Determinanten verstehen und berechnen - Mathe-Quiz für Architekturstudenten

Question 1

Für welche Matrizen ist die Determinante definiert?

Accepted Answer

Nur für quadratische Matrizen.

Answer

Nur für rechteckige Matrizen.

Answer

Nur für symmetrische Matrizen.

Answer

Für alle Matrizen.

Question 2

Welche Eigenschaft trifft auf die Determinante des Produkts zweier Matrizen zu?

Accepted Answer

det(AB) = det(A) * det(B)

Answer

det(AB) = det(A) + det(B)

Answer

det(AB) = det(A^T) * det(B^T)

Answer

det(AB) = det(A)ⁿ * det(B)ⁿ, wobei n die Anzahl der Zeilen/Spalten ist.

Question 3

Eine Matrix ist invertierbar, wenn:

Accepted Answer

Ihre Determinante ungleich null ist.

Answer

Ihre Determinante eins ist.

Answer

Ihr Rang gleich ihrer Zeilen- oder Spaltenanzahl ist.

Answer

Sie eine Diagonalmatrix ist.

Question 4

Das Volumen des Parallelepipeds, das von den Vektoren a, b und c aufgespannt wird, kann berechnet werden als:

Accepted Answer

det(A), wobei A die Matrix mit den Vektoren a, b und c als Spalten ist.

Answer

det(A^T), wobei A die Matrix mit den Vektoren a, b und c als Zeilen ist.

Answer

det(A + B + C), wobei A, B und C die Matrizen mit den Vektoren a, b und c als Spalten sind.

Answer

det(A * B * C), wobei A, B und C die Matrizen mit den Vektoren a, b und c als Zeilen sind.

Question 5

Eine Matrix ist symmetrisch, wenn:

Accepted Answer

Sie gleich ihrer Transponierten ist.

Answer

Ihre Diagonalelemente ungleich null sind.

Answer

Ihre Hauptdiagonale von oben links nach unten rechts verläuft.

Answer

Ihre Nebendiagonalen von oben rechts nach unten links verlaufen.

Question 6

Welche Aussage über die Determinante einer transponierten Matrix trifft zu?

Accepted Answer

det(A^T) = det(A)

Answer

det(A^T) = -det(A)

Answer

det(A^T) = det(A)^T

Answer

det(A^T) = 0

Question 7

Welche Aussage über die Determinante einer Matrix mit einer Nullzeile trifft zu?

Accepted Answer

Sie ist immer gleich null.

Answer

Sie ist immer gleich eins.

Answer

Sie ist immer gleich der Summe der übrigen Zeilen.

Answer

Sie ist immer gleich dem Produkt der übrigen Zeilen.

Question 8

Wie lautet die Determinante der Einheitsmatrix?

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

-1

Answer

Unbestimmt

Question 9

Welche der folgenden Eigenschaften gilt für Determinanten?

Accepted Answer

Alle der genannten Aussagen sind korrekt.

Answer

Die Determinante einer Diagonalmatrix ist gleich dem Produkt der Diagonalelemente.

Answer

Die Determinante einer transponierten Matrix ist gleich der Determinante der ursprünglichen Matrix.

Answer

Die Determinante des Produkts zweier Matrizen ist gleich dem Produkt der Determinanten der einzelnen Matrizen.

Question 10

Welche der folgenden Aussagen zur Determinante einer orthogonalen Matrix ist korrekt?

Accepted Answer

Sie ist gleich 1.

Answer

Sie ist gleich -1.

Answer

Sie ist gleich 0.

Answer

Sie ist gleich der Spur der Matrix.

Question 11

Welche der folgenden Aussagen zur Cramerschen Regel ist korrekt?

Accepted Answer

Sie ermöglicht die Lösung von linearen Gleichungssystemen mit n Gleichungen und n Unbekannten.

Answer

Sie ermöglicht die Berechnung der Inverse einer Matrix.

Answer

Sie kann nur für 2x2- und 3x3-Matrizen verwendet werden.

Answer

Sie ist immer die effizienteste Methode zur Lösung linearer Gleichungssysteme.

Question 12

Welche Aussage über Determinanten ist **nicht** zutreffend?

Accepted Answer

Die Determinante einer Einheitsmatrix ist **nicht** Null.

Answer

Sie sind Zahlen, die Matrizen zugeordnet werden.

Answer

Die Determinante einer Diagonalmatrix ist das Produkt ihrer Diagonalelemente.

Answer

Die Determinante einer transponierten Matrix ist gleich der Determinante der Originalmatrix.

Question 13

Gilt für die Determinante des Produkts zweier Matrizen A und B:

Accepted Answer

det(AB) = det(A) * det(B)

Answer

det(AB) = det(A) + det(B)

Answer

det(AB) = det(B) - det(A)

Answer

det(AB) = 0

Question 14

Welche Matrix ist invertierbar?

Accepted Answer

[2 1; -1 2]

Answer

[1 2; 0 0]

Answer

[1 2; 3 4]

Answer

[0 1; 0 0]

Question 15

Was trifft auf singuläre Matrizen zu?

Accepted Answer

Ihr Rang ist 0.

Answer

Ihre Determinante ist ungleich null.

Answer

Ihre Inverse existiert.

Answer

Sie sind invertierbar.

Question 16

Welche Determinante besitzt die Einheitsmatrix?

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

-1

Answer

2

Question 17

Welche der folgenden Aussagen über Determinanten ist korrekt?

Accepted Answer

Die Determinante einer Diagonalmatrix ist das Produkt der Diagonalelemente.

Answer

Die Determinante eines Skalars ist gleich dem Skalar selbst.

Answer

Die Determinante einer Dreiecksmatrix ist immer gleich 0.

Question 18

Welche der folgenden Aussagen über die Kofaktorenmatrix ist korrekt?

Accepted Answer

Die Kofaktorenmatrix einer Matrix ist die Transponierte der Adjunktenmatrix.

Answer

Die Kofaktorenmatrix einer Matrix ist gleich der ursprünglichen Matrix.

Answer

Die Kofaktorenmatrix einer Matrix ist immer invertierbar.

Question 19

Welche der folgenden Aussagen über Determinanten ist nicht korrekt?

Accepted Answer

Determinanten sind ausschließlich für Matrizen mit ungerader Ordnung definiert.

Answer

Determinanten können zur Berechnung des Volumens eines Parallelepipeds verwendet werden.

Answer

Die Determinante einer Dreiecksmatrix ist stets 0.

Question 20

Berechnen Sie die Determinante der Matrix A = [2 3; -1 4]

Accepted Answer

11

Answer

1

Answer

-1

Answer

8

Question 21

Welche Eigenschaft gilt für die Determinante des Produkts zweier Matrizen?

Accepted Answer

det(AB) = det(A) * det(B)

Answer

det(AB) = det(A) + det(B)

Answer

det(AB) = det(B) - det(A)

Answer

det(AB) = det(A) / det(B)

Question 22

Berechnen Sie das Volumen des Parallelepipeds, das von den Vektoren [1 2 3], [2 1 4] und [3 4 1] aufgespannt wird.

Accepted Answer

23

Answer

46

Answer

11

Answer

-23

Question 23

Welche der folgenden Aussagen ist korrekt für eine Matrix A mit einer Determinante von 0?

Accepted Answer

A ist nicht invertierbar.

Answer

A hat einen Eigenwert von 0.

Answer

A ist symmetrisch.

Answer

A ist eine Diagonalmatrix.

Question 24

Welche der folgenden Matrizen hat die größte Determinante?

Accepted Answer

[3 2; 4 5]

Answer

[1 1; 2 3]

Answer

[2 3; 1 4]

Question 25

Welche Eigenschaft gilt für die Determinante der Transponierten einer Matrix?

Accepted Answer

det(A^T) = det(A)

Answer

det(A^T) = det(A)^2

Answer

det(A^T) = -det(A)

Answer

det(A^T) = 1 / det(A)

Question 26

Welche der folgenden Matrizen ist eine orthogonale Matrix?

Accepted Answer

[1/√2 -1/√2; 1/√2 1/√2]

Answer

[2 1 3; 1 2 1; 3 1 2]

Answer

[1 2 3; 0 1 2; 0 0 1]

Answer

[0 2 0; 0 0 3; 0 0 0]

Question 27

Welche Aussage über die Determinante ist richtig?

Accepted Answer

Die Determinante einer Matrix ist gleich Null, wenn die Matrix singulär ist.

Answer

Die Determinante einer Matrix ist gleich der Summe ihrer Eigenwerte.

Answer

Die Determinante einer Matrix ist immer größer als Null.

Question 28

Die Determinante der Einheitsmatrix, einer   quadratischen Matrix mit Einträgen 1 auf der Hauptdiagonale und 0 sonst, ist:

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

-1

Answer

2

Question 29

Eine Matrix A ist invertierbar, d.h. besitzt eine multiplikative Inverse, wenn ihre Determinante:

Accepted Answer

von Null verschieden ist

Answer

größer als 1 ist

Answer

Null ist

Answer

kleiner als -1 ist

Question 30

Welche Aussage zur Determinante einer Dreiecksmatrix, einer Matrix mit Nullen unterhalb oder oberhalb der Hauptdiagonale, ist korrekt?

Accepted Answer

Die Determinante einer Dreiecksmatrix ist gleich dem Produkt ihrer Diagonalelemente.

Answer

Die Determinante einer Dreiecksmatrix ist gleich der Summe ihrer Diagonalelemente.

Answer

Die Determinante einer Dreiecksmatrix ist immer ungleich Null.

Question 31

Wie kann die Determinante einer 3x3-Matrix mit der Regel von Sarrus berechnet werden?

Accepted Answer

Erstelle eine 3x5-Matrix, indem du die gegebene Matrix mit ihren ersten beiden Spalten wiederholst, und summiere dann die Produkte der Elemente auf den drei Diagonalen.

Answer

Subtrahiere die Produkte der Elemente auf den drei Diagonalen.

Question 32

Welche Aussage über Determinanten ist NICHT korrekt?

Accepted Answer

Determinanten können nur für quadratische Matrizen berechnet werden.

Answer

Die Determinante einer Diagonalmatrix ist das Produkt ihrer Diagonalelemente.

Answer

Die Determinante einer Dreiecksmatrix ist Null, wenn zwei Zeilen oder Spalten linear abhängig sind.

Question 33

Welche der folgenden Matrizen hat die Determinante 1?

Accepted Answer

Einheitsmatrix

Answer

Diagonalmatrix mit Diagonalelementen ungleich 1

Answer

Nullmatrix

Answer

Obere oder untere Dreiecksmatrix mit Diagonalelementen ungleich 1

Question 34

Welche Aussage über die Beziehung zwischen Determinanten und dem Rang einer Matrix ist korrekt?

Accepted Answer

Eine Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante von Null verschieden ist.

Answer

Eine Matrix hat genau dann einen Rang von n, wenn ihre Determinante von Null verschieden ist.

Answer

Eine Matrix hat genau dann einen Rang von 1, wenn ihre Determinante von Null verschieden ist.

Question 35

Welche Aussage über die Determinante des Produkts zweier Matrizen A und B ist korrekt?

Accepted Answer

Die Determinante des Produkts AB ist gleich dem Produkt der Determinanten von A und B, det(AB) = det(A) * det(B).

Answer

Die Determinante des Produkts AB ist gleich der Summe der Determinanten von A und B.

Answer

Die Determinante des Produkts AB ist gleich dem Unterschied der Determinanten von A und B.

Question 36

Welche Aussage über die Determinante der Transponierten einer Matrix A ist korrekt?

Accepted Answer

Die Determinante der Transponierten A^T ist gleich der Determinante von A, det(A^T) = det(A).

Answer

Die Determinante der Transponierten A^T ist gleich dem Negativen der Determinante von A.

Question 37

Welche Aussage über die Determinante einer orthogonalen Matrix, einer Matrix, deren Inverse gleich ihrer Transponierten ist, ist korrekt?

Accepted Answer

Die Determinante einer orthogonalen Matrix ist immer gleich 1 oder -1.

Answer

Die Determinante einer orthogonalen Matrix ist immer gleich dem Quadrat ihrer Ordnung.

Answer

Die Determinante einer orthogonalen Matrix ist immer gleich 0 oder 1.

Question 38

Welche der folgenden Aussagen über die Determinante einer symmetrischen Matrix ist korrekt?

Accepted Answer

Die Determinante einer symmetrischen Matrix ist immer positiv.

Answer

Die Determinante einer symmetrischen Matrix ist immer Null.

Answer

Die Determinante einer symmetrischen Matrix ist immer negativ.

Question 39

Berechnen Sie die Determinante der Matrix A = [[a, b], [c, d]]

Accepted Answer

ad - bc

Answer

ac - bd

Answer

bc - ad

Answer

cd - ab

Question 40

Welche der folgenden Aussagen über Determinanten ist wahr?

Accepted Answer

Die Determinante einer Matrix ist eine Invariante gegenüber Zeilen- und Spaltenoperationen.

Answer

Die Determinante einer Matrix ist gleich der Summe ihrer Eigenwerte.

Answer

Die Determinante einer Matrix ist immer positiv.

Question 41

Welche der folgenden Determinanten ist ungleich null?

Accepted Answer

[[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 11]]

Answer

[[1, 1, 1], [1, 1, 1], [1, 1, 1]]

Answer

[[0, 1, 2], [0, 0, 3], [0, 0, 0]]

Answer

[[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]

Question 42

Berechnen Sie die Determinante der Matrix A = [[a, b, c], [d, e, f], [g, h, i]]

Accepted Answer

a(ei - hf) - b(di - gf) + c(dh - ge)

Answer

a(ei + hf) - b(di + gf) + c(dh + ge)

Answer

a(ei - hf) + b(di + gf) - c(dh - ge)

Answer

a(ei + hf) + b(di - gf) - c(dh + ge)

Question 43

Welche der folgenden Matrizen ist eine Diagonalmatrix?

Accepted Answer

1 0 0
0 2 0
0 0 3

Answer

1 2 3
0 4 5
0 0 6

Answer

0 1 2
3 4 5
6 7 8

Answer

1 2 3
4 5 6
7 8 9

Question 44

Berechne die Determinante der Matrix A = [2 3; 5 7].

Accepted Answer

-1

Answer

11

Answer

19

Answer

1

Question 45

Welche der folgenden Aussagen ist über Determinanten richtig?

Accepted Answer

Die Determinante einer Einheitsmatrix ist 1.

Answer

Die Determinante einer Matrix ist gleich der Summe aller ihrer Einträge.

Answer

Die Determinante einer Dreiecksmatrix kann berechnet werden, indem man die Diagonalelemente multipliziert.

Answer

Die Determinante einer symmetrischen Matrix ist immer positiv.

Question 46

Bestimme, ob die Matrix A = [1 2
-3 4] invertierbar ist.

Accepted Answer

Ja

Answer

Nein

Answer

Nur, wenn b = 4

Answer

Nur, wenn a = 3

Question 47

Welche der folgenden Matrizen hat eine Determinante von 0?

Accepted Answer

[1 2
2 4]

Answer

[1 0
0 1]

Answer

[3 -2
1 1]

Answer

[0 1
-1 0]

Question 48

Wie lautet die Determinante der Matrix A = [a b
c d]?

Accepted Answer

ad - bc

Answer

ab + cd

Answer

a + d

Answer

b - c

Question 49

Welche der folgenden Aussagen ist über die Determinante einer Orthogonalmatrix richtig?

Accepted Answer

Sie ist gleich 1 oder -1.

Answer

Sie ist immer positiv.

Answer

Sie ist gleich der Spur der Matrix.

Answer

Sie ist gleich dem Produkt ihrer Eigenwerte.

Question 50

Bestimme die Determinante der Matrix A = [2 1 -1
3 2 0
1 -1 2].

Accepted Answer

11

Answer

22

Answer

33

Answer

-11

Question 51

Welche der folgenden Matrizen ist singulär?

Accepted Answer

[1 2
2 4]

Answer

[1 0
0 1]

Answer

[0 1
-1 0]

Answer

[1 -1
1 1]

Question 52

Welche der folgenden Matrizen ist orthogonal?

Accepted Answer

[1/√2 1/√2
-1/√2 1/√2]

Answer

[1 0
0 -1]

Answer

[2/√3 -1/√3
1/√3 2/√3]

Answer

[0 1
-1 0]