Reihen in der Mathematik: Konvergenz, Divergenz und Anwendungen

Question 1

Identifizieren Sie die geometrische Reihe aus folgenden Optionen:

Accepted Answer

∑(n=1 bis unendlich) 1 / (2^(n-1))

Answer

∑(n=1 bis unendlich) (1/n)³

Answer

∑(n=1 bis unendlich) n!

Answer

∑(n=1 bis unendlich) sin(n)

Question 2

Welche der folgenden Reihen konvergiert?

Accepted Answer

∑ (n=1 bis unendlich) (-1)ⁿ/n

Answer

∑ (n=1 bis unendlich) 1/n

Answer

∑ (n=1 bis unendlich) n

Answer

∑ (n=1 bis unendlich) n²

Question 3

Was ist die Summe der geometrischen Reihe 1 + x + x² + x³ + ... ?

Accepted Answer

1/(1-x) für |x| < 1

Answer

1/(1-x) für |x| > 1

Answer

1/(1+x) für |x| < 1

Answer

1/(1+x) für |x| > 1

Question 4

Welche der folgenden Funktionen kann NICHT durch eine Potenzreihe dargestellt werden?

Accepted Answer

ln(x)

Answer

sin(x)

Answer

cos(x)

Answer

eˣ

Question 5

Welche Aussage ist korrekt für eine alternierende Reihe?

Accepted Answer

Sie kann konvergent oder divergent sein.

Answer

Sie ist immer konvergent.

Answer

Sie ist immer divergent.

Answer

Sie konvergiert nur, wenn die Terme monoton fallend sind.

Question 6

Welche Aussage zum Taylorsatz ist falsch?

Accepted Answer

Der Taylorsatz gilt nur für Funktionen, die unendlich oft differenzierbar sind.

Answer

Der Taylorsatz kann verwendet werden, um Funktionen in eine Summe von Potenzfunktionen zu entwickeln.

Answer

Der Restterm des Taylorsatzes gibt den Fehler bei der Approximation der Funktion an.

Answer

Die Koeffizienten der Potenzfunktionen im Taylorsatz können durch Ableitungen der Funktion bestimmt werden.

Question 7

Welche der folgenden Funktionen besitzt an der Stelle x = 0 einen Pol der Ordnung 2?

Accepted Answer

x² / (x-1)^2

Answer

1 / x^2

Answer

1 / (x - 1)

Answer

1 / (x² - 1)

Question 8

Ermittle die Konvergenz der geometrischen Reihe 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...

Accepted Answer

Konvergent gegen 1

Answer

Divergent

Answer

Unbestimmt

Question 9

Was trifft auf die alternierende Reihe 1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ... zu?

Accepted Answer

Sie konvergiert bedingt.

Answer

Sie konvergiert absolut.

Answer

Sie divergiert.

Question 10

Welche Reihenentwicklung stellt die Funktion f(x) = e^x dar?

Accepted Answer

1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...

Answer

1 - x + x^2/2! - x^3/3! + ...

Answer

1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + ...

Answer

1 - 2x + 3x^2 - 4x^3 + ...

Question 11

Ermittle den Konvergenzradius der Potenzreihe 1 + 2x + 4x^2 + 8x^3 + ...

Accepted Answer

1

Answer

1/2

Answer

2

Answer

Unendlich

Question 12

Welche Reihenart wird in der Physik zur Beschreibung von Schwingungen eingesetzt?

Accepted Answer

Fourier-Reihe

Answer

Taylor-Reihe

Answer

Potenzreihe

Answer

Alternierende Reihe

Question 13

Welche der folgenden Reihen ist eine alternierende Reihe?

Accepted Answer

∑(n=1 bis unendlich) ((-1)^n / n)

Answer

∑(n=1 bis unendlich) (1 / n^2)

Answer

∑(n=1 bis unendlich) (e^n)

Answer

∑(n=1 bis unendlich) (cos(n))

Question 14

Welche Aussage beschreibt das Cauchy-Kriterium am besten?

Accepted Answer

Eine Reihe konvergiert genau dann, wenn es ein ε > 0 gibt, sodass für alle N ein M existiert, sodass für alle m, n > M gilt: |a_m - a_n| < ε.

Answer

Eine Reihe divergiert genau dann, wenn es ein ε > 0 gibt, sodass für alle N ein M existiert, sodass für alle m, n > M gilt: |a_m - a_n| > ε.

Answer

Eine Reihe konvergiert genau dann, wenn lim(n->∞) a_n = 0 ist.

Answer

Eine Reihe divergiert genau dann, wenn die Folge der Partialsummen (a_1 + ... + a_n) unbeschränkt ist.

Question 15

Bestimme, ob die folgende Reihe **konvergiert** oder **divergiert**: 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...

Accepted Answer

konvergiert

Answer

divergiert

Question 16

Welches Reihenkriterium liefert die Aussage, dass die Reihe 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... **divergiert**?

Accepted Answer

Minorantenkriterium

Answer

Cauchy-Kriterium

Answer

Majorantenkriterium

Question 17

Bilde die ersten **drei** Terme der Taylor-Reihe für f(x) = e^x im Punkt x = 0.

Accepted Answer

1 + x + x²/2

Answer

x + x²/2 + x³/3

Answer

1 + x² + x³/3

Question 18

Welche Funktion wird durch die Potenzreihe 1 + x + x²/2 + x³/3 + ... **dargestellt**?

Accepted Answer

e^x

Answer

ln(x)

Answer

cos(x)

Question 19

Approximiere die Summe der Reihe 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... mithilfe der ersten **vier** Terme.

Accepted Answer

1,9375

Answer

2

Answer

1,5

Question 20

Welche **Art** von Reihe ist die Reihe 1 + x + x²/2 + x³/3 + ...?

Accepted Answer

geometrische Reihe

Answer

arithmetische Reihe

Answer

harmonische Reihe

Question 21

Gegeben ist die Reihe 1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ... Bestimme ihre Konvergenz mit Hilfe des **Majorantenkriteriums**.

Accepted Answer

konvergiert

Answer

divergiert

Question 22

Welche der folgenden Reihen ist eine alternierende Reihe mit positiven und negativen Gliedern?

Accepted Answer

1 - 1 + 1 - 1 + ...

Answer

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...

Answer

1 + 2 + 3 + 4 + ...

Answer

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...

Question 23

Welche der folgenden Anwendungen von Reihen in der Mathematik ist nicht korrekt?

Accepted Answer

Ermitteln von Primzahlen

Answer

Lösen von Differentialgleichungen

Answer

Berechnen von Integralen

Answer

Approximieren von Funktionen

Question 24

Die geometrische Reihe konvergiert, wenn:

Accepted Answer

|r| < 1

Answer

|r| > 1

Answer

|r| > -1

Answer

immer

Question 25

Eine Potenzreihe mit dem Konvergenzradius 2 ist:

Accepted Answer

∑ (x/2)^n

Answer

∑ (x³)^n

Answer

∑ (x²)^(2n+1)

Answer

∑ (x)^n / n

Question 26

Eine Cauchy-Folge ist eine Folge, deren Glieder:

Accepted Answer

für große n beliebig nahe beieinander liegen.

Answer

gegen 0 konvergieren.

Answer

monoton wachsen.

Answer

gegen unendlich divergieren.

Question 27

Zur Bestimmung der Konvergenz einer alternierenden Reihe kann das folgende Verfahren verwendet werden:

Accepted Answer

Leibniz-Kriterium

Answer

Wurzelkriterium

Answer

Vergleichskriterium

Answer

Quotientenkriterium

Question 28

Wie lautet die Taylor-Reihe für e^x um x = 0?

Accepted Answer

∑_n=0^∞ xⁿ/n!

Answer

∑_n=1^∞ (x-1)ⁿ/n

Answer

∑_n=0^∞ (x-1)ⁿ/n!

Answer

∑_n=1^∞ xⁿ/n

Question 29

Mit welchem Reihenkriterium kann die Divergenz der Reihe ∑_n=1^∞ n/(n²+1) festgestellt werden?

Accepted Answer

Divergenzkriterium des allgemeinen Terms

Answer

Vergleichskriterium

Answer

Quotientenkriterium

Question 30

Welche der folgenden Reihen ist konvergent?

Accepted Answer

Σ(n=1 bis unendlich) (1/n^2)

Answer

Σ(n=1 bis unendlich) (-1)^n

Answer

Σ(n=1 bis unendlich) (n)

Answer

Σ(n=1 bis unendlich) (1/n)

Question 31

Welche der folgenden Reihen ist eine Taylor-Reihe?

Accepted Answer

Σ(n=0 bis unendlich) (x^n)/n!

Answer

Σ(n=1 bis unendlich) (n)

Answer

Σ(n=1 bis unendlich) (1/n)

Question 32

Welche der folgenden Anwendungen von Reihen wird in der Physik verwendet?

Accepted Answer

Lösen von Differentialgleichungen

Answer

Berechnen von Wahrscheinlichkeiten

Answer

Modellieren von Populationswachstum

Question 33

Welche der folgenden Reihen ist eine alternierende Reihe?

Accepted Answer

Σ(n=1 bis unendlich) (-1)^n * (1/n)

Answer

Σ(n=1 bis unendlich) (1/n)

Answer

Σ(n=1 bis unendlich) (1/n^2)

Answer

Σ(n=1 bis unendlich) (n)

Question 34

Welches Reihenkriterium kann verwendet werden, um die Konvergenz der alternierenden Reihe Σ(n=1 bis unendlich) (-1)^n * (1/(2n+1)) zu beweisen?

Accepted Answer

Leibniz-Kriterium

Answer

Quotienten-Kriterium

Answer

n-te Wurzel-Kriterium

Answer

Vergleichs-Kriterium

Question 35

Welche der folgenden Reihen ist eine bedingte konvergente Reihe?

Accepted Answer

Σ(n=1 bis unendlich) (-1)^n

Answer

Σ(n=1 bis unendlich) (1/n^2)

Answer

Σ(n=1 bis unendlich) (1/n)

Answer

Σ(n=1 bis unendlich) (n)

Question 36

Was ist die Taylorentwicklung von e^x um den Punkt x=0?

Accepted Answer

Σ(n=0 bis unendlich) (x^n)/n!

Answer

Σ(n=1 bis unendlich) (-x^n/n)

Answer

Σ(n=1 bis unendlich) (x^n/n)

Answer

Σ(n=0 bis unendlich) (nx^n)

Question 37

Welche der folgenden Aussagen beschreibt eine Reihe korrekt?

Accepted Answer

Eine Reihe ist die Summe einer unendlichen Folge von Termen.

Answer

Eine Reihe konvergiert immer gegen einen bestimmten Wert.

Answer

Eine divergente Reihe hat immer eine endliche Grenze.

Answer

Die Cauchy-Folge ist eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Konvergenz einer Reihe.

Question 38

Bestimmen Sie die Taylor-Entwicklung der Funktion f(x) = e^x um den Punkt x = 0.

Accepted Answer

1 + x + x²/2 + x³/6 + ...

Answer

1 + x + x²/4 + x³/5 + ...

Answer

1 + x + x²/3 + x³/4 + ...

Answer

1 + x + x²/5 + x³/6 + ...

Question 39

Welche Aussage über den Konvergenzradius einer Potenzreihe ist korrekt?

Accepted Answer

Er ist entweder 0 oder ein positiver Wert.

Answer

Er kann negativ sein.

Answer

Er hängt nicht von den Koeffizienten der Reihe ab.

Answer

Er ist immer unendlich.

Question 40

Welche Aussage über die Taylorreihe einer Funktion ist korrekt?

Accepted Answer

Es ist eine unendliche Reihe, die die Funktion lokal um einen bestimmten Punkt approximiert.

Answer

Sie kann nur für Polynomfunktionen verwendet werden.

Answer

Sie konvergiert immer gegen die Funktion.

Question 41

Welches Reihenkriterium kann verwendet werden, um die Divergenz der Reihe ∑ 1 / (2n-1) nachzuweisen?

Accepted Answer

Divergenzkriterium

Answer

Cauchy-Folgen-Kriterium

Answer

Wurzelkriterium

Answer

Quotientenkriterium

Question 42

Welche der folgenden Reihen ist eine Taylor-Reihe?

Accepted Answer

∑ (x-1)^n / n!

Answer

∑ n / (n+1)

Answer

∑ 1 / n²

Answer

∑ (2x)^n

Question 43

Wie lautet die allgemeine Formel für die Summe der ersten n Terme der geometrischen Reihe ∑ arⁿ?

Accepted Answer

a(1-r^n) / (1-r)

Answer

r(1-a^n) / (1-a)

Answer

a(1+r^n) / (1+r)

Question 44

Welche der folgenden Reihen ist eine alternierende Reihe?

Accepted Answer

∑ (-1)^n / (2n+1)

Answer

∑ (x)^n

Answer

∑ n / (n+1)

Answer

∑ 1 / n²

Question 45

Die harmonische Reihe ∑ (n=1 bis ∞) 1/n ist:

Accepted Answer

divergent

Answer

absolut konvergent

Answer

konvergent

Answer

bedingt konvergent

Question 46

Welches Kriterium kann verwendet werden, um die Konvergenz der Reihe ∑ (n=1 bis ∞) (n+1)/(n^2+1) zu untersuchen?

Accepted Answer

Limes-Vergleichskriterium

Answer

Wurzelkriterium

Answer

Leibniz-Kriterium

Answer

Quotientenkriterium

Question 47

Was ist der Konvergenzradius der Potenzreihe ∑ (n=0 bis ∞) x^n/n! ?

Accepted Answer

∞

Answer

1

Answer

-1

Answer

0

Question 48

Die Taylor-Reihe der Funktion f(x) = sin(x) um x = 0 ist:

Accepted Answer

∑ (n=0 bis ∞) (-1)^n x^(2n+1)/(2n+1)!

Answer

∑ (n=0 bis ∞) (-1)^n x^(2n)/(2n)!

Answer

∑ (n=0 bis ∞) x^n/n!

Answer

∑ (n=1 bis ∞) x^n/n

Question 49

Die alternierende harmonische Reihe ∑ (n=1 bis ∞) (-1)^(n+1)/n ist:

Accepted Answer

bedingt konvergent

Answer

harmonisch

Answer

absolut konvergent

Answer

divergent

Question 50

Welches Kriterium kann verwendet werden, um die Konvergenz der Reihe ∑ (n=2 bis ∞) 1/(n ln(n)) zu untersuchen?

Accepted Answer

Integraltest

Answer

Quotientenkriterium

Answer

Leibniz-Kriterium

Question 51

Was ist die Summe der geometrischen Reihe ∑ (n=0 bis ∞) (1/2)^n ?

Accepted Answer

2

Answer

1/2

Answer

1

Question 52

Die Potenzreihe für die Funktion f(x) = 1/(1-x) um x = 0 ist:

Accepted Answer

∑ (n=0 bis ∞) x^n

Answer

∑ (n=0 bis ∞) (-1)^n x^n

Answer

∑ (n=1 bis ∞) (-1)^n x^n

Answer

∑ (n=1 bis ∞) x^n

Question 53

Die Reihe ∑ (n=1 bis ∞) 1/n^2 ist:

Accepted Answer

konvergent

Answer

alternierend

Answer

bedingt konvergent

Answer

divergent

Question 54

Welche der folgenden Reihen konvergiert?

Accepted Answer

Σ (n=1 bis ∞) 1/(n^2)

Answer

Σ (n=1 bis ∞) 1/n

Answer

Σ (n=1 bis ∞) (-1)^n

Answer

Σ (n=1 bis ∞) n

Question 55

Welche der folgenden Reihen ist eine Taylor-Reihe?

Accepted Answer

Σ (n=0 bis ∞) (x-2)^n / n!

Answer

Σ (n=1 bis ∞) 1/n^2

Answer

Σ (n=1 bis ∞) (-1)^n / n

Question 56

Welche der folgenden Reihen ist eine alternierende harmonische Reihe?

Accepted Answer

Σ (n=1 bis ∞) (-1)^n / n

Answer

Σ (n=1 bis ∞) (-1)^n n

Answer

Σ (n=1 bis ∞) 1/n^2

Answer

Σ (n=1 bis ∞) 1/n

Question 57

Welche der folgenden Reihen ist eine geometrische Reihe?

Accepted Answer

Σ (n=0 bis ∞) (1/2)^n

Answer

Σ (n=1 bis ∞) n/(n+1)

Answer

Σ (n=1 bis ∞) n^2

Answer

Σ (n=1 bis ∞) 1/n

Question 58

Welche der folgenden Aussagen über die Reihe Σ (n=1 bis ∞) 1/(n(n+1)) ist korrekt?

Accepted Answer

Sie ist konvergent und hat den Grenzwert 1

Answer

Sie ist konvergent, aber ihr Grenzwert ist unbekannt

Answer

Sie ist bedingt konvergent

Answer

Sie ist divergent

Question 59

Welche der folgenden Reihen ist eine harmonische Reihe?

Accepted Answer

Σ (n=1 bis ∞) 1/n

Answer

Σ (n=1 bis ∞) n

Answer

Σ (n=1 bis ∞) 1/n^2

Question 60

Welche der folgenden Aussagen über die Reihe Σ (n=1 bis ∞) n/(n+1)^2 ist korrekt?

Accepted Answer

Sie ist konvergent

Answer

Sie ist divergent

Answer

Sie ist alternierend konvergent

Answer

Sie ist bedingt konvergent

Question 61

Welche der folgenden Reihen konvergiert?

Accepted Answer

$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$

Answer

$\sum_{n=1}^\infty (-1)^n$

Answer

$\sum_{n=1}^\infty n$

Answer

$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$

Question 62

Welches ist ein gültiges Kriterium, um die Konvergenz einer Reihe zu überprüfen?

Accepted Answer

Quotientenkriterium

Answer

Satz von Rolle

Answer

L'Hospital'sches Regel

Answer

Mittelwertsatz

Question 63

Was ist der Konvergenzradius der Potenzreihe $\sum_{n=0}^\infty x^n$?

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

$\infty$

Answer

-1

Question 64

Die Taylor-Reihe der Funktion $f(x) = e^x$ um den Entwicklungspunkt $x = 0$ ist:

Accepted Answer

$\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$

Answer

$\sum_{n=0}^\infty x^n$

Answer

$\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^n}{n!}$

Answer

$\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n!}$