Vektoren und Matrizen: Online-Quizzes für die Qualifikationsphase 2

Question 1

Welche Eigenschaft trifft auf die Determinante einer Matrix zu?

Accepted Answer

Sie ist null, wenn zwei Zeilen oder Spalten linear abhängig sind.

Answer

Sie ist immer positiv.

Answer

Sie entspricht dem Produkt der Hauptdiagonalelemente.

Answer

Sie ist gleich der Summe der Eigenwerte.

Question 2

Die Determinante der Matrix A = \begin{pmatrix}1 & 2\3 & 4\end{pmatrix} ist:

Accepted Answer

2

Answer

-2

Answer

0

Answer

4

Question 3

Was versteht man unter dem Rang einer Matrix?

Accepted Answer

Anzahl der linear unabhängigen Zeilen oder Spalten

Answer

Anzahl der Zeilen der Matrix

Answer

Anzahl der Spalten der Matrix

Answer

Summe der Einträge der Matrix

Question 4

Welche Eigenschaft trifft auf die Matrix A = \begin{pmatrix}1 & 2\3 & 4\end{pmatrix} zu?

Accepted Answer

invertibel

Answer

symmetrisch

Answer

antisymmetrisch

Answer

keine der genannten

Question 5

Was ist die Spur einer Matrix?

Accepted Answer

Summe der Diagonalelemente

Answer

Produkt der Einträge in einer Zeile

Answer

Determinante der Matrix

Answer

Rang der Matrix

Question 6

Multipliziere den Vektor (2, 3) mit der Matrix [[1, 2], [3, 4]]

Accepted Answer

(11, 14)

Answer

(14, 11)

Answer

(14, 16)

Answer

(16, 14)

Question 7

Welche der folgenden Matrizen ist eine symmetrische Matrix?

Accepted Answer

[[1, 2], [2, 1]]

Answer

[[1, 2], [3, 4]]

Answer

[[1, 0], [0, 2]]

Answer

[[0, 1], [1, 0]]

Question 8

Ermittle den Betrag des Vektors v = (2, 3, -1).

Accepted Answer

√14

Answer

14

Answer

√6

Answer

6

Question 9

Welche Aussage über Matrizen ist nicht korrekt?

Accepted Answer

Matrizen müssen quadratisch sein, um multipliziert werden zu können.

Answer

Matrizenoperationen wie Addition und Multiplikation sind nur möglich, wenn die Matrizen die gleichen Dimensionen besitzen.

Answer

Matrizen können sowohl mit Zahlen als auch mit anderen Matrizen multipliziert werden.

Answer

Die Determinante einer Matrix ist eine Zahl, die Eigenschaften der Matrix beschreibt.

Question 10

Welche der folgenden Matrizen ist symmetrisch?

Accepted Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Answer

[[1, 2], [2, 3]]

Answer

[[1, 2], [3, 4]]

Answer

[[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 10]]

Question 11

Welche Aussage über Vektoren trifft zu?

Accepted Answer

Vektoren sind geometrische Objekte mit einer bestimmten Größe und Richtung.

Answer

Vektoren können ausschließlich in einem dreidimensionalen Raum definiert werden.

Answer

Es ist nicht möglich, Vektoren zu addieren oder zu subtrahieren.

Answer

Vektoren besitzen keinen definierten Nullpunkt.

Question 12

Welche Matrix ist die Einheitsmatrix?

Accepted Answer

$egin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 end{bmatrix}$

Answer

$egin{bmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 end{bmatrix}$

Answer

$egin{bmatrix} 1 & 1 \ 0 & 1 end{bmatrix}$

Answer

$egin{bmatrix} 0 & 0 \ 1 & 1 end{bmatrix}$

Question 13

Welche Operation ist für Matrizen nicht definiert?

Accepted Answer

Division

Answer

Addition

Answer

Subtraktion

Answer

Multiplikation mit einem Skalar

Question 14

Wie lautet die Determinante der Matrix $egin{bmatrix} 2 & 3 \ 5 & 7 end{bmatrix}$?

Accepted Answer

11

Answer

1

Answer

-1

Answer

-11

Question 15

Welche Lösung ergibt sich für das lineare Gleichungssystem $egin{cases} x + 2y = 5 \ 3x - y = 1 end{cases}$?

Accepted Answer

$egin{cases} x = 2 \ y = 1 end{cases}$

Answer

$egin{cases} x = 1 \ y = 2 end{cases}$

Answer

$egin{cases} x = -2 \ y = 1 end{cases}$

Answer

Das Gleichungssystem besitzt keine Lösung.

Question 16

Welche der folgenden Aussagen über Vektoren ist falsch?

Accepted Answer

Ein Vektor kann nur in einer Ebene liegen.

Answer

Zwei Vektoren sind gleich, wenn sie die gleiche Länge und Richtung haben.

Answer

Die Summe zweier Vektoren ist ein Vektor.

Answer

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist eine Zahl.

Question 17

Welche der folgenden Matrizen ist eine Einheitsmatrix?

Accepted Answer

$ \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Answer

$ \begin{pmatrix} 0 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Answer

$ \begin{pmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 \end{pmatrix}$

Answer

$ \begin{pmatrix} 1 & 1 \ 1 & 1 \end{pmatrix}$

Question 18

Berechne den Betrag des Vektors **v** = (2, -3, 1).

Accepted Answer

√(4 + 9 + 1)

Answer

√(4 - 9 + 1)

Answer

2√(4 + 9 + 1)

Answer

2√(4 - 9 + 1)

Question 19

Welche der folgenden Matrizen ist die Einheitsmatrix?

Accepted Answer

[1, 0; 0, 1]

Answer

[0, 1; 1, 0]

Answer

[1, 0; 0, 0]

Answer

[0, 1; 0, 1]

Question 20

Berechne die Determinante der Matrix **A** = [2, 1; -1, 3].

Accepted Answer

7

Answer

5

Answer

9

Answer

11

Question 21

Berechnen Sie die Summe der Vektoren v = (2, 3) und w = (-1, 5).

Accepted Answer

(1, 8)

Answer

(3, 2)

Answer

(1, -2)

Answer

(-3, 8)

Question 22

Welche der folgenden Matrizen ist die Einheitsmatrix?

Accepted Answer

$$$\begin{array}{cc} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{array}$$$

Answer

$$$\begin{array}{cc} 0 & 1 \ 1 & 0 \end{array}$$$

Answer

$$$\begin{array}{cc} 1 & 1 \ 0 & 0 \end{array}$$$

Answer

$$$\begin{array}{cc} 0 & 0 \ 1 & 1 \end{array}$$$

Question 23

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt eine Gerade im $mathbb{R}^2$?

Accepted Answer

2x + 3y = 6

Answer

$ y = x^2 - 2x + 1 $

Answer

$ |x| + |y| = 5 $

Answer

$ x^2 + y^2 = 4 $

Question 24

Welche der folgenden Aussagen über Vektoren ist falsch?

Accepted Answer

Die Summe zweier Vektoren ist nicht immer ein Vektor mit größerer Länge als die beiden ursprünglichen Vektoren.

Answer

Vektoren haben eine Größe und eine Richtung.

Answer

Vektoren können addiert und subtrahiert werden.

Answer

Vektoren können mit Skalaren multipliziert werden.

Question 25

Welche der folgenden Matrizen ist die Einheitsmatrix?

Accepted Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Answer

[[0, 1], [1, 0]]

Answer

[[1, 2], [3, 4]]

Answer

[[0, 0], [0, 0]]

Question 26

Welche der folgenden Gleichungen ist eine Matrixgleichung?

Accepted Answer

[[x, y], [z, w]] = [[1, 2], [3, 4]]

Answer

x + y = 5

Answer

sin(x) = cos(y)

Answer

e^x = y

Question 27

Welche der folgenden Transformationen ist eine lineare Transformation?

Accepted Answer

x -> 2x - 1

Answer

x -> x^2

Answer

x -> sin(x)

Answer

x -> [x, x^2]

Question 28

Berechne das Skalarprodukt der Vektoren u = (1, 2, 3) und v = (-2, 1, 0).

Accepted Answer

4

Answer

0

Answer

1

Answer

-4

Question 29

Bestimme die Determinante der Matrix A = [[2, 1], [-3, 4]].

Accepted Answer

5

Answer

10

Answer

11

Answer

-5

Question 30

Welche der folgenden Matrizen ist die Einheitsmatrix?

Accepted Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Answer

[[2, 0], [0, 2]]

Answer

[[0, 1], [1, 0]]

Answer

[[1, 2], [3, 4]]

Question 31

Löse das Gleichungssystem Ax = b mithilfe der Matrizenmultiplikation, wobei A = [[1, 2], [3, 4]], x = [x1, x2] und b = [5, 7].

Accepted Answer

x1 = 2, x2 = 1

Answer

x1 = 1, x2 = 2

Answer

x1 = 3, x2 = 4

Answer

x1 = 4, x2 = 3

Question 32

Berechne den Betrag des Vektors u = (2, -3, 4).

Accepted Answer

13

Answer

1

Answer

5

Answer

9

Question 33

Welche der folgenden Aussagen ist richtig?

Accepted Answer

Zwei Vektoren sind genau dann orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt gleich 0 ist.

Answer

Zwei Vektoren sind genau dann linear abhängig, wenn sie den gleichen Betrag haben.

Answer

Die Determinante einer Matrix ist immer eine natürliche Zahl.

Answer

Die Inverse einer Matrix existiert immer.

Question 34

Das Skalarprodukt zweier Vektoren a und b berechnet sich nach:

Accepted Answer

a · b

Answer

a + b

Answer

a - b

Answer

a : b

Question 35

Die Summe zweier Matrizen A und B ist definiert, wenn:

Accepted Answer

A und B gleich groß sind

Answer

A und B quadratisch sind

Answer

A und B rechteckig sind

Answer

A und B invers sind

Question 36

Die Inverse einer Matrix A wird mit A^(-1) bezeichnet. Was bedeutet dies?

Accepted Answer

A ist invertierbar.

Answer

A ist quadratisch.

Answer

A ist symmetrisch.

Answer

A ist diagonalisierbar.

Question 37

Welches der folgenden Symbole wird verwendet, um das Kreuzprodukt zweier Vektoren zu bezeichnen?

Accepted Answer

×

Answer

·

Question 38

Berechne die Summe der Vektoren v = (2, 3) und w = (-1, 5):

Accepted Answer

(1, 8)

Answer

(3, 2)

Answer

(1, 2)

Answer

(-1, 8)

Question 39

Berechne die Inverse der Matrix B = [[1, 2], [3, 5]]:

Accepted Answer

[[5, -2], [-3, 1]]

Answer

[[1, -2], [3, 5]]

Answer

[[-5, 2], [3, -1]]

Answer

Die Matrix ist nicht invertierbar.

Question 40

Welche der folgenden Matrizen ist nicht invertierbar?

Accepted Answer

Nullmatrix

Answer

Einheitsmatrix

Answer

Diagonalmatrix mit lauter Einsen

Question 41

Welcher der folgenden Ausdrücke ist für das Skalarprodukt zweier Vektoren gültig?

Accepted Answer

$vec{a} cdot vec{b} = \Vert vec{a} \Vert \cdot \Vert vec{b} \Vert cos(	heta)$

Answer

$vec{a} cdot vec{b} = vec{a} 	imes vec{b}$

Answer

$vec{a} cdot vec{b} = \frac{vec{a} + vec{b}}{vec{a} - vec{b}}$

Answer

$vec{a} cdot vec{b} = \sqrt{vec{a} cdot vec{b}}$

Question 42

Welche der folgenden Aussagen über orthogonale Vektoren ist richtig?

Accepted Answer

Orthogonale Vektoren stehen senkrecht aufeinander.

Answer

Orthogonale Vektoren sind immer kollinear.

Answer

Orthogonale Vektoren haben immer die gleiche Länge.

Answer

Orthogonale Vektoren können nicht addiert werden.

Question 43

Eine lineare Funktion hat die Gleichung $f(x) = mx + b$. Welcher der folgenden Terme repräsentiert die Steigung der Funktion?

Accepted Answer

m

Answer

b

Answer

m + b

Answer

m - b

Question 44

Welche Eigenschaft von Vektoren ist korrekt?

Accepted Answer

Vektoren sind additiv und subtraktiv.

Answer

Vektoren haben keine Länge.

Answer

Vektoren stehen immer senkrecht aufeinander.

Answer

Vektoren sind ausschließlich mit Zahlen multiplizierbar.

Question 45

Berechne den Vektor, der sich aus der Addition der Vektoren $$overrightarrow{a} = (2, 3)$$ und $$overrightarrow{b} = (-1, 5)$$ ergibt.

Accepted Answer

(1, 8)

Answer

(-3, 2)

Answer

(3, -2)

Answer

(1, -2)

Question 46

Welche der folgenden Matrizen stellt die Einheitsmatrix dar?

Accepted Answer

$$E = egin{pmatrix}1 & 0 \ 0 & 1end{pmatrix}$$

Answer

$$C = egin{pmatrix}3 & -1 \ 2 & 5end{pmatrix}$$

Answer

$$A = egin{pmatrix}0 & 1 \ 1 & 0end{pmatrix}$$

Answer

$$B = egin{pmatrix}1 & 2 \ 3 & 4end{pmatrix}$$

Question 47

Berechne die Determinante der Matrix $$egin{pmatrix}2 & 3 \ -1 & 5end{pmatrix}$$.

Accepted Answer

13

Answer

23

Answer

19

Answer

7

Question 48

Welche Aussage über Matrizeninversion ist zutreffend?

Accepted Answer

Die Inverse einer Matrix existiert, wenn ihre Determinante ungleich 0 ist.

Answer

Die Inverse einer Matrix ist immer eine Diagonalmatrix.

Answer

Die Inverse einer Matrix ist immer eine symmetrische Matrix.

Question 49

Welche der folgenden Aussagen über Vektoren ist richtig?

Accepted Answer

Ein Vektor ist ein Objekt mit Größe und Richtung.

Answer

Die Länge eines Vektors ist immer identisch mit seiner Richtung.

Answer

Vektoren existieren ausschließlich in zweidimensionalen Räumen.

Answer

Ein Vektor ist ein eindimensionales Gebilde.

Question 50

Welche der folgenden Matrizen ist die Einheitsmatrix?

Accepted Answer

I = [1 0; 0 1]

Answer

A = [0 1; 1 0]

Answer

B = [2 3; 4 5]

Question 51

Bestimme die Determinante der Matrix A = [3 2; -1 1].

Accepted Answer

5

Answer

1

Answer

-1

Answer

-5

Question 52

Berechne die Inverse der Matrix A = [2 1; -1 2].

Accepted Answer

[1/3 -1/3; 1/3 2/3]

Answer

[1/3 1/3; -1/3 -2/3]

Answer

[-1/3 1/3; 1/3 -2/3]

Answer

[-1/3 -1/3; 1/3 2/3]

Question 53

Welche der folgenden Aussagen zum Rang einer Matrix ist korrekt?

Accepted Answer

Der Rang einer Matrix ist die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen oder Spalten.

Answer

Der Rang einer Matrix ist immer gleich ihrer Determinante.

Answer

Der Rang einer Matrix ist stets eine Primzahl.

Question 54

Gegeben sind die Vektoren $\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \ -1 \ 3 \end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix} -1 \ 4 \ 2 \end{pmatrix}$. Berechne das Skalarprodukt $\vec{a} \cdot \vec{b}$.

Accepted Answer

-2

Answer

8

Answer

10

Answer

4

Question 55

Bestimme die Determinante der Matrix $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \ -2 & 4 \end{pmatrix}$.

Accepted Answer

14

Answer

-14

Answer

2

Answer

10

Question 56

Welche Aussage über die Inverse einer Matrix ist WAHR?

Accepted Answer

Eine Matrix ist invertierbar, wenn ihre Determinante ungleich Null ist.

Answer

Jede Matrix besitzt eine Inverse.

Answer

Die Inverse einer Matrix ist immer gleich ihrer Transponierten.

Answer

Die Inverse einer Matrix ist immer eine Diagonalmatrix.

Question 57

Ein lineares Gleichungssystem mit drei Variablen hat unendlich viele Lösungen. Welche geometrische Interpretation trifft zu?

Accepted Answer

Die drei Ebenen, die die Gleichungen repräsentieren, schneiden sich in einer gemeinsamen Geraden.

Answer

Die drei Ebenen, die die Gleichungen repräsentieren, schneiden sich in einem Punkt.

Answer

Die drei Ebenen, die die Gleichungen repräsentieren, sind parallel zueinander.

Answer

Die drei Ebenen, die die Gleichungen repräsentieren, haben keine gemeinsamen Punkte.

Question 58

Eine Matrix $C$ hat die Eigenwerte 2 und 3. Welche Aussage über die Eigenwerte der Matrix $C^2$ ist korrekt?

Accepted Answer

Die Eigenwerte von $C^2$ sind 4 und 9.

Answer

Die Eigenwerte von $C^2$ sind 4 und 6.

Answer

Man kann die Eigenwerte von $C^2$ nicht aus den Eigenwerten von $C$ bestimmen.

Answer

Die Eigenwerte von $C^2$ sind 2 und 3.