Ableitungen in der Mathematik: Verstehe die Grundlagen der Differentialrechnung

Question 1

Welche der folgenden Funktionen ist nicht differenzierbar an einer Stelle x = a?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = sin(x)

Question 2

Wie lautet die Ableitung der Funktion f(x) = ln(x)?

Accepted Answer

1/x

Answer

x

Answer

-1/x

Answer

ln(x)

Question 3

Wie lautet die Ableitung der Funktion f(x) = (x^2 + 1)/(x - 1)?

Accepted Answer

(2x - x^2)/(x - 1)^2

Answer

(2x + x^2)/(x - 1)^2

Answer

-(2x - x^2)/(x - 1)^2

Answer

-(2x + x^2)/(x - 1)^2

Question 4

Welche Regel gilt für die Ableitung der Potenzfunktion f(x) = x^n?

Accepted Answer

f'(x) = nx^(n-1)

Answer

f'(x) = x^(n-1)

Answer

f'(x) = x^(n+1)

Answer

f'(x) = nx^(n+1)

Question 5

Welche der folgenden Funktionen ist die Ableitung von f(x) = sin(x)?

Accepted Answer

f'(x) = cos(x)

Answer

f'(x) = -sin(x)

Answer

f'(x) = -cos(x)

Answer

f'(x) = sin(x)

Question 6

Welche Ableitung ist korrekt für die Funktion f(x) = arctan(x)?

Accepted Answer

f'(x) = 1/(1 + x^2)

Answer

f'(x) = -1/(1 + x^2)

Answer

f'(x) = (1 + x^2)/x

Answer

f'(x) = (1 - x^2)/x

Question 7

Welche der folgenden Funktionen besitzt keine erste Ableitung an der Stelle x = 0?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Question 8

Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = (x² + 1) * (x - 2).

Accepted Answer

f'(x) = (x² + 1) * (1) + (x - 2) * (2x - 1)

Answer

f'(x) = (x² + 1) + (x - 2)

Answer

f'(x) = (2x) * (x - 2) + (x² + 1) * (1)

Answer

f'(x) = (2x) * (x - 2)

Question 9

Welche der folgenden Grenzwerte ist gleich der Ableitung von f(x) = 1/x an der Stelle x = 2?

Accepted Answer

lim(h->0) (f(2+h) - f(2)) / h

Answer

lim(h->0) (f(2-h) - f(2)) / h

Answer

lim(h->∞) (f(2+h) - f(2)) / h

Answer

lim(h->∞) (f(2-h) - f(2)) / h

Question 10

Welche der folgenden Ableitungsregeln gilt für die Funktion f(x) = sin(2x)?

Accepted Answer

f'(x) = 2 * cos(2x)

Answer

f'(x) = cos(2x)

Answer

f'(x) = -2 * cos(2x)

Answer

f'(x) = -cos(2x)

Question 11

Welche der folgenden Aussagen zur Ableitung einer Funktion ist korrekt?

Accepted Answer

Die Ableitung einer Funktion gibt die momentane Änderungsrate an einem bestimmten Punkt an.

Answer

Die Ableitung einer Funktion gibt die Krümmung der Funktion an.

Answer

Die Ableitung einer Funktion gibt den größten Wert der Funktion an.

Question 12

Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = x³ + 2x² – 5:

Accepted Answer

3x² + 4x

Answer

2x³ + 4x

Answer

x³ + 4x – 5

Question 13

Welche der folgenden Aussagen über die Ableitung einer zusammengesetzten Funktion ist korrekt?

Accepted Answer

Die Ableitung einer zusammengesetzten Funktion ist das Produkt der Ableitungen der einzelnen Funktionen, wobei die äußere Ableitung mit der inneren Funktion multipliziert wird.

Answer

Die Ableitung einer zusammengesetzten Funktion ist die Summe der Ableitungen der einzelnen Funktionen.

Question 14

Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = e^(3x):

Accepted Answer

3e^(3x)

Answer

x*e^(3x)

Answer

e^(3x)

Answer

4e^(3x)

Question 15

Welche Regel gilt für die Ableitung der Summe zweier Funktionen f(x) und g(x)?

Accepted Answer

f'(x) + g'(x)

Answer

2f'(x) + g'(x)

Answer

f'(x) - g'(x)

Question 16

Welche Funktion hat eine konstante Ableitung?

Accepted Answer

f(x) = 5

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x²

Question 17

Bestimme die Ableitung der Funktion f(x) = 1/(x - 1).

Accepted Answer

1/(x - 1)²

Answer

1/(x + 1)

Answer

x/(x - 1)²

Answer

-(x - 1)²

Question 18

Welche Aussage zur Steigung des Graphen einer Funktion f(x) ist korrekt?

Accepted Answer

Die Steigung im Punkt x ist f'(x).

Answer

Die Steigung im Punkt x ist der höchste Wert von f(x).

Answer

Die Steigung im Punkt x ist f(x).

Question 19

Bestimme die Asymptote der Funktion f(x) = (x + 1)/(x - 2).

Accepted Answer

x = 2 (vertikal)

Answer

x = -1 (vertikal)

Answer

y = 1 (horizontal)

Answer

y = 0 (horizontal)

Question 20

Welche Funktion hat einen Wendepunkt?

Accepted Answer

f(x) = x³ - 2x² + x + 1

Answer

f(x) = x² - 2x + 1

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Question 21

Welche der folgenden Funktionen ist die Ableitung von f(x) = ln(x)?

Accepted Answer

f'(x) = 1/x

Answer

f'(x) = e^x

Answer

f'(x) = x

Answer

f'(x) = -1/x

Question 22

Bestimme den Wert der ersten Ableitung von f(x) = |x| an der Stelle x = -2.

Accepted Answer

-1

Answer

0

Answer

1

Answer

2

Question 23

Welche der folgenden Aussagen über die Ableitung einer Funktion f(x) ist richtig?

Accepted Answer

Die Steigung der Tangente an einem beliebigen Punkt ist gleich dem Wert der Ableitung an diesem Punkt.

Answer

Die Ableitung ist immer positiv.

Answer

Die Ableitung gibt den Flächeninhalt unter der Kurve an.

Question 24

Welche der folgenden Aussagen über die Kurve y = f(x) ist richtig, wenn f''(x) > 0?

Accepted Answer

Die Kurve ist konkav nach oben.

Answer

Die Kurve ist konkav nach unten.

Answer

Die Kurve ist eine Gerade.

Answer

Die Kurve hat einen Wendepunkt.

Question 25

Welche der folgenden Funktionen hat die Ableitung f'(x) = 3x² - 2x + 1?

Accepted Answer

f(x) = x³ - x² + x + C

Answer

f(x) = x³ + x² + x + C

Answer

f(x) = x³ - x² - x + C

Answer

f(x) = x³ + x² - x + C

Question 26

Welche der folgenden Aussagen ist über die Funktion f(x) = (x + 2)² - 9 richtig?

Accepted Answer

Die Funktion hat ein Minimum bei x = -2

Answer

Die Funktion hat ein Maximum bei x = -2

Answer

Die Funktion ist monoton steigend

Answer

Die Funktion hat einen Wendepunkt bei x = -2

Question 27

Welche der folgenden Aussagen ist eine Anwendung von Ableitungen?

Accepted Answer

Ermittlung von Extremwerten

Answer

Berechnung von Integralen

Answer

Darstellung komplexer Zahlen

Answer

Lösung quadratischer Gleichungen

Question 28

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 0 nicht differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x³

Answer

f(x) = eˣ

Question 29

Welche Ableitungsregel ist anzuwenden, um die Ableitung von f(x) = (x² + 1) * eˣ zu berechnen?

Accepted Answer

Produktregel

Answer

Summen- und Differenzenregel

Answer

Quotientenregel

Answer

Kettenregel

Question 30

Welche der folgenden Ableitungsregeln ist korrekt für die Ableitung einer Konstanten?

Accepted Answer

0

Answer

e

Answer

x

Answer

1

Question 31

Welche der folgenden Funktionen hat eine Ableitung von 0?

Accepted Answer

y = 5

Answer

y = x^2

Answer

y = e^x

Answer

y = sin(x)

Question 32

Berechne die Ableitung von g(x) = (x + 1)^2.

Accepted Answer

2(x + 1)

Answer

x^2 + 2x + 1

Answer

2x + 1

Answer

(x + 1)^3

Question 33

Welche der folgenden Funktionen hat einen Wendepunkt?

Accepted Answer

y = x^3 - 3x^2 + 2

Answer

y = e^x

Answer

y = sin(x)

Answer

y = x^2

Question 34

Berechne die Ableitung von f(x) = ln(x^2 + 1).

Accepted Answer

2x / (x^2 + 1)

Answer

ln(x^2) / (x^2 + 1)

Answer

1 / (x^2 + 1)

Answer

x^2 / (x^2 + 1)

Question 35

Welche der folgenden Funktionen hat eine vertikale Asymptote bei x = 2?

Accepted Answer

y = 1 / (x - 2)

Answer

y = x^2 - 4

Answer

y = sin(x) / (x - 2)

Answer

y = e^(x - 2)

Question 36

Berechne die Ableitung von f(x) = |x|.

Accepted Answer

1 für x > 0, -1 für x < 0

Answer

1 / |x|

Answer

|x| / x

Answer

0

Question 37

Berechne die Ableitung von f(x) = x³ + 2x² - 1.

Accepted Answer

3x² + 4x

Answer

3x³ + 4x

Answer

x³ + 4x

Answer

x² + 4x

Question 38

Bestimme die Ableitung von g(x) = sin(3x).

Accepted Answer

3cos(3x)

Answer

-3sin(3x)

Answer

cos(3x)

Answer

sin(3x)

Question 39

Welche Aussage über die Ableitung von h(x) = |x - 2| ist zutreffend?

Accepted Answer

Die Ableitung ist 1 für x > 2 und -1 für x < 2.

Answer

Die Funktion hat keine Ableitung.

Answer

Die Ableitung ist -1 für alle x.

Answer

Die Ableitung ist 1 für alle x.

Question 40

Berechne die Ableitung von f(x) = e^(2x + 1).

Accepted Answer

2e^(2x + 1)

Answer

e^(2x + 1)

Answer

-e^(2x + 1)

Answer

2x e^(2x + 1)

Question 41

Welche der folgenden Funktionen ist die Ableitung von g(x) = ln(x²)?

Accepted Answer

2/x

Answer

2x

Answer

1/x

Answer

ln(x)

Question 42

Berechne die Ableitung von h(x) = 1 / (x + 1).

Accepted Answer

-1 / (x + 1)²

Answer

1 / (x + 1)

Answer

-1 / x

Answer

(x + 1)²

Question 43

Welche der folgenden Funktionen ist die Ableitung von f(x) = (x² + 1) / (x - 1)?

Accepted Answer

((2x - 1) / (x - 1)²)

Answer

((x² + 1) / (x - 1))

Answer

((x² - 1) / (x - 1))

Answer

(-(x² + 1) / (x - 1)²)²

Question 44

Welche Aussage über die Ableitung einer konstanten Funktion ist richtig?

Accepted Answer

Die Ableitung ist 0.

Answer

Die Ableitung ist 1.

Answer

Die Funktion hat keine Ableitung.

Answer

Die Ableitung ist x.

Question 45

Welche Funktion ist die Ableitung von  f(x) = 3x² + 2x - 1?

Accepted Answer

f'(x) = 6x + 2

Answer

f'(x) = 6x² + 2x

Answer

f'(x) = 9x + 2

Answer

f'(x) = 3x + 2

Question 46

Welche Funktion hat die Ableitung f'(x) = 2x - 3?

Accepted Answer

f(x) = x² - 3x + C (C ist eine beliebige Konstante)

Answer

f(x) = 2x² - 3x + C

Answer

f(x) = x² + 3x + C

Question 47

Wie groß ist die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion f(x) = x³ + 2x im Punkt (1, 3)?

Accepted Answer

5

Answer

3

Answer

7

Answer

1

Question 48

Welche Funktion ist die Ableitung von f(x) = sin(x)?

Accepted Answer

f'(x) = cos(x)

Answer

f'(x) = -cos(x)

Answer

f'(x) = sin(x)

Answer

f'(x) = -sin(x)

Question 49

Was beschreibt die Ableitung einer Funktion?

Accepted Answer

Die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion an einem bestimmten Punkt.

Answer

Die Fläche unter dem Graphen der Funktion.

Question 50

Welche Funktion ist die Ableitung von f(x) = e^x?

Accepted Answer

f'(x) = e^x

Answer

f'(x) = 1 / e^x

Answer

f'(x) = x * e^(x-1)

Question 51

An welcher Stelle x hat die Funktion f(x) = x² + 2x - 3 ein lokales Minimum?

Accepted Answer

-1

Answer

1

Answer

2

Answer

0

Question 52

Welche Funktion ist die Ableitung von f(x) = ln(x)?

Accepted Answer

f'(x) = 1/x

Answer

f'(x) = x

Answer

f'(x) = ln(x)

Answer

f'(x) = 1

Question 53

Welche Funktion ist die Ableitung von f(x) = (x² + 1) / (x - 2)?

Accepted Answer

f'(x) = (x² - 4x - 1) / (x - 2)²

Answer

f'(x) = (2x² + 2) / (x - 2)²

Answer

f'(x) = (x² + 1) / (x - 2)²

Answer

f'(x) = (2x + 1) / (x - 2)

Question 54

Was ist die Ableitung der Funktion f(x) = 2x² + 5x - 1?

Accepted Answer

f'(x) = 4x + 5

Answer

f'(x) = 2x + 5

Answer

f'(x) = 4x² + 5x

Answer

f'(x) = 4x - 1

Question 55

Die Ableitung der Sinusfunktion lautet:

Accepted Answer

f'(x) = cos(x)

Answer

f'(x) = -sin(x)

Answer

f'(x) = sin(x)

Answer

f'(x) = -cos(x)

Question 56

Die Funktion f(x) = x² - 4x + 3 hat an keiner Stelle einen Wendepunkt. Trifft diese Aussage zu?

Accepted Answer

Ja, die Aussage trifft zu.

Answer

Nein, die Aussage trifft nicht zu, der Wendepunkt liegt bei x = 0

Answer

Nein, die Aussage trifft nicht zu, die Funktion hat zwei Wendepunkte

Answer

Nein, die Aussage trifft nicht zu, der Wendepunkt liegt bei x = 2

Question 57

Welche der folgenden Funktionen ist über ihren gesamten Definitionsbereich streng monoton steigend?

Accepted Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = 1/x

Question 58

Die Ableitung der Logarithmusfunktion lautet:

Accepted Answer

f'(x) = 1/x

Answer

f'(x) = x

Answer

f'(x) = ln(x)

Answer

f'(x) = 1/x²

Question 59

Bestimme die Ableitung der rationalen Funktion f(x) = (x² + 1) / (x - 1).

Accepted Answer

f'(x) = (x² - 2x - 1) / (x - 1)²

Answer

f'(x) = (2x + 1) / (x - 1)²

Answer

f'(x) = (x² + 1) / (x - 1)²

Answer

f'(x) = (2x + 1) / (x - 1)

Question 60

Berechne die Ableitung der Polynomfunktion f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x.

Accepted Answer

f'(x) = 6x² - 10x + 3

Answer

f'(x) = 2x^3 - 10x^2 + 3x

Answer

f'(x) = 6x^3 - 10x^2 + 3

Answer

f'(x) = 2x^2 - 5x + 3

Question 61

Die Ableitung der Sinusfunktion lautet:

Accepted Answer

f'(x) = cos(x)

Answer

f'(x) = sin(x)

Answer

f'(x) = -sin(x)

Answer

f'(x) = -cos(x)

Question 62

Identifiziere die falsche Ableitung:

Accepted Answer

d/dx (log(x)) = x

Answer

d/dx (e^x) = e^x

Answer

d/dx (tan(x)) = sec^2(x)

Answer

d/dx (arcsin(x)) = 1 / sqrt(1 - x^2)

Question 63

Bestimme die Ableitung der Funktion f(x) = x * e^x.

Accepted Answer

f'(x) = x * e^x + e^x

Answer

f'(x) = x * e^x - e^x

Answer

f'(x) = e^x

Question 64

Die Ableitung der Funktion f(x) = √x lautet:

Accepted Answer

f'(x) = 1 / (2√x)

Answer

f'(x) = 2√x

Answer

f'(x) = 1 / √x

Answer

f'(x) = x