Grenzwerte und Stetigkeit: Interaktive Übungen und Quizfragen

Question 1

Welcher der folgenden Ausdrücke repräsentiert den Grenzwert von f(x) = sin(x) / x für x, das gegen 0 konvergiert?

Accepted Answer

0

Answer

1

Answer

-1

Answer

undefiniert

Question 2

Welche der folgenden Aussagen beschreibt die Epsilon-Delta-Definition der Stetigkeit einer Funktion f(x) an einer Stelle x0?

Accepted Answer

Für jedes positive ε gibt es ein positives δ, sodass für alle x gilt: |x - x0| < δ impliziert |f(x) - f(x0)| < ε.

Answer

Für jedes positive x gibt es ein positives δ, sodass für alle x gilt: |x - x0| < δ impliziert |f(x) - f(x0)| < ε.

Answer

Für jedes positive ε gibt es ein positives δ, sodass für alle x gilt: |x - x0| > δ impliziert |f(x) - f(x0)| < ε.

Answer

Für jedes positive ε gibt es ein positives δ, sodass für alle x gilt: |x - x0| < ε impliziert |f(x) - f(x0)| > δ.

Question 3

Eine Funktion f(x) ist an der Stelle x₀ stetig. Welche Aussage über die Grenzwerte lim (x→x₀) f(x) und f(x₀) trifft zu?

Accepted Answer

lim (x→x₀) f(x) = f(x₀) und f(x₀) existiert

Answer

lim (x→x₀) f(x) ≠ f(x₀) und f(x₀) existiert nicht

Answer

lim (x→x₀) f(x) existiert nicht und f(x₀) existiert

Answer

lim (x→x₀) f(x) existiert nicht und f(x₀) existiert nicht

Question 4

Berechne den Grenzwert von f(x) = sqrt(x^2 + 1) - x für x, das gegen unendlich geht.

Accepted Answer

0

Answer

1

Answer

unendlich

Answer

-unendlich

Question 5

Welche der folgenden Funktionen hat einen Sprung an der Stelle x = 0?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Question 6

Welche der folgenden Aussagen über die Funktion f(x) = 1 / sqrt(x) ist falsch?

Accepted Answer

Die Funktion ist im Ursprung differenzierbar.

Answer

Die Funktion hat eine hebbare Definitionslücke an der Stelle x = 0.

Answer

Die Funktion ist auf (0, unendlich) stetig.

Answer

Die Funktion hat einen vertikalen Asymptoten an der Stelle x = 0.

Question 7

Welches Kriterium ist Teil der formalen Definition des Grenzwertes?

Accepted Answer

Für alle ε > 0 existiert ein δ > 0, sodass für alle x mit 0 < |x - a| < δ gilt: |f(x) - L| < ε.

Answer

Der Grenzwert ist endlich.

Question 8

Welche Aussage über die Funktion f(x) = 1/x ist korrekt?

Accepted Answer

stetig für alle x ≠ 0

Answer

stetig für alle x

Answer

stetig nur für x > 0

Answer

stetig nur für x < 0

Question 9

Welche Aussage über die Funktion f(x) = x² - 4 ist korrekt?

Accepted Answer

stetig für alle x

Answer

nicht stetig für x = 2

Answer

stetig nur für x > 0

Answer

nicht stetig für x = 0

Question 10

Welche Aussage beschreibt die Stetigkeit der Funktion f(x) = 1 / (x - 2) an der Stelle x = 2?

Accepted Answer

f(x) ist an der Stelle x = 2 unstetig

Answer

f(x) ist an der Stelle x = 2 stetig

Question 11

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 0 nicht stetig?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x³

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Question 12

Welche der folgenden Aussagen ist richtig?

Accepted Answer

Eine Funktion ist stetig, wenn ihr Grenzwert an jeder Stelle existiert und gleich dem Funktionswert ist

Answer

Eine Funktion ist stetig, wenn ihr Grenzwert an jeder Stelle existiert

Question 13

Welche Funktion ist an der Stelle x = 1 unstetig?

Accepted Answer

f(x) = 1 / x

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Question 14

Welche Aussage über die Funktion f(x) = cos(x) ist korrekt?

Accepted Answer

f(x) ist überall stetig.

Answer

f(x) hat an der Stelle x = π/2 eine Sprungunstetigkeit.

Answer

f(x) hat an der Stelle x = 0 einen Pol.

Answer

f(x) ist nirgendwo stetig.

Question 15

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 3 nicht stetig?

Accepted Answer

f(x) = 1/(x-3)

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = (x-3)^2

Answer

f(x) = |x-3|

Question 16

Welche der folgenden Aussagen beschreibt die Grenzwertrechenregeln für Folgen korrekt?

Accepted Answer

Die Grenzwertrechenregeln umfassen Summen-, Differenz-, Produkt- und Quotientenregel.

Answer

Die Grenzwertrechenregeln gelten nicht für Folgen.

Question 17

Beweise die Stetigkeit der Funktion f(x) = x² an der Stelle x = 1 mithilfe der Epsilon-Delta-Definition der Stetigkeit.

Accepted Answer

Für jedes ε > 0 gibt es ein δ > 0, sodass für alle x gilt: |x - 1| < δ ⇒ |f(x) - f(1)| < ε.

Answer

Für jedes δ > 0 gibt es ein ε > 0, sodass für alle x gilt: |f(x) - f(1)| < δ ⇒ |x - 1| < ε.

Answer

Für jedes x gilt: |x - 1| > δ ⇒ |f(x) - f(1)| > ε.

Answer

Für jedes x gilt: |f(x) - f(1)| > δ ⇒ |x - 1| > ε.

Question 18

Welche Funktion hat an der Stelle x = π/2 eine Hebungsstelle?

Accepted Answer

f(x) = tan(x)

Answer

f(x) = ln(x)

Answer

f(x) = cos(x)

Answer

f(x) = sin(x)

Question 19

Welche der folgenden Funktionen hat einen vertikalen Asymptoten?

Accepted Answer

f(x) = 1 / (x - 1)

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = sin(x)

Question 20

Welche Aussage zur Funktion f(x) = x³ - 4x ist korrekt?

Accepted Answer

Die Funktion ist überall stetig.

Answer

Die Funktion ist an der Stelle x = 2 nicht stetig.

Answer

Die Funktion hat eine Hebungsstelle an der Stelle x = 0.

Answer

Die Funktion hat einen vertikalen Asymptoten an der Stelle x = 0.

Question 21

Welche Aussage über die Funktion **f(x) = 1 / x** ist richtig?

Accepted Answer

**Die Funktion hat an der Stelle x = 0 einen Pol.**

Answer

**Die Funktion ist an der Stelle x = 0 stetig.**

Answer

**Die Funktion hat an der Stelle x = 0 eine Nullstelle.**

Question 22

Welcher Grenzwert ergibt sich für die Funktion **f(x) = e^x** für **x gegen unendlich**?

Accepted Answer

**unendlich**

Answer

**1**

Answer

**-unendlich**

Answer

**0**

Question 23

An welcher Stelle ist die Funktion **f(x) = (x + 1)³** stetig?

Accepted Answer

**überall**

Answer

**nur an x = -1**

Answer

**nur an negativen x**

Answer

**nur an positiven x**

Question 24

Welche Aussage über die Funktion **f(x) = sqrt(x)** ist richtig?

Accepted Answer

**Die Funktion ist nur für nicht-negative x definiert.**

Answer

**Die Funktion ist nur für positive x definiert.**

Answer

**Die Funktion ist überall definiert.**

Question 25

Welche Aussage über die Funktion f(x) = 1/x ist richtig, wenn x gegen 0 geht?

Accepted Answer

Der Grenzwert ist unendlich

Answer

Der Grenzwert existiert nicht

Answer

Der Grenzwert ist 1

Answer

Der Grenzwert ist 0

Question 26

Welche Aussage über die Funktion f(x) = e^x ist richtig, wenn x gegen unendlich geht?

Accepted Answer

Der Grenzwert ist unendlich

Answer

Der Grenzwert ist 1

Answer

Der Grenzwert existiert nicht

Answer

Der Grenzwert ist 0

Question 27

Welche Funktion hat den Grenzwert 1, wenn x gegen minus unendlich geht?

Accepted Answer

f(x) = x/(x + 1)

Answer

f(x) = sqrt(x)

Answer

f(x) = x² + 1

Answer

f(x) = e^x

Question 28

Welche Aussage über die Funktion f(x) = sin(x) ist richtig, wenn x gegen 0 geht?

Accepted Answer

Der Grenzwert ist 0

Answer

Der Grenzwert ist 1

Answer

Der Grenzwert ist π/2

Answer

Der Grenzwert existiert nicht

Question 29

Welche Funktion ist an der Stelle x = 0 nicht stetig?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Question 30

Welcher Grenzwert ist gleich lim (x->∞) (cos(x) + 1)?

Accepted Answer

2

Answer

1

Answer

Unendlich

Answer

0

Question 31

Berechne den Grenzwert von f(x) = (x-2)² für x gegen 2.

Accepted Answer

0

Answer

2

Answer

4

Answer

-2

Question 32

Ist die Funktion f(x) = 1/x an der Stelle x = 0 stetig?

Accepted Answer

Nein

Answer

Ja, weil der Grenzwert an x = 0 existiert.

Answer

Ja, weil die Funktion an x = 0 definiert ist.

Question 33

Ist die Funktion f(x) = (x²+1)/(x-1) an der Stelle x = 1 stetig?

Accepted Answer

Nein

Answer

Es lässt sich nicht bestimmen.

Answer

Ja, weil die Funktion an x = 1 definiert ist.

Answer

Ja, weil der Grenzwert an x = 1 existiert.

Question 34

Berechne den Grenzwert von f(x) = sin(x)/x für x gegen 0.

Accepted Answer

1

Answer

Es lässt sich nicht bestimmen.

Answer

0

Answer

-1

Question 35

Ist die Funktion f(x) = {x², falls x rational; 0, falls x irrational} an der Stelle x = √2 stetig?

Accepted Answer

Nein

Answer

Es lässt sich nicht bestimmen.

Answer

Ja, weil die Funktion an x = √2 definiert ist.

Answer

Ja, weil der Grenzwert an x = √2 existiert.

Question 36

Ist die Funktion f(x) = x/(x²-4) an der Stelle x = 2 stetig?

Accepted Answer

Nein

Answer

Es lässt sich nicht bestimmen.

Answer

Ja, weil die Funktion an x = 2 definiert ist.

Answer

Ja, weil der Grenzwert an x = 2 existiert.

Question 37

Ist die Funktion f(x) = sqrt(x²) an der Stelle x = 0 stetig?

Accepted Answer

Ja

Answer

Nein, weil die Funktion an x = 0 nicht definiert ist.

Answer

Es lässt sich nicht bestimmen.

Answer

Nein, weil der Grenzwert an x = 0 nicht existiert.

Question 38

Welche Aussage über den Grenzwert einer Funktion ist korrekt?

Accepted Answer

Der Grenzwert einer Funktion an einer Stelle ist der Wert, dem sich die Funktionswerte annähern, wenn die unabhängige Variable sich dieser Stelle nähert.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion an einer Stelle ist immer der Funktionswert an dieser Stelle.

Question 39

Berechnen Sie den Grenzwert der Funktion f(x) = (x² - 1) / (x - 1) für x → 1.

Accepted Answer

2

Answer

1

Answer

0

Answer

Unendlich

Question 40

Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit eine Funktion f(x) an der Stelle x = a stetig ist?

Accepted Answer

Der Grenzwert von f(x) für x → a muss existieren und gleich dem Funktionswert f(a) sein.

Answer

Die Funktion muss an der Stelle x = a differenzierbar sein.

Answer

Die Funktion muss an der Stelle x = a definiert sein.

Question 41

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 0 nicht stetig?

Accepted Answer

f(x) = 1 / x

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = sin(x)

Question 42

Welche Aussage über die Stetigkeit von Funktionen ist korrekt?

Accepted Answer

Eine Funktion kann an einer Stelle stetig sein, obwohl sie dort nicht differenzierbar ist.

Answer

Stetigkeit und Differenzierbarkeit sind äquivalente Begriffe.

Answer

Eine Funktion kann an einer Stelle differenzierbar sein, obwohl sie dort nicht stetig ist.

Question 43

Welche der folgenden Funktionen hat an der Stelle x = 0 einen Sprung?

Accepted Answer

f(x) = |x| / x

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = sin(x)

Question 44

Eine Funktion f(x) ist an der Stelle x = a stetig. Welche der folgenden Aussagen ist falsch?

Accepted Answer

Der Grenzwert von f(x) für x → a existiert nicht.

Answer

Die Funktion ist an der Stelle x = a definiert.

Answer

Der Graph der Funktion hat an der Stelle x = a keine Lücke.

Answer

Der Grenzwert von f(x) für x → a ist gleich dem Funktionswert f(a).

Question 45

Welche Aussage über den Grenzwert einer Funktion für x → ∞ ist korrekt?

Accepted Answer

Der Grenzwert für x → ∞ beschreibt das Verhalten der Funktion, wenn x unendlich groß wird.

Answer

Der Grenzwert für x → ∞ existiert immer.

Answer

Der Grenzwert für x → ∞ ist immer gleich Null.

Question 46

Welche der folgenden Funktionen hat für x → ∞ den Grenzwert 0?

Accepted Answer

f(x) = 1 / x

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = x²

Question 47

Welche Aussage über die Stetigkeit von Funktionen in der Praxis ist korrekt?

Accepted Answer

Stetigkeit ist ein wichtiges Konzept für die Modellierung von realen Phänomenen, z. B. in der Physik und der Wirtschaft.

Answer

Stetigkeit ist ein theoretisches Konzept ohne praktische Anwendung.

Question 48

Welche der folgenden Aussagen beschreibt den Grenzwert einer Funktion richtig?

Accepted Answer

Der Wert, dem sich die Funktionswerte der Funktion für x gegen einen Wert a nähern.

Answer

Der Wert, den die Funktion für x gegen unendlich annimmt.

Answer

Der Wert, den die Funktion an der Stelle x = a annimmt.

Question 49

Berechnen Sie den Grenzwert von f(x) = (x^2 - 1) / (x - 1) für x gegen 1.

Accepted Answer

2

Answer

1

Answer

unbestimmt

Answer

0

Question 50

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 2 stetig?

Accepted Answer

f(x) = x^2 + 1

Answer

f(x) = |x - 2|

Answer

f(x) = 1 / (x - 2)

Question 51

Welche der folgenden Aussagen ist eine notwendige Bedingung für die Stetigkeit einer Funktion an einer Stelle?

Accepted Answer

Der Grenzwert der Funktion existiert an der Stelle.

Answer

Die Funktion ist an der Stelle integrierbar.

Answer

Die Funktion ist an der Stelle differenzierbar.

Question 52

Bestimmen Sie die Stetigkeit der Funktion f(x) = (x - 1) / (x^2 - 1) an der Stelle x = 1.

Accepted Answer

Nicht stetig

Answer

Nicht differenzierbar

Answer

Stetig

Answer

Bedingt stetig

Question 53

Welche der folgenden Aussagen beschreibt den Satz von L'Hospital richtig?

Accepted Answer

Ein Grenzwert einer Quotientenfunktion kann durch den Grenzwert des Quotienten der Ableitungen ersetzt werden.

Answer

Ein Grenzwert einer Exponentialfunktion kann durch den Grenzwert der Basis ersetzt werden.

Question 54

Berechnen Sie den Grenzwert von f(x) = (e^x - 1) / x für x gegen 0 mit Hilfe des Satzes von L'Hospital.

Accepted Answer

1

Answer

e

Answer

0

Answer

unbestimmt

Question 55

Welche der folgenden Funktionen ist an allen Stellen stetig?

Accepted Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = cot(x)

Answer

f(x) = tan(x)

Answer

f(x) = cos(x)

Question 56

Bestimmen Sie, ob die Funktion f(x) = |x| an der Stelle x = 0 stetig ist.

Accepted Answer

Bedingt stetig

Answer

Stetig

Answer

Nicht stetig

Answer

Nicht differenzierbar

Question 57

Welche der folgenden Aussagen beschreibt die Stetigkeit einer stückweise definierten Funktion korrekt?

Accepted Answer

Die Funktion ist an allen Stellen ihres Definitionsbereichs stetig außer an den Sprungstellen.

Answer

Die Funktion ist an allen Stellen außer an den Endpunkten ihres Definitionsbereichs stetig.

Answer

Die Funktion ist an allen Stellen ihres Definitionsbereichs stetig.