sowohl bezüglich der Addition in V als auch der Multiplikation mit Skalaren in K abgeschlossen ist

Answer

Wenn S bezüglich der Addition in V abgeschlossen ist

Answer

Wenn S bezüglich der Multiplikation mit Skalaren in K abgeschlossen ist

Answer

Wenn S nicht leer ist und den Nullvektor enthält

Question 4

Welche der folgenden Abbildungen ist nach den Eigenschaften linearer Abbildungen eine lineare Abbildung?

Accepted Answer

f(x, y) = (x + y, x - y)

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = sin(x)

Question 5

Welche der folgenden Aussagen ist äquivalent zur Aussage, dass ein Vektorraum endlichdimensional ist?

Accepted Answer

Alle drei Aussagen sind äquivalent.

Answer

Der Vektorraum besitzt eine endliche Basis.

Answer

Der Vektorraum verfügt über keine unendlich vielen linear unabhängigen Vektoren.

Answer

Der Vektorraum ist zu einem endlichdimensionalen Vektorraum isomorph.

Question 6

Welche der folgenden Bedingungen ist notwendig und hinreichend, damit eine Matrix diagonalisierbar ist?

Accepted Answer

Die Matrix ist zu einer Diagonalmatrix ähnlich.

Answer

Die Matrix besitzt nur reelle Eigenwerte.

Answer

Die Matrix ist hermitesch.

Answer

Die Matrix ist invertierbar.

Question 7

Welche der folgenden Abbildungen ist eine lineare Abbildung?

Accepted Answer

f(x, y) = xy

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = exp(x)

Question 8

Welche Aussage beschreibt am besten die Dimension eines Vektorraums?

Accepted Answer

Die Dimension gibt die Anzahl der linear unabhängigen Vektoren in einer Basis an.

Answer

Die Dimension gibt die Anzahl der Vektoren in einem Vektorraum an.

Answer

Die Dimension gibt die Anzahl der Unterräume in einem Vektorraum an.

Answer

Die Dimension gibt die Anzahl der linearen Abbildungen in einem Vektorraum an.

Question 9

Wie lautet die Definition einer Basis eines Vektorraums?

Accepted Answer

Eine Basis ist eine Menge von Vektoren, die den Vektorraum aufspannen und linear unabhängig sind.

Answer

Eine Basis ist eine Menge von linear unabhängigen Vektoren, die jeden Vektor im Vektorraum erzeugen.

Answer

Eine Basis ist eine Menge von Vektoren, die den Vektorraum aufspannen.

Answer

Eine Basis ist eine Menge von linear abhängigen Vektoren, die den Vektorraum erzeugen.

Question 10

Welche der folgenden Aussagen beschreibt einen Vektorraum korrekt?

Accepted Answer

Ein Vektorraum ist eine Menge von Vektoren, die unter Addition und skalaren Multiplikationen abgeschlossen ist.

Answer

Ein Vektorraum hat stets eine endliche Dimension.

Answer

Die Summe zweier linear unabhängiger Vektoren ist immer linear abhängig.

Answer

Ein Vektorraum besitzt kein neutrales Element bezüglich der Addition.

Question 11

Welche der folgenden Abbildungen ist linear?

Accepted Answer

f(x, y) = xy

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = sin(x)

Question 12

Welche Dimension hat der Vektorraum der linearen Abbildungen von R² nach R?

Accepted Answer

4

Answer

1

Answer

2

Answer

8

Question 13

Welche Eigenschaft kennzeichnet injektive lineare Abbildungen?

Accepted Answer

Sie bilden unterschiedliche Vektoren auf verschiedene Bilder ab.

Answer

Sie bilden den Nullvektor auf den Nullvektor ab.

Answer

Sie sind surjektiv.

Answer

Sie sind invertierbar.

Question 14

Welche der folgenden Mengen erfüllt die Axiome für Vektorräume?

Accepted Answer

R3

Answer

Die Menge aller Funktionen von R nach R

Answer

Z

Answer

[0, 1)

Question 15

Ein linearer Operator ist:

Accepted Answer

Eine lineare Abbildung von einem Vektorraum zu sich selbst.

Answer

Ein invertierbarer Operator.

Answer

Ein Operator mit endlicher Dimension.

Question 16

Eine Orthogonalbasis ist:

Accepted Answer

Eine Basis, in der alle Vektoren orthogonal zueinander sind.

Answer

Eine Basis, in der alle Vektoren normiert sind.

Answer

Eine Basis, die endlich ist.

Question 17

Ein Hilbertraum ist:

Accepted Answer

L²([0, 1])

Answer

R3

Answer

Q

Answer

C([0, 1])

Question 18

Welche der folgenden Aussagen über Vektorräume trifft **nicht** zu?

Accepted Answer

Ein Vektorraum muss eine endlich dimensionale Basis besitzen.

Answer

Vektoren in einem Vektorraum können addiert und mit Skalaren multipliziert werden.

Answer

Ein Vektorraum ist eine Menge von Vektoren, die der Vektoraddition und Skalierung genügt.

Answer

Ein Vektorraum ist über einem Körper definiert.

Question 19

Welche der folgenden Aussagen über lineare Abbildungen ist **korrekt**?

Accepted Answer

Eine lineare Abbildung bewahrt Addition und Skalierung von Vektoren.

Answer

Eine lineare Abbildung kann die Dimension des Vektorraums verändern.

Answer

Eine lineare Abbildung ist eine nichtlineare Funktion.

Question 20

Welche Aussage über einen Vektorraum ist richtig?

Accepted Answer

Ein Vektorraum ist eine nichtleere Menge von Vektoren, die unter Addition und Skalarmultiplikation abgeschlossen ist.

Answer

Ein Vektorraum ist eine Menge von Vektoren, die nur unter Skalarmultiplikation abgeschlossen ist.

Question 21

Welche der folgenden Abbildungen ist eine lineare Abbildung?

Accepted Answer

f(x) = 2x + 1

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x^2

Question 22

Welche Aussage über die Dimension eines Vektorraums ist richtig?

Accepted Answer

Die Dimension eines Vektorraums ist gleich der Anzahl linear unabhängiger Vektoren in einer Basis.

Answer

Die Dimension eines Vektorraums ist gleich der Anzahl aller Vektoren in einer Basis.

Answer

Die Dimension eines Vektorraums ist gleich der Anzahl der Dimensionen des Raums.

Question 23

Welche Aussage über den Kern einer linearen Abbildung ist richtig?

Accepted Answer

Der Kern einer linearen Abbildung ist die Menge aller Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden.

Answer

Der Kern einer linearen Abbildung ist die Menge aller Vektoren, die auf den Einheitsvektor abgebildet werden.

Question 24

Welche der folgenden Aussagen über die Matrixdarstellung einer linearen Abbildung ist richtig?

Accepted Answer

Die Matrixdarstellung einer linearen Abbildung ist abhängig von der Wahl der Basis.

Answer

Die Matrixdarstellung einer linearen Abbildung ist nur für quadratische Matrizen definiert.

Answer

Die Matrixdarstellung einer linearen Abbildung ist unabhängig von der Wahl der Basis.

Question 25

Welche Aussage über den Rang einer linearen Abbildung ist richtig?

Accepted Answer

Der Rang einer linearen Abbildung ist gleich der Dimension des Bildraums.

Answer

Der Rang einer linearen Abbildung ist gleich der Dimension des Kerns.

Answer

Der Rang einer linearen Abbildung ist gleich der Anzahl der Zeilen der Matrixdarstellung.

Question 26

Welche der folgenden Aussagen über den Eigenraum einer linearen Abbildung ist richtig?

Accepted Answer

Der Eigenraum einer linearen Abbildung ist die Menge aller Vektoren, die Vielfache des zugehörigen Eigenwerts sind.

Answer

Der Eigenraum einer linearen Abbildung ist die Menge aller Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden.

Question 27

Welche der folgenden Anwendungen von Vektorräumen und linearen Abbildungen findet sich in der Bauingenieurskunst?

Accepted Answer

Analyse und Berechnung von Spannungen und Verformungen in Baukonstruktionen

Answer

Entwicklung von Computerspielen

Answer

Modellierung von Finanzdaten

Question 28

Welche der folgenden Aussagen über lineare Abbildungen ist falsch?

Accepted Answer

Eine lineare Abbildung muss injektiv sein.

Answer

Der Kern einer linearen Abbildung ist ein Untervektorraum.

Answer

Das Bild einer linearen Abbildung ist ein Untervektorraum.

Answer

Eine lineare Abbildung bewahrt die linearen Operationen.

Question 29

Welche der folgenden Abbildungen f: ℝ² → ℝ³ ist eine lineare Abbildung?

Accepted Answer

f(x, y) = (x + y, x - y, 2x)

Answer

f(x, y) = (x², y², x + y)

Answer

f(x, y) = (sin(x), cos(y), x/y)

Answer

f(x, y) = (x, y, xy)

Question 30

Welche der folgenden Aussagen über den Rang einer linearen Abbildung f: V → W ist korrekt?

Accepted Answer

Der Rang von f ist gleich der Dimension des Bildraums von f.

Answer

Der Rang von f ist gleich der Dimension des Kerns von f.

Answer

Der Rang von f ist gleich der Anzahl der Zeilen der Abbildungsmatrix von f.

Question 31

Welche der folgenden linearen Abbildungen f: V → W ist invertierbar?

Accepted Answer

f(x) = 2x

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = x²

Question 32

Welche der folgenden Aussagen über Basen in einem Vektorraum V ist richtig?

Accepted Answer

Eine Basis von V ist eine Menge linear unabhängiger Vektoren, die V aufspannen.

Answer

Eine Basis von V ist eine Menge linear unabhängiger Vektoren, die V nicht aufspannen.

Answer

Eine Basis von V ist eine Menge linear abhängiger Vektoren, die V aufspannen.

Question 33

Welche der folgenden Abbildungen ist eine lineare Transformation von Rⁿ nach R^m?

Accepted Answer

f(x) = Ax, wobei A eine m x n Matrix ist

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Question 34

Welche der folgenden Aussagen über Eigenwerte und Eigenvektoren ist falsch?

Accepted Answer

Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten können linear abhängig sein.

Answer

Eigenvektoren zum gleichen Eigenwert sind linear unabhängig.

Answer

Der Eigenwert einer linearen Abbildung ist eine Zahl, die eine bestimmte Eigenschaft der Abbildung beschreibt.

Question 35

Welches der folgenden ist ein Vektorraum?

Accepted Answer

ℝ3

Answer

Menge aller Farben

Answer

Menge aller Autos

Answer

Menge aller geraden Zahlen

Question 36

Welche der folgenden Abbildungen ist linear?

Accepted Answer

f(x) = 2x + 1

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x2

Question 37

Welche der folgenden Aussagen über Vektorräume ist falsch?

Accepted Answer

Jeder Vektorraum hat eine eindeutige Basis.

Answer

Ein Vektorraum kann endlich oder unendlich sein.

Answer

Die Summe zweier Vektorräume ist ein Vektorraum.

Question 38

Sei V ein Vektorraum und u, v ∈ V. Welcher der folgenden Ausdrücke ist ein Skalar?

Accepted Answer

u · v

Answer

u ∧ v

Answer

u + v

Question 39

Sei f(x) = Ax + b eine lineare Funktion. Welche der folgenden Aussagen impliziert, dass f eine lineare Abbildung ist?

Accepted Answer

A ist eine Matrix.

Answer

f ist differenzierbar.

Answer

f ist bijektiv.

Answer

b ist ein Vektor.

Question 40

Welche der folgenden Eigenschaften charakterisiert eine orthogonale Matrix?

Accepted Answer

Ihre Spaltenvektoren sind paarweise orthogonal.

Answer

Ihre Spur ist 0.

Answer

Ihre Eigenwerte sind alle positiv.

Answer

Ihre Determinante ist 1.

Question 41

Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum. Welche der folgenden Aussagen ist falsch?

Accepted Answer

Jede lineare Abbildung von V in V ist diagonalisierbar.

Answer

Die Dimension von V ist gleich der Anzahl seiner Linear unabhängigen Vektoren.

Answer

V hat eine eindeutige Basis.

Question 42

Welche der folgenden Mengen ist *kein* Vektorraum über den reellen Zahlen?

Accepted Answer

Die Menge aller Polynome mit ungeradem Grad.

Answer

Die Menge aller 2x2-Matrizen.

Answer

Die Menge aller reellen Zahlen.

Answer

Die Menge aller Vektoren der Form (x, y) mit x, y ∈ ℝ.

Question 43

Sei V ein Vektorraum und U ein Unterraum von V. Welche der folgenden Aussagen ist *falsch*?

Accepted Answer

U ist immer gleich V.

Answer

Die Summe zweier Vektoren in U liegt ebenfalls in U.

Answer

Der Nullvektor von V liegt in U.

Answer

U ist selbst ein Vektorraum.

Question 44

Welche der folgenden Abbildungen ist *keine* lineare Abbildung?

Accepted Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = 2x

Answer

f(x, y) = (x + y, x - y)

Answer

f(x) = x + 1

Question 45

Sei f: ℝ² → ℝ² eine lineare Abbildung mit f((1, 0)) = (2, 1) und f((0, 1)) = (1, 3). Was ist f((3, 2))?

Accepted Answer

(8, 7)

Answer

(6, 2)

Answer

(3, 4)

Answer

(2, 5)

Question 46

Welche der folgenden Mengen ist *kein* Basisvektor des Vektorraums ℝ³?

Accepted Answer

{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 1)}

Answer

{(1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1)}

Answer

{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}

Answer

{(1, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 1, 1)}

Question 47

Sei f: V → W eine lineare Abbildung. Was ist der Kern von f?

Accepted Answer

Die Menge aller Vektoren in V, die auf den Nullvektor in W abgebildet werden.

Answer

Die Menge aller Vektoren in W, die auf einen Vektor in V abgebildet werden.

Answer

Die Menge aller Vektoren in V, die auf einen Vektor in W abgebildet werden, der nicht der Nullvektor ist.

Question 48

Welche der folgenden Aussagen über den Rang einer linearen Abbildung ist *falsch*?

Accepted Answer

Der Rang einer linearen Abbildung ist immer kleiner als die Dimension des Bildraums.

Answer

Der Rang einer linearen Abbildung ist gleich der Anzahl der linear unabhängigen Spaltenvektoren der zugehörigen Matrix.

Answer

Der Rang einer linearen Abbildung ist gleich der Dimension des Bildraums.

Question 49

Welche der folgenden Aussagen über lineare Gleichungssysteme ist *falsch*?

Accepted Answer

Ein lineares Gleichungssystem hat immer genau eine Lösung.

Answer

Ein lineares Gleichungssystem kann keine Lösung haben.

Answer

Ein lineares Gleichungssystem kann unendlich viele Lösungen haben.

Question 50

Welche der folgenden Aussagen über Eigenwerte und Eigenvektoren ist *falsch*?

Accepted Answer

Jeder Vektor ist ein Eigenvektor.

Answer

Eigenwerte sind Skalare, die die Streckung eines Eigenvektors durch eine lineare Abbildung beschreiben.

Answer

Der Nullvektor ist kein Eigenvektor.

Answer

Eigenvektoren sind linear unabhängig.

Question 51

Welcher der folgenden Räume ist ein Vektorraum über dem Körper der reellen Zahlen?

Accepted Answer

R³

Answer

Q³

Answer

Z³

Answer

C³

Question 52

Ist die Abbildung f: R² → R² mit f(x, y) = (2x + y, x - y) linear?

Accepted Answer

Ja

Answer

Die Aussage lässt sich nicht anhand der gegebenen Informationen treffen

Answer

Nein, f ist nicht homogen

Answer

Nein, f ist nicht additiv

Question 53

Welche der folgenden Aussagen über die Dimension eines Vektorraums ist richtig?

Accepted Answer

Die Dimension eines Vektorraums ist die Anzahl der linear unabhängigen Vektoren in einer Basis.

Answer

Die Dimension eines Vektorraums ist immer endlich.

Answer

Die Dimension eines Vektorraums ist gleich der Anzahl aller Vektoren im Raum.

Question 54

Welche der folgenden Abbildungen ist eine lineare Abbildung?

Accepted Answer

f: R² → R³, f(x, y) = (x, y, 0)

Answer

h: R³ → R, h(x, y, z) = max{x, y, z}

Answer

g: R² → R², g(x, y) = (x², y²)

Answer

j: R² → R, j(x, y) = |x - y|

Question 55

Welche der folgenden Aussagen über den Kern einer linearen Abbildung ist richtig?

Accepted Answer

Der Kern einer linearen Abbildung ist ein Untervektorraum des Definitionsbereichs.

Answer

Der Kern einer linearen Abbildung ist gleich dem Bild der Abbildung.

Answer

Der Kern einer linearen Abbildung ist immer leer.

Question 56

Welche der folgenden Abbildungen ist eine Injektion?

Accepted Answer

f: R → R, f(x) = x³

Answer

h: R → R, h(x) = |x|

Answer

g: R² → R, g(x, y) = x + y

Answer

j: R³ → R², j(x, y, z) = (x, y)

Question 57

Welche der folgenden Abbildungen ist eine Bijektion?

Accepted Answer

f: R² → R², f(x, y) = (x + y, x - y)

Answer

g: R → R, g(x) = x²

Answer

h: R → R, h(x) = |x|

Answer

j: R³ → R², j(x, y, z) = (x, y)

Question 58

Welche der folgenden Matrizen ist die Darstellungsmatrix der linearen Abbildung f: R² → R³, f(x, y) = (x + y, x - y, 2x + 3y)?

Accepted Answer

A = [[1, 1, 2], [1, -1, 3]]

Answer

D = [[1, 2], [1, 3], [2, 3]]

Answer

B = [[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]]

Answer

C = [[1, 1], [1, -1], [2, 3]]

Question 59

Welche der folgenden Aussagen über die Rang-Nullraum-Theorem ist richtig?

Accepted Answer

Die Summe des Ranges und der Dimension des Nullraums einer linearen Abbildung ist gleich der Dimension des Definitionsbereichs.

Answer

Der Rang einer linearen Abbildung ist immer kleiner oder gleich der Dimension des Definitionsbereichs.

Question 60

Welche der folgenden Aussagen über Vektorräume ist FALSCH?

Accepted Answer

Jeder Vektorraum muss mindestens zwei Vektoren enthalten.

Answer

Die skalare Multiplikation ist distributiv.

Answer

Die Addition von Vektoren ist kommutativ.

Question 61

Gegeben sei der Vektorraum R^3. Welche der folgenden Mengen ist ein Untervektorraum von R^3?

Accepted Answer

Die Menge aller Vektoren der Form (x, y, 0) mit x, y ∈ R.

Answer

Die Menge aller Vektoren der Form (x, y, z) mit x, y, z ∈ N.

Answer

Die Menge aller Vektoren der Form (x, y, 1) mit x, y ∈ R.

Question 62

Welche der folgenden Abbildungen ist KEINE lineare Abbildung?

Accepted Answer

f: R^2 -> R, f(x, y) = x^2 + y^2

Answer

f: R^3 -> R^3, f(x, y, z) = (x, y, 0)

Answer

f: R -> R, f(x) = 2x

Answer

f: R^2 -> R^2, f(x, y) = (x + y, 2x - y)

Question 63

Sei T: R^2 -> R^2 eine lineare Abbildung mit T(1, 0) = (2, 1) und T(0, 1) = (1, -1). Was ist T(3, 2)?

Accepted Answer

(8, -1)

Answer

(3, 2)

Answer

(2, -2)

Answer

(5, 1)

Question 64

Welche der folgenden Eigenschaften gilt NICHT für die Kern einer linearen Abbildung?

Accepted Answer

Der Kern ist immer ein Vektorraum.

Answer

Der Kern kann der Nullvektorraum sein.

Answer

Der Kern enthält immer den Nullvektor.

Answer

Der Kern kann den gesamten Definitionsraum der Abbildung umfassen.