Differentialrechnung lernen: Online-Quizze und Übungen für Studierende

Question 1

Welche Ableitungsregel muss angewandt werden, um die Ableitung der Funktion f(x) = (x^2 + 1) / (x - 1) zu bestimmen?

Accepted Answer

Quotientenregel

Answer

Produktregel

Answer

Summen- und Differenzenregel

Answer

Potenzregel

Question 2

Welche Ableitungsregel muss angewandt werden, um die Ableitung der Funktion f(x) = ln(x^2 + 1) zu bestimmen?

Accepted Answer

Kettenregel

Answer

Produktregel

Answer

Summen- und Differenzenregel

Answer

Quotientenregel

Question 3

Welche Aussage beschreibt korrekt die Ableitung der Potenzfunktion f(x) = x³?

Accepted Answer

f'(x) = 3x²

Answer

f'(x) = 3

Answer

f'(x) = x²

Answer

f'(x) = x

Question 4

Welche Ableitungsregel beschreibt die Berechnung des Quotienten (f/g)'(x)?

Accepted Answer

(f/g)'(x) = (f'g - fg') / g²

Answer

(f/g)'(x) = f'g' / (fg)

Answer

(f/g)'(x) = f' / g - f / g'

Answer

(f/g)'(x) = g' / f - g / f'

Question 5

Welche der folgenden Funktionen ist nicht differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Question 6

Welcher Wert von c erfüllt den Mittelwertsatz für die Funktion f(x) = x^2 auf dem Intervall [0, 2]?

Accepted Answer

c = 1

Answer

c = 0

Answer

c = 2

Answer

c = 3

Question 7

Bestimmen Sie den Extrempunkt der Funktion f(x) = -x^2 + 4x - 3.

Accepted Answer

(1, 2)

Answer

(2, 1)

Answer

(-1, 2)

Answer

(1, -2)

Question 8

Welcher der folgenden Grenzwerte existiert nicht?

Accepted Answer

lim x->0 (1/x)

Answer

lim x->0 (x^2)

Answer

lim x->∞ (e^x)

Answer

lim x->∞ (sin(x))

Question 9

Welche Aussage zur Ableitung einer Funktion f(x) ist korrekt?

Accepted Answer

Die Ableitung von f(x) ist die Steigung der Tangente an den Graphen von f(x) an der Stelle x.

Answer

Die Ableitung von f(x) ist die Differenz zweier Funktionswerte von f(x).

Answer

Die Ableitung von f(x) ist immer eine negative Zahl.

Question 10

Welche Aussage zur Konvexität einer Funktion f(x) ist korrekt?

Accepted Answer

Eine Funktion f(x) ist konvex, wenn ihre zweite Ableitung f''(x) positiv ist.

Answer

Eine Funktion f(x) ist konvex, wenn ihr Graph nach oben gekrümmt ist.

Answer

Eine Funktion f(x) ist konvex, wenn ihre erste Ableitung f'(x) monoton wachsend ist.

Question 11

Welche der folgenden Funktionen ist nicht differenzierbar an der Stelle x = 0?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = ln(x)

Answer

f(x) = e<sup>x</sup>

Question 12

Welche der folgenden Funktionen hat einen Wendepunkt?

Accepted Answer

f(x) = x³ - 3x

Answer

f(x) = x⁴

Answer

f(x) = sin(x)

Question 13

Welche der folgenden Funktionen hat ein lokales Maximum an der Stelle x = 1?

Accepted Answer

f(x) = -x² + 2x + 1

Answer

f(x) = x² - 4x + 3

Answer

f(x) = sin(x) + cos(x)

Question 14

Welche der folgenden Aussagen beschreibt am besten die Ableitung einer Funktion f(x)?

Accepted Answer

Die Ableitung ist die Änderungsrate von f(x) in Bezug auf x.

Answer

Die Ableitung ist die Stammfunktion von f(x).

Answer

Die Ableitung ist der Integrals von f(x).

Question 15

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 0 nicht differenzierbar?

Accepted Answer

x|x|

Answer

e^x

Answer

sin(x)

Answer

x^2

Question 16

Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = (x^2 - 1) / (x + 1).

Accepted Answer

(2x - 1) / (x + 1)^2

Answer

(x^2 - 1) / (x + 1)

Answer

(2x + 1) / (x - 1)^2

Answer

0

Question 17

Welche der folgenden Anwendungen der Differentialrechnung wird in der Ökonomie verwendet?

Accepted Answer

Berechnung der Grenzproduktivität eines Inputs.

Answer

Entwurf von Brücken.

Answer

Vorhersage des Wetters.

Question 18

Welche der folgenden Aussagen über die Produktregel ist richtig?

Accepted Answer

Sie berechnet die Ableitung des Produkts zweier Funktionen.

Answer

Sie berechnet die Ableitung der zusammengesetzten Funktion einer Funktion.

Answer

Sie berechnet die Ableitung des Quotienten zweier Funktionen.

Question 19

Welche der folgenden Aussagen über den Rollen'schen Satz ist richtig?

Accepted Answer

Wenn f(x) auf einem geschlossenen Intervall stetig und auf dem offenen Intervall differenzierbar ist, dann gibt es einen Punkt c im Intervall, an dem die Ableitung f'(c) gleich dem Differenzenquotienten ist.

Answer

Der Rollen'sche Satz gilt nur für lineare Funktionen.

Question 20

Welche Aussage beschreibt die Ableitung einer Funktion f(x) an der Stelle x = a am besten?

Accepted Answer

Die Richtungsableitung zum Einheitsvektor der x-Achse an der Stelle x = a.

Answer

Der x-Wert des Graphen von f(x) im Punkt (a, f(a)).

Answer

Der y-Wert des Graphen von f(x) im Punkt (a, f(a)).

Question 21

Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion f(x) = (3x² - 2x + 1) / (x + 2).

Accepted Answer

f'(x) = (6x - 2) / (x + 2)²

Answer

f'(x) = (3x² - 2x + 1) / (x + 2)²

Answer

f'(x) = x² - 2x + 1

Answer

f'(x) = (6x - 2) / (x + 2)

Question 22

An welchen Punkten ist die Funktion f(x) = |x| differenzierbar?

Accepted Answer

Überall außer x = 0

Answer

Nirgendwo

Answer

Nur an x = 0

Answer

Überall außer x = 1

Question 23

Bestimmen Sie die Ableitung der Exponentialfunktion f(x) = e^(2x).

Accepted Answer

f'(x) = 2e^(2x)

Answer

f'(x) = 2

Answer

f'(x) = e^(2x)

Answer

f'(x) = 2x e^(2x)

Question 24

Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion f(x) = ln(x² + 1).

Accepted Answer

f'(x) = 2x / (x² + 1)

Answer

f'(x) = 2 / (x² + 1)

Answer

f'(x) = 1 / (x² + 1)

Answer

f'(x) = x / (x² + 1)

Question 25

Welche der folgenden Aussagen ist falsch für eine Funktion f(x), die an der Stelle x = a ein lokales Minimum besitzt?

Accepted Answer

f'(a) > 0

Answer

f(a) ist der kleinste Funktionswert in einer Umgebung von a.

Answer

f''(a) > 0

Answer

f'(a) = 0

Question 26

Sei f(x) = x² - 2x. Welcher Wert von a ergibt die Tangente an den Graphen von f(x) im Punkt (1, -1)?

Accepted Answer

1

Answer

2

Answer

0

Question 27

Welche Ableitungsregel wird verwendet, um die Ableitung von f(x) = (x² + 1)³ zu berechnen?

Accepted Answer

Kettenregel

Answer

Produktregel

Answer

Potenzregel

Answer

Quotientenregel

Question 28

Bestimmen Sie die Extrema von f(x) = x³ - 3x² + 2.

Accepted Answer

Maximum bei x = 1 und Minimum bei x = 2

Answer

Maximum bei x = 1, kein Minimum

Answer

Maximum bei x = 2 und Minimum bei x = 1

Answer

Kein Maximum, Minimum bei x = 2

Question 29

Welche der folgenden Funktionen ist nicht differenzierbar an x = 0?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = eˣ

Answer

f(x) = x²

Question 30

Berechnen Sie die Ableitung von f(x) = ln(x² + 1).

Accepted Answer

2x / (x² + 1)

Answer

(x² + 1) / x

Answer

1 / (x² + 1)

Answer

x / (x² + 1)

Question 31

Welche der folgenden Aussagen zur Funktion f(x) = x⁴ - 2x² ist wahr?

Accepted Answer

f(x) hat ein lokales Minimum bei x = 0.

Answer

f(x) hat zwei lokale Minima.

Answer

f(x) hat ein lokales Minimum bei x = 2.

Answer

f(x) hat kein lokales Minimum.

Question 32

Berechnen Sie die Steigung der Kurve f(x) = eˣ im Punkt (0, 1).

Accepted Answer

1

Answer

e

Answer

0

Question 33

Welche der folgenden Ableitungen ist falsch?

Accepted Answer

d/dx (sin(x)) = cos(x²)

Answer

d/dx (x²) = 2x

Answer

d/dx (eˣ) = eˣ

Answer

d/dx (ln(x)) = 1/x

Question 34

Berechnen Sie die Ableitung der Funktion f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 1.

Accepted Answer

3x^2 + 4x - 5

Answer

3x^3 + 4x^2 - 5x

Answer

x^2 + 4x - 5

Answer

x^3 + 4x^2 - 5

Question 35

Ermitteln Sie den Extrempunkt der Funktion g(x) = -x^2 + 4x - 3.

Accepted Answer

x = 2, y = 1

Answer

Es gibt keinen Extrempunkt.

Answer

x = 0, y = -3

Answer

x = -2, y = -1

Question 36

Berechnen Sie die Tangente an die Funktion h(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x + 1 im Punkt (1, -1).

Accepted Answer

y = 5x - 6

Answer

y = 2x - 4

Answer

y = -5x + 6

Question 37

Welche Aussage über die Funktion k(x) = e^x ist richtig?

Accepted Answer

Die Ableitung ist k'(x) = e^x

Answer

Die zweite Ableitung ist k''(x) = 0

Answer

Die Funktion ist nicht differenzierbar.

Answer

Die Ableitung ist k'(x) = x^e

Question 38

Berechnen Sie die Grenzwert der Funktion f(x) = (x^2 - 4) / (x - 2) für x gegen 2.

Accepted Answer

4

Answer

2

Answer

-2

Answer

0

Question 39

Welche Funktion ist die Stammfunktion von f(x) = 2x + 1?

Accepted Answer

x^2 + x + C

Answer

2x + 1

Answer

x^2 - x + C

Answer

2x^2 + x + C

Question 40

Welche Aussage über die Funktion f(x) = x^3 - 2x^2 + 1 ist richtig?

Accepted Answer

Sie hat an der Stelle x = 1 ein lokales Minimum.

Answer

Sie hat an der Stelle x = 1 keinen Extrempunkt.

Answer

Sie hat an der Stelle x = 1 einen Sattelpunkt.

Answer

Sie hat an der Stelle x = 1 ein lokales Maximum.

Question 41

Welche der folgenden Aussagen ist die Ableitung der Funktion f(x) = 3x² + 2x - 1?

Accepted Answer

6x + 2

Answer

3x + 2

Answer

6x² + 2x

Answer

9x + 2

Question 42

Was ist die Steigung der Tangente an die Funktion f(x) = x³ + 2x - 1 im Punkt (1, 2)?

Accepted Answer

5

Answer

1

Answer

3

Answer

7

Question 43

Welche der folgenden Funktionen hat einen lokalen Maximum bei x = 0?

Accepted Answer

f(x) = -x² + 1

Answer

f(x) = x² + 1

Answer

f(x) = x³ + 1

Question 44

Welche der folgenden Aussagen ist die Ableitung der Funktion f(x) = sin(x) + cos(x)?

Accepted Answer

cos(x) - sin(x)

Answer

cos(x) + sin(x)

Answer

sin(x) + cos(x)

Question 45

Welche der folgenden Aussagen ist die Ableitung der Funktion f(x) = e^x?

Accepted Answer

e^x

Answer

e^(x-1)

Answer

1

Answer

x * e^x

Question 46

Was ist die Ableitung der Funktion f(x) = ln(x) ?

Accepted Answer

1/x

Answer

x * ln(x)

Answer

x

Answer

ln(x)

Question 47

Welche der folgenden Aussagen ist die zweite Ableitung der Funktion f(x) = x^4 + 2x²?

Accepted Answer

12x² + 4

Answer

4x³ + 4x

Answer

12x³ + 4x

Answer

4x² + 4

Question 48

Welche der folgenden Aussagen beschreibt die Anwendung der Differentialrechnung im Kontext von Optimierungsproblemen?

Accepted Answer

Die Differentialrechnung ermöglicht es, Extrempunkte einer Funktion zu finden, um optimale Lösungen für Probleme zu identifizieren.

Answer

Die Differentialrechnung wird verwendet, um die Steigung einer Kurve zu bestimmen.

Question 49

Welche der folgenden Funktionen hat einen Wendepunkt bei x = 1?

Accepted Answer

f(x) = x³ - 3x² + 3x

Answer

f(x) = x⁴ - 4x³ + 6x²

Answer

f(x) = x⁵ + 5x⁴ + 10x³

Answer

f(x) = x² + 2x + 1

Question 50

Welche der folgenden Aussagen ist die Kettenregel für die Ableitung einer zusammengesetzten Funktion?

Accepted Answer

Die Ableitung der äußeren Funktion multipliziert mit der Ableitung der inneren Funktion.

Answer

Die Summe der Ableitungen der äußeren und inneren Funktion.

Answer

Die Ableitung der inneren Funktion multipliziert mit der Ableitung der äußeren Funktion.