Zufallsprozesse in der Mathematik: Interaktive Lernquizze für die Qualifikationsphase 2

Question 1

Welche der folgenden Zufallsvariablen ist beim Poisson-Prozess Poisson-verteilt?

Accepted Answer

Anzahl der Ereignisse in einem festen Zeitintervall

Answer

Zeit bis zum ersten Ereignis

Answer

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses in einem festen Zeitintervall

Answer

Erwartungswert der Anzahl der Ereignisse in einem festen Zeitintervall

Question 2

Welcher der folgenden stochastischen Prozesse ist durch eine diskrete Zustandsmenge und einen diskreten Zeitbereich gekennzeichnet?

Accepted Answer

Markov-Kette

Answer

Poisson-Prozess

Answer

Brownsche Bewegung

Answer

Wiener-Prozess

Question 3

Welche der folgenden Matrizen ist eine Übergangsmatrix einer Markov-Kette?

Accepted Answer

[[0,5,0,5], [0,0,1,0], [0,0,0,1]]

Answer

[[0,5,0,5], [0,0,1,0], [0,0,0,1], [0,0,0,1]]

Answer

[[0,5,0,5], [0,1,0,0], [0,0,1,0]]

Answer

[[0,0,1,0], [0,1,0,0], [0,0,0,1], [0,0,0,1]]

Question 4

Welche Aussage über Markov-Ketten ist korrekt?

Accepted Answer

Eine Markov-Kette ist ein stochastischer Prozess, bei dem die Wahrscheinlichkeitsverteilung des aktuellen Zustands nur vom vorangegangenen Zustand abhängt

Answer

Eine Markov-Kette kann die Zukunft unabhängig von der Vergangenheit vorhersagen

Answer

Die Übergangsmatrix einer Markov-Kette ist immer symmetrisch

Answer

Eine Markov-Kette ist immer ein stationärer Prozess

Question 5

Welche Anwendung stochastischer Prozesse ist im Bereich der Finanzen relevant?

Accepted Answer

Modellierung des Aktienkurses eines Unternehmens

Answer

Vorhersage von Erdbeben

Answer

Analyse des Wachstums einer Bakterienpopulation

Answer

Simulation der Ausbreitung einer Krankheit

Question 6

Welche Aussage über den Poisson-Prozess ist zutreffend?

Accepted Answer

Der Poisson-Prozess ist ein stationärer Prozess mit einer konstanten Ankunftsrate

Answer

Der Poisson-Prozess ist ein stetiger Prozess

Answer

Die Anzahl der Ereignisse in einem Zeitintervall folgt einer Binomialverteilung

Answer

Die Wartezeit bis zum nächsten Ereignis folgt einer Normalverteilung

Question 7

Wie hoch ist die mittlere Zeit zwischen zwei Ereignissen in einem Poisson-Prozess mit einer Ankunftsrate von 10 Ereignissen pro Stunde?

Accepted Answer

6 Minuten

Answer

10 Minuten

Answer

15 Minuten

Answer

20 Minuten

Question 8

Definiere einen stochastischen Prozess.

Accepted Answer

Eine Reihe zeitlich indizierter Zufallsvariablen.

Answer

Eine Zufallsvariable, die von einem Parameter abhängt.

Question 9

Nenne ein Beispiel für einen Poisson-Prozess.

Accepted Answer

Die Anzahl der ankommenden Telefonanrufe bei einer Callcenter-Hotline pro Stunde.

Answer

Die Anzahl der Personen, die in einer Reihe anstehen.

Question 10

Definiere eine Markov-Kette.

Accepted Answer

Ein stochastischer Prozess, bei dem der zukünftige Zustand nur vom aktuellen Zustand abhängt.

Answer

Ein stochastischer Prozess, bei dem die Wahrscheinlichkeiten der Zustände zeitabhängig sind.

Question 11

Erkenne die Übergangsmatrix einer Markov-Kette.

Accepted Answer

Eine Matrix, deren Zeilen auf 1 summieren.

Answer

Eine Matrix, in der jede Spalte auf 1 summiert.

Question 12

Erläutere den stationären Verteilungsvektor einer Markov-Kette.

Accepted Answer

Ein Vektor, dessen Komponenten die langfristigen Wahrscheinlichkeiten der Zustände angeben.

Answer

Ein Vektor, dessen Komponenten die Wahrscheinlichkeiten der Zustände zu einem bestimmten Zeitpunkt angeben.

Question 13

Ein Poisson-Prozess mit Parameter λ hat eine mittlere Ankunftsrate von

Accepted Answer

λ

Answer

λ/2

Answer

2λ

Answer

λ^2

Question 14

Die mittlere Zeit bis zum ersten Eintreffen in einem Poisson-Prozess mit Parameter λ beträgt:

Accepted Answer

1/λ

Answer

λ

Answer

λ^2

Answer

1/λ^2

Question 15

Welche der folgenden Anwendungen ist nicht für einen Poisson-Prozess geeignet?

Accepted Answer

Modellierung der Gesamtzahl der Schüler in einer Klasse

Answer

Modellierung der Anzahl von Verkehrsunfällen pro Tag

Answer

Modellierung der Anzahl von Kunden, die pro Stunde in einem Supermarkt eintreffen

Answer

Modellierung der Anzahl von Fehlern auf einer Festplatte

Question 16

Welche der folgenden Aussagen über die Poisson-Verteilung ist falsch?

Accepted Answer

Die Standardabweichung der Poisson-Verteilung ist immer kleiner als ihr Erwartungswert.

Answer

Die Poisson-Verteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Answer

Der Erwartungswert der Poisson-Verteilung ist gleich ihrem Parameter.

Answer

Die Poisson-Verteilung ist eine gute Näherung für die Binomialverteilung, wenn n groß und p klein ist.

Question 17

Welcher der folgenden Prozesse ist ein Poisson-Prozess mit der Intensität λ?

Accepted Answer

Die Anzahl der Telefonanrufe, die ein Callcenter pro Stunde erhält

Answer

Die Zeit zwischen den Ausfällen einer Maschine

Answer

Die Anzahl der Kunden, die pro Tag ein Geschäft besuchen

Answer

Die Temperatur eines Raumes

Question 18

Welche der folgenden Aussagen über Markov-Ketten ist korrekt?

Accepted Answer

Der Zustand einer Markov-Kette zum Zeitpunkt t+1 hängt nur vom Zustand zum Zeitpunkt t ab.

Answer

Die Übergangsmatrix einer Markov-Kette muss nicht stochastisch sein.

Answer

Markov-Ketten können nur diskrete Zustände haben.

Answer

Markov-Ketten sind immer stationär.

Question 19

Welcher der folgenden Prozesse ist ein Markow-Prozess der Ordnung 2?

Accepted Answer

Die Größe einer Bakterienpopulation

Answer

Die Bewegung eines Teilchens in einer geraden Linie

Answer

Der Aktienkurs an der Börse

Answer

Die Temperatur in einem Raum

Question 20

Welche der folgenden Aussagen über stochastische Prozesse ist falsch?

Accepted Answer

Stochastische Prozesse sind immer stationär.

Answer

Stochastische Prozesse sind mathematische Modelle für zufällige Phänomene.

Answer

Stochastische Prozesse können diskrete oder stetige Zeit haben.

Answer

Stochastische Prozesse können Zustände annehmen, die sowohl diskret als auch stetig sein können.

Question 21

Welcher der folgenden Prozesse trifft am ehesten auf einen Poisson-Prozess zu?

Accepted Answer

Die Anzahl der Anrufe pro Stunde bei einem Callcenter

Answer

Die Zeitspanne zwischen zwei Erdbeben

Answer

Die Anzahl fehlerhafter Produkte in einer Charge

Answer

Die Höhe einer Aktie an einem bestimmten Tag

Question 22

Für eine Poisson-Verteilung mit dem Parameter λ = 3: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einem bestimmten Zeitintervall exakt 5 Ereignisse eintreten?

Accepted Answer

0,1404

Answer

0,0550

Answer

0,2150

Answer

0,3328

Question 23

Welcher Faktor beeinflusst die Parameter eines Poisson-Prozesses?

Accepted Answer

Die mittlere Ankunftsrate

Answer

Die Anzahl der möglichen Zustände

Answer

Die Übergangsmatrix

Answer

Die Zeitspanne

Question 24

Welche Aussage über stationäre Markov-Ketten ist richtig?

Accepted Answer

Ihre Übergangsmatrix ist zeitunabhängig.

Answer

Sie besitzen immer eine endliche Zustandsmenge.

Answer

Sie konvergieren immer gegen einen Gleichgewichtszustand.

Answer

Ihre Zustandswahrscheinlichkeiten ändern sich im Zeitverlauf.

Question 25

Welche zwei Bedingungen müssen erfüllt sein, damit eine Markov-Kette mit endlich vielen Zuständen gegen einen stationären Zustand konvergiert?

Accepted Answer

Irreduzibilität und Aperiodizität

Answer

Irreduzibilität und Reversibilität

Answer

Aperiodizität und Reversibilität

Answer

Positivität und Aperiodizität

Question 26

Welche Aussage über den Poisson-Prozess ist korrekt?

Accepted Answer

Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von genau k Ereignissen in einem bestimmten Zeitintervall hängt nur von der Länge des Zeitintervalls und den Parametern des Prozesses ab.

Answer

Die Ereignisse des Poisson-Prozesses sind voneinander abhängig.

Answer

Der Poisson-Prozess ist ein diskreter stochastischer Prozess.

Answer

Keine der oben genannten Aussagen trifft zu.

Question 27

Welche Eigenschaft ist für einen ergodischen stochastischen Prozess charakteristisch?

Accepted Answer

Er besitzt eine stationäre Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Answer

Er ist zeitlich inhomogen.

Answer

Er ist nicht-markovsch.

Answer

Keine der oben genannten Aussagen trifft zu.

Question 28

Welche Aussage über stochastische Prozesse ist falsch?

Accepted Answer

Sie beschreiben immer zufällige Abläufe.

Answer

Sie können diskret oder stetig sein.

Answer

Sie können zeitlich homogen oder inhomogen sein.

Answer

Sie können durch ihre Wahrscheinlichkeitsverteilung charakterisiert werden.

Question 29

Präzisiert: Welche der folgenden Verteilungen beschreibt die Wahrscheinlichkeit für die Wartezeit bis zum ersten Ereignis eines Poisson-Prozesses?

Accepted Answer

Korrigiert: Exponentialverteilung

Answer

Poissonverteilung

Answer

Binomialverteilung

Answer

Normalverteilung

Question 30

Ein Poisson-Prozess ist ein stochastischer Prozess, bei dem

Accepted Answer

alle der oben genannten Aussagen zutreffen

Answer

die Zeit zwischen den Ereignissen exponentiell verteilt ist

Answer

die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses in einem festen Zeitintervall nur von der Länge des Intervalls abhängt

Answer

die Anzahl der Ereignisse in einem festen Zeitintervall einer Poisson-Verteilung folgt

Question 31

Welcher der folgenden Prozesse ist ein kontinuierlicher Prozess?

Accepted Answer

Wiener-Prozess

Accepted Answer

Brownsche Bewegung

Answer

Poisson-Prozess

Answer

Markov-Kette

Question 32

Welcher Schritt ist bei der Berechnung der Übergangswahrscheinlichkeiten einer Markov-Kette erforderlich?

Accepted Answer

Erstellung der Zustandsübergangsmatrix

Answer

Ermittlung der Anfangswahrscheinlichkeiten

Answer

Berechnung der Ankunftsraten

Answer

Definition der Intensität

Question 33

Welche Bedingung muss für die Ergodität einer Markov-Kette erfüllt sein?

Accepted Answer

Die Zustandsübergangsmatrix ist irreduzibel.

Answer

Es gibt nur einen absorbierenden Zustand.

Answer

Die Zustandsübergangsmatrix ist symmetrisch.

Answer

Die Zustandsübergangsmatrix ist transitiv.

Question 34

Mit welchem mathematischen Werkzeug können die Übergangswahrscheinlichkeiten einer Markov-Kette berechnet werden?

Accepted Answer

Lineare Algebra

Answer

Graphentheorie

Answer

Differentialrechnung

Answer

Integralrechnung

Question 35

Welche der folgenden Aussagen über die Übergangsmatrix einer Markov-Kette ist korrekt?

Accepted Answer

Die Summe aller Einträge in einer Zeile ist gleich 1.

Answer

Die Summe aller Einträge in einer Spalte ist kleiner als 1.

Answer

Die Summe aller Einträge in der Hauptdiagonale ist immer kleiner als 1.

Answer

Die Summe aller Einträge in der Matrix ist immer größer als 1.

Question 36

Wie heißt die Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Wahrscheinlichkeit beschreibt, dass in einem Poisson-Prozess mit Rate λ genau k Ereignisse in einem Intervall der Länge t eintreten?

Accepted Answer

Poissonverteilung

Answer

Binomialverteilung

Answer

Exponentialverteilung

Answer

Normalverteilung

Question 37

Der Erwartungswert einer Poissonverteilung mit Rate λ beträgt:

Accepted Answer

λ

Answer

λ^2

Answer

1 / λ

Answer

e^(-λ)

Question 38

Die Wahrscheinlichkeit, dass in einem Poisson-Prozess mit Rate λ mindestens ein Ereignis in einem Intervall der Länge t eintritt, wird durch folgende Gleichung beschrieben:

Accepted Answer

P(X >= 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - e^(-λt)

Answer

P(X >= 1) = 1 - e^(-λt^2)

Answer

P(X >= 1) = e^(-λt)

Answer

P(X >= 1) = 1

Question 39

Die Verteilungsfunktion der Zeit bis zum ersten Ereignis in einem Poisson-Prozess ist:

Accepted Answer

Exponentiell mit dem Parameter λ

Answer

Gleichverteilt auf dem Intervall [0, ∞)

Answer

Normalverteilt mit dem Erwartungswert λ

Answer

Poissonverteilt mit dem Parameter λ

Question 40

Was ist die Definition eines Poisson-Prozesses?

Accepted Answer

Ein stochastischer Prozess, bei dem die Anzahl der Ereignisse in einem bestimmten Zeitintervall einer Poisson-Verteilung folgt.

Answer

Ein stochastischer Prozess, bei dem die Zeit zwischen den Ereignissen einer Exponentialverteilung folgt.

Answer

Ein stochastischer Prozess, bei dem die Ereignisse unabhängig und zufällig verteilt sind.

Answer

Ein stochastischer Prozess, bei dem die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses mit der Zeit zunimmt.

Question 41

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass innerhalb von 10 Minuten genau 2 Anrufe bei einer Telefonzentrale eingehen, wenn die mittlere Anrufrate pro Minute 0,5 beträgt?

Accepted Answer

0,0904

Answer

0,1353

Answer

0,0452

Answer

0,2707

Question 42

Welche der folgenden Aussagen über Markov-Ketten ist falsch?

Accepted Answer

Sie sind immer zeitabhängig.

Answer

Sie beschreiben den Übergang von einem Zustand in einen anderen.

Answer

Sie können nur endlich viele Zustände annehmen.

Answer

Sie können für diskrete und kontinuierliche Zustände verwendet werden.

Question 43

Welche der folgenden Aussagen über stationäre Markov-Ketten ist wahr?

Accepted Answer

Ihre Zustandsverteilung ist zeitunabhängig.

Answer

Sie haben einen oder mehrere absorbierende Zustände.

Answer

Sie können unendlich viele Zustände haben.

Answer

Sie sind immer ergodisch.

Question 44

Was ist die Definition einer Markov-Kette höherer Ordnung?

Accepted Answer

Eine Markov-Kette, die mehrere vorherige Zustände berücksichtigt.

Answer

Eine Markov-Kette, die nur für diskrete Zustände verwendet werden kann.

Answer

Eine Markov-Kette, die zeitabhängig ist.

Answer

Eine Markov-Kette, die immer ergodisch ist.

Question 45

Welche Aussage über Markov-Ketten ist korrekt?

Accepted Answer

Die Entwicklung des Prozesses ist nur vom aktuellen Zustand abhängig.

Answer

Markov-Ketten sind immer stationär.

Answer

Die Übergangsmatrix einer Markov-Kette ist immer symmetrisch.

Question 46

Welcher der folgenden Prozesse ist ein stochastischer Prozess?

Accepted Answer

Der Aktienkurs eines Unternehmens

Answer

Die Uhrzeit

Answer

Die Temperatur in einem geschlossenen Raum

Question 47

Welche Aussage über stationäre Markov-Ketten ist richtig?

Accepted Answer

Die Zustandsverteilung bleibt über die Zeit konstant.

Answer

Die Übergangswahrscheinlichkeiten sind nicht konstant.

Answer

Die Zustandsverteilung ändert sich mit der Zeit.

Answer

Die Kette ist nicht ergodisch.

Question 48

In einem Poisson-Prozess mit der Intensität λ = 1 ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einem Intervall der Länge 5 mindestens ein Ereignis eintritt,:

Accepted Answer

0,9502

Answer

0,0432

Answer

0,1813

Question 49

Die Wahrscheinlichkeit, dass in einem Poisson-Prozess mit Rate λ in einem Zeitintervall der Länge t genau k Ereignisse auftreten, ist gegeben durch:

Accepted Answer

λ^k * e^-λt / k!

Answer

e^-λt / k!

Answer

λ * e^-λt / k!

Answer

k * λ^k * e^-λt

Question 50

Die Übergangsmatrix einer Markov-Kette mit zwei Zuständen lautet:

Accepted Answer

P = [p11 p12; p21 p22]

Answer

P = [p11 p12 p21]

Answer

P = [p11 p12; p21]

Answer

P = [p11; p21 p22]

Question 51

Welcher der folgenden Prozesse ist nicht markovscher Natur?

Accepted Answer

Brownsche Bewegung

Answer

Poisson-Prozess

Answer

Markov-Kette mit diskreter Zustandsmenge

Answer

Ornstein-Uhlenbeck-Prozess

Question 52

Die Erwartungswertfunktion eines stochastischen Prozesses gibt an:

Accepted Answer

Den Erwartungswert des Prozesses zu jedem Zeitpunkt

Answer

Die Wahrscheinlichkeit, dass der Prozess zu einem bestimmten Zeitpunkt einen bestimmten Wert annimmt

Answer

Die Varianz des Prozesses zu jedem Zeitpunkt

Question 53

Welche der folgenden Aussagen über stochastische Prozesse ist falsch?

Accepted Answer

Stochastische Prozesse sind deterministische Systeme.

Answer

Stochastische Prozesse können kontinuierliche oder diskrete Zustände haben.

Answer

Stochastische Prozesse können durch Differentialgleichungen modelliert werden.

Question 54

Welche der folgenden Anwendungen von stochastischen Prozessen ist typisch?

Accepted Answer

Modellierung von Finanzmärkten

Answer

Berechnung von Steuerlasten

Answer

Konstruktion von Brücken

Answer

Klassifizierung von Bildern

Question 55

In einem Poisson-Prozess mit der Rate λ verteilt sich die Wartezeit bis zur nächsten Ankunft nach welcher Wahrscheinlichkeitsverteilung?

Accepted Answer

Exponentialverteilung mit dem Parameter λ

Answer

Binomialverteilung mit den Parametern λ und 0,5

Answer

Poissonverteilung mit dem Parameter λ

Answer

Normalverteilung mit den Parametern λ und λ²

Question 56

Welche Eigenschaft ist charakteristisch für Markov-Ketten?

Accepted Answer

Die Wahrscheinlichkeit des nächsten Zustands hängt nur vom aktuellen Zustand ab.

Answer

Der Prozess ist zeitabhängig.

Answer

Die Übergangsmatrix ist symmetrisch.

Question 57

Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit eine Markov-Kette stationäre Verteilungen besitzt?

Accepted Answer

Die Markov-Kette ist irreduzibel und aperiodisch.

Answer

Die Markov-Kette ist symmetrisch.

Answer

Die Markov-Kette ist transitiv.

Question 58

Welche Information enthält die Übergangsmatrix einer Markov-Kette?

Accepted Answer

Die Wahrscheinlichkeiten von Übergängen zwischen den Zuständen

Answer

Die Häufigkeit von Übergängen zwischen den Zuständen

Answer

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zustände

Question 59

Welche Eigenschaft charakterisiert einen ergodischen Poisson-Prozess?

Accepted Answer

Seine Verteilungsfunktion konvergiert gegen eine stationäre Verteilung.

Answer

Seine Ankunftsrate ist zeitabhängig.

Answer

Seine Wartezeit bis zur nächsten Ankunft folgt einer Normalverteilung.

Question 60

Mit welcher Formel berechnet man die Wahrscheinlichkeit, n Ereignisse in einem Poisson-Prozess mit der Rate λ innerhalb eines Zeitintervalls t zu beobachten?

Accepted Answer

(λt)^n * e^(-λt) / n!

Answer

λt * (n+1)! * e^(-λt)

Answer

e^(-λt) / (n*λt)

Answer

n * (λt)^(n-1) * e^(-λt)

Question 61

Nenne ein Beispiel für eine Anwendung von Poisson-Prozessen.

Accepted Answer

Modellierung der Ankunftszeiten von Kunden in einem Supermarkt

Answer

Optimierung von Produktionslinien

Answer

Berechnung der Lebenserwartung

Question 62

Wie verhält sich der Erwartungswert einer Markov-Kette?

Accepted Answer

Er hängt von der Anfangsverteilung und dem Zeitparameter ab.

Answer

Er ist konstant über die Zeit.

Answer

Er ist unabhängig vom aktuellen Zustand.

Question 63

Welche der folgenden Aussagen über eine Bernoulli-Variable ist korrekt?

Accepted Answer

Sie kann nur die Werte 0 oder 1 annehmen.

Answer

Sie ist immer stetig.

Answer

Sie ist immer normalverteilt.

Question 64

Welches der folgenden Beispiele beschreibt einen Poisson-Prozess?

Accepted Answer

Die Anzahl der Telefonanrufe, die ein Callcenter pro Stunde erhält.

Answer

Das Ergebnis eines einzelnen Münzwurfs.

Answer

Die Länge eines zufällig gewählten Zeitintervalls.