Funktionen verstehen und anwenden: Online-Quizze für Klasse 13

Question 1

Überprüfe, ob die Funktion g(x) = sin(x) + cos(x) an der Stelle x = π/2 stetig ist.

Accepted Answer

Stetig

Answer

Unstetig, da sin(x) unstetig ist

Answer

Unstetig, da cos(x) unstetig ist

Answer

Überall unstetig

Question 2

Berechne die Ableitung von f(x) = 2x³ + 5x² - 3x + 1.

Accepted Answer

6x² + 10x - 3

Answer

2x³ + 10x - 3

Answer

6x² + 5x - 3

Answer

2x³ + 5x²

Question 3

Bestimmen Sie das Integral von x * e^x mittels partieller Integration.

Accepted Answer

(x - 1) * e^x

Answer

e^x + x - 1

Answer

x^2 * e^x

Answer

e^x - x

Question 4

Begründen Sie, warum die Funktion **f(x) = sin(x) + cos(x)** auf dem Intervall [0, 2π] gleichmäßig stetig ist.

Accepted Answer

Sie ist Lipschitz-stetig mit Konstante 1.

Answer

Sie ist stetig auf dem Intervall.

Answer

Sie ist beschränkt auf dem Intervall.

Question 5

Untersuchen Sie die Konvergenz oder Divergenz der Reihe ∑ (n/(n²+2)).

Accepted Answer

Die Reihe ist konvergent.

Answer

Die Reihe ist divergent.

Answer

Die Reihe ist alternierend und konvergent.

Answer

Die Reihe ist absolut konvergent.

Question 6

Untersuche die Funktion f(x) = |sin(x)| auf Symmetrie, Periodizität und Extrempunkte.

Accepted Answer

f(x) ist ungerade und hat die Periode 2π.

Answer

f(x) ist gerade und hat die Periode π.

Answer

f(x) ist weder symmetrisch noch periodisch.

Answer

f(x) ist gerade und hat die Periode 4π.

Question 7

Die Fläche unter der Kurve der Funktion f(x) = x^2 zwischen x = 0 und x = 2 beträgt:

Accepted Answer

4

Answer

1

Answer

2

Answer

8

Question 8

Welche der folgenden Folgen konvergiert?

Accepted Answer

a_n = n^2/(n+1)

Answer

a_n = (-1)^n

Answer

a_n = n

Answer

a_n = sin(n)

Question 9

Welche Aussage über die Funktion f(x) = x³ - 4x² + 4x beschreibt ihr Verhalten korrekt?

Accepted Answer

Sie hat ein lokales Minimum bei x = 0.

Answer

Sie hat ein lokales Maximum bei x = 2.

Answer

Sie ist für alle x monoton steigend.

Answer

Sie ist für alle x monoton fallend.

Question 10

Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = e^(2x) + sin(x).

Accepted Answer

2e^(2x) + cos(x)

Answer

2e^(2x) - cos(x)

Answer

-2e^(2x) + cos(x)

Answer

e^(2x) - sin(x)

Question 11

Welche der folgenden Funktionen ist die Stammfunktion von f(x) = 1 / x?

Accepted Answer

ln(x) + C

Answer

ln(x) - C

Answer

1 / x + C

Answer

-1 / x + C

Question 12

Welche der folgenden Rollen spielt die Steigung einer Tangente an eine Funktion?

Accepted Answer

Sie gibt den Änderungsgrad der Funktion an einem Punkt an.

Answer

Sie gibt die Richtung der Funktion an einem Punkt an.

Answer

Sie gibt das lokale Extremum der Funktion an einem Punkt an.

Answer

Sie gibt den Krümmungsradius der Funktion an einem Punkt an.

Question 13

Was ist eine analytische Funktion?

Accepted Answer

Eine Funktion, die sich lokal durch eine Potenzreihe darstellen lässt.

Answer

Eine Funktion, die durch eine Formel ausgedrückt werden kann.

Answer

Eine Funktion, die auf ihrem gesamten Definitionsbereich stetig ist.

Answer

Eine Funktion, die auf ihrem gesamten Definitionsbereich differenzierbar ist.

Question 14

Welche der folgenden Funktionen ist eine rationale Funktion?

Accepted Answer

f(x) = (x - 1) / x

Answer

f(x) = x² + 1

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = sin(x)

Question 15

Was ist das Ziel einer asymptotischen Untersuchung einer Funktion?

Accepted Answer

Das Verhalten der Funktion für x -> ∞ und x -> -∞ zu bestimmen.

Answer

Das Verhalten der Funktion für x -> 0 zu bestimmen.

Answer

Den Grenzwert der Funktion zu bestimmen.

Answer

Die Steigung der Funktion zu bestimmen.

Question 16

Die Tangente an die Funktion f(x) = e^x im Punkt (0, 1) hat die Gleichung:

Accepted Answer

y = x + 1

Answer

y = x

Answer

y = 1

Answer

y = 2x + 1

Question 17

Eine Normalverteilung hat einen Erwartungswert von 80 und eine Standardabweichung von 10. Wie viel Prozent der Daten liegen zwischen 70 und 90?

Accepted Answer

34,1%

Answer

95,4%

Answer

50%

Answer

100%

Question 18

Berechnen Sie die Ableitung der Funktion f(x) = (x^2 + 3x - 2) / (x - 1) mithilfe der Quotientenregel.

Accepted Answer

f'(x) = ((2x + 3)(x - 1) - (x^2 + 3x - 2)) / (x - 1)^2

Answer

f'(x) = ((2x + 3)(x - 1) + (x^2 + 3x - 2)) / (x - 1)^2

Answer

f'(x) = (2x + 3) / (x - 1)

Answer

f'(x) = (x^2 + 3x - 2) / (x - 1)

Question 19

Welcher der folgenden Grenzwerte existiert **nicht**?

Accepted Answer

lim (x->2) ((x-2)²/(x-2))

Answer

lim (x->∞) (1/x)

Answer

lim (x->0) (sin(x)/x)

Question 20

Die Ableitung der Funktion f(x) = x² + 3x - 5 lautet:

Accepted Answer

2x + 3

Answer

2x - 3

Answer

x² + 3

Question 21

Die Tangente an den Graphen der Funktion f(x) = x³ - 2x² im Punkt (1,0) hat die Gleichung:

Accepted Answer

y = x - 1

Answer

y = x + 1

Answer

y = 2x - 1

Question 22

Welche der folgenden Integrale entspricht dem Flächeninhalt zwischen dem Graphen der Funktion f(x) = x² und der x-Achse im Intervall [0, 1]?

Accepted Answer

∫[0,1] x² dx

Answer

∫[0,1] |x²| dx

Answer

∫[0,1] (x² - 1) dx

Question 23

Welche Aussage über Grenzwerte ist **nicht** korrekt?

Accepted Answer

Eine Funktion kann an einem Punkt mehrere Grenzwerte besitzen.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion ist der Wert, dem sich die Funktionswerte annähern, wenn sich das Argument der Funktion einem bestimmten Wert nähert.

Answer

Wenn eine Funktion an einem Punkt stetig ist, dann ist ihr Grenzwert an diesem Punkt gleich dem Funktionswert.

Answer

Der Grenzwert einer Summe ist gleich der Summe der Grenzwerte.

Question 24

Welche Funktion ist **nicht** ableitbar?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x^3

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Question 25

Wie lautet die Ableitung der Funktion f(x) = 2x^2 - 3x + 1?

Accepted Answer

f'(x) = 4x - 3

Answer

f'(x) = 2x

Answer

f'(x) = 6x - 3

Answer

f'(x) = 6x + 3

Question 26

Wie lautet das Integral der Funktion f(x) = x^3?

Accepted Answer

f(x) = x^4/4 + C

Answer

f(x) = x^4 + C

Answer

f(x) = 3x^2 + C

Answer

f(x) = 1/4 x^3 + C

Question 27

Was ist eine Potenzreihe?

Accepted Answer

Eine unendliche Reihe, die eine Funktion in der Umgebung eines Punktes darstellt.

Answer

Eine endliche Reihe, die eine Funktion für alle Werte des Arguments darstellt.

Answer

Eine Reihe, die nur für Polynomfunktionen gilt.

Answer

Eine Reihe, die nur für trigonometrische Funktionen gilt.

Question 28

Welche Funktion ist **nicht** differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Question 29

Prüfen Sie, ob die Funktion f(x) = x^3 - 2x + 1 an der Stelle x = 1 stetig ist. (Hinweis: Überprüfen Sie Stetigkeit nach der Epsilon-Delta-Definition.)

Accepted Answer

Ja

Answer

Nur rechtsseitig stetig

Answer

Nur linksseitig stetig

Answer

Nein

Question 30

Welche der folgenden Funktionen ist eine Stammfunktion von f(x) = e^x?

Accepted Answer

e^x + C

Answer

xe^x

Answer

x^2e^x

Answer

e^-x

Question 31

Geben Sie die Differentialgleichung an, deren Lösungen die Funktionen sind, die der Gleichung y'' - 2y' + y = 0 genügen.

Accepted Answer

y'' - 2y' + y = 0

Answer

y'' - 2y' - y = 0

Answer

y'' + 2y' - y = 0

Answer

y'' + 2y' + y = 0

Question 32

An welcher Stelle ist die Funktion f(x) = |x - 2| nicht stetig?

Accepted Answer

x = 2

Answer

x = 1

Answer

x = -2

Answer

x = 0

Question 33

Die Ableitung der Funktion f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 1 ist:

Accepted Answer

f'(x) = 3x^2 + 4x - 5

Answer

f'(x) = x^2 + 4x - 5

Answer

f'(x) = 3x^2 + 2x - 5

Answer

f'(x) = 2x^2 + 4x - 5

Question 34

Der Hochpunkt der Funktion f(x) = -x^2 + 4x - 3 ist:

Accepted Answer

(2, 1)

Answer

(-2, -7)

Answer

(0, -3)

Answer

(4, 5)

Question 35

Die Ableitung der Funktion f(x) = |x| ist:

Accepted Answer

f'(x) = { 1 für x > 0, -1 für x < 0}

Answer

f'(x) = 2x

Answer

f'(x) = x

Answer

f'(x) = |x - 1|

Question 36

Welche der folgenden Funktionen ist nicht differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x³

Question 37

Bestimme die Bogenlänge des Graphen der Funktion f(x) = x³ + 1 zwischen x = 0 und x = 1.

Accepted Answer

√(10/3)

Answer

√(2)

Answer

10/3

Answer

2

Question 38

Welche der folgenden Aussagen trifft auf die Funktion  f(x) = x² + 2x - 3  zu?

Accepted Answer

Die Funktion hat ein Minimum bei x = -1.

Answer

Die Funktion ist streng monoton steigend.

Answer

Die Funktion hat ein Maximum bei x = -1.

Answer

Die Funktion hat eine Nullstelle bei x = 1.

Question 39

Welcher der folgenden Grenzwerte **existiert nicht**?

Accepted Answer

lim_(x->0) 1/x

Answer

lim_(x->∞) 1/x

Answer

lim_(x->0) sin(x)/x

Answer

lim_(x->1) (x² - 1)/(x - 1)

Question 40

Eine Funktion f(x) ist an der Stelle x = a stetig, wenn:

Accepted Answer

Der Grenzwert von f(x) für x gegen a existiert und gleich f(a) ist.

Answer

Die Funktion an der Stelle x = a differenzierbar ist.

Answer

Die Funktion an der Stelle x = a einen Wert hat.

Answer

Die Funktion an der Stelle x = a definiert ist.

Question 41

Welche der folgenden Funktionen ist eine Exponentialfunktion?

Accepted Answer

f(x) = 2^x

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = x + 2

Question 42

Welche der folgenden Aussagen über Grenzwerte ist **falsch**?

Accepted Answer

Der Grenzwert einer Funktion existiert immer.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion kann von der Richtung abhängen, aus der man sich dem Grenzwert nähert.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion kann existieren, obwohl die Funktion an der Stelle des Grenzwerts nicht definiert ist.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion kann unendlich sein.

Question 43

Die Funktion f(x) = 1/x ist an der Stelle x = 0...

Accepted Answer

nicht stetig.

Answer

differenzierbar.

Answer

stetig.

Question 44

Der maximale Wert der Funktion f(x) = -x² + 4x - 3 im Intervall [0, 3] wird angenommen bei:

Accepted Answer

x = 2

Answer

x = 1

Answer

x = 0

Answer

x = 3

Question 45

Berechnen Sie den Grenzwert von lim (x→∞) (2x² - 3x + 1) / (x² - 2x).

Accepted Answer

2

Answer

-1

Answer

-2

Answer

0

Question 46

Welche der folgenden Funktionen ist die Ableitung von f(x) = sin²(x)?

Accepted Answer

2sin(x)cos(x)

Answer

-sin²(x)cos(x)

Answer

sin²(x)cos(x)

Answer

-2sin(x)cos(x)

Question 47

Bestimmen Sie die Extrempunkte der Funktion f(x) = -x³ + 3x² - 2x + 1.

Accepted Answer

Maximum: (1, 3), Minimum: (2, -3)

Answer

Maximum: (2, 3), Minimum: (1, -3)

Answer

Maximum: (1, -3), Minimum: (2, 3)

Answer

Es gibt keine Extrempunkte.

Question 48

Welche der folgenden Aussagen ist über die Funktion f(x) = e^(-x²) korrekt?

Accepted Answer

Sie ist für alle x > 0 streng monoton steigend.

Answer

Sie besitzt einen Hochpunkt bei x = 0.

Answer

Sie ist für alle x streng monoton fallend.

Answer

Sie ist konstant.

Question 49

Bestimmen Sie die Taylorreihe der Funktion f(x) = cos(x) um den Punkt x = π/2.

Accepted Answer

Σ((-1)^n / (2n)! * (x - π/2)^2n

Answer

Σ((1)^n / (2n + 1)! * (x - π/2)^2n

Answer

Σ((1)^n / (2n)! * (x - π/2)^2n

Answer

Σ((-1)^n / (2n + 1)! * (x - π/2)^2n

Question 50

Welche der folgenden Funktionen ist die Stammfunktion von f(x) = sin(x) + x?

Accepted Answer

-cos(x) + (x²/2) + C

Answer

-sin(x) - (x²/2) + C

Answer

sin(x) - (x²/2) + C

Answer

cos(x) + (x²/2) + C

Question 51

Berechnen Sie das Integral ∫(x³ + 2x²)dx.

Accepted Answer

(x⁴/4) + (2x³/3) + C

Answer

(x⁴/4) - (2x³/3) + C

Answer

(x⁴/3) - (2x²/3) + C

Answer

(x⁴/3) + (2x²/3) + C

Question 52

Welche der folgenden Funktionen hat die gleiche Ableitung wie f(x) = ln(x)?

Accepted Answer

1/x

Answer

e^x

Answer

x²

Answer

x

Question 53

Welche der folgenden Aussagen ist über die Funktion f(x) = |x| nicht korrekt?

Accepted Answer

Sie ist an der Stelle x = 0 stetig differenzierbar.

Answer

Sie ist überall streng monoton.

Answer

Sie ist eine ungerade Funktion.

Answer

Ihr Graph ist symmetrisch zur y-Achse.