Eigenwerte und Eigenvektoren: Online-Quiz für Architekturstudenten

Question 1

Welche der folgenden Matrizen hat einen Eigenwert von 0?

Accepted Answer

[[1, 0], [0, 0]]

Answer

[[1, 2], [0, 1]]

Answer

[[0, 0], [1, 2]]

Answer

[[2, 1], [0, 2]]

Question 2

Welche der folgenden Aussagen zur Definition eines Eigenwertes ist korrekt?

Accepted Answer

Ein Eigenwert ist eine Lösung der charakteristischen Gleichung einer Matrix.

Answer

Ein Eigenwert ist ein Wert, für den die Determinante einer Matrix ungleich Null ist.

Answer

Ein Eigenwert ist ein Wert, der die Spur einer Matrix ergibt.

Answer

Ein Eigenwert ist ein Wert, der das Inverse einer Matrix ergibt.

Question 3

Welche der folgenden Aussagen zur Definition eines Eigenvektors ist korrekt?

Accepted Answer

Ein Eigenvektor ist ein Vektor, der von der Matrix auf ein Vielfaches von sich selbst abgebildet wird.

Answer

Ein Eigenvektor ist ein Vektor, der senkrecht zu allen anderen Eigenvektoren der Matrix ist.

Answer

Ein Eigenvektor ist ein Vektor, der die Determinante der Matrix ungleich Null macht.

Answer

Ein Eigenvektor ist ein Vektor, der die Spur der Matrix ergibt.

Question 4

Welche der folgenden Matrizen besitzt den Eigenwert 1?

Accepted Answer

[[1, 2], [0, 1]]

Answer

[[2, 3], [1, 2]]

Answer

[[3, 4], [2, 3]]

Answer

[[4, 5], [3, 4]]

Question 5

Welche der folgenden Aussagen definiert einen Eigenwert korrekt?

Accepted Answer

Für eine Matrix A und einen Vektor x ist ein Eigenwert eine Zahl λ, sodass Ax = λx.

Answer

Ein Eigenwert ist ein Vektor, der bei Multiplikation mit einer Matrix unverändert bleibt.

Answer

Ein Eigenwert ist eine Zahl, die durch die Determinante einer Matrix bestimmt wird.

Answer

Ein Eigenwert ist ein Wert, für den die Spur einer Matrix verschwindet.

Question 6

Welche Eigenschaft einer symmetrischen Matrix garantiert, dass ihre Eigenwerte reell sind?

Accepted Answer

Sie ist positiv definit.

Answer

Ihre Determinante ist ungleich Null.

Answer

Ihre Spur ist ungleich Null.

Answer

Sie hat eine ungerade Anzahl von Zeilen und Spalten.

Question 7

Welche Matrix ist orthogonal?

Accepted Answer

[(1, 0), (0, 1)]

Answer

[(1, 2), (0, 1)]

Answer

[(1, 0), (1, 0)]

Answer

[(0, 1), (1, 0)]

Question 8

Welches der folgenden Verfahren wird nicht zur Berechnung der Eigenwerte einer Matrix verwendet?

Accepted Answer

Gradientenverfahren

Answer

Jacobi-Methode

Answer

QR-Algorithmus

Answer

Jordan-Normalform

Question 9

Was ist der geometrische Sinn eines Eigenvektors einer Matrix?

Accepted Answer

Er gibt die Richtung des Eigenraums an.

Answer

Er repräsentiert die Amplitude der Schwingung.

Answer

Er beschreibt die Rotation des Systems.

Answer

Er bestimmt die Frequenz der Schwingung.

Question 10

Welche der folgenden Aussagen über Eigenwerte ist richtig?

Accepted Answer

Die Eigenwerte einer Matrix sind die Lösungen der charakteristischen Gleichung.

Answer

Die Eigenwerte einer Matrix sind immer positiv.

Answer

Die Eigenwerte einer Matrix sind immer ganzzahlig.

Question 11

Welche der folgenden Matrizen hat den Eigenwert λ = 3?

Accepted Answer

[[3, 1], [-1, 2]]

Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Answer

[[2, 0], [0, 2]]

Answer

[[1, 1], [1, 1]]

Question 12

Wie lässt sich ein Eigenvektor geometrisch interpretieren?

Accepted Answer

Als Richtung im Vektorraum, in die Vektoren bei linearer Transformation gestreckt oder gestaucht werden.

Answer

Als Richtung, in die Vektoren im Vektorraum gedreht werden.

Question 13

Was ist die Definition eines Eigenwerts einer Matrix?

Accepted Answer

Eine Zahl, für die es einen von Null verschiedenen Vektor gibt, der mit der Matrix multipliziert, denselben Vektor, nur skaliert, ergibt.

Answer

Die Determinante der Matrix.

Answer

Der Vektor, der die Matrix diagonalisiert.

Answer

Die Spur der Matrix.

Question 14

Welche der folgenden Gleichungen stellt eine Eigenwertaufgabe dar?

Accepted Answer

Ax = λx

Answer

A + x = λx

Answer

Ax = b

Answer

x^2 + y^2 = 1

Question 15

Welche der folgenden Aussagen über Eigenvektoren ist korrekt?

Accepted Answer

Sie sind immer linear unabhängig, wenn sie zu verschiedenen Eigenwerten gehören.

Answer

Sie sind immer komplex.

Answer

Sie sind immer parallel zum zugehörigen Eigenraum.

Answer

Sie sind immer orthogonale Einheitsvektoren.

Question 16

Welche der folgenden Aussagen über den Eigenraum eines Eigenwerts ist korrekt?

Accepted Answer

Er ist der Vektorraum aller Eigenvektoren, die zum Eigenwert gehören, sowie der Nullvektor.

Answer

Er ist immer eindimensional.

Answer

Er ist orthogonal zum zugehörigen Eigenvektor.

Question 17

Welche der folgenden Gleichungen stellt die Definition eines Eigenvektors *v* zum Eigenwert *λ* der Matrix *A* dar?

Accepted Answer

Av = λv

Answer

Av = v + λ

Answer

vA = λv

Answer

A + v = λv

Question 18

Welche der folgenden Aussagen über Eigenvektoren ist FALSCH?

Accepted Answer

Eigenvektoren sind immer orthogonal zueinander.

Answer

Eigenvektoren können skaliert werden, ohne ihre Eigenschaft als Eigenvektor zu verlieren.

Answer

Der Nullvektor ist kein Eigenvektor.

Answer

Eigenvektoren sind linear unabhängig, wenn sie zu verschiedenen Eigenwerten gehören.

Question 19

Was ist die charakteristische Gleichung einer Matrix *A*?

Accepted Answer

det(A - λI) = 0

Answer

tr(A + λI) = 0

Answer

det(A + λI) = 0

Answer

tr(A - λI) = 0

Question 20

Welche der folgenden Methoden kann zur Bestimmung von Eigenvektoren verwendet werden?

Accepted Answer

Lösen des Gleichungssystems (A - λI)v = 0

Answer

Berechnung der Determinante der Matrix A

Answer

Berechnung der Spur der Matrix A

Answer

Inverse der Matrix A berechnen

Question 21

Welche der folgenden Matrizen hat KEINE reellen Eigenwerte?

Accepted Answer

[[0, 1], [-1, 0]]

Answer

[[2, 0], [0, 2]]

Answer

[[1, 1], [0, 1]]

Answer

[[1, 0], [0, -1]]

Question 22

Eine 3x3-Matrix besitzt drei verschiedene Eigenwerte. Wie viele linear unabhängige Eigenvektoren hat sie?

Accepted Answer

Drei

Answer

Zwei

Answer

Unendlich viele

Answer

Einer

Question 23

Welche Aussage über Eigenwertaufgaben ist korrekt?

Accepted Answer

Eigenwertaufgaben können zur Analyse der Stabilität von Systemen verwendet werden.

Answer

Eigenwertaufgaben haben keine praktische Anwendung.

Answer

Eigenwertaufgaben werden nur in der linearen Algebra verwendet.

Question 24

Gegeben sei eine Matrix A mit dem Eigenwert λ = 2 und dem zugehörigen Eigenvektor v = [1, 0]. Was ist Av?

Accepted Answer

[2, 0]

Answer

[0, 2]

Answer

[2, 1]

Answer

[1, 0]

Question 25

Welche Aussage beschreibt die geometrische Interpretation von Eigenvektoren?

Accepted Answer

Eigenvektoren geben die Richtung an, in der eine lineare Transformation eine Skalierung durchführt.

Answer

Eigenvektoren sind die Nullvektoren der linearen Transformation.

Answer

Eigenvektoren geben die Größe der linearen Transformation an.

Question 26

Ein System gekoppelter Differentialgleichungen kann mithilfe der Eigenwertmethode gelöst werden. Welche Aussage beschreibt die Rolle von Eigenvektoren in diesem Zusammenhang?

Accepted Answer

Eigenvektoren bilden die Basisvektoren für die Lösung des Systems, die sich unabhängig entwickeln.

Answer

Eigenvektoren beschreiben die Anfangsbedingungen des Systems.

Answer

Eigenvektoren geben die zeitliche Entwicklung des Systems an.

Question 27

Welche Aussage definiert einen Eigenvektor?

Accepted Answer

Ein Nicht-Null-Vektor, der durch eine lineare Transformation nur skaliert wird.

Answer

Ein Vektor, der senkrecht zu seinem eigenen Transformationsvektor steht.

Answer

Ein Vektor, dessen Länge gleich eins ist.

Question 28

Welcher der folgenden Werte ist ein Eigenwert der Matrix [[2, 1], [-1, 2]]?

Accepted Answer

3

Answer

0

Answer

1

Answer

-1

Question 29

Welche Aussage ist für einen Eigenvektor wahr?

Accepted Answer

Er wird durch seine Transformation skaliert.

Answer

Er wird durch seine Transformation rotiert.

Answer

Er wird durch seine Transformation invertiert.

Answer

Er wird durch seine Transformation reflektiert.

Question 30

Wie viele Eigenwerte kann eine n x n Matrix höchstens haben?

Accepted Answer

n

Answer

n + 1

Answer

n/2

Answer

n - 1

Question 31

Welche der folgenden Matrizen ist eine Diagonalmatrix?

Accepted Answer

[[3, 0, 0], [0, 2, 0], [0, 0, 1]]

Answer

[[1, 2, 3], [2, 1, 3], [3, 2, 1]]

Answer

[[1, 0, 2], [3, 1, 0], [0, 3, 1]]

Answer

[[2, 1, 0], [0, 3, 1], [1, 0, 2]]

Question 32

Welche der folgenden Gleichungen ist eine Eigenwertaufgabe?

Accepted Answer

(A - λI)x = 0

Answer

det(A) = λ

Answer

Ax = λ

Answer

xAy = λy

Question 33

Welche der folgenden Bedingungen ist notwendig, damit eine Matrix diagonalisierbar ist?

Accepted Answer

Sie ist eine Normalmatrix.

Answer

Sie ist eine symmetrische Matrix.

Answer

Sie ist eine orthogonale Matrix.

Answer

Sie ist eine invertierbare Matrix.

Question 34

Was repräsentiert der Eigenwert einer Matrix?

Accepted Answer

Den Skalierungsfaktor eines Eigenvektors unter der Transformation durch die Matrix.

Answer

Die Spur der Matrix.

Answer

Den Rang der Matrix.

Answer

Die Determinante der Matrix.

Question 35

Welche der folgenden Anwendungen von Eigenwerten ist in Architektur und Ingenieurwesen weit verbreitet?

Accepted Answer

Schwingungsanalyse von Tragwerken.

Answer

Erdbebensimulation.

Answer

Wärmeleitungsanalyse von Gebäuden.

Answer

Lichtsimulation in Innenräumen.

Question 36

Welche Aussage über Eigenvektoren ist FALSCH?

Accepted Answer

Sie sind immer linear unabhängig.

Answer

Sie können parallel zueinander sein.

Answer

Sie können orthogonal zueinander sein.

Answer

Sie sind immer normiert.

Question 37

Welche der folgenden Aussagen über Eigenvektoren ist FALSCH?

Accepted Answer

Eigenvektoren sind immer orthogonal zueinander.

Answer

Eigenvektoren können mit einem Skalar multipliziert werden, ohne ihre Eigenvektoreigenschaft zu verlieren.

Answer

Eigenvektoren ändern ihre Richtung nicht, wenn sie mit der Matrix multipliziert werden.

Answer

Eigenvektoren können Nullvektoren sein.

Question 38

Gegeben ist eine Matrix A = [[2, 1], [1, 2]]. Berechnen Sie den Eigenwert der Matrix.

Accepted Answer

3

Answer

2

Answer

1

Answer

4

Question 39

Welche der folgenden Gleichungen ist die charakteristische Gleichung der Matrix A = [[1, 2], [3, 4]]?

Accepted Answer

λ² - 5λ - 2 = 0

Answer

λ² + 5λ - 2 = 0

Answer

λ² + 5λ + 2 = 0

Answer

λ² - 5λ + 2 = 0

Question 40

Wie viele linear unabhängige Eigenvektoren kann eine 3x3 Matrix maximal haben?

Accepted Answer

3

Answer

1

Answer

2

Answer

4

Question 41

Welche Aussage über die Diagonalisierung einer Matrix ist FALSCH?

Accepted Answer

Eine Matrix kann nur dann diagonalisiert werden, wenn sie mindestens zwei Eigenwerte besitzt.

Answer

Die Diagonalisierung einer Matrix ermöglicht die einfache Berechnung von Potenzen der Matrix.

Answer

Eine Matrix kann nur dann diagonalisiert werden, wenn sie linear unabhängige Eigenvektoren besitzt.

Question 42

Welches ist KEIN typischer Anwendungsbereich von Eigenwerten und Eigenvektoren?

Accepted Answer

Lösung von Differentialgleichungen

Answer

Datenkompression

Answer

Stabilitätsanalyse von Systemen

Answer

Analyse von Schwingungen

Question 43

Gegeben ist die Matrix A = [[3, 1], [1, 3]] und der Eigenvektor v = [1, 1]. Welchen Eigenwert hat dieser Vektor?

Accepted Answer

4

Answer

3

Answer

1

Answer

2

Question 44

Eine Matrix A hat die Eigenwerte λ₁ = 2 und λ₂ = 5. Welche Aussage ist KORREKT?

Accepted Answer

Die Determinante von A ist 10.

Answer

Die Spur von A ist 7.

Answer

Die inverse Matrix von A existiert nicht.

Answer

A ist eine Diagonalmatrix.

Question 45

Welche der folgenden Matrizen ist NICHT diagonalisierbar?

Accepted Answer

[[1, 1], [0, 1]]

Answer

[[1, 2], [2, 1]]

Answer

[[2, 0], [0, 2]]

Answer

[[3, 1], [1, 3]]

Question 46

Eine 4x4 Matrix hat zwei verschiedene Eigenwerte. Wie viele linear unabhängige Eigenvektoren kann sie höchstens haben?

Accepted Answer

4

Answer

2

Answer

3