Eigenwertprobleme in der Numerischen Linearen Algebra: Interaktive Lernquizzes

Question 1

Welche Aussagen über Eigenwerte und Eigenvektoren sind korrekt?

Accepted Answer

Eigenwerte sind Lösungen der charakteristischen Gleichung einer Matrix.

Accepted Answer

Eigenvektoren liegen im Eigenraum der Matrix.

Answer

Eigenwerte können nur für symmetrische Matrizen berechnet werden.

Answer

Eigenvektoren sind immer normiert.

Question 2

Welche Aussage über Eigenwerte und Eigenvektoren eines elastischen Stabes beschreibt deren Bedeutung für die Schwingungseigenschaften korrekt?

Accepted Answer

Eigenwerte sind die Eigenfrequenzen und Eigenvektoren die zugehörigen Schwingungsformen.

Answer

Eigenwerte sind die Steifigkeiten und Eigenvektoren die zugehörigen Verformungsrichtungen.

Answer

Eigenwerte sind die Biegespannungen und Eigenvektoren die zugehörigen Biegeformen.

Answer

Eigenwerte und Eigenvektoren hängen nicht von den Randbedingungen ab.

Question 3

Welche Aussage über Eigenvektoren ist nicht zutreffend?

Accepted Answer

Sie sind immer orthogonal zueinander.

Answer

Sie sind linear unabhängig.

Answer

Sie können normiert werden.

Answer

Sie sind die Richtungsvektoren des Eigenraums.

Question 4

Welcher Algorithmus dient zur Bestimmung des größten Eigenwerts einer Matrix?

Accepted Answer

Potenzmethode

Answer

QR-Algorithmus

Answer

Jacobi-Methode

Answer

Gauss-Seidel-Methode

Question 5

Was ist die **geometrische Bedeutung** eines Eigenvektors?

Accepted Answer

Richtung der größten Dehnung einer linearen Transformation.

Answer

Linie, auf der sich eine lineare Transformation nicht ändert.

Answer

Ebene, in der eine lineare Transformation spiegelsymmetrisch ist.

Answer

Punkt, der durch eine lineare Transformation fest bleibt.

Question 6

Welche Aussage zum **QR-Algorithmus** ist **richtig**?

Accepted Answer

Ist ein stabiles Verfahren für nicht-symmetrische Matrizen.

Answer

Ist ein direktes Verfahren.

Answer

Konvergiert immer gegen die Eigenwerte mit kleinstem Realteil.

Answer

Berechnet nur die Eigenwerte, nicht die Eigenvektoren.

Question 7

Was ist die geometrische Interpretation eines Eigenvektors?

Accepted Answer

Eine Richtung im Vektorraum

Answer

Eine Gerade im Vektorraum

Answer

Eine Ebene im Vektorraum

Answer

Ein Punkt im Vektorraum

Question 8

Welche Aussage über das Eigenwertproblem ist richtig?

Accepted Answer

Das Eigenwertproblem kann mehrere Lösungen haben.

Answer

Das Eigenwertproblem hat immer eine eindeutige Lösung.

Answer

Das Eigenwertproblem kann keine Lösungen haben.

Answer

Das Eigenwertproblem hat immer eine negative Lösung.

Question 9

Welche Aussage über die Eigenwerte einer symmetrischen Matrix ist korrekt?

Accepted Answer

Sie sind alle reell.

Answer

Sie sind alle positiv.

Answer

Sie sind alle negativ.

Answer

Sie sind alle komplex.

Question 10

Was ist die Definition eines Eigenwerts?

Accepted Answer

Eine Lösung der charakteristischen Gleichung einer Matrix.

Answer

Eine positive reelle Zahl, die eine Matrix charakterisiert.

Answer

Ein Vektor, der bei Multiplikation mit einer Matrix unverändert bleibt.

Answer

Eine Konstante, die die Größe einer Matrix angibt.

Question 11

Unter welcher Bedingung konvergiert die Jacobi-Iteration?

Accepted Answer

Die Matrix ist symmetrisch und diagonaldominant.

Answer

Die Matrix ist positiv definit.

Answer

Die Matrix ist invertierbar.

Answer

Die Matrix hat nur positive Elemente.

Question 12

Welche Aussage über Eigenvektoren ist falsch?

Accepted Answer

Sie sind immer reellwertig.

Answer

Sie sind linear unabhängig.

Answer

Sie können normiert werden.

Answer

Sie beschreiben die Richtungen der maximalen und minimalen Variation.

Question 13

Welche Matrix hat den Eigenwert λ = 2 mit dem zugehörigen Eigenvektor v = (1, 1)?

Accepted Answer

A = [2 1; 0 2]

Answer

A = [2 -1; 0 2]

Answer

A = [4 0; 0 1]

Answer

A = [0 1; 0 4]

Question 14

Was besagt das Spektrum einer Matrix?

Accepted Answer

Die Menge ihrer Eigenwerte

Answer

Das Intervall ihrer möglichen Werte

Answer

Die Summe ihrer Elemente

Answer

Die Determinante der Matrix

Question 15

Welcher Algorithmus findet den dominanten Eigenwert am schnellsten?

Accepted Answer

Power-Iteration

Answer

Jacobi-Iteration

Answer

QR-Algorithmus

Answer

LU-Zerlegung

Question 16

Welche der folgenden Aussagen beschreibt die Nullstellen des charakteristischen Polynoms einer Matrix?

Accepted Answer

Die Eigenwerte der Matrix

Answer

Die Eigenvektoren der Matrix

Answer

Die Singulärwerte der Matrix

Question 17

Welche Aussage beschreibt die Bedeutung von Eigenwerten und Eigenvektoren für lineare Abbildungen am besten?

Accepted Answer

Eigenwerte und Eigenvektoren liefern wichtige Informationen über Stabilität, Invarianz und Transformationseigenschaften.

Answer

Eigenvektoren dienen nur dazu, lineare Abbildungen in eine andere Basis zu transformieren.

Answer

Eigenwerte sind immer reell, und Eigenvektoren sind immer orthogonal.

Answer

Eigenwertprobleme haben keine praktischen Anwendungen außerhalb der Mathematik.

Question 18

Welche der folgenden Aussagen zu Eigenwertproblemen ist **nicht** korrekt?

Accepted Answer

Eigenwertprobleme können mehrere Eigenwerte für einen einzelnen Eigenvektor haben.

Answer

Eigenwerte können reell oder komplex sein.

Answer

Eigenvektoren sind linear unabhängig.

Answer

Eigenwerte sind Lösungen der charakteristischen Gleichung.

Question 19

Welche Methode eignet sich am besten zur Berechnung der Eigenwerte einer **symmetrischen** Matrix?

Accepted Answer

Jacobi-Verfahren

Answer

Potenzmethode

Answer

QR-Algorithmus

Answer

LU-Zerlegung

Question 20

Was beschreibt ein Eigenvektor?

Accepted Answer

Einen Vektor, der die Richtung eines Eigenraums vorgibt.

Answer

Einen Vektor, der bei einer linearen Transformation unverändert bleibt.

Answer

Einen Vektor, der senkrecht zu allen anderen Eigenvektoren steht.

Answer

Einen Vektor, der im Kern der Matrix liegt.

Question 21

Welche Aussage zum QR-Algorithmus ist **nicht** korrekt?

Accepted Answer

Er erfordert die Inverse der Matrix.

Answer

Er ist eine iterative Methode zur Berechnung aller Eigenwerte.

Answer

Er ist für große Matrizen geeignet.

Answer

Er kann auch zur Berechnung von Eigenvektoren verwendet werden.

Question 22

Welche Methode kann zur **Stabilisierung** der Jacobi-Methode eingesetzt werden?

Accepted Answer

Alle genannten Methoden.

Answer

Rayleigh-Quotienten-Iteration

Answer

QR-Shift

Answer

Inverse Iteration

Question 23

Welche geometrische Figur beschreibt einen Eigenraum?

Accepted Answer

Ein Untervektorraum des Vektorraums.

Answer

Eine Gerade im Vektorraum.

Answer

Eine Ebene im Vektorraum.

Answer

Eine Hyperebene im Vektorraum.

Question 24

In welchen drei Bereichen der Physik werden Eigenwertprobleme eingesetzt?

Accepted Answer

Schwingungen

Accepted Answer

Elektromagnetismus

Accepted Answer

Quantenmechanik

Answer

Relativitätstheorie

Question 25

Welche Bedeutung haben Eigenwerte und Eigenvektoren für die Bestimmung der Schwingungseigenschaften eines mechanischen Systems?

Accepted Answer

Eigenwerte entsprechen den Schwingungsfrequenzen, Eigenvektoren den zugehörigen Auslenkungsrichtungen.

Answer

Eigenwerte stehen für Dämpfungswerte, Eigenvektoren für Massenverteilung.

Answer

Eigenvektoren geben Schwingungsrichtungen an, Eigenwerte deren Amplituden.

Answer

Eigenwerte haben keine physikalische Bedeutung für Schwingungen.

Question 26

Betrachten Sie die Matrix A = [[2, 1], [-1, 2]]. Welcher der folgenden Werte ist **nicht** ein Eigenwert von A?

Accepted Answer

-1

Answer

3

Answer

4

Answer

1

Question 27

In einer Schwingungsgleichung wird die Eigenfrequenz durch das Verhältnis von Steifigkeit (k) und Masse (m) bestimmt. Welche der folgenden Aussagen ist richtig?

Accepted Answer

Eine höhere Steifigkeit führt zu einer höheren Eigenfrequenz.

Answer

Eine höhere Steifigkeit führt zu einer niedrigeren Eigenfrequenz.

Answer

Eine höhere Masse führt zu einer höheren Eigenfrequenz.

Question 28

Betrachten Sie die Matrix C = [[0, 1], [-1, 0]]. Welcher der folgenden Werte ist **nicht** ein Eigenwert von C?

Accepted Answer

0

Answer

1

Answer

-1

Question 29

Welche Aussage ist eine Eigenschaft von Eigenvektoren?

Accepted Answer

Sie bilden eine Basis des zugehörigen Eigenraums.

Answer

Sie sind parallel zum zugehörigen Eigenwert.

Answer

Sie sind orthogonal zu allen anderen Eigenvektoren.

Answer

Sie sind immer normiert.

Question 30

Welches Verfahren wird zur Berechnung des Eigenvektors zu einem gegebenen Eigenwert verwendet?

Accepted Answer

Rückwärtssubstitution

Answer

Vorwärtssubstitution

Answer

QR-Zerlegung

Answer

Gauß-Elimination

Question 31

Welche Aussage beschreibt das Ritz-Verfahren?

Accepted Answer

Es liefert eine Näherung für den kleinsten Eigenwert eines Operators.

Answer

Es ist ein direktes Verfahren zur Lösung von Eigenwertproblemen.

Answer

Es findet alle Eigenwerte eines Operators.

Question 32

Welche der folgenden Aussagen über symmetrische Eigenwertprobleme ist richtig?

Accepted Answer

Die Eigenwerte sind reell und die Eigenvektoren sind orthogonal zueinander.

Answer

Die Eigenwerte können komplex sein.

Answer

Die Eigenvektoren sind möglicherweise nicht linear unabhängig.

Answer

Das Problem hat möglicherweise keine Lösung.

Question 33

Welche Methode eignet sich am besten zur Lösung großer Eigenwertprobleme?

Accepted Answer

Iterative Verfahren wie QR-Iteration oder Lanczos-Algorithmus

Answer

Experimentelle Verfahren

Answer

Analytische Verfahren

Answer

Direkte Verfahren wie Cholesky-Zerlegung

Question 34

Was beschreibt der Rayleigh-Quotient?

Accepted Answer

Eine Näherung für den kleinsten Eigenwert einer hermiteschen Matrix

Answer

Eine exakte Lösung für den größten Eigenwert einer Matrix

Answer

Einen Test auf Symmetrie einer Matrix

Answer

Eine Methode zur Berechnung von Eigenvektoren

Question 35

Welche Randbedingung führt zu einem Eigenwertproblem bei einer Differentialgleichung?

Accepted Answer

Homogene Dirichlet-Randbedingung

Answer

Inhomogene Neumann-Randbedingung

Answer

Periodische Randbedingung

Answer

Cauchy-Randbedingung

Question 36

Welche Aussage über diagonalisierbare Matrizen ist richtig?

Accepted Answer

Sie besitzen n verschiedene Eigenwerte und können durch eine Eigenvektorenmatrix diagonalisiert werden.

Answer

Sie haben nur reelle Eigenwerte.

Answer

Sie sind immer symmetrisch.

Answer

Sie können immer in eine Dreiecksmatrix umgewandelt werden.

Question 37

Was ergibt die Multiplikation aller Eigenwerte einer Matrix?

Accepted Answer

Die Determinante der Matrix

Answer

Die Summe der Eigenvektoren

Answer

Die Spur der Matrix

Answer

Den Rang der Matrix

Question 38

Welche Aussage ist für ein Eigenwertproblem korrekt?

Accepted Answer

Es gibt mindestens einen Eigenwert und einen zugehörigen Eigenvektor.

Answer

Es existiert immer nur ein Eigenwert.

Answer

Eigenvektoren sind ein Vielfaches von Eigenwerten.

Question 39

Welche Eigenschaft haben die Eigenwerte einer symmetrischen Matrix?

Accepted Answer

Sie sind reell.

Answer

Sie sind komplex.

Answer

Sie sind immer negativ.

Answer

Sie sind immer positiv.

Question 40

Was bedeutet die geometrische Vielfachheit eines Eigenwerts?

Accepted Answer

Anzahl linear unabhängiger Eigenvektoren zum Eigenwert.

Answer

Anzahl der Eigenwerte.

Answer

Anzahl der Eigenvektoren.

Question 41

Welche Methode dient zur Bestimmung der geometrischen Vielfachheit eines Eigenwerts?

Accepted Answer

Nullraummethode

Answer

Potenzmethode

Answer

QR-Algorithmus

Question 42

Wie lautet die allgemeine Form einer Vandermonde-Matrix?

Accepted Answer

Matrix mit Einträgen der Form x^i, i = 0, 1, ..., n

Answer

Matrix mit Einträgen der Form exp(x^i), i = 0, 1, ..., n

Answer

Matrix mit Einträgen der Form cos(x^i), i = 0, 1, ..., n

Answer

Matrix mit Einträgen der Form sin(x^i), i = 0, 1, ..., n

Question 43

Welche Aussage über Eigenwerte symmetrischer Matrizen ist korrekt?

Accepted Answer

Sie sind immer reell.

Answer

Ihre Anzahl ist immer ungerade.

Answer

Sie können komplex sein.

Answer

Sie sind nicht eindeutig bestimmt.

Question 44

Welche Beziehung besteht zwischen der Determinante und den Eigenwerten einer Matrix?

Accepted Answer

Die Determinante ist das Produkt der Eigenwerte.

Answer

Die Determinante ist die Summe der Eigenwerte.

Answer

Es besteht keine Beziehung zwischen Determinante und Eigenwerten.

Answer

Die Determinante ist der Quotient der Eigenwerte.

Question 45

Welche iterative Methode kann zur Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren verwendet werden?

Accepted Answer

Potenzmethode

Answer

QR-Zerlegung

Answer

LU-Zerlegung

Answer

Gauß-Jordan-Elimination

Question 46

Wie viele Eigenwerte besitzt eine nxn-Matrix?

Accepted Answer

n

Answer

n+1

Answer

n-1

Answer

Nicht eindeutig bestimmbar

Question 47

Sind Eigenvektoren eindeutig bestimmt?

Accepted Answer

Ja, bis auf einen Skalarfaktor

Answer

Nur bei symmetrischen Matrizen

Answer

Ja, eindeutig

Answer

Nein, sie sind nicht eindeutig

Question 48

Welche Matrix hat keine Eigenwerte?

Accepted Answer

Nullmatrix

Answer

Symmetrische Matrix

Answer

Diagonalmatrix

Answer

Einheitsmatrix

Question 49

Welche Aussage über Eigenwertprobleme ist falsch?

Accepted Answer

Sie können nur für symmetrische Matrizen gelöst werden.

Answer

Eigenwerte können komplex sein.

Answer

Sie spielen eine Rolle in der Mechanik.

Question 50

Welche Aussage trifft auf Eigenwertprobleme in der Mechanik und Physik zu?

Accepted Answer

Sie sind von großer Bedeutung, da sie Phänomene wie Schwingungen und Stabilität beschreiben.

Answer

Sie können nur analytisch gelöst werden.

Answer

Sie kommen ausschließlich in mathematischen Aufgabenstellungen vor.

Question 51

Was ist die Definition eines Eigenvektors?

Accepted Answer

Ein Vektor, der beim Multiplizieren mit der betreffenden Matrix bis auf einen Skalar unverändert bleibt.

Answer

Ein Vektor, dessen Norm gleich dem zugehörigen Eigenwert ist.

Answer

Ein Vektor, der parallel zum zugehörigen Eigenwert ist.

Question 52

Was ist das Ziel der Berechnung von Eigenwertproblemen?

Accepted Answer

Die Bestimmung der Eigenwerte und Eigenvektoren einer gegebenen Matrix.

Answer

Die Lösung linearer Gleichungssysteme.

Answer

Die Berechnung von Integralen.

Question 53

Nenne eine gängige Methode zur Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren.

Accepted Answer

QR-Algorithmus

Answer

Gauß-Seidel-Verfahren

Answer

Newton-Raphson-Verfahren

Answer

Finite-Elemente-Methode

Question 54

Was ist ein charakteristisches Polynom?

Accepted Answer

Ein Polynom, dessen Nullstellen die Eigenwerte einer Matrix sind.

Answer

Ein Polynom, dessen Grad gleich der Anzahl der Eigenwerte einer Matrix ist.

Answer

Ein Polynom, dessen Koeffizienten die Eigenvektoren einer Matrix sind.

Question 55

Was ist das Prinzip von Rayleigh-Ritz?

Accepted Answer

Eine Methode zur näherungsweisen Berechnung des kleinsten Eigenwerts und des dazugehörigen Eigenvektors.

Answer

Eine Methode zur Bestimmung der Anzahl von Eigenwerten.

Answer

Eine Methode zur analytischen Berechnung von Eigenwerten.

Question 56

Welche der folgenden Matrizen ist eine Eigenwertmatrix?

Accepted Answer

Eine Matrix, die einem System von linearen Gleichungen entspricht, deren Koeffizientenmatrix die Eigenwerte als Eigenwerte besitzt.

Answer

Eine Matrix, die nur Einsen auf der Hauptdiagonalen enthält.

Answer

Eine Matrix, die nur Nullen auf der Hauptdiagonalen enthält.

Answer

Eine Matrix, die symmetrisch ist.

Question 57

Welche der folgenden Gleichungen ist die Eigenwertgleichung?

Accepted Answer

Av = λv

Answer

λAv = v

Answer

λv = Av

Answer

Av = vλ

Question 58

Welche der folgenden Methoden dient zur Berechnung von Eigenwerten?

Accepted Answer

QR-Algorithmus

Answer

Gauß-Seidel-Methode

Answer

Newton-Raphson-Verfahren

Answer

Finite-Differenzen-Methode

Question 59

Welche der folgenden Größen ist ein Eigenvektor?

Accepted Answer

Ein Vektor, der eine Eigenwertgleichung erfüllt.

Answer

Ein Vektor, der die Determinante der Matrix darstellt.

Answer

Ein Vektor, der orthogonal zum zugehörigen Eigenwert ist.

Answer

Ein Vektor, der die Spur der Matrix darstellt.

Question 60

Welche der folgenden Aussagen über Eigenvektoren ist korrekt?

Accepted Answer

Eigenvektoren, die zu verschiedenen Eigenwerten gehören, sind orthogonal zueinander.

Answer

Die Summe aller Eigenvektoren einer Matrix ergibt den Nullvektor.

Answer

Eigenvektoren, die zum gleichen Eigenwert gehören, sind immer parallel zueinander.

Question 61

Welche der folgenden Software kann zur Lösung von Eigenwertproblemen verwendet werden?

Accepted Answer

MATLAB

Answer

LibreOffice Calc

Answer

Microsoft Excel

Answer

Google Tabellen

Question 62

Welche der folgenden Aussagen über Eigenwerte ist nicht korrekt?

Accepted Answer

Eigenwerte sind immer positiv.

Answer

Eigenwerte können komplex sein.

Answer

Eigenwerte geben Auskunft über die Skalierung von Eigenvektoren.

Answer

Eigenwerte sind charakteristisch für eine bestimmte Matrix.

Question 63

Ein Eigenvektor einer Matrix A ist ein Vektor, der ...

Accepted Answer

bei Multiplikation mit A nur skaliert wird.

Answer

die Determinante von A maximiert.

Answer

orthogonal zu allen anderen Eigenvektoren von A ist.

Question 64

Welche der folgenden Aussagen über Eigenvektoren ist korrekt?

Accepted Answer

Eigenvektoren sind linear unabhängig.

Answer

Eigenvektoren sind immer orthogonal zueinander.

Answer

Eigenvektoren sind immer normiert.

Answer

Eigenvektoren können beliebige Vektoren sein.