Komplexe Zahlen: Verstehen, Anwenden und Meistern

Question 1

Berechne die komplex Konjugierte von z = 3 + 4i.

Accepted Answer

3 - 4i

Answer

3 + 4i

Answer

6i

Answer

-3 - 4i

Question 2

Plot the complex number z = 2 - 3i in the complex plane. Describe its location relative to the origin, real axis, and imaginary axis.

Accepted Answer

z is at (2, -3), 2 units right of the origin on the real axis and 3 units below on the imaginary axis.

Answer

z is at (3, -2), 3 units right of the origin on the real axis and 2 units below on the imaginary axis.

Answer

z is at (-2, 3), 2 units left of the origin on the real axis and 3 units above on the imaginary axis.

Answer

z is at (-3, 2), 3 units left of the origin on the real axis and 2 units above on the imaginary axis.

Question 3

Bestimme die Konvergenzmenge der komplexen Reihe: (sum_{n=1}^infty rac{z^n}{n^2}).

Accepted Answer

Für |z| < 1

Answer

Für alle z in mathbb{C}

Answer

Für |z| > 1

Answer

Für kein z in mathbb{C}

Question 4

Bestimme den Betrag der komplexen Zahl 3 + 4i.

Accepted Answer

7

Answer

1

Answer

5

Answer

9

Question 5

Welche der folgenden Aussagen zur Division zweier komplexer Zahlen ist korrekt?

Accepted Answer

Man multipliziert mit dem Konjugat des Nenners.

Answer

Das Ergebnis ist immer eine komplexe Zahl.

Answer

Division durch 0 ist definiert.

Answer

Keine der oben genannten Aussagen ist korrekt.

Question 6

Was ist die Konjugierte der komplexen Zahl a + bi?

Accepted Answer

a - bi

Answer

a + bi

Answer

bi - a

Question 7

Welche komplexe Zahl ist die Konjugierte von (3 + 4i)?

Accepted Answer

(3 - 4i)

Answer

(4 - 3i)

Answer

(-3 + 4i)

Answer

(4 + 3i)

Question 8

In welcher Form lässt sich die komplexe Zahl cos(π/3) + i sin(π/3) darstellen?

Accepted Answer

Trigonometrische Form

Answer

Exponentialform

Answer

Polarkoordinatenform

Answer

Algebraische Form

Question 9

Welche Aussage über komplexe Zahlen ist **nicht** korrekt?

Accepted Answer

Die Quotient zweier komplexer Zahlen ist immer eine komplexe Zahl.

Answer

Das Produkt zweier komplexer Zahlen ist immer eine komplexe Zahl.

Answer

Die Summe zweier komplexer Zahlen ist immer eine komplexe Zahl.

Question 10

Welche der folgenden Aussagen beschreibt eine Eigenschaft komplexer Zahlen?

Accepted Answer

Komplexe Zahlen können dargestellt werden als Punkte in der Ebene.

Answer

Komplexe Zahlen können nicht addiert oder subtrahiert werden.

Answer

Komplexe Zahlen sind immer positiv.

Question 11

Welche der folgenden Aussagen über den Betrag einer komplexen Zahl ist korrekt?

Accepted Answer

Der Betrag einer komplexen Zahl ist immer eine nicht-negative reelle Zahl.

Answer

Der Betrag einer komplexen Zahl kann negativ sein.

Answer

Der Betrag einer komplexen Zahl ist immer gleich 1.

Question 12

Berechne den Betrag von z = 6 - 8i.

Accepted Answer

10

Answer

8

Answer

6

Answer

36

Question 13

Welche der folgenden Aussagen beschreibt die de Moivresche Formel?

Accepted Answer

Sie verknüpft Potenzen komplexer Zahlen mit Winkelfunktionen.

Answer

Sie berechnet die Nullstellen eines Polynoms.

Answer

Sie vereinfacht trigonometrische Ausdrücke.

Question 14

Welche komplexe Zahl liegt auf dem Einheitskreis?

Accepted Answer

cos(π/3) + i sin(π/3)

Answer

2 + 3i

Answer

5 - 12i

Answer

-7 + 8i

Question 15

Welche der folgenden Zahlen ist eine rein imaginäre Zahl?

Accepted Answer

5i

Answer

-2

Answer

√(-9)

Answer

3

Question 16

Welche der folgenden Aussagen über die Menge der komplexen Zahlen ist zutreffend?

Accepted Answer

Sie ist ein Körper mit Einselement 1 und Nullelement 0.

Answer

Sie ist eine Gruppe mit der Multiplikation als Verknüpfung.

Answer

Sie ist ein Ring mit Einselement.

Question 17

Welche der folgenden komplexen Zahlen liegt auf der komplexen Zahlenebene am weitesten rechts?

Accepted Answer

3 + 4i

Answer

-3 + i

Answer

2 - i

Answer

-2 - 4i

Question 18

Nennen Sie eine Anwendung komplexer Zahlen in der Physik:

Accepted Answer

Beschreibung von Wechselstromschaltungen

Answer

Berechnung von Wahrscheinlichkeiten

Answer

Lösen von Differentialgleichungen

Question 19

Welche Aussage über die Eulersche Formel e^(ix) = cos(x) + isin(x) ist zutreffend?

Accepted Answer

Sie stellt eine Verbindung zwischen komplexen Zahlen und trigonometrischen Funktionen her.

Answer

Sie gilt nur für negative x.

Answer

Sie gilt nur für positive x.

Question 20

Komplexe Zahlen sind:

Accepted Answer

Eine Erweiterung der reellen Zahlen.

Answer

Eine Teilmenge der reellen Zahlen.

Answer

Ohne Anwendung in der Mathematik.

Answer

Nur imaginär.

Question 21

Die algebraische Form der komplexen Zahl 3 + 4i lautet:

Accepted Answer

3 + 4i

Answer

4i + 3

Answer

3i + 4

Answer

4 + 3i

Question 22

Die zu z = 2 - 3i konjugiert komplexe Zahl lautet:

Accepted Answer

z* = 2 + 3i

Answer

z* = 3 - 2i

Answer

z* = -3 + 2i

Answer

z* = -2 - 3i

Question 23

Der Betrag der komplexen Zahl 5 + 12i beträgt:

Accepted Answer

|z| = 13

Answer

|z| = 12

Answer

|z| = 5

Answer

|z| = 25

Question 24

Welche Operation ist für komplexe Zahlen nicht zulässig?

Accepted Answer

Division durch 0

Answer

Addition

Answer

Multiplikation

Answer

Subtraktion

Question 25

Die geometrische Darstellung der komplexen Zahl -2 + i ist:

Accepted Answer

Ein Punkt auf der komplexen Ebene mit den Koordinaten (-2, 1).

Answer

Ein Punkt auf der imaginären Achse mit der Koordinate 1.

Answer

Ein Punkt auf der reellen Achse mit der Koordinate -2.

Question 26

Welche der folgenden komplexen Funktionen ist holomorph?

Accepted Answer

f(z) = z^2

Answer

f(z) = Re(z)

Answer

f(z) = 1/z

Answer

f(z) = |z|

Question 27

Welches der folgenden Integrale ist komplexwertig?

Accepted Answer

∫ dz/(z-1)

Answer

∫ e^x dx

Answer

∫ sin(x) dx

Answer

∫ dx/x

Question 28

Nennen Sie eine Anwendung komplexer Zahlen in der Physik:

Accepted Answer

Beschreibung von Wechselstromkreisen

Answer

Erstellung von Kunstwerken

Answer

Berechnung der Fläche eines Dreiecks

Answer

Lösung quadratischer Gleichungen

Question 29

Welcher Satz ist ein wichtiger Satz in der Theorie komplexer Zahlen?

Accepted Answer

Satz von Euler

Answer

Satz des Pythagoras

Answer

Satz von Archimedes

Answer

Satz von Fermat

Question 30

Welche der folgenden Aussagen ist eine Anwendung komplexer Zahlen in der Physik?

Accepted Answer

Beschreibung von Wechselstromkreisen

Answer

Modellierung von Zufallsvariablen

Answer

Lösung von Gleichungssystemen

Answer

Berechnung von Volumen

Question 31

Welche der folgenden Zahlen ist keine komplexe Zahl?

Accepted Answer

5

Answer

2 + 3i

Answer

i²

Answer

-4 + 5i

Question 32

Löse die Gleichung z² - 2z + 5 = 0 in der Menge der komplexen Zahlen.

Accepted Answer

z = 1 ± 2i

Answer

z = -2 ± i

Answer

z = 2 ± i

Answer

z = -1 ± 2i

Question 33

Löse die Ungleichung |z - 1| < 2.

Accepted Answer

{z : |z - 1| < 2}

Answer

{z : |z - 1| > 2}

Answer

{z : |z - 1| = 0}

Answer

{z : |z - 1| > 0}

Question 34

welche der folgenden Aussagen über komplexe Zahlen ist korrekt?

Accepted Answer

Komplexe Zahlen sind Zahlen der Form a + bi, wobei a und b reelle Zahlen sind und i die imaginäre Einheit bezeichnet.

Answer

Komplexe Zahlen sind Zahlen, die kleiner als 0 sind.

Answer

Komplexe Zahlen sind Zahlen, die größer als 1 sind.

Question 35

Welche der folgenden komplexen Zahlen ist rein imaginär?

Accepted Answer

5i

Answer

3 + 2i

Answer

3

Answer

0

Question 36

Welche der folgenden Aussagen über die Division komplexer Zahlen ist korrekt?

Accepted Answer

Um eine komplexe Zahl durch eine andere zu dividieren, multipliziert man den Zähler und den Nenner mit dem Konjugierten des Nenners.

Answer

Um eine komplexe Zahl durch eine andere zu dividieren, dividiert man den Zähler durch den Nenner.

Answer

Um eine komplexe Zahl durch eine andere zu dividieren, multipliziert man den Zähler mit dem Konjugierten des Nenners.

Question 37

Welche der folgenden Gleichungen ist äquivalent zu z^2 = -1?

Accepted Answer

z = i oder z = -i

Answer

z = 2 oder z = -2

Answer

z = 3 oder z = -3

Answer

z = 1 oder z = -1

Question 38

Welche der folgenden komplexen Funktionen ist holomorph?

Accepted Answer

f(z) = z^2

Answer

f(z) = |z|

Answer

f(z) = 1/z

Answer

f(z) = Arg(z)

Question 39

Welche der folgenden Aussagen über den Cauchy-Riemannschen Satz ist korrekt?

Accepted Answer

Wenn eine komplexe Funktion in einem Punkt holomorph ist, dann sind ihre partiellen Ableitungen dort stetig und erfüllen die Cauchy-Riemannschen Gleichungen.

Answer

Wenn eine komplexe Funktion in einem Punkt holomorph ist, dann ist sie dort differenzierbar.

Question 40

Welche der folgenden Anwendungen komplexer Zahlen findet sich in der Physik?

Accepted Answer

Modellierung von Wechselstromkreisen

Answer

Kodierung von Daten

Answer

Berechnung von Primzahlen

Answer

Analyse von Datensätzen

Question 41

Welche Koordinaten in der komplexen Zahlenebene entsprechen der komplexen Zahl 2 + 3i?

Accepted Answer

(2, 3)

Answer

(3, 2)

Answer

(2, -3)

Answer

(-2, 3)

Question 42

Welche Gleichung beschreibt die Beziehung zwischen einer komplexen Zahl z und ihrer konjugiert komplexen Zahl z*?

Accepted Answer

z * z* = |z|²

Answer

z + z* = |z|

Answer

z / z* = |z|

Answer

z - z* = |z|²

Question 43

Welche komplexen Zahlen sind die dritten Wurzeln von 8?

Accepted Answer

2 * (cos(0°) + i * sin(0°)), 2 * (cos(120°) + i * sin(120°)), 2 * (cos(240°) + i * sin(240°))

Answer

2, -2, -2i

Answer

2, 2i, -2

Question 44

Welche Aussage über komplexe Zahlen ist korrekt?

Accepted Answer

Komplexe Zahlen setzen sich aus Real- und Imaginärteil zusammen.

Answer

Komplexe Zahlen sind stets reell.

Answer

Komplexe Zahlen haben keinen Realteil.

Question 45

Welche Gleichung ist äquivalent zu z = 3 + 4i?

Accepted Answer

Re(z) = 3 und Im(z) = 4

Answer

Re(z) + Im(z) = 7

Answer

Re(z) = 4 und Im(z) = 3

Answer

z² = 25

Question 46

Welche der folgenden Zahlen ist keine komplexe Zahl?

Accepted Answer

√(-1)

Answer

i

Answer

3 + 2i

Answer

-4

Question 47

Wie lautet die konjugiert komplexe Zahl zu z = 2 - 3i?

Accepted Answer

2 + 3i

Answer

2 - 3i

Answer

-2 - 3i

Answer

-2 + 3i

Question 48

Welche Operation ergibt immer eine komplexe Zahl?

Accepted Answer

Multiplikation zweier komplexer Zahlen

Answer

Division einer komplexen Zahl durch eine von 0 verschiedene reelle Zahl

Answer

Subtraktion zweier komplexer Zahlen

Answer

Addition einer reellen Zahl zu einer komplexen Zahl

Question 49

In welcher trigonometrischen Form lässt sich z = -5 + 12i darstellen?

Accepted Answer

z = 13(cos 116,57° + i sin 116,57°)

Answer

z = 5(cos 30° + i sin 30°)

Answer

z = 13(cos 243,43° + i sin 243,43°)

Answer

z = 12(cos 60° + i sin 60°)

Question 50

Welche Aussage zur geometrischen Repräsentation komplexer Zahlen ist zutreffend?

Accepted Answer

Komplexe Zahlen werden in der komplexen Ebene als Punkte dargestellt.

Answer

Komplexe Zahlen werden im dreidimensionalen Raum als Punkte dargestellt.

Answer

Komplexe Zahlen werden in der reellen Ebene als Punkte dargestellt.

Question 51

Welche Menge ist eine Teilmenge der komplexen Zahlen?

Accepted Answer

Rationale Zahlen

Answer

Irrationale Zahlen

Answer

Natürliche Zahlen

Answer

Ganze Zahlen

Question 52

Welche Gleichung ist äquivalent zu z² = -1?

Accepted Answer

z = ±i

Answer

z = ±1

Answer

z = 0

Answer

z = 1

Question 53

Nenne eine Anwendung komplexer Zahlen in den Bereichen Elektrotechnik und Signalverarbeitung.

Accepted Answer

Modellierung von Wechselstromsignalen

Answer

Modellierung von Wachstumsprozessen

Answer

Berechnung von Wahrscheinlichkeiten

Answer

Lösen linearer Gleichungssysteme

Question 54

Die komplexe Zahl z = 3 + 4i wird in der Gaußschen Zahlenebene dargestellt durch:

Accepted Answer

einen Punkt mit den Koordinaten (3, 4)

Answer

einen Punkt mit den Koordinaten (-4, 3)

Answer

einen Punkt mit den Koordinaten (4, 3)

Answer

einen Punkt mit den Koordinaten (-3, 4)

Question 55

Die Summe der komplexen Zahlen (2 + 3i) und (4 - 5i) ist:

Accepted Answer

6 - 2i

Answer

8 + 2i

Answer

6 + 2i

Answer

8 - 2i

Question 56

Die komplexe Zahl z, die der komplexen Zahl (1 + 2i) konjugiert komplex ist, lautet:

Accepted Answer

1 - 2i

Answer

1 + 2i

Answer

2 + 1i

Answer

2 - 1i

Question 57

Der Betrag der komplexen Zahl z = -3 - 4i ist:

Accepted Answer

5

Answer

-5

Answer

13

Answer

-13

Question 58

Die Division der komplexen Zahl (6 + 8i) durch die komplexe Zahl (2 + 3i) ergibt:

Accepted Answer

1 + i

Answer

-1 + i

Answer

1 - i

Question 59

Die komplexe Zahl z, die die Gleichung z^2 - 2z + 5 = 0 löst, ist:

Accepted Answer

z = 1 ± 2i

Answer

z = 1 ± i

Answer

z = -1 ± 2i

Question 60

Die Menge aller komplexen Zahlen z, die den Abstand 1 zur komplexen Zahl 2 + i haben, bildet:

Accepted Answer

einen Kreis mit dem Radius 1 um den Punkt (2, 1)

Answer

einen Kreis mit dem Radius 1 um den Punkt (-2, -1)

Answer

eine Gerade mit der Steigung 1 durch den Punkt (2, 1)

Answer

eine Gerade mit der Steigung -1 durch den Punkt (2, 1)

Question 61

Die komplexe Zahl, die durch die Multiplikation von (3 - 2i) und (4 + 5i) entsteht, ist:

Accepted Answer

23 - 7i

Answer

-23 - 7i

Answer

23 + 7i

Question 62

Die komplexe Zahl z, die der komplexen Zahl (2 - 3i) invers ist, lautet:

Accepted Answer

2/13 + 3/13i

Answer

2/13 - 3/13i

Answer

-2/13 + 3/13i

Question 63

Die geometrische Darstellung der Menge aller komplexen Zahlen z, die die Ungleichung |z| < 2 erfüllen, ist:

Accepted Answer

ein Kreis mit dem Radius 2 um den Ursprung

Answer

ein Kreis mit dem Radius 2 um den Punkt (0, 2)

Answer

ein Rechteck mit den Seitenlängen 2 und 2

Answer

ein Quadrat mit der Seitenlänge 2