Optimierungsprobleme in Mathematik Klasse 12: Interaktive Übungen und Quizze

Question 1

Welches der folgenden Verfahren ist eine numerische Methode zur Lösung nichtlinearer Optimierungsprobleme?

Accepted Answer

Gradienten-Verfahren

Answer

Simplex-Verfahren

Answer

Lagrange-Multiplikatoren

Answer

Zufällige Suche

Question 2

Welche der folgenden Aussagen über lineare Optimierungsprobleme ist richtig?

Accepted Answer

Die Zielfunktion ist linear in den Entscheidungsvariablen.

Accepted Answer

Die Entscheidungsvariablen sind stets nicht-negativ.

Accepted Answer

Der zulässige Lösungsraum ist immer ein konvexes Polyeder.

Answer

Das Simplexverfahren findet immer eine optimale Lösung.

Question 3

Welches Verfahren eignet sich speziell für die Lösung linearer Optimierungsprobleme?

Accepted Answer

Simplexverfahren

Answer

Gradientenverfahren

Answer

Lagrange-Multiplikatoren

Answer

Heuristische Verfahren

Question 4

Welches Verfahren ist für die schrittweise Lösung nichtlinearer Optimierungsprobleme geeignet?

Accepted Answer

Gradienten-Verfahren

Answer

Simplex-Verfahren

Answer

Lagrange-Multiplikatoren

Answer

Lineare Regression

Question 5

Welche der folgenden Aussagen beschreibt korrekt ein lineares Optimierungsproblem?

Accepted Answer

Minimierung einer linearen Zielfunktion unter linearen Nebenbedingungen

Answer

Maximierung einer quadratischen Zielfunktion ohne Nebenbedingungen

Answer

Minimierung einer exponentiellen Zielfunktion mit nichtlinearen Nebenbedingungen

Answer

Maximierung einer gebrochen-linearen Zielfunktion mit ganzzahligen Nebenbedingungen

Question 6

Welches der folgenden Lösungsverfahren ist für lineare Optimierungsprobleme geeignet?

Accepted Answer

Simplex-Verfahren

Answer

Gradientenabstiegsverfahren

Answer

Lagrange-Multiplikatoren

Answer

Branch-and-Bound-Verfahren

Question 7

Betrachte das folgende Optimierungsproblem: 
Maximieren Sie f(x,y) = xy unter der Nebenbedingung x + y ≤ 10. 
Welche Kombination von x und y maximiert die Zielfunktion?

Accepted Answer

(x = 5, y = 5)

Answer

(x = 0, y = 10)

Answer

(x = 10, y = 0)

Answer

(x = 6, y = 4)

Question 8

Welcher der folgenden Begriffe beschreibt die Menge aller zulässigen Lösungen eines Optimierungsproblems?

Accepted Answer

Machbarkeitsbereich

Answer

Definitionsmenge

Answer

Optimallösung

Answer

Zielraum

Question 9

Was ist das Ziel eines Minimierungsproblems?

Accepted Answer

Den kleinstmöglichen Wert der Zielfunktion finden

Answer

Den größtmöglichen Wert der Zielfunktion finden

Answer

Die Nebenbedingungen erfüllen

Answer

Die Definitionsmenge bestimmen

Question 10

Welches der folgenden Lösungsverfahren eignet sich am besten zur Lösung linearer Optimierungsprobleme?

Accepted Answer

Simplex-Verfahren

Answer

Newton-Verfahren

Answer

Gradientenverfahren

Answer

Genetischer Algorithmus

Question 11

Was versteht man unter der zulässigen Lösungsmenge eines Optimierungsproblems?

Accepted Answer

Gesamtheit aller Werte der Variablen, die die Nebenbedingungen erfüllen

Answer

Gesamtheit aller möglichen Werte der Variablen

Answer

Gesamtheit aller Werte der Variablen, die die Zielfunktion maximieren

Answer

Gesamtheit aller Werte der Variablen, die die Zielfunktion minimieren

Question 12

Was ist das primäre Ziel eines Optimierungsproblems?

Accepted Answer

Ermittlung eines optimalen Werts der Zielfunktion

Answer

Ermittlung des größten Werts der Zielfunktion

Answer

Ermittlung des kleinsten Werts der Zielfunktion

Answer

Ermittlung eines beliebigen Werts der Zielfunktion

Question 13

Welche Aussage trifft auf nichtlineare Optimierungsprobleme zu?

Accepted Answer

Sie können mehrere lokale Optima aufweisen.

Answer

Sie haben immer eine eindeutige Lösung.

Answer

Sie können mit den gleichen Methoden wie lineare Optimierungsprobleme gelöst werden.

Answer

Sie sind immer konvexe Probleme.

Question 14

Was stellt der Gradient einer Funktion dar?

Accepted Answer

Einen Vektor in Richtung des steilsten Anstiegs

Answer

Eine Konstante, die die Steigung angibt

Answer

Die Ableitung der Funktion

Answer

Das Integral der Funktion

Question 15

Welches numerische Verfahren wird häufig zur Lösung nichtlinearer Optimierungsprobleme eingesetzt?

Accepted Answer

Newton-Raphson-Verfahren

Answer

Gauss-Seidel-Verfahren

Answer

Jacobi-Verfahren

Answer

SOR-Verfahren

Question 16

Was ist die Lagrange-Funktion?

Accepted Answer

Eine Funktion, die die Zielfunktion und die Nebenbedingungen kombiniert

Answer

Eine Funktion, die die Zielfunktion maximiert

Answer

Eine Funktion, die die Zielfunktion minimiert

Answer

Eine Funktion, die die Nebenbedingungen erfüllt

Question 17

Welche Aussage über konvexe Optimierungsprobleme ist korrekt?

Accepted Answer

Sie können mit Hilfe konvexer Optimierungsalgorithmen effizient gelöst werden.

Answer

Sie haben immer eine eindeutige Lösung.

Answer

Sie treten nur in linearen Optimierungsproblemen auf.

Answer

Sie sind immer nichtlineare Probleme.

Question 18

Welcher Lösungsansatz wird speziell für lineare Optimierungsprobleme verwendet?

Accepted Answer

Simplex-Verfahren

Answer

Gradientenverfahren

Answer

Lagrange-Multiplikatoren

Question 19

Welche Art von Optimierungsproblem liegt vor, wenn sowohl die Zielfunktion als auch die Nebenbedingungen lineare Funktionen sind?

Accepted Answer

Lineare Optimierung

Answer

Nichtlineare Optimierung

Answer

Quadratische Programmierung

Question 20

Welche Aussage über konvexe Funktionen ist korrekt?

Accepted Answer

Der Graph einer konvexen Funktion liegt immer oberhalb der Sekantenverbindungslinie zwischen zwei beliebigen Punkten.

Answer

Eine konvexe Funktion hat an jedem Punkt einen positiven Gradienten.

Answer

Eine konvexe Funktion kann keine lokalen Maxima haben.

Question 21

In welcher Phase des Simplex-Verfahrens wird eine zulässige Ausgangslösung gefunden?

Accepted Answer

Phase 1

Answer

Phase 2

Answer

Pivot-Schritt

Question 22

Welche der folgenden Funktionen ist nicht konvex?

Accepted Answer

-x^2

Answer

x^2

Answer

e^x

Question 23

Welche der folgenden Methoden zur Lösung nichtlinearer Optimierungsprobleme verwendet Informationen über den Gradienten?

Accepted Answer

Gradientenverfahren

Answer

Simplex-Verfahren

Answer

Quadratische Programmierung

Question 24

Welches Verfahren eignet sich zur Lösung linearer Optimierungsprobleme mit linearen Nebenbedingungen?

Accepted Answer

Simplexverfahren

Answer

Goldener Schnitt

Answer

Gradientenverfahren

Answer

Monte-Carlo-Simulation

Question 25

Welche Nebenbedingung beschreibt, dass eine Variable nicht negativ sein darf?

Accepted Answer

x ≥ 0

Answer

x > 0

Answer

x ≤ 0

Answer

x < 0

Question 26

Welche Aussage beschreibt eine konvexe Funktion korrekt?

Accepted Answer

Ihr Graph ist nach oben gekrümmt.

Answer

Ihr Graph ist nach unten gekrümmt.

Answer

Ihr Graph kann sowohl nach oben als auch nach unten gekrümmt sein.

Answer

Ihr Graph ist immer eine gerade Linie.

Question 27

Welche Beziehung besteht zwischen einer konvexen Funktion und ihrem lokalen Minimum?

Accepted Answer

Das lokale Minimum ist auch das globale Minimum.

Answer

Das lokale Minimum ist nicht unbedingt das globale Minimum.

Answer

Die Funktion hat kein globales Minimum.

Answer

Die Funktion hat mehrere globale Minima.

Question 28

Welcher Begriff beschreibt eine Variable, deren Wert sich nicht ändert?

Accepted Answer

Konstante

Answer

Entscheidungsvariable

Answer

Zielfunktion

Answer

Nebenbedingung

Question 29

Welches der folgenden Optimierungsprobleme ist ein lineares Problem?

Accepted Answer

Minimierung einer linearen Funktion unter linearen Nebenbedingungen

Answer

Minimierung einer quadratischen Funktion unter linearen Nebenbedingungen

Answer

Minimierung einer nichtlinearen Funktion unter linearen Nebenbedingungen

Answer

Maximierung einer nichtlinearen Funktion unter nichtlinearen Nebenbedingungen

Question 30

Welcher der folgenden Begriffe beschreibt die Menge aller zulässigen Lösungen eines Optimierungsproblems?

Accepted Answer

zulässiger Bereich

Answer

Definitionsbereich

Answer

Lösungsmenge

Answer

Extremwertbereich

Question 31

Welches der folgenden Konzepte ist bei nichtlinearen Optimierungsproblemen relevant?

Accepted Answer

Konvexität

Answer

Linearität

Answer

Symmetrie

Answer

Normalverteilung

Question 32

Welche Methoden eignen sich zur Lösung linearer Optimierungsprobleme mit zwei Variablen?

Accepted Answer

Grafische Lösung

Accepted Answer

Simplex-Verfahren

Answer

Ableitungsverfahren

Answer

Polynomdivision

Question 33

Welches Lösungsverfahren eignet sich für lineare Optimierungsprobleme?

Accepted Answer

Simplex-Verfahren

Answer

Goldener Schnitt

Answer

Gradientenverfahren

Answer

Newtonsche Methode

Question 34

Was ist das Ziel einer Optimierungsaufgabe?

Accepted Answer

Den größten oder kleinsten Wert einer Zielfunktion zu ermitteln

Answer

Die Ableitung der Zielfunktion zu berechnen

Answer

Die Nullstellen der Zielfunktion zu bestimmen

Answer

Die Integrationskonstante der Zielfunktion zu ermitteln

Question 35

Welche der folgenden Funktionen ist linear?

Accepted Answer

f(x) = 2x + 1

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = eˣ

Answer

f(x) = ln(x)

Question 36

Welche Aussage über den Gradienten einer Zielfunktion ist richtig?

Accepted Answer

Er zeigt in die Richtung des stärksten Anstiegs der Zielfunktion

Answer

Er ist über den gesamten Definitionsbereich der Zielfunktion konstant

Answer

Er ist immer positiv

Answer

Er ist immer negativ

Question 37

In welcher Phase des Simplex-Verfahrens wird eine zulässige Basis bestimmt?

Accepted Answer

Phase 1

Answer

Phase 2

Answer

Phase 3

Answer

Es gibt keine Phasen

Question 38

Welches Anwendungsbeispiel ist ein nichtlineares Optimierungsproblem?

Accepted Answer

Ermittlung der optimalen Wurfhöhe

Answer

Maximierung des Umsatzes einer Firma

Answer

Minimierung der Kosten einer Produktion

Answer

Berechnung der kürzesten Verbindung zweier Punkte

Question 39

Welches Kriterium muss an einem Extrempunkt einer Zielfunktion erfüllt sein?

Accepted Answer

Die erste Ableitung ist null

Answer

Die zweite Ableitung ist positiv

Answer

Die dritte Ableitung ist negativ

Answer

Die Ableitung ist nicht definiert

Question 40

Was ist eine Nebenbedingung in einer Optimierungsaufgabe?

Accepted Answer

Eine zusätzliche Gleichung oder Ungleichung, die die zulässigen Lösungen einschränkt

Answer

Eine Funktion, die die Zielfunktion minimiert

Answer

Eine Variable, die die Zielfunktion maximiert

Answer

Ein Parameter, der die Zielfunktion verändert

Question 41

In welcher Anwendung kann lineare Optimierung zur Bestimmung der optimalen Zusammensetzung einer Futtermischung eingesetzt werden?

Accepted Answer

Tierernährung

Answer

Betriebswirtschaft

Answer

Bauwesen

Answer

Maschinenbau

Question 42

Welches Verfahren ist optimal für die Lösung linearer Optimierungsprobleme?

Accepted Answer

Simplexverfahren

Answer

Gradientenverfahren

Answer

Newtonsche Methode

Answer

Zufallsverfahren

Question 43

Welches Verfahren wird verwendet, um den Scheitelpunkt eines zulässigen Polyeders zu finden?

Accepted Answer

Simplex-Verfahren

Answer

Gradientenabstiegsverfahren

Answer

Newton-Verfahren

Answer

Lagrange-Multiplikatoren-Verfahren

Question 44

Welche der folgenden Aussagen über nichtlineare Optimierungsprobleme ist falsch?

Accepted Answer

Es kann nur ein lokales Optimum geben.

Answer

Die Zielfunktion kann eine nichtlineare Funktion sein.

Answer

Die Nebenbedingungen können nichtlineare Funktionen sein.

Answer

Die Lösungsmenge ist eine Teilmenge der zulässigen Menge.

Question 45

Welche der folgenden Aussagen über Lagrange-Multiplikatoren ist richtig?

Accepted Answer

Sie können verwendet werden, um Nebenbedingungen mit Gleichheitszeichen in die Zielfunktion einzubeziehen.

Answer

Sie sind immer gleich Null im Optimum.

Answer

Sie geben die Steigung der Zielfunktion an.

Answer

Sie sind immer positiv.

Question 46

Welche Methode eignet sich zur Lösung nichtlinearer Optimierungsaufgaben?

Accepted Answer

Gradientenabstiegsverfahren

Answer

Simplex-Algorithmus

Answer

Lineare Programmierung

Answer

Branch-and-Bound-Verfahren

Question 47

Wie lautet die Lagrange-Funktion?

Accepted Answer

Die Summe aus Zielfunktion und Nebenbedingungen.

Answer

Die Differenz aus Zielfunktion und Nebenbedingungen.

Answer

Das Produkt aus Zielfunktion und Nebenbedingungen.

Answer

Der Quotient aus Zielfunktion und Nebenbedingungen.

Question 48

Welche Aussage zur ganzzahligen linearen Programmierung ist korrekt?

Accepted Answer

Sie hat nur ganzzahlige Lösungen, wenn die Zielfunktion und die Nebenbedingungen ganzzahlige Koeffizienten haben.

Answer

Sie hat immer ganzzahlige Lösungen.

Answer

Sie hat immer nicht-ganzzahlige Lösungen.

Answer

Sie hat nur nicht-ganzzahlige Lösungen, wenn die Zielfunktion und die Nebenbedingungen ganzzahlige Koeffizienten haben.

Question 49

Was ist der Unterschied zwischen einem lokalen und einem globalen Optimum?

Accepted Answer

Ein lokales Optimum ist das beste Ergebnis für einen Teil des Suchraums, während ein globales Optimum das beste Ergebnis für den gesamten Suchraum ist.

Answer

Ein lokales Optimum ist immer besser als ein globales Optimum.

Answer

Ein globales Optimum ist immer besser als ein lokales Optimum.

Answer

Ein lokales Optimum ist das schlechteste Ergebnis, während ein globales Optimum das beste Ergebnis ist.

Question 50

Welches Lösungsverfahren für nichtlineare Optimierungsprobleme basiert auf der Berechnung der Ableitung der Zielfunktion?

Accepted Answer

Gradientenverfahren

Answer

Simplexverfahren

Answer

Branch-and-Bound-Verfahren

Answer

Dynamische Programmierung

Question 51

Welche mathematische Transformation wird verwendet, um eine nichtlineare Optimierungsaufgabe in eine lineare Optimierungsaufgabe umzuwandeln?

Accepted Answer

Linearisierung

Answer

Separation

Answer

Relaxation

Answer

Dualisierung

Question 52

Welches Optimierungsproblem ergibt sich bei der Minimierung des Gesamtbestands in einem Lager?

Accepted Answer

Lagerhaltungsproblem

Answer

Transportproblem

Answer

Zuordnungsproblem

Answer

Routenproblem

Question 53

Welches Verfahren wird zur Lösung linearer Optimierungsprobleme verwendet?

Accepted Answer

Simplex-Verfahren

Answer

Quadratische Programmierung

Answer

Innere-Punkt-Methode

Question 54

Welche der folgenden Aussagen zu nichtlinearen Optimierungsproblemen ist zutreffend?

Accepted Answer

Sie können mehrere lokale Optima aufweisen.

Answer

Sie lassen sich mit denselben Methoden lösen wie lineare Optimierungsprobleme.

Answer

Sie haben immer eine eindeutige Lösung.

Question 55

Bei einem Optimierungsproblem mit Zielfunktion f(x) und Nebenbedingungen g(x) <= 0 stellt die Lagrange-Funktion L(x, λ) dar:

Accepted Answer

f(x) + λ * g(x)

Answer

-f(x) + λ * g(x)

Answer

-λ * f(x) + g(x)

Answer

f(x) - λ * g(x)

Question 56

Welche Optimierungstechnik basiert auf dem Prinzip der iterativen Verbesserung?

Accepted Answer

Gradientenverfahren

Answer

Quadratische Programmierung

Answer

Innere-Punkt-Methode

Answer

Simplex-Verfahren

Question 57

Ein Unternehmen möchte die Produktion zweier Produkte maximieren, die unter Verwendung der Ressourcen x und y hergestellt werden. Die Zielfunktion lautet P(x, y) = 2x + 3y. Die Nebenbedingungen sind x >= 0, y >= 0 und 2x + y <= 10. Mit welcher Methode kann dieses Problem gelöst werden?

Accepted Answer

Lineare Programmierung

Answer

Nichtlineare Programmierung

Answer

Zufällige Suche

Answer

Dynamische Programmierung

Question 58

Welche der folgenden Aussagen zu Optimierungsproblemen mit mehreren Zielen ist korrekt?

Accepted Answer

Es ist nicht möglich, ein optimales Ergebnis für alle Ziele gleichzeitig zu erreichen.

Answer

Sie haben immer eine eindeutige Lösung.

Answer

Sie können immer durch lineare Programmierung gelöst werden.

Question 59

Ein Unternehmen möchte die Produktionskosten für ein Produkt minimieren. Die Kostenfunktion lautet C(x) = x^2 + 2x + 1. Welche Methode kann verwendet werden, um das optimale Produktionsniveau x zu finden?

Accepted Answer

Ableitungsverfahren

Answer

Simplex-Verfahren

Answer

Lagrange-Multiplikatoren

Question 60

Welche der folgenden Aussagen zu heuristischen Optimierungsverfahren ist richtig?

Accepted Answer

Sie liefern zwar möglicherweise nicht die optimale Lösung, können aber rasch brauchbare Ergebnisse liefern.

Answer

Sie sind immer besser als exakte Verfahren.

Answer

Sie können nur für lineare Optimierungsprobleme verwendet werden.

Question 61

Ein Netzwerk besteht aus Knoten und Kanten, die mit Gewichten versehen sind. Ziel ist es, den kürzesten Weg zwischen zwei bestimmten Knoten zu finden. Welche Optimierungstechnik kann verwendet werden, um dieses Problem zu lösen?

Accepted Answer

Dijkstra-Algorithmus

Answer

Quadratische Programmierung

Answer

Simplex-Verfahren

Answer

Lagrange-Multiplikatoren

Question 62

Welche der folgenden Aussagen beschreibt lineare Optimierungsprobleme zutreffend?

Accepted Answer

Probleme, bei denen sowohl die Zielfunktion als auch die Nebenbedingungen lineare Gleichungen oder Ungleichungen sind.

Answer

Probleme, bei denen die Zielfunktion eine nichtlineare Funktion ist, während die Nebenbedingungen linear sind.

Question 63

Welches Verfahren eignet sich zur Lösung linearer Optimierungsprobleme?

Accepted Answer

Simplex-Verfahren

Answer

Newton-Verfahren

Answer

Lagrange-Multiplikatoren

Answer

Gradientenverfahren

Question 64

Welche Aussage über nichtlineare Optimierungsprobleme ist nicht korrekt?

Accepted Answer

Nichtlineare Optimierungsprobleme können immer analytisch gelöst werden.

Answer

Nichtlineare Optimierungsprobleme können mehrere lokale Optima aufweisen.

Answer

Nichtlineare Optimierungsprobleme können lokale Optima besitzen.