Lineare Algebra: Vektoren und Matrizen - Online-Quiz für Klasse 13

Question 1

Überprüfen Sie, ob die Vektoren **v1**, **v2** und **v3** linear unabhängig sind:

```
v1 = (1, 2, 3)
v2 = (3, 4, 5)
v3 = (2, 3, 4)
```

Accepted Answer

Ja, die Vektoren sind linear unabhängig.

Answer

Nein, die Vektoren sind linear abhängig.

Answer

Die Vektoren sind linear abhängig, da sie alle in der **xy**-Ebene liegen.

Answer

Die Vektoren sind linear unabhängig, da sie alle Einheitsvektoren sind.

Question 2

Sind die Vektoren **a** und **b** orthogonal?
**a** = (1, 2, 3)
**b** = (-2, 4, -6)

Accepted Answer

Ja

Answer

Nein

Question 3

Berechnen Sie die Spur der Matrix $$A = egin{pmatrix} 1 & 2  3 & 5 end{pmatrix}$$ und erläutern Sie ihre Bedeutung.

Accepted Answer

Spur(A) = 6 und gibt Aufschluss über die Eigenwerte von A.

Answer

Spur(A) = 3 und entspricht der Determinante von A.

Answer

Spur(A) = 6 und entspricht dem Rang von A.

Answer

Spur(A) = 6 und gibt Auskunft über die Invertierbarkeit von A.

Question 4

Berechnen Sie die Projektion des Vektors $vec{a} = (1, 2)$ auf den Vektor $vec{b} = (3, 4)$.

Accepted Answer

(3/5, 4/5)

Answer

(1/5, 2/5)

Answer

(3, 4)

Answer

(1, 2)

Question 5

Der Rang einer Matrix beträgt (r). Wie viele linear unabhängige Zeilen oder Spalten besitzt diese Matrix?

Accepted Answer

(r)

Answer

(r^2)

Answer

(r/2)

Answer

(r+1)

Question 6

Berechne den Winkel $alpha$ zwischen den Vektoren $vec{a} = (a_1, a_2)$ und $vec{b} = (b_1, b_2)$ mithilfe des Skalarprodukts.

Accepted Answer

$alpha = arccos left( rac{vec{a} cdot vec{b}}{|vec{a}| cdot |vec{b}|} ight)$

Answer

$alpha = arcsin left( rac{vec{a} cdot vec{b}}{|vec{a}| cdot |vec{b}|} ight)$

Answer

$alpha = arctan left( rac{vec{a} cdot vec{b}}{|vec{a}| cdot |vec{b}|} ight)$

Answer

$alpha = rac{vec{a} cdot vec{b}}{|vec{a}| cdot |vec{b}|} cdot 180°$

Question 7

Beweisen Sie die Aussage: Wenn eine Matrix A invertierbar ist, dann ist ihre Determinante det(A) ungleich Null.

Accepted Answer

Wenn eine Matrix invertierbar ist, dann ist det(A) ungleich Null.

Answer

Wenn eine Matrix invertierbar ist, dann ist det(A) = 1.

Answer

Wenn eine Matrix nicht invertierbar ist, dann ist det(A) = 0.

Answer

Die Determinante einer Matrix ist immer ungleich Null.

Question 8

Welche Aussage über eine Menge linear abhängiger Vektoren ist korrekt?

Accepted Answer

Sie spannen einen Untervektorraum auf.

Answer

Sie bilden eine Basis für einen Vektorraum.

Answer

Ihre Linearkombinationen ergeben immer den Nullvektor.

Answer

Sie haben alle den gleichen Betrag.

Question 9

Sind die Vektoren v1 = (2, 1) und v2 = (-1, 2) eine orthogonale Basis für den zweidimensionalen Vektorraum (R^2)?

Accepted Answer

Ja, denn ihr Skalarprodukt ist 0.

Answer

Nein, denn sie sind linear abhängig.

Answer

Nein, denn sie sind weder orthogonal noch linear unabhängig.

Question 10

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt den Kern einer Matrix A?

Accepted Answer

Ax = 0

Answer

Ax = b

Answer

x^TA = 0

Answer

x^T = 0

Question 11

Welches der folgenden Verfahren dient zur Berechnung des Eigenwertspektrums einer Matrix?

Accepted Answer

QR-Algorithmus

Answer

Gauß-Jordan-Elimination

Answer

LU-Zerlegung

Answer

Cholesky-Zerlegung

Question 12

Welche Aussage zur Definition eines Vektors ist korrekt?

Accepted Answer

Ein Vektor ist eine gerichtete Strecke mit Betrag und Richtung.

Answer

Ein Vektor ist eine Menge von Zahlen, die in einer bestimmten Reihenfolge angeordnet sind.

Answer

Ein Vektor ist eine Gleichung, die eine Gerade beschreibt.

Answer

Ein Vektor ist ein Punkt im Raum.

Question 13

Berechnen Sie die Inverse der Matrix A = [2 -1] 
 [3 1].

Accepted Answer

[1/2 3/2] 
 [-1/2 1/2]

Answer

[1 3] 
 [-2 1]

Answer

[2 1] 
 [-3 -1]

Answer

Nicht invertierbar

Question 14

Welche der folgenden Abbildungen ist linear?

Accepted Answer

f(x) = 2x + 1

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = |x|

Question 15

Welche Matrix ist invertierbar?

Accepted Answer

Eine quadratische Matrix mit vollem Zeilenrang

Answer

Eine Matrix mit einer Nullzeile

Answer

Eine Matrix mit einer Determinante gleich Null

Answer

Eine Matrix mit einer singulären Zerlegung

Question 16

Welche Operation ist für Matrizen nicht kommutativ?

Accepted Answer

Multiplikation

Answer

Addition

Answer

Transposition

Answer

Determinantenbildung

Question 17

Welche Matrix ist symmetrisch?

Accepted Answer

[[1, 2], [2, 1]]

Answer

[[1, 2], [3, 4]]

Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Answer

[[0, 1], [2, 0]]

Question 18

Wie lässt sich anhand der Determinante einer Matrix erkennen, ob ein lineares Gleichungssystem eindeutig lösbar ist?

Accepted Answer

Die Determinante der Koeffizientenmatrix ist ungleich 0.

Answer

Die Determinante der Koeffizientenmatrix ist kleiner als 0.

Answer

Die Determinante der Koeffizientenmatrix ist gleich 0.

Answer

Die Determinante der Koeffizientenmatrix ist größer als 1.

Question 19

Berechne den Betrag des Vektors **v** = (2, -3).

Accepted Answer

√13

Answer

1

Answer

13

Answer

-√13

Question 20

Welche der folgenden Aussagen über Eigenwerte ist richtig?

Accepted Answer

Eigenwerte können komplex sein.

Answer

Eigenwerte sind immer reell.

Answer

Eigenwerte sind immer positiv.

Answer

Eigenwerte sind immer negativ.

Question 21

Welche der folgenden Transformationen ist eine lineare Abbildung?

Accepted Answer

f(x) = 2x + 1

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = sin(x)

Question 22

Ein Vektor im dreidimensionalen Raum hat die Koordinaten (2, -1, 3). Welcher der folgenden Vektoren ist orthogonal zu ihm?

Accepted Answer

(-2, 1, -3)

Answer

(1, 1, 1)

Answer

(3, 2, -1)

Answer

(0, 0, 1)

Question 23

Welche der folgenden Matrizen ist nicht invertierbar?

Accepted Answer

[[0, 1], [0, 0]]

Answer

[[1, 2], [3, 6]]

Answer

[[2, -1], [4, -2]]

Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Question 24

Was beschreibt den Rang einer Matrix korrekt?

Accepted Answer

Anzahl der linear unabhängigen Zeilen oder Spalten

Answer

Anzahl der Zeilen

Answer

Anzahl der Spalten

Answer

Summe der Eigenwerte

Question 25

Wie kann das Skalarprodukt zweier Vektoren im dreidimensionalen Raum genutzt werden, um ihre Orthogonalität zu bestimmen und den Winkel zwischen ihnen zu berechnen?

Accepted Answer

Das Skalarprodukt ist null, wenn die Vektoren orthogonal sind. Sein Betrag entspricht dem Produkt der Vektorlängen mal dem Kosinus des Winkels zwischen ihnen.

Answer

Das Skalarprodukt kann negativ sein, wenn der Winkel zwischen den Vektoren größer als 90 Grad ist.

Answer

Das Skalarprodukt ist nicht gleich dem Kreuzprodukt der Vektoren.

Answer

Das Skalarprodukt kann nicht zur Überprüfung der linearen Abhängigkeit von Vektoren verwendet werden.

Question 26

Welche der folgenden Matrizen ist eine Einheitsmatrix in der Dimension 2x2?

Accepted Answer

[1 0; 0 1]

Answer

[0 1; 1 0]

Answer

[2 0; 0 2]

Answer

[1 2; 3 4]

Question 27

Welche der folgenden Aussagen über Determinanten ist richtig?

Accepted Answer

Alle drei Aussagen sind richtig.

Answer

Die Determinante einer Matrix ist eine Zahl.

Answer

Die Determinante einer Dreiecksmatrix ist gleich dem Produkt ihrer Diagonalelemente.

Answer

Die Determinante einer Matrix ändert sich nicht, wenn man zwei Zeilen oder Spalten vertauscht.

Question 28

Welche der folgenden Eigenschaften trifft auf Vektoren zu?

Accepted Answer

Addition und Multiplikation miteinander

Answer

Nur Multiplikation miteinander, keine Addition

Answer

Nur Addition, keine Multiplikation miteinander

Question 29

Wie lautet die Einheitsmatrix der Ordnung 2?

Accepted Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Answer

[[1, 0], [0, 0]]

Answer

[[0, 1], [1, 0]]

Question 30

Welche der folgenden Operationen ist für Matrizen nicht definiert?

Accepted Answer

Subtraktion

Answer

Multiplikation

Answer

Addition

Question 31

Welcher der folgenden Vektoren ist orthogonal zum Vektor (1, 2, 3)?

Accepted Answer

(-2, 1, 0)

Answer

(1, 2, -3)

Answer

(2, 4, 6)

Answer

(0, 1, -2)

Question 32

Welche der folgenden Matrizen ist symmetrisch?

Accepted Answer

[[1, 2], [2, 1]]

Answer

[[1, 2], [3, 4]]

Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Answer

[[0, 1], [1, 0]]

Question 33

Welche der folgenden Matrizen ist invertierbar?

Accepted Answer

[[2, 1], [3, 2]]

Answer

[[0, 1], [0, 0]]

Answer

[[2, 1], [3, 3]]

Question 34

Welche der folgenden Aussagen über lineare Abbildungen ist korrekt?

Accepted Answer

Eine lineare Abbildung ist eine Abbildung zwischen zwei Vektorräumen, die vektoriellen Operationen, wie Addition und Multiplikation mit einem Skalar, erhält.

Answer

Eine lineare Abbildung erhält die Norm von Vektoren.

Answer

Eine lineare Abbildung ist immer bijektiv.

Answer

Eine lineare Abbildung ist abhängig von der Orientierung des Vektorraums

Question 35

Welche der folgenden Aussagen ist richtig?

Accepted Answer

Ein Vektor kann sowohl eine Richtung als auch eine Länge (auch Betrag genannt) haben.

Answer

Ein Vektor kann nur eine Richtung haben.

Answer

Ein Vektor ist immer parallel zur x-Achse oder y-Achse

Answer

Ein Vektor kann nur eine Länge haben.

Question 36

Welche der folgenden Matrizen ist eine Einheitsmatrix?

Accepted Answer

[1 0; 0 1]

Answer

[1 2; 3 4]

Answer

[2 0; 0 2]

Answer

[0 1; 1 0]

Question 37

Welche der folgenden Aussagen beschreibt Eigenwerte korrekt?

Accepted Answer

Sie sind Lösungen der charakteristischen Gleichung einer Matrix.

Answer

Sie sind immer positiv.

Answer

Sie sind immer reell.

Question 38

Was versteht man unter einem Vektor?

Accepted Answer

Ein gerichtetes Liniensegment.

Answer

Eine Zahl.

Answer

Eine Matrix.

Answer

Eine Funktion.

Question 39

Welche der folgenden Matrizen ist eine Einheitsmatrix?

Accepted Answer

I = [[1, 0], [0, 1]]

Answer

A = [[1, 2], [3, 4]]

Answer

C = [[1, 1], [1, 1]]

Answer

B = [[0, 1], [1, 0]]

Question 40

Welches der folgenden Produkte ist eine skalare Größe?

Accepted Answer

a · b

Answer

A × B

Answer

a × b

Answer

A · B

Question 41

Welche der folgenden Determinanten ist gleich 0?

Accepted Answer

det([[1, 2], [1, 2]])

Answer

det([[2, 3], [4, 5]])

Answer

det([[3, 1], [-1, 2]])

Answer

det([[1, 0], [0, 1]])

Question 42

Welche der folgenden Abbildungen ist linear?

Accepted Answer

f(x) = 2x + 3

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = e^x

Question 43

Welche der folgenden Basen für den Vektorraum R^2 ist orthogonal?

Accepted Answer

{(1, 0), (0, 1)}

Answer

{(2, 3), (4, 5)}

Answer

{(1, 1), (1, -1)}

Question 44

Welche der folgenden Abbildungen ist eine lineare Abbildung?

Accepted Answer

f(x) = 2x + 1

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = |x|

Question 45

Berechnen Sie das Skalarprodukt der Vektoren a = (1, 2, 3) und b = (4, 5, 6)

Accepted Answer

32

Answer

48

Answer

26

Question 46

Welche der folgenden Matrizen ist eine Einheitsmatrix?

Accepted Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Answer

[[1, 2], [3, 4]]

Answer

[[0, 0], [0, 0]]

Answer

[[0, 1], [1, 0]]

Question 47

Welche der folgenden Operationen ist nicht für Matrizen definiert?

Accepted Answer

Division

Answer

Multiplikation

Answer

Subtraktion

Answer

Addition

Question 48

Welche der folgenden Aussagen über das Skalarprodukt zweier Vektoren ist richtig?

Accepted Answer

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist immer eine Zahl.

Answer

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist immer positiv.

Answer

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist immer ein Vektor.

Question 49

Welche der folgenden Matrizen ist eine Diagonalmatrix?

Accepted Answer

[[1, 0, 0], [0, 2, 0], [0, 0, 3]]

Answer

[[1, 0, 2], [0, 1, 0], [2, 0, 1]]

Answer

[[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]

Answer

[[0, 1, 0], [1, 0, 1], [0, 1, 0]]

Question 50

Welche der folgenden Aussagen über den Rang einer Matrix ist richtig?

Accepted Answer

Der Rang einer Matrix ist die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen oder Spalten.

Answer

Der Rang einer Matrix ist immer kleiner oder gleich der Anzahl ihrer Zeilen.

Answer

Der Rang einer Matrix ist immer größer oder gleich der Anzahl ihrer Spalten.

Question 51

Welche der folgenden Transformationen ist eine lineare Transformation?

Accepted Answer

f(x, y) = 2x + 3y

Answer

f(x, y) = sin(x + y)

Answer

f(x, y) = |x - y|

Answer

f(x, y) = x^2 + y^2