Finite-Differenzen-Methoden: Online-Quiz für Studierende im Maschinenbau

Question 1

Welches Verfahren ist implizit und eignet sich zur Lösung elliptischer partieller Differentialgleichungen?

Accepted Answer

Implizites Euler-Verfahren

Answer

Explizites Euler-Verfahren

Answer

Mittelpunktverfahren

Answer

Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung

Question 2

Welcher Vorteil zeichnet die Finite-Differenzen-Methode gegenüber anderen numerischen Verfahren aus?

Accepted Answer

Leichte Implementierbarkeit

Answer

Hohe Genauigkeit

Answer

Universell einsetzbar für alle Typen partieller Differentialgleichungen

Answer

Keine besonderen Kenntnisse in numerischer Mathematik erforderlich

Question 3

Welche Randbedingungstypen können mithilfe der Finite-Differenzen-Methode gelöst werden?

Accepted Answer

Alle genannten Randbedingungstypen

Answer

Dirichlet-Randbedingungen

Answer

Neumann-Randbedingungen

Answer

Cauchy-Randbedingungen

Question 4

Welche Methoden eignen sich zur Lösung des linearen Gleichungssystems, das sich aus der impliziten Finite-Differenzen-Diskretisierung ergibt?

Accepted Answer

Alle genannten Methoden

Answer

Gauß-Seidel-Iteration

Answer

Jacobi-Iteration

Answer

LU-Zerlegung

Question 5

Welche der folgenden partiellen Differentialgleichungen lässt sich nicht mit der Finite-Differenzen-Methode lösen?

Accepted Answer

Navier-Stokes-Gleichungen

Answer

Poisson-Gleichung

Answer

Wärmegleichung

Answer

Schrödinger-Gleichung

Question 6

Was versteht man unter einer Neumann-Randbedingung?

Accepted Answer

Sie verschreibt die Ableitung der Funktion am Rand.

Answer

Sie verschreibt den Wert der Funktion am Rand.

Answer

Sie kombiniert Dirichlet- und Neumann-Randbedingungen.

Answer

Sie ist nur für lineare partielle Differentialgleichungen gültig.

Question 7

Warum ist Stabilität bei Finite-Differenzen-Methoden wichtig für die Gültigkeit numerischer Lösungen?

Accepted Answer

Stabilität verhindert, dass numerische Lösungen mit der Zeit unendlich groß werden.

Answer

Instabile Methoden führen immer zu ungenauen Ergebnissen.

Answer

Die Stabilität eines Finite-Differenzen-Verfahrens hängt von der gewählten Zeitschrittweite ab.

Answer

Stabilität ist sowohl für explizite als auch für implizite Finite-Differenzen-Verfahren relevant.

Question 8

Welche der folgenden Aussagen beschreibt explizite Verfahren bei Finite-Differenzen-Methoden korrekt?

Accepted Answer

Verwenden Werte aus vorherigen Zeitschritten zur Berechnung zukünftiger Lösungen.

Answer

Verwenden Werte aus zukünftigen Zeitschritten zur Berechnung aktueller Lösungen.

Answer

Erfordern die Lösung eines Gleichungssystems.

Answer

Sind immer stabiler als implizite Verfahren.

Question 9

Welche der folgenden Bedingungen gewährleistet die Stabilität des expliziten Euler-Verfahrens?

Accepted Answer

Δt < 1

Answer

Δt ≤ 1

Answer

Δt > 1

Answer

Δt ≥ 1

Question 10

Welche der folgenden Differentialgleichungen kann mit dem impliziten Crank-Nicolson-Verfahren gelöst werden?

Accepted Answer

Wärmeleitungsgleichung

Answer

Wellengleichung

Answer

Laplace-Gleichung

Answer

Poisson-Gleichung

Question 11

Welche der folgenden Randbedingungen kann mit dem Finite-Differenzen-Verfahren zweiter Ordnung nicht behandelt werden?

Accepted Answer

Cauchy-Randbedingung

Answer

Dirichlet-Randbedingung

Answer

Neumann-Randbedingung

Answer

Periodische Randbedingung

Question 12

Welches der folgenden Gitter ist für die Finite-Differenzen-Lösung der Poisson-Gleichung am besten geeignet?

Accepted Answer

Rechteckiges Gitter

Answer

Dreieckiges Gitter

Answer

Hexagonales Gitter

Answer

Zylindrisches Gitter

Question 13

Was versteht man unter der Von-Neumann-Stabilitätsbedingung?

Accepted Answer

Eine Bedingung, die die Stabilität expliziter Finite-Differenzen-Verfahren sicherstellt.

Answer

Eine Bedingung, die die Konvergenz impliziter Finite-Differenzen-Verfahren gewährleistet.

Answer

Eine Bedingung, die die Genauigkeit von Finite-Differenzen-Verfahren abschätzt.

Answer

Eine Bedingung, die die numerische Lösung partieller Differentialgleichungen ermöglicht.

Question 14

Auf welchem mathematischen Konzept basieren Finite-Differenzen-Methoden?

Accepted Answer

Taylor-Reihenentwicklung

Answer

Laplace-Transformation

Answer

Fourier-Transformation

Answer

Stetige Bruchentwicklung

Question 15

Was ist ein Differenzenoperator?

Accepted Answer

Ein linearer Operator, der eine Funktion durch eine Differenzenapproximation ersetzt.

Answer

Ein nichtlinearer Operator, der eine Funktion durch eine Differenzenapproximation ersetzt.

Answer

Ein linearer Operator, der eine Funktion durch eine Integralapproximation ersetzt.

Answer

Ein nichtlinearer Operator, der eine Funktion durch eine Integralapproximation ersetzt.

Question 16

Welche der folgenden Randbedingungen wird verwendet, um den Wert einer Funktion am Rand eines Gebiets festzulegen?

Accepted Answer

Dirichlet-Randbedingung

Answer

Neumann-Randbedingung

Answer

Cauchy-Randbedingung

Answer

Robin-Randbedingung

Question 17

Was ist das Hauptziel von Finite-Differenzen-Methoden?

Accepted Answer

Partielle Differentialgleichungen in algebraische Gleichungssysteme umzuwandeln.

Answer

Gewöhnliche Differentialgleichungen in partielle Differentialgleichungen umzuwandeln.

Answer

Integralgleichungen in Differentialgleichungen umzuwandeln.

Answer

Differenzengleichungen in Integralgleichungen umzuwandeln.

Question 18

Welche Methode zur Lösung partieller Differentialgleichungen wird als explizites Verfahren bezeichnet, bei dem die Lösung zum Zeitpunkt t+Δt direkt aus der Lösung zum Zeitpunkt t berechnet wird?

Accepted Answer

Vorwärtsdifferenzenverfahren

Answer

Rückwärtsdifferenzenverfahren

Answer

Zentraldifferenzenverfahren

Answer

Runge-Kutta-Verfahren

Question 19

Welches Stabilitätskriterium muss für explizite Finite-Differenzenverfahren erfüllt sein, um eine konvergente Lösung zu gewährleisten?

Accepted Answer

Courant-Friedrichs-Lewy-Bedingung

Answer

CFL-Bedingung

Answer

Von-Neumann-Bedingung

Answer

Lax-Richtmyer-Bedingung

Question 20

Welche Randbedingung wird bei der Finite-Differenzen-Diskretisierung einer Dirichlet-Randwertaufgabe verwendet, bei der der Wert der Lösung an der Rand des Lösungsgebiets vorgegeben ist?

Accepted Answer

Dirichlet-Randbedingung

Answer

Neumann-Randbedingung

Answer

Cauchy-Randbedingung

Answer

Periodische Randbedingung

Question 21

Welche Finite-Differenzen-Approximation stellt die Poisson-Gleichung dar, die den Wert einer Funktion u an einem Gitterpunkt (i, j) mit den Werten an den benachbarten Gitterpunkten verknüpft?

Accepted Answer

u_i,j+1 = (u_i-1,j + u_i+1,j + u_i,j-1 + u_i,j+1) / 4

Answer

u_i,j+1 = (u_i-1,j - u_i+1,j + u_i,j-1 - u_i,j+1) / 4

Answer

u_i,j+1 = (u_i-1,j + u_i+1,j + 2*u_i,j-1 + u_i,j+1) / 4

Answer

u_i,j+1 = (2*u_i-1,j + 2*u_i+1,j + u_i,j-1 + u_i,j+1) / 4

Question 22

Welcher Begriff beschreibt die numerische Ungenauigkeit in einer mit Finite-Differenzen berechneten Lösung, die zu einer künstlichen Glättung scharfer Übergänge führt?

Accepted Answer

Numerische Diffusion

Answer

Numerische Dispersion

Answer

Numerische Oszillation

Answer

Numerische Dämpfung

Question 23

Welches Kriterium bestimmt die Stabilität eines expliziten Finite-Differenzen-Schemas?

Accepted Answer

Courant-Friedrichs-Lewy-Bedingung

Answer

Von-Neumann-Bedingung

Answer

Peclet-Zahl

Answer

Rayleigh-Zahl

Question 24

Welche Gleichung beschreibt die explizite Vorwärtsdifferenz?

Accepted Answer

(df/dx)_i = (f(i+1) - f(i)) / Δx

Answer

(df/dx)_i = (f(i) - f(i-1)) / Δx

Answer

(df/dx)_i = (f(i+1) + f(i)) / 2Δx

Answer

(df/dx)_i = (f(i) + f(i+1)) / 2Δx

Question 25

Welche Konvergenzordnung hat das Crank-Nicolson-Verfahren?

Accepted Answer

2

Answer

1

Answer

3

Answer

4

Question 26

Welchen Zweck hat eine Relaxationsmethode?

Accepted Answer

Beschleunigung der Konvergenz

Answer

Verbesserung der Stabilität

Answer

Reduzierung der Rechenzeit

Answer

Keine der oben genannten

Question 27

Welche Art von Gleichungen kann man typischerweise mit der Finite-Differenzen-Methode lösen?

Accepted Answer

Partielle Differentialgleichungen

Answer

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Answer

Integrale

Answer

Lineare Gleichungssysteme

Question 28

Welche Aussage beschreibt die Finite-Volumen-Methode?

Accepted Answer

Teilt das Gebiet in Kontrollvolumina und löst die Erhaltungsgleichungen für jedes Volumen.

Answer

Verwendet nur explizite Zeitintegration.

Answer

Ist immer instabil.

Question 29

Verbesserte Frage: Welches numerische Verfahren zur Lösung partieller Differentialgleichungen ist explizit und verwendet nur die Werte aus den vorhergehenden Zeitschritten?

Accepted Answer

Vorwärtsdifferenzenverfahren

Answer

Zentraldifferenzenverfahren

Answer

Rückwärtsdifferenzenverfahren

Answer

Implizites Verfahren

Question 30

Verbesserte Frage: Welches numerische Verfahren ist implizit und löst das entstehende Gleichungssystem durch iterative Verfahren?

Accepted Answer

Control-Volume-Methode

Answer

Rückwärtsdifferenzenverfahren

Answer

Vorwärtsdifferenzenverfahren

Answer

Zentraldifferenzenverfahren

Question 31

Verbesserte Frage: Welche Bedingung muss für die numerische Stabilität des Vorwärtsdifferenzenverfahrens erfüllt sein?

Accepted Answer

Courant-Friedrichs-Lewy-Bedingung (CFL-Bedingung)

Answer

Neumann-Bedingung

Answer

Cauchy-Schwarz-Ungleichung

Answer

Lax-Richtmyer-Bedingung

Question 32

Verbesserte Frage: Welche Randbedingung wird verwendet, um den Funktionswert an einer Grenze fest vorzugeben?

Accepted Answer

Dirichlet-Randbedingung

Answer

Neumann-Randbedingung

Answer

Cauchy-Randbedingung

Answer

Robin-Randbedingung

Question 33

Verbesserte Frage: Welches Finite-Differenzen-Schema ist sowohl in Raum als auch in Zeit von zweiter Ordnung genau?

Accepted Answer

Zentraldifferenzenverfahren mit Crank-Nicolson-Schema

Answer

Rückwärtsdifferenzenverfahren

Answer

Vorwärtsdifferenzenverfahren

Question 34

Verbesserte Frage: Welche Methode wird verwendet, um ein Finite-Differenzen-Schema in ein System linearer Gleichungen umzuwandeln?

Accepted Answer

Matrizenmethode

Answer

Finite-Elemente-Methode

Answer

Finite-Volumen-Methode

Answer

Randwertmethode

Question 35

Wie lautet die Stabilitätsbedingung für das explizite Euler-Verfahren zur Lösung einer partiellen Differentialgleichung?

Accepted Answer

Δt ≤ h²/4

Answer

Δt ≥ h²

Answer

Δt ≤ h²

Answer

Δt ≥ h²/4

Question 36

Welche Bedingung muss für die Konvergenz des Crank-Nicolson-Verfahrens erfüllt sein?

Accepted Answer

Δt ≤ h²/2

Answer

Δt ≥ h²/2

Answer

Δt ≥ h²

Answer

Δt ≤ h²

Question 37

Welche Aussage über Finite-Differenzen-Verfahren ist korrekt?

Accepted Answer

Sie sind geeignet zur Lösung von Anfangswertproblemen partieller Differentialgleichungen.

Answer

Sie liefern immer eine exakte Lösung

Answer

Sie sind nur für lineare Gleichungen geeignet

Question 38

Welcher der folgenden Vorteile ist ein Grund für die Verwendung impliziter Finite-Differenzen-Verfahren gegenüber expliziten Verfahren?

Accepted Answer

Erhöhte Stabilität

Answer

Erhöhte Genauigkeit

Answer

Keine der genannten Aussagen

Answer

Geringerer Rechenaufwand

Question 39

Welche der folgenden Randbedingungen ist eine Dirichlet-Randbedingung?

Accepted Answer

u(a) = b

Answer

∂u/∂t(a) = b

Answer

u''(a) = b

Answer

u'(a) = b

Question 40

Was ist der primäre Anwendungszweck der Finite-Differenzen-Methode?

Accepted Answer

Numerische Lösung partieller Differentialgleichungen

Answer

Regression und Interpolation

Answer

Analytische Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen

Question 41

Welches Verfahren löst eine partielle Differentialgleichung implizit?

Accepted Answer

Implizite Finite-Differenzen-Methode

Answer

Monte-Carlo-Methode

Answer

Explizite Finite-Differenzen-Methode

Answer

Finite-Volumen-Methode

Question 42

Welche Bedingung ist für die Konvergenz expliziter Finite-Differenzen-Verfahren entscheidend?

Accepted Answer

Courant-Friedrichs-Lewy-Bedingung

Answer

Von-Neumann-Bedingung

Answer

Laplace-Gleichung

Answer

Cauchy-Schwarz-Ungleichung

Question 43

Welches explizite Finite-Differenzen-Verfahren wird häufig zur Lösung der Wärmegleichung verwendet?

Accepted Answer

Forward-Differenzen-Schema

Answer

Rückwärts-Differenzen-Schema

Answer

Zentral-Differenzen-Schema

Answer

Crank-Nicolson-Schema

Question 44

Welche Methode verwendet eine Taylor-Reihe zur Approximation von Ableitungen in der Finite-Differenzen-Methode?

Accepted Answer

Finite-Differenzen-Methode

Answer

Variationsprinzip

Answer

Finite-Elemente-Methode

Answer

Randwertproblem

Question 45

Welches implizite Finite-Differenzen-Verfahren garantiert bedingungslose Stabilität?

Accepted Answer

Crank-Nicolson-Schema

Answer

Forward-Differenzen-Schema

Answer

Zentral-Differenzen-Schema

Answer

Rückwärts-Differenzen-Schema

Question 46

Welche Randbedingung wird verwendet, um einen festen Temperaturwert an einer Grenze in der Finite-Differenzen-Methode festzulegen?

Accepted Answer

Dirichlet-Randbedingung

Answer

Von-Neumann-Randbedingung

Answer

Cauchy-Randbedingung

Answer

Neumann-Randbedingung

Question 47

Welches Verfahren löst partielle Differentialgleichungen durch Minimierung eines Funktional?

Accepted Answer

Variationsprinzip

Answer

Monte-Carlo-Methode

Answer

Finite-Elemente-Methode

Answer

Finite-Differenzen-Methode

Question 48

Welche Größen werden in der Finite-Differenzen-Methode diskretisiert?

Accepted Answer

Raum und Zeit

Answer

Nur Zeit

Answer

Nur Raum

Question 49

Welche Methode verwendet eine iterative Lösung zur Approximation der Lösung einer partiellen Differentialgleichung in der Finite-Differenzen-Methode?

Accepted Answer

Jacobi-Iteration

Answer

Singulärwertzerlegung

Answer

QR-Zerlegung

Answer

Gauß-Elimination

Question 50

Welche Aussage beschreibt explizite Finite-Differenzen-Methoden korrekt?

Accepted Answer

Sie verwenden den Wert der Lösung an einem früheren Zeitpunkt, um den Wert an einem späteren Zeitpunkt zu berechnen.

Answer

Sie verwenden den Durchschnitt des Wertes der Lösung an einem früheren und einem späteren Zeitpunkt, um den Wert an einem mittleren Zeitpunkt zu berechnen.

Answer

Sie verwenden den Wert der Lösung an einem späteren Zeitpunkt, um den Wert an einem früheren Zeitpunkt zu berechnen.

Question 51

Welche Bedingung ist für die Stabilität einer Finite-Differenzen-Methode erforderlich?

Accepted Answer

Die Courant-Friedrichs-Lewy-Bedingung

Answer

Die Poisson-Bedingung

Answer

Die Laplace-Bedingung

Question 52

Welche Aussage ist richtig für ein konsistentes Finite-Differenzen-Schema?

Accepted Answer

Der Approximationsfehler geht gegen 0, wenn die Schrittweite gegen 0 geht.

Answer

Die numerische Lösung ist unabhängig von der Schrittweite.

Answer

Das Schema ist immer stabil.

Question 53

Welche Bedingungen sind für die Konvergenz einer Finite-Differenzen-Methode notwendig?

Accepted Answer

Konsistenz und Stabilität

Answer

Konsistenz oder Stabilität

Answer

Weder Konsistenz noch Stabilität

Answer

Stabilität oder Konsistenz

Question 54

Welche Technik kann verwendet werden, um die Konvergenzordnung einer Finite-Differenzen-Methode zu verbessern?

Accepted Answer

Richardson-Extrapolation

Answer

Jacobi-Iteration

Answer

Romberg-Integration

Answer

Gauss-Seidel-Iteration

Question 55

Welche Integrationsmethode findet in der expliziten Finite-Differenzen-Methode Anwendung?

Accepted Answer

Vorwärtsdifferenzen

Answer

Rückwärtsdifferenzen

Answer

Trapezregel

Answer

Zentrale Differenzen

Question 56

Welche Konvergenzordnung besitzt die Finite-Differenzen-Approximation der ersten Ableitung?

Accepted Answer

1

Answer

3

Answer

4

Answer

2

Question 57

Welche Randbedingung kommt üblicherweise bei der Lösung der Poisson-Gleichung mit der Finite-Differenzen-Methode zum Einsatz?

Accepted Answer

Dirichlet-Randbedingung

Answer

Neumann-Randbedingung

Answer

Robin-Randbedingung

Answer

Cauchy-Randbedingung

Question 58

Welche Aussage zur Finite-Differenzen-Approximation ist korrekt?

Accepted Answer

Sie ersetzt die Ableitung durch eine endliche Differenz.

Answer

Sie ist immer exakter als die Finite-Elemente-Methode.

Answer

Sie ist ausschließlich für lineare partielle Differentialgleichungen anwendbar.

Question 59

Was trifft auf den CFL-Koeffizienten zu?

Accepted Answer

Er muss kleiner oder gleich 1 sein, um Stabilität zu gewährleisten.

Answer

Er muss größer oder gleich 1 sein, um Konvergenz zu gewährleisten.

Answer

Er hat keinen Einfluss auf die Stabilität oder Konvergenz.

Question 60

Welche Aussage zur Finite-Differenzen-Methode ist **nicht** korrekt?

Accepted Answer

Die Methode ist unabhängig von der Schrittweite immer stabil.

Answer

Die Methode kann partielle Differentialgleichungen lösen.

Answer

Die Methode approximiert die Ableitungen einer Funktion durch Differenzenquotienten.

Question 61

Wie beeinflusst die Schrittweite die Konvergenz einer Finite-Differenzen-Methode?

Accepted Answer

Eine kleinere Schrittweite führt typischerweise zu höherer Genauigkeit, jedoch auch zu erhöhtem Rechenaufwand.

Answer

Eine größere Schrittweite führt immer zu höherer Genauigkeit.

Question 62

Welche Aussage zum expliziten Euler-Verfahren ist **richtig**?

Accepted Answer

Das Verfahren ist von erster Ordnung genau.

Answer

Das Verfahren ist immer konvergent.

Answer

Das Verfahren ist bedingungslos stabil.

Answer

Das Verfahren ist implizit.

Question 63

Wie wird der Fehler einer Finite-Differenzen-Methode üblicherweise abgeschätzt?

Accepted Answer

Durch die Taylor-Reihenentwicklung

Answer

Durch die Methode der kleinsten Quadrate

Answer

Durch die Fourier-Analyse

Answer

Durch die Monte-Carlo-Simulation

Question 64

Welche Randbedingungen können mit der Finite-Differenzen-Methode behandelt werden?

Accepted Answer

Dirichlet-, Neumann- und Robin-Randbedingungen

Answer

Nur Dirichlet-Randbedingungen

Answer

Nur Neumann-Randbedingungen

Answer

Nur Robin-Randbedingungen