Numerische Integration: Online-Quiz für Studierende im Maschinenbau

Question 1

Welche numerische Integrationsmethode liefert die präzisesten Ergebnisse und weshalb?

Accepted Answer

Gauß-Quadratur

Answer

Trapezregel

Answer

Simpsonregel

Answer

Monte-Carlo-Integration

Question 2

Welche der folgenden Methoden liefert typischerweise die genauesten Ergebnisse für die numerische Integration?

Accepted Answer

Gauß-Quadratur

Answer

Trapezregel

Answer

Simpsonregel

Answer

Richardson-Extrapolation

Question 3

Welche Funktionsform ist für die Trapezregel am günstigsten?

Accepted Answer

Lineare Funktion

Answer

Quadratische Funktion

Answer

Exponentialfunktion

Answer

Trigonometrische Funktion

Question 4

Welcher der folgenden Faktoren beeinflusst die Wahl der Integrationsmethode nicht?

Accepted Answer

Alter des Rechners

Answer

Gewünschte Genauigkeit

Answer

Verfügbare Funktionswerte

Answer

Kosten der Funktionsauswertung

Question 5

Was ist der Hauptvorteil der Gauß-Quadratur gegenüber der Simpsonregel?

Accepted Answer

Sie liefert genauere Ergebnisse für eine gegebene Anzahl von Stützstellen.

Answer

Sie ist einfacher zu implementieren.

Answer

Sie ist für alle Funktionen geeignet.

Answer

Sie ist schneller als die Simpsonregel.

Question 6

Was ist der Vorteil der Verwendung adaptiver Integrationsverfahren?

Accepted Answer

Sie passen sich automatisch an die Steigung der Funktion an.

Answer

Sie benötigen weniger Stützstellen.

Answer

Sie liefern immer die genauesten Ergebnisse.

Answer

Sie sind einfacher zu implementieren

Question 7

Welche der folgenden Aussagen über die Simpsonregel ist falsch?

Accepted Answer

Sie ist anwendbar auf Funktionen mit Singularitäten.

Answer

Sie ist genauer als die Trapezregel.

Answer

Sie benötigt eine gerade Anzahl von Stützstellen.

Answer

Sie verwendet eine polynomiale Interpolation.

Question 8

Wie werden die Stützstellen bei der Gauß-Quadratur ausgewählt?

Accepted Answer

Nullstellen der Legendre-Polynome

Answer

Gleichmäßig verteilt

Answer

Zufällig

Answer

Maxima und Minima der Funktion

Question 9

Welche der folgenden Funktionen ist für die Gauß-Quadratur nicht geeignet?

Accepted Answer

Funktionen mit Unstetigkeitsstellen

Answer

Polynomfunktionen

Answer

Exponentialfunktionen

Answer

Trigonometrische Funktionen

Question 10

Was ist der Hauptvorteil der numerischen Integration?

Accepted Answer

Sie kann für Funktionen verwendet werden, die nicht analytisch integrierbar sind.

Answer

Sie liefert exakte Ergebnisse.

Answer

Sie ist einfacher als analytische Integration.

Answer

Sie ist unabhängig von der Komplexität der Funktion.

Question 11

Welche der folgenden Funktionen ist nicht integrierbar mit der Simpsonregel?

Accepted Answer

x^3

Answer

x^2

Answer

sin(x)

Answer

e^x

Question 12

Welche Aussage zur Fehlerabschätzung bei der Trapezregel ist richtig?

Accepted Answer

Der Fehler ist proportional zu h^2.

Answer

Der Fehler ist proportional zu h^3.

Answer

Der Fehler kann nie abgeschätzt werden.

Answer

Der Fehler ist unabhängig von h.

Question 13

Welche Integrationsmethode ist in der Regel am genauesten?

Accepted Answer

Gauß-Quadratur

Answer

Trapezregel

Answer

Simpsonregel

Answer

Monte-Carlo-Integration

Question 14

Welche der folgenden Aussagen zur numerischen Integration ist falsch?

Accepted Answer

Numerische Integration kann nur für Funktionen mit einer bekannten analytischen Lösung durchgeführt werden.

Answer

Numerische Integration ist immer eine Näherungslösung.

Answer

Numerische Integration kann verwendet werden, um Integrale von Funktionen zu berechnen, die keine analytische Lösung haben.

Answer

Numerische Integration ist eine wichtige Technik in vielen Bereichen der Wissenschaft und Technik.

Question 15

Welche der folgenden Aussagen zur Wahl der Stützstellen bei der Gauß-Quadratur ist korrekt?

Accepted Answer

Die Stützstellen sind die Nullstellen eines Legendre-Polynoms.

Answer

Die Stützstellen sind gleichmäßig verteilt über das Integrationsintervall.

Answer

Die Stützstellen werden durch einen Optimierungsprozess bestimmt.

Answer

Die Stützstellen sind die Extrempunkte der Funktion.

Question 16

Welches mathematische Prinzip bildet die theoretische Basis für die Gauß-Quadratur in der numerischen Integration?

Accepted Answer

Orthogonalität von Polynomen

Answer

Mittelwertsatz der Integralrechnung

Answer

Stetigkeit von Funktionen

Question 17

Welche Interpolationsformel bildet die Grundlage für die Simpsonregel?

Accepted Answer

Quadratische Interpolation

Answer

Lineare Interpolation

Answer

Kubische Interpolation

Question 18

Welches numerische Integrationsverfahren liefert die genauesten Ergebnisse?

Accepted Answer

Gauß-Quadratur

Answer

Trapezregel

Answer

Simpsonregel

Question 19

Welche der folgenden Integrationsmethoden liefert eine geschlossene Formel für das Integral?

Accepted Answer

Gauß-Quadratur

Answer

Trapezregel

Answer

Romberg-Integration

Answer

Simpsonregel

Question 20

Für welche Art von Funktionen liefert die Simpsonregel eine exakte Integration?

Accepted Answer

Polynome bis zum Grad 3

Answer

Trigonometrische Funktionen

Answer

Exponentialfunktionen

Answer

Periodische Funktionen

Question 21

Welche Aussage über adaptive numerische Integration ist zutreffend?

Accepted Answer

Sie unterteilt das Integrationsintervall dynamisch in kleinere Teilintervalle, um den Fehler zu kontrollieren.

Answer

Sie erfordert die Kenntnis der Ableitung der zu integrierenden Funktion.

Answer

Sie ist immer genauer als die nicht-adaptive Integration.

Answer

Sie ist nur für lineare Funktionen anwendbar.

Question 22

Was ist das charakteristische Merkmal der Monte-Carlo-Integration?

Accepted Answer

Sie ist eine stochastische Methode, die Zufallszahlen zur Schätzung von Integralen verwendet.

Answer

Sie ist immer genauer als deterministische Integrationsmethoden.

Answer

Sie erfordert die Kenntnis der Ableitung der zu integrierenden Funktion.

Answer

Sie ist nur für Funktionen mit stetigen Ableitungen anwendbar.

Question 23

Welche Integrationsmethode nutzt die Polynominterpolation für die numerische Integration?

Accepted Answer

Simpsonregel

Answer

Gauß-Quadratur

Answer

Trapezregel

Answer

Monte-Carlo-Integration

Question 24

Welche Eigenschaft zeichnet die Gauß-Quadratur aus?

Accepted Answer

Exakte Integration von Polynomen bis zum Grad 2n-1

Answer

Einfache Implementierung

Answer

Unabhängigkeit von der Schrittweite

Answer

Hohe Genauigkeit bei ungleichmäßigen Verteilungen

Question 25

Welches Kriterium ist bei der Wahl eines Integrationsverfahrens am relevantesten?

Accepted Answer

Genauigkeit

Answer

Geschwindigkeit

Answer

Speicherbedarf

Question 26

Welcher Faktor beeinflusst nicht die Genauigkeit der numerischen Integration?

Accepted Answer

Rechnerarchitektur

Answer

Grad des approximierenden Polynoms

Answer

Zu integrierende Funktion

Answer

Schrittweite

Question 27

Was versteht man unter numerischer Stabilität bei der numerischen Integration und wie wirkt sie sich auf die Wahl der Integrationsmethode aus?

Accepted Answer

Numerische Stabilität bedeutet, dass kleine Änderungen in den Eingabedaten zu kleinen Änderungen in den Ergebnissen führen.

Answer

Numerische Stabilität ist nur für die Gauß-Quadratur relevant.

Answer

Die Wahl der Integrationsmethode hat keinen Einfluss auf die numerische Stabilität.

Answer

Numerische Stabilität ist nur bei der Integration über kleine Intervalle wichtig.

Question 28

Nennen Sie zwei Verfahren der adaptiven Quadratur, die die Schrittweite dynamisch anpassen, und erläutern Sie, wie diese Verfahren die Effizienz und Genauigkeit verbessern.

Accepted Answer

Richardson-Extrapolation und Romberg-Integration

Answer

Romberg-Integration und Trapezregel

Answer

Gauß-Legendre-Quadratur und Simpson-Regel

Answer

Monte-Carlo-Integration und Simpson-Regel

Question 29

Welche Integrationsmethode eignet sich besonders für Funktionen mit stark schwankenden Ableitungen, wie z. B. scharfe Spitzen?

Accepted Answer

Gauß-Quadratur

Answer

Simpsonregel

Answer

Mittelwertregel

Answer

Trapezregel

Question 30

Geben Sie die Formel für die Trapezregel an:

Accepted Answer

(b-a) * (f(a) + f(b)) / 2

Answer

(b-a) * (f(a) - f(b)) / 2

Answer

(b+a) * (f(a) + f(b)) / 2

Question 31

Nennen Sie den Hauptvorteil der Gauß-Quadratur:

Accepted Answer

Hohe Genauigkeit auch bei komplexen Funktionen

Answer

Geringerer Rechenaufwand als andere Methoden

Answer

Anwendbarkeit auf Funktionen mit Singularitäten

Answer

Einfache Anwendung

Question 32

Wie wird die Schrittweite h bei der Trapezregel berechnet?

Accepted Answer

(b-a) / n

Answer

(a+b) / n

Answer

n / (b-a)

Answer

n * (b-a)

Question 33

Wie lautet die allgemeine Formel für die Gauß-Quadratur?

Accepted Answer

Summe (w_i * f(x_i))

Answer

Integral (f(x) dx)

Answer

Summe (f(x_i) / w_i)

Answer

Produkt (w_i * f(x_i))

Question 34

Bei Funktionen mit stark schwankenden Ableitungen ist welches Integrationsverfahren am besten geeignet?

Accepted Answer

Gauß-Quadratur

Answer

Trapezregel

Answer

Simpsonregel

Answer

Rechteckregel

Question 35

Was ist das Prinzip der Trapezregel?

Accepted Answer

Sie nähert das Integral durch eine Summe von Trapezflächen an

Answer

Sie berechnet das Integral exakt

Answer

Sie nähert das Integral durch eine Summe von Rechteckflächen an

Answer

Sie nähert das Integral durch eine Summe von Parabelabschnitten an

Question 36

Welcher Polynomgrad wird bei der Simpsonregel verwendet?

Accepted Answer

Quadratisch

Answer

Linear

Answer

Exponentiell

Answer

Kubisch

Question 37

Mit welchem Kriterium wird der Fehler bei der Trapezregel abgeschätzt?

Accepted Answer

Zweite Ableitung der Funktion

Answer

Erste Ableitung der Funktion

Answer

Dritte Ableitung der Funktion

Answer

Nullte Ableitung der Funktion

Question 38

Welche Funktion ist für die numerische Integration nicht geeignet?

Accepted Answer

Funktion mit unendlichem Integral

Answer

Funktion mit oszillierenden Ableitungen

Answer

Funktion mit starken Krümmungen

Answer

Funktion mit hohen Ableitungen

Question 39

Welcher Faktor beeinflusst die Genauigkeit der numerischen Integration am stärksten?

Accepted Answer

Anzahl der Unterintervalle

Answer

Rechenleistung des Computers

Answer

Programmiersprache

Answer

Wahl des Integrationsverfahrens

Question 40

Welche Integrationsmethode nutzt eine parabolische Approximationsfunktion?

Accepted Answer

Simpsonregel

Answer

Monte-Carlo-Integration

Answer

Gauß-Quadratur

Answer

Trapezregel

Question 41

Welche Formel beschreibt die Trapezregel?

Accepted Answer

(b - a) * [(y(a) + y(b)) / 2]

Answer

(b - a) * y(a)

Answer

∫[a,b] y(x) dx

Question 42

Welches Verfahren integriert mit gewichteten Stützstellen?

Accepted Answer

Gauß-Quadratur

Answer

Simpsonregel

Answer

Monte-Carlo-Integration

Answer

Trapezregel

Question 43

Was ist der geometrische Unterschied zwischen Trapez- und Simpsonregel?

Accepted Answer

Die Simpsonregel verwendet eine parabolische Approximation, während die Trapezregel eine lineare Approximation verwendet.

Answer

Die Trapezregel verwendet mehr Stützstellen als die Simpsonregel.

Question 44

Welches Integrationsverfahren ist für stark gekrümmte Funktionen geeignet?

Accepted Answer

Simpsonregel

Answer

Mittelpunktregel

Answer

Trapezregel

Question 45

Wie berechnet man den Fehlerabschätzung bei der Trapezregel?

Accepted Answer

-(b - a)^3 * y''(c) / 12 * n^2

Answer

(b - a)^2 * y''(c) / 12 * n^2

Answer

-(b - a)^2 * y'(c) / 2 * n

Answer

-(b - a)^4 * y'''(c) / 24 * n^3

Question 46

Welche Aussagen zur numerischen Integration sind korrekt?

Accepted Answer

Numerische Integration nähert den Wert eines bestimmten Integrals an, indem das Integrationsintervall in Teilintervalle aufgeteilt wird und der Integrand in jedem Teilintervall durch ein Polynom approximiert wird.

Answer

Numerische Integration ist nur für Funktionen anwendbar, die analytisch integrierbar sind.

Answer

Numerische Integration ist eine exakte Methode zur Berechnung von Integralen.

Answer

Numerische Integrationsmethoden liefern immer exakte Ergebnisse.

Question 47

Wie lautet die Formel für die Trapezregel zur Approximation eines bestimmten Integrals?

Accepted Answer

∫[a, b] f(x) dx ≈ (b - a) / 2 * (f(a) + f(b))

Answer

∫[a, b] f(x) dx ≈ (b - a) * (f(a) - f(b))

Answer

∫[a, b] f(x) dx ≈ (b - a) / 2 * (f(a) - f(b))

Answer

∫[a, b] f(x) dx ≈ (b + a) / 2 * (f(a) + f(b))

Question 48

Welche der folgenden Aussagen zur Genauigkeit der Trapezregel ist korrekt?

Accepted Answer

Die Trapezregel ist am genauesten für lineare Funktionen.

Answer

Die Genauigkeit der Trapezregel ist unabhängig von der Wahl des Integrationsintervalls.

Answer

Die Genauigkeit der Trapezregel nimmt mit der Anzahl der Unterintervalle immer zu.

Answer

Die Trapezregel ist immer genauer als die Simpsonregel.

Question 49

Wie kann die Genauigkeit der numerischen Integration im Allgemeinen verbessert werden?

Accepted Answer

Die Genauigkeit der numerischen Integration kann durch Verkleinerung der Unterintervalle oder durch Erhöhung des Grades der Approximationsfunktion verbessert werden.

Answer

Die Genauigkeit kann durch Verwendung einer ungeraden Anzahl von Unterintervallen verbessert werden.

Answer

Die Genauigkeit kann durch Vergrößerung des Integrationsintervalls verbessert werden.

Question 50

Was ist der Unterschied zwischen der offenen und der geschlossenen Gauß-Quadratur?

Accepted Answer

Die offene Gauß-Quadratur verwendet Stützstellen außerhalb des Integrationsintervalls, während die geschlossene Gauß-Quadratur Stützstellen innerhalb des Intervalls verwendet.

Answer

Die offene Gauß-Quadratur ist immer genauer als die geschlossene Gauß-Quadratur.

Answer

Die offene Gauß-Quadratur ist nur für bestimmte Arten von Funktionen geeignet, während die geschlossene Gauß-Quadratur universeller einsetzbar ist.

Answer

Die offene Gauß-Quadratur ist einfacher zu implementieren als die geschlossene Gauß-Quadratur.

Question 51

Welche der folgenden Funktionen ist nicht im klassischen Sinne integrierbar?

Accepted Answer

1/x auf dem Intervall [0, 1]

Answer

e^x auf dem Intervall [-1, 1]

Answer

x^2 auf dem Intervall [0, 1]

Answer

sin(x) auf dem Intervall [-π, π]

Question 52

Wie wird die numerische Integration in ingenieurtechnischen Anwendungen eingesetzt?

Accepted Answer

Numerische Integration wird in der Ingenieurwissenschaft zur Berechnung von Flächen, Volumen, Kräften, Momenten und anderen wichtigen Größen verwendet.

Answer

Numerische Integration wird in der Regel zur Lösung von Differentialgleichungen verwendet.

Answer

Numerische Integration wird hauptsächlich zur Generierung von Zufallszahlen verwendet.

Question 53

Wie lautet die Fehlerformel für die Trapezregel?

Accepted Answer

Der Fehler der Trapezregel ist gegeben durch: E ≈ - (b - a)^3 / (12 * n^2) * f''(ξ), wobei ξ ein Wert im Intervall [a, b] ist.

Answer

Der Fehler der Trapezregel ist gegeben durch: E ≈ - (a - b)^3 / (12 * n^2) * f''(ξ), wobei ξ ein Wert im Intervall [a, b] ist.

Answer

Der Fehler der Trapezregel ist gegeben durch: E ≈ - h^3 / (12 * n) * f''(ξ), wobei ξ ein Wert im Intervall [a, b] ist.

Answer

Der Fehler der Trapezregel ist gegeben durch: E ≈ - h^3 / (12 * n) * f'''(ξ), wobei ξ ein Wert im Intervall [a, b] ist.

Question 54

Welche der folgenden Methoden kann zur Extrapolation des Ergebnisses einer numerischen Integration verwendet werden?

Accepted Answer

Richardson-Extrapolation

Answer

Monte-Carlo-Simulation

Answer

Zufallszahlenverfahren

Answer

Lineare Regression

Question 55

Welches der folgenden Verfahren ist ein direktes Integrationsverfahren?

Accepted Answer

Trapezregel

Answer

Gauß-Quadratur

Answer

Newton-Cotes-Formeln

Answer

Monte-Carlo-Integration

Question 56

Welche der folgenden Aussagen zur Simpsonregel ist korrekt?

Accepted Answer

Sie ist eine Näherungsmethode mit quadratischer Konvergenzordnung, d. h. die Fehler ihrer Näherungen verringern sich quadratisch mit der Anzahl der Stützstellen.

Answer

Sie eignet sich nur für Funktionen mit geraden Ableitungen.

Answer

Sie erfordert die Berechnung weniger Funktionswerte als die Trapezregel.

Question 57

Welches der folgenden Polynome wird bei der Gauß-Quadratur für das Intervall [-1, 1] verwendet?

Accepted Answer

Legendre-Polynom

Answer

Laguerre-Polynom

Answer

Hermite-Polynom

Answer

Tschebyschow-Polynom

Question 58

Welche der folgenden Methoden kann zur Abschätzung des Integrationsfehlers bei der Trapezregel verwendet werden?

Accepted Answer

Richardson-Extrapolation

Answer

Gauß-Legendre-Quadratur

Answer

Romberg-Integration

Answer

Monte-Carlo-Integration

Question 59

Welche Aussage zur Anwendung numerischer Integration bei der Berechnung von Flächeninhalten ist korrekt?

Accepted Answer

Sie ermöglicht die Annäherung an beliebig geformte Flächen und kann auch bei unbekannten Funktionsgleichungen eingesetzt werden.

Answer

Sie erfordert die Kenntnis der Funktionengleichung.

Answer

Sie ist immer genauer als analytische Methoden.

Question 60

Welches der folgenden Kriterien ist ein Hinweis darauf, dass eine numerische Integrationsmethode instabil ist?

Accepted Answer

Starke Oszillationen der Fehlerkurve bei wachsender Anzahl von Stützstellen, was auf einen nicht konvergenten Algorithmus hindeutet.

Answer

Hohe Rechenzeit

Answer

Langsame Annäherung an das exakte Ergebnis

Question 61

Welche der folgenden Aussagen zur Gauß-Legendre-Quadratur ist falsch?

Accepted Answer

Sie kann für beliebige Integrationsintervalle verwendet werden, da die zugehörigen Gewichtsfunktionen durch eine Transformation auf ein Standardintervall abgebildet werden können.

Answer

Sie erfordert die Berechnung der Nullstellen des Legendre-Polynoms.

Answer

Sie liefert exakte Ergebnisse für Polynome bis zum Grad 2n-1.

Question 62

Welche der folgenden Integrale lässt sich mit Hilfe der numerischen Integration näherungsweise berechnen?

Accepted Answer

∫₀¹ e^(-x²) dx

Answer

∫₀¹ 1/(1+x²) dx

Answer

∫₀¹ x sin(x) dx

Answer

∫₀¹ x³ ln(x) dx

Question 63

Welche der folgenden Aussagen zur numerischen Integration ist richtig?

Accepted Answer

Sie ist ein wichtiges Werkzeug zur Lösung von Problemen, für die keine analytische Lösung existiert oder die analytisch nur mit großem Aufwand gelöst werden können.

Answer

Sie ist immer genauer als analytische Methoden.

Answer

Sie kann nur für einfache Funktionen verwendet werden.

Question 64

Welches numerische Integrationsverfahren verwendet Funktionswerte an äquidistanten Stützstellen?

Accepted Answer

Trapezregel

Answer

Newton-Cotes-Formeln

Answer

Simpsonregel

Answer

Gauß-Quadratur