Lineare Abbildungen: Interaktive Quizfragen für Angewandte Informatik (Bachelor)

Question 1

Welche der folgenden Aussagen definiert korrekt eine lineare Abbildung?

Accepted Answer

Eine Abbildung zwischen zwei Vektorräumen, die sowohl die Vektoraddition als auch die skalare Multiplikation erhält.

Answer

Eine Abbildung zwischen zwei Vektorräumen, die nur die skalare Multiplikation, aber nicht die Vektoraddition erhält.

Answer

Eine Abbildung zwischen zwei Vektorräumen, die nur die Vektoraddition, aber nicht die skalare Multiplikation erhält.

Answer

Eine Abbildung zwischen zwei Vektorräumen, die weder die Vektoraddition noch die skalare Multiplikation erhält.

Question 2

Welcher der folgenden Begriffe beschreibt den Vektorraum aller linearen Kombinationen von Vektoren, die von einer linearen Abbildung auf den Nullvektor abgebildet werden?

Accepted Answer

Kern

Answer

Bild

Answer

Rang

Answer

Determinante

Question 3

Was ist der Rang einer Matrix?

Accepted Answer

Die maximale Anzahl linear unabhängiger Spalten oder Zeilen der Matrix.

Answer

Die minimale Anzahl linear unabhängiger Spalten oder Zeilen der Matrix.

Answer

Die Summe der Einträge in der Hauptdiagonale der Matrix.

Answer

Die Differenz der Einträge in der Hauptdiagonale der Matrix.

Question 4

Welche der folgenden Aussagen definiert eine lineare Abbildung?

Accepted Answer

Eine Abbildung zwischen zwei Vektorräumen, die Addition und Skalarmultiplikation erhält.

Answer

Eine stetige Abbildung zwischen zwei Vektorräumen.

Question 5

Eine lineare Abbildung ist genau dann invertierbar, wenn:

Accepted Answer

ihre Determinante ungleich Null ist.

Answer

ihre Matrix quadratisch ist.

Question 6

Welche der folgenden Abbildungen ist eine lineare Abbildung?

Accepted Answer

f(x) = 2x + 1

Answer

f(x) = x^2

Question 7

Die Komposition zweier linearer Abbildungen ist:

Accepted Answer

immer eine lineare Abbildung.

Answer

nur dann eine lineare Abbildung, wenn die Matrizen der beteiligten Abbildungen quadratisch sind.

Answer

nur dann eine lineare Abbildung, wenn die Determinanten der Matrizen der beteiligten Abbildungen ungleich Null sind.

Question 8

Was ist die formale Definition der Determinante einer quadratischen Matrix?

Accepted Answer

Alternierende Summe der kofaktorerweiterten Minoren entlang einer Zeile oder Spalte

Answer

Summe der Hauptdiagonalelemente

Answer

Produkt der Eigenwerte

Answer

Fläche des von den Spaltenvektoren aufgespannten Parallelogramms

Question 9

Wie beeinflusst der Rang einer Matrix die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems?

Accepted Answer

Der Rang bestimmt die eindeutige Lösbarkeit des Systems.

Answer

Der Rang gibt die Anzahl der Lösungen an.

Answer

Der Rang hat keinen Einfluss auf die Lösbarkeit.

Answer

Der Rang bestimmt die Homogenität des Systems.

Question 10

Welche Eigenschaft gilt für alle linearen Abbildungen?

Accepted Answer

Sie bilden Linearkombinationen auf Linearkombinationen ab.

Answer

Sie haben immer eine Diagonalmatrix als Darstellung.

Answer

Sie sind immer injektiv (eineindeutig).

Answer

Sie sind immer surjektiv (vollständig).

Question 11

Was ist eine Basistransformation bei linearen Abbildungen? Nennen Sie ein Beispiel.

Accepted Answer

Eine Basistransformation ist eine lineare Abbildung, die eine Basis in eine andere Basis transformiert.

Accepted Answer

Beispiel einer Basistransformation: Die Transformation, die den Standardbasisvektoren (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) die Vektoren (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1) zuordnet.

Answer

Basistransformationen sind nicht umkehrbar.

Answer

Basistransformationen verändern die Dimension des Vektorraums.

Question 12

Welcher der folgenden Aussagen beschreibt eine lineare Abbildung korrekt?

Accepted Answer

Eine Abbildung, die sowohl die Summe von Vektoren als auch das Produkt aus einer Zahl und einem Vektor erhält.

Answer

Eine Abbildung, die die Summe von Vektoren erhält.

Answer

Eine Abbildung, die das Produkt aus einer Zahl und einem Vektor erhält.

Question 13

Welche der folgenden Aussagen über den Nullraum einer linearen Abbildung ist korrekt?

Accepted Answer

Der Nullraum ist die Menge aller Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden.

Answer

Der Nullraum ist die Menge aller Vektoren, die auf den Einheitsvektor abgebildet werden.

Answer

Der Nullraum ist die Menge aller Vektoren, die auf einen beliebigen Vektor abgebildet werden.

Question 14

Welche der folgenden Abbildungen ist linear?

Accepted Answer

f(x) = 2x + 1

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = |x|

Question 15

Welche der folgenden Matrizen ist diagonalisierbar?

Accepted Answer

B = [1 0; 0 1]

Answer

A = [1 2; 3 4]

Answer

C = [1 2; 3 5]

Question 16

Berechnen Sie die Spur der Matrix A = [2 1; -3 4].

Accepted Answer

6

Answer

1

Answer

5

Question 17

Nennen Sie die wesentliche Eigenschaft linearer Abbildungen.

Accepted Answer

Erhaltung von Linearkombinationen

Answer

Injektivität

Answer

Dimensionsänderung

Answer

Invertierbarkeit

Question 18

Welche Matrix repräsentiert die lineare Abbildung, die jeden Vektor auf seine x-Koordinate projiziert?

Accepted Answer

[[1, 0], [0, 0]]

Answer

[[1, 1], [0, 0]]

Answer

[[0, 1], [0, 0]]

Answer

[[0, 0], [1, 0]]

Question 19

Welche Aussage über den Rang einer Matrix ist korrekt?

Accepted Answer

Er entspricht der Anzahl linear unabhängiger Zeilen oder Spalten.

Answer

Er entspricht der Anzahl von Nullen in der Matrix.

Answer

Er entspricht der Spur der Matrix.

Question 20

Welche der folgenden Funktionen ist linear?

Accepted Answer

f(x) = 2x + 1

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x^2

Question 21

Welche Eigenschaft gilt für alle linearen Abbildungen?

Accepted Answer

Additivität

Answer

Injektivität

Answer

Multiplikativität

Answer

Surjektivität

Question 22

Was trifft auf den Kern einer linearen Abbildung zu?

Accepted Answer

Er ist ein Untervektorraum des Definitionsbereichs.

Answer

Er ist gleich dem Bildbereich.

Answer

Er ist immer leer.

Question 23

Welche Eigenschaft ist charakteristisch für lineare Abbildungen?

Accepted Answer

Das Bild linear unabhängiger Vektoren ist linear unabhängig.

Answer

Die Determinante der Matrixdarstellung ist ungleich Null.

Answer

Die Spur der Matrixdarstellung ist ungleich Null.

Question 24

Gegeben sei die lineare Abbildung f(x) = Ax mit A = [[2, 1], [-1, 3]]. Wie lautet die Matrix von f bezüglich der Standardbasis?

Accepted Answer

[[2, 1], [-1, 3]]

Answer

[[2, -1], [1, 3]]

Answer

[[1, 2], [3, -1]]

Question 25

Welche Ränge sind für lineare Abbildungen möglich?

Accepted Answer

0, 1, 2 oder 3

Answer

Nur 1 oder 2

Answer

Nur 0 oder 3

Answer

Alle natürlichen Zahlen

Question 26

Was beschreibt der Nullraum einer linearen Abbildung?

Accepted Answer

Die Menge aller Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden.

Answer

Die Menge aller Vektoren, die kolinear zum Bildvektor sind.

Answer

Die Menge aller Vektoren, die auf den Einheitsvektor abgebildet werden.

Question 27

Welche der folgenden Aussagen trifft nicht auf lineare Abbildungen zu?

Accepted Answer

Sie können die Dimension des Vektorraums verändern.

Answer

Sie sind additiv.

Answer

Sie sind homogen.

Answer

Sie erhalten Linearkombinationen von Vektoren.

Question 28

Welcher der folgenden Vektorräume ist der Nullraum der Abbildung f(x, y) = x + 2y?

Accepted Answer

{(x, y) | x + 2y = 0}

Answer

{(x, y) | x = 0}

Answer

{(x, y) | y = 0}

Question 29

Welche Aussage zu Determinanten ist korrekt?

Accepted Answer

Ihre Werte sind invariant unter Zeilen- und Spaltenoperationen.

Answer

Sie sind immer positiv.

Answer

Sie sind nur für quadratische Matrizen definiert.

Question 30

Welche der folgenden Abbildungen ist linear?

Accepted Answer

f(x) = 2x

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x²

Question 31

Welche Matrix ist die Inverse der Matrix A = [[1, 2], [3, 4]]?

Accepted Answer

[[4, -2], [-3, 1]]

Answer

[[1, -2], [3, 4]]

Answer

[[1, 2], [-3, 4]]

Question 32

Welche der folgenden Abbildungen ist nicht bijektiv?

Accepted Answer

f(x) = x³

Answer

f(x) = 2x

Answer

f(x) = x + 1

Question 33

Welche der folgenden Eigenschaften ist charakteristisch für eine lineare Abbildung?

Accepted Answer

Die Abbildung erhält die skalare Multiplikation.

Answer

Die Abbildung kann nichtbijektiv sein.

Answer

Die Abbildung kann den Nullvektor auf einen beliebigen Vektor abbilden.

Answer

Die Abbildung kann die Vektoraddition nicht erhalten.

Question 34

Was ist der Nullraum der Matrix A = [1  2]
[3  6]?

Accepted Answer

{(t, -t/2) | t ∈ R}

Answer

{(t, 3t) | t ∈ R}

Answer

{(0, 0)}

Answer

{(t, 2t) | t ∈ R}

Question 35

Welche der folgenden Aussagen über die lineare Abbildung f: R² → R² mit der Matrix A = [1  0]
[0  0] ist korrekt?

Accepted Answer

f ist nicht surjektiv.

Answer

f ist injektiv.

Answer

f ist invertierbar.

Answer

f ist bijektiv.

Question 36

Welche der folgenden Bedingungen muss eine lineare Abbildung f: V → W erfüllen, um invertierbar zu sein?

Accepted Answer

f muss bijektiv sein.

Answer

f muss injektiv sein.

Answer

f muss den Nullvektor auf den Nullvektor abbilden.

Answer

f muss eine quadratische Matrix sein.

Question 37

Welche Aussage über die Determinante einer Matrix ist FALSCH?

Accepted Answer

Die Determinante einer Matrix ist immer positiv.

Answer

Die Determinante einer Matrix ist ein multiplikatives Funktional.

Answer

Die Determinante einer Matrix ist ein Skalar.

Answer

Die Determinante einer Matrix kann verwendet werden, um die Invertierbarkeit zu überprüfen.

Question 38

Welche der folgenden Aussagen ist **falsch** in Bezug auf lineare Abbildungen?

Accepted Answer

Lineare Abbildungen erhalten immer die Orientierung von Vektoren.

Answer

Lineare Abbildungen erhalten die Multiplikation von Vektoren mit Skalaren.

Answer

Lineare Abbildungen erhalten die Addition von Vektoren.

Question 39

Gegeben sei die lineare Abbildung f: R² → R² mit f(x, y) = (x + y, 2x - y). Was ist das Bild des Vektors (1, 2) unter f?

Accepted Answer

(3, 0)

Answer

(1, 2)

Answer

(2, 1)

Question 40

Welche der folgenden Matrizen repräsentiert die lineare Abbildung f: R³ → R² mit f(x, y, z) = (x + 2y, z - x)?

Accepted Answer

[1 2 0; -1 0 1]

Answer

[1 -1; 2 0; 0 1]

Answer

[1 0 -1; 2 1 0]

Question 41

Was ist der Rang der Matrix A = [1 2; 3 4; 5 6]?

Accepted Answer

2

Answer

3

Answer

1

Answer

0

Question 42

Welche der folgenden Aussagen ist **wahr** über den Nullraum einer Matrix?

Accepted Answer

Der Nullraum ist der Vektorraum aller Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden.

Answer

Der Nullraum enthält nur den Nullvektor.

Answer

Der Nullraum ist immer eindimensional.

Question 43

Welche der folgenden Matrizen hat eine Determinante ungleich Null?

Accepted Answer

[2 1; 3 4]

Answer

[0 1; 0 2]

Answer

[1 1; 1 1]

Answer

[1 2; 2 4]

Question 44

Was ist die Dimension des Vektorraums R^3?

Accepted Answer

3

Answer

1

Answer

2

Answer

Unendlich

Question 45

Gegeben sei eine lineare Abbildung f: R^n → R^m. Was ist die maximale Dimension des Bildraums von f?

Accepted Answer

min(n, m)

Answer

n + m

Answer

m

Answer

n

Question 46

Welche der folgenden Transformationen ist **keine** lineare Abbildung?

Accepted Answer

Verschiebung um einen festen Vektor.

Answer

Skalierung mit einem Faktor.

Answer

Spiegelung an einer Geraden.

Answer

Drehung um einen Winkel.

Question 47

Welche der folgenden Aussagen ist **wahr** über die Zusammensetzung linearer Abbildungen?

Accepted Answer

Die Zusammensetzung zweier linearer Abbildungen ist wieder eine lineare Abbildung.

Answer

Die Zusammensetzung zweier linearer Abbildungen ist immer kommutativ.

Answer

Die inverse einer linearen Abbildung ist immer eine lineare Abbildung.