Numerische Mathematik lernen: Online-Quizze und Übungen für Klasse 12

Question 1

Welche Aussage zur lokalen Fehlerabschätzung bei der numerischen Integration ist richtig?

Accepted Answer

Sie liefert eine Abschätzung des Fehlers für einen einzelnen Schritt.

Answer

Sie ist unabhängig von der Schrittweite.

Answer

Sie kann verwendet werden, um den globalen Fehler abzuschätzen.

Answer

Sie ist immer größer als der tatsächliche Fehler.

Question 2

Welche Aussage beschreibt den Fehler beim Trapezverfahren korrekt?

Accepted Answer

Der Fehler ist proportional zum Quadrat der Schrittweite h.

Answer

Der Fehler ist proportional zur dritten Potenz von h.

Answer

Der Fehler ist proportional zur vierten Potenz von h.

Answer

Der Fehler ist proportional zum Quadrat der Ableitung der Funktion.

Question 3

Welche der folgenden Differentialgleichungen ist eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung?

Accepted Answer

y' + y = sin(x)

Answer

y'' + 3y' + 2y = 0

Answer

y' = y^2 + x

Answer

y'' = y + e^x

Question 4

Welche Aussage beschreibt die Konvergenzordnung des Euler-Verfahrens?

Accepted Answer

Konvergenz erster Ordnung

Answer

Konvergenz zweiter Ordnung

Answer

Konvergenz dritter Ordnung

Answer

Konvergenz vierter Ordnung

Question 5

Welche Methode zur Fehlerabschätzung bei numerischer Integration nutzt Extrapolation?

Accepted Answer

Richardson-Extrapolation

Answer

Romberg-Integration

Answer

Gauß-Legendre-Quadratur

Answer

Monte-Carlo-Integration

Question 6

Welche numerische Methode wird zur Integration einer Funktion verwendet?

Accepted Answer

Trapezregel

Answer

Newtonsche Methode

Answer

Euler-Verfahren

Answer

Jacobi-Iteration

Question 7

Welches Verfahren löst lineare Gleichungssysteme iterativ?

Accepted Answer

Jacobi-Iteration

Answer

Gauß-Jordan-Elimination

Answer

LU-Zerlegung

Answer

QR-Zerlegung

Question 8

Welche Differentialgleichung beschreibt den radioaktiven Zerfall eines Stoffes?

Accepted Answer

y' = -ky

Answer

y' = ky

Answer

y'' = ky

Answer

y'' = -ky

Question 9

Welches Fehlermaß wird zur Bestimmung des relativen Fehlers einer numerischen Lösung verwendet?

Accepted Answer

Relativer Fehler

Answer

Absoluter Fehler

Answer

Prozentualer Fehler

Answer

Quadratischer Fehler

Question 10

Was ist die Konditionszahl einer Matrix?

Accepted Answer

Das Verhältnis des größten zum kleinsten Eigenwert

Answer

Die Determinante der Matrix

Answer

Die Spur der Matrix

Answer

Der Rang der Matrix

Question 11

Welchen Zweck hat eine Fehlerabschätzung in der numerischen Mathematik?

Accepted Answer

Die Genauigkeit der numerischen Lösung zu bestimmen

Answer

Die Schrittweite der numerischen Methode zu optimieren

Answer

Die Stabilität der numerischen Methode zu überprüfen

Answer

Die Konvergenz der numerischen Methode zu beschleunigen

Question 12

Welche Aussage zu den Vor- und Nachteilen numerischer Methoden ist richtig?

Accepted Answer

Die Wahl der numerischen Methode hängt von der jeweiligen Aufgabe ab.

Answer

Numerische Methoden liefern immer exakte Ergebnisse.

Answer

Die Finite-Differenzen-Methode ist der Finite-Elemente-Methode immer überlegen.

Answer

Iterative Methoden sind immer langsamer als direkte Methoden.

Question 13

Welche praktische Bedeutung haben numerische Verfahren?

Accepted Answer

Ermöglichen die Lösung komplexer mathematischer Probleme auf Computern

Answer

Liefern exakte Lösungen für wissenschaftliche Fragen

Answer

Machen analytische Lösungen unnötig

Answer

Ersetzen Experimente in der Forschung vollständig

Question 14

Welche Aussage über Fehleranalyse in der numerischen Mathematik trifft zu?

Accepted Answer

Sie untersucht Fehlerquellen und ihre Auswirkungen auf numerische Lösungen.

Answer

Sie ist nur für umfangreiche numerische Probleme relevant.

Answer

Sie kann die Genauigkeit numerischer Lösungen nicht verbessern.

Answer

Sie ist ein rein theoretisches Konzept ohne praktische Anwendung.

Question 15

Welche Methode wird bei der numerischen Integration angewandt?

Accepted Answer

Trapezregel

Answer

Lineare Regression

Answer

Gradientenverfahren

Answer

Singulärwertzerlegung

Question 16

Welche Gleichung beschreibt ein Anfangswertproblem einer Differentialgleichung?

Accepted Answer

y' = f(x,y), y(x0) = y0

Answer

y'' + ay' + by = 0

Answer

y^2 + x^2 = 1

Answer

∫y dx = x^2 + C

Question 17

Worin besteht der Unterschied zwischen impliziten und expliziten numerischen Methoden zur Lösung von Differentialgleichungen?

Accepted Answer

Explizite Methoden lösen die Gleichung direkt, während implizite Methoden Näherungen verwenden.

Answer

Implizite Methoden lösen die Gleichung direkt, während explizite Methoden Näherungen verwenden.

Answer

Implizite Methoden benötigen Anfangswerte, explizite nicht.

Answer

Es gibt keinen Unterschied zwischen impliziten und expliziten Methoden.

Question 18

Welcher Algorithmus eignet sich zur numerischen Lösung linearer Gleichungssysteme?

Accepted Answer

Gauß-Elimination

Answer

Monte-Carlo-Simulation

Answer

K-Means-Algorithmus

Answer

Backpropagation-Algorithmus

Question 19

Welcher Vorteil ergibt sich aus der Anwendung von Finite-Differenzen-Methoden zur numerischen Lösung partieller Differentialgleichungen?

Accepted Answer

Einfache Implementierung und geringer Rechenaufwand.

Answer

Immer exakte Lösungen.

Answer

Anwendbarkeit nur auf lineare partielle Differentialgleichungen.

Answer

Nicht geeignet für komplexe Geometrien.

Question 20

Was bedeutet Konvergenz numerischer Verfahren?

Accepted Answer

Annäherung an die exakte Lösung mit zunehmenden Iterationen.

Answer

Abweichung von der exakten Lösung.

Answer

Ergebniskonstanz bei wiederholter Anwendung.

Answer

Konvergenz bei immer feinerer Diskretisierung.

Question 21

Was ist der Zweck der Matrixkonditionierung in der numerischen linearen Algebra?

Accepted Answer

Verbesserung der numerischen Stabilität von Matrix-basierten Algorithmen.

Answer

Verringerung der Ausführungszeit von Matrix-basierten Algorithmen.

Answer

Erkennung von Matrix-Singularitäten.

Answer

Berechnung von Matrixeigenwerten.

Question 22

Was kennzeichnet die Monte-Carlo-Simulation?

Accepted Answer

Numerische Methode zur Problemlösung mit zufälligen Stichproben.

Answer

Höhere Genauigkeit als deterministische numerische Methoden.

Answer

Anwendbarkeit nur auf Probleme mit Zufallselementen.

Answer

Geringe Rechenintensität und kleiner Datenbedarf.

Question 23

Welche der folgenden Größen ist **kein** numerisches Verfahren?

Accepted Answer

Analytische Integration

Answer

Fehleranalyse

Answer

Numerische Integration

Answer

Differentialgleichungslösung

Question 24

Was ist der wesentliche Unterschied zwischen der Trapezregel und der Simpsonregel?

Accepted Answer

Grad des Polynoms

Answer

Anzahl der Stützstellen

Answer

Fehlerterm

Answer

Berechnungsaufwand

Question 25

Wie lautet der lokale Fehlerterm für das Einschrittverfahren der Ordnung p?

Accepted Answer

O(h^p)

Answer

O(h^(p+1))

Answer

O(h^p/2)

Answer

O(h)

Question 26

Was ist der entscheidende Vorteil von impliziten Runge-Kutta-Verfahren gegenüber expliziten Verfahren?

Accepted Answer

Stabilität

Answer

Höhere Ordnung

Answer

Geringerer Berechnungsaufwand

Answer

Einfache Implementierung

Question 27

Wie lautet die Taylor-Entwicklung einer Funktion f(x) bis zum Grad n?

Accepted Answer

f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + ... + (1/n!)f^(n)(a)(x-a)^n

Answer

f(x) = f(a) + f'(a) + ... + (1/n!)f^(n)(a)

Answer

f(x) = f(a) + f'(a)(x-a)^2 + ... + (1/n!)f^(n)(a)(x-a)^n

Answer

f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + ... + f^(n)(a)

Question 28

Welches der folgenden Verfahren ist ein Mehrschrittverfahren zur numerischen Lösung von Differentialgleichungen?

Accepted Answer

Adams-Moulton-Verfahren

Answer

Heun-Verfahren

Answer

Euler-Verfahren

Answer

Runge-Kutta-Verfahren

Question 29

Welche der folgenden Methoden zur numerischen Integration ist die Trapezformel?

Accepted Answer

Unterteilt das Integrationsintervall in Trapeze und schätzt die Fläche unter der Kurve

Answer

Generiert Zufallszahlen, um das Integral zu schätzen

Answer

Approximiert die Lösung der Differentialgleichung, die das Integral definiert

Answer

Verwendet eine iterative Methode, um das Integral zu nähern

Question 30

Welche der folgenden Aussagen zur Kondition einer Matrix ist falsch?

Accepted Answer

Die Konditionszahl einer Matrix kann negativ sein

Answer

Eine schlecht konditionierte Matrix kann zu numerischen Instabilitäten führen

Answer

Die Kondition einer Matrix ist abhängig von der verwendeten numerischen Methode

Answer

Eine gut konditionierte Matrix hat eine kleine Konditionszahl

Question 31

Welche der folgenden Aussagen zur Monte-Carlo-Methode ist falsch?

Accepted Answer

Sie liefert immer exakte Ergebnisse

Answer

Die Methode ist stochastisch und verwendet Zufallszahlen

Answer

Sie kann zur Schätzung von Integralen verwendet werden

Answer

Die Konvergenz hängt von der Anzahl der Stichproben ab

Question 32

Was bedeutet der Begriff "Konsistenz" im Zusammenhang mit numerischen Verfahren?

Accepted Answer

Die numerische Lösung nähert sich der exakten Lösung an.

Answer

Das Verfahren liefert bei kleineren Schrittweiten genauere Ergebnisse.

Answer

Das Verfahren ist stabil und vermeidet Instabilitäten.

Answer

Das Verfahren ist effizient und benötigt geringe Rechenzeit.

Question 33

Welche Aussage zur Fehlerfortpflanzung bei numerischen Verfahren ist falsch?

Accepted Answer

Relative Fehler bleiben in der Regel konstant.

Answer

Fehler summieren sich bei mehreren Rechenschritten auf.

Answer

Absolute Fehler wachsen in der Regel mit der Anzahl der Rechenschritte.

Answer

Fehler können durch iterative Verfahren minimiert werden.

Question 34

Was versteht man unter einem konditionierten Gleichungssystem?

Accepted Answer

Ein System, dessen Lösung stark von der Genauigkeit der Eingabedaten abhängt.

Answer

Ein System, das mehrere Lösungen zulässt.

Answer

Ein System, das sich nur analytisch lösen lässt.

Answer

Ein System, das numerisch instabil ist.

Question 35

Welche Methode eignet sich zur Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme?

Accepted Answer

Newton-Verfahren

Answer

Gauß-Elimination

Answer

Jacobi-Iteration

Answer

Seidel-Iteration

Question 36

Was versteht man unter dem Begriff "Stabilität" im Zusammenhang mit numerischen Verfahren?

Accepted Answer

Das Verfahren liefert bei kleinen Änderungen der Eingabedaten nur geringe Änderungen der Lösung.

Answer

Das Verfahren konvergiert immer zur exakten Lösung.

Answer

Das Verfahren ist effizient und benötigt geringe Rechenzeit.

Answer

Das Verfahren ist unabhängig von der Schrittweite.

Question 37

Wie lautet die allgemeine Lösung der Differenzialgleichung y' = y?

Accepted Answer

y = Ce^x

Answer

y = Cx

Answer

y = C*e^(-x)

Answer

y = C/x

Question 38

Welche Aussage zur Romberg-Integration ist richtig?

Accepted Answer

Sie verwendet Richardson-Extrapolation zur Verbesserung der Genauigkeit.

Answer

Sie ist eine Ein-Schritt-Methode.

Answer

Sie ist eine Mehr-Schritt-Methode.

Answer

Sie kann nur für nichtlineare Gleichungen verwendet werden.

Question 39

Wie lautet die Formel zur Bestimmung des Eigenwerts einer Matrix?

Accepted Answer

det(A - λI) = 0

Answer

det(A - I) = 0

Answer

det(A + λI) = 0

Answer

det(A + I) = 0

Question 40

Welches numerische Verfahren zur Integration approximiert das Integral ∫[a,b] f(x) dx am genauesten?

Accepted Answer

Gauss-Quadratur

Answer

Trapezregel

Answer

Simpsonsche Regel

Answer

Rechteckregel

Question 41

Welche Methode zur Lösung von Differentialgleichungen liefert eine numerische Näherungslösung?

Accepted Answer

Finite-Differenzen-Methode

Answer

Analytische exakte Lösung

Answer

Laplace-Transformation

Answer

Variationsrechnung

Question 42

Welcher Begriff beschreibt den maximal möglichen absoluten Fehler bei einer numerischen Berechnung?

Accepted Answer

Fehlerabschätzung

Answer

Runderungsfehler

Answer

Konvergenzrate

Answer

Fehlerfortpflanzung

Question 43

Welche Interpolationsmethode verwendet ein Polynom minimalen Grades, um eine Kurve an gegebene Datenpunkte anzupassen?

Accepted Answer

Lagrange-Interpolation

Answer

Kubische Spline-Interpolation

Answer

Nichtlineare Regression

Answer

Lineare Interpolation

Question 44

Welche Aussage über Konvergenz ist korrekt?

Accepted Answer

Eine Folge konvergiert gegen einen Grenzwert, wenn ihre Elemente beliebig nah an den Grenzwert geraten.

Answer

Eine Folge konvergiert immer gegen eine rationale Zahl.

Answer

Eine Folge konvergiert, wenn sie monoton zunimmt.

Question 45

Was ist der Zweck einer Residuenanalyse bei der numerischen Lösung von Differentialgleichungen?

Accepted Answer

Beurteilung der Genauigkeit der numerischen Lösung

Answer

Beseitigung von Singularitäten

Answer

Reduzierung von Rundungsfehlern

Answer

Verbesserung der Konvergenzrate

Question 46

Welche Methode zur numerischen Integration verwendet eine quadratische Interpolationsformel?

Accepted Answer

Simpson-Regel

Answer

Trapezregel

Answer

Mittelpunktsregel

Question 47

Welche Aussage zur Konvergenz der Newton-Raphson-Methode ist korrekt?

Accepted Answer

Sie ist lokal quadratisch konvergent.

Answer

Sie ist immer divergent.

Answer

Ihre Konvergenzrate hängt nicht von der Anfangsnäherung ab.

Answer

Sie ist immer global konvergent.

Question 48

Welche Methode zur Lösung linearer Gleichungssysteme verwendet eine Zerlegung in eine untere und eine obere Dreiecksmatrix?

Accepted Answer

LU-Zerlegung

Answer

Singulärwertzerlegung

Answer

Cholesky-Zerlegung

Answer

QR-Zerlegung

Question 49

Welche Interpolationsmethode verwendet eine Lagrange-Basis?

Accepted Answer

Lagrange-Interpolation

Answer

Spline-Interpolation

Answer

Newton-Interpolation

Answer

Chebyshev-Interpolation

Question 50

Welche der folgenden Aussagen zur Monte-Carlo-Methode ist korrekt?

Accepted Answer

Sie ist eine Methode zur numerischen Integration, die Zufallszahlen verwendet.

Answer

Sie ist immer genauer als die Simpson-Regel.

Answer

Sie ist nur für eindimensionale Integrale geeignet.

Question 51

Welche Aussage zur Konditionierung einer Matrix ist korrekt?

Accepted Answer

Sie misst, wie stark sich die Lösung eines linearen Gleichungssystems ändert, wenn die Eingabedaten geringfügig geändert werden.

Answer

Sie ist immer positiv.

Question 52

Welche Methode zur Lösung elliptischer partieller Differentialgleichungen verwendet eine Finite-Elemente-Diskretisierung?

Accepted Answer

Finite-Elemente-Methode

Answer

Finite-Differenzen-Methode

Answer

Collocationsmethode

Answer

Monte-Carlo-Methode

Question 53

Welche der folgenden numerischen Integrationsmethoden basiert auf einer näherungsweisen Berechnung der Flächen unter der Kurve?

Accepted Answer

Trapezregel

Answer

Steigungsschätzung

Answer

Halbierungsschrittverfahren

Question 54

Was bedeutet eine hohe Konditionszahl einer Matrix?

Accepted Answer

Die Matrix ist schlecht konditioniert.

Answer

Die Konditionszahl hat keinen Einfluss auf die Qualität der Matrix.

Answer

Die Matrix ist gut konditioniert.

Question 55

Was ist die Definition von Stabilität bei numerischen Verfahren?

Accepted Answer

Kleine Änderungen in den Eingangsdaten führen zu kleinen Änderungen in den Ausgangsdaten.

Answer

Große Änderungen in den Eingangsdaten führen zu großen Änderungen in den Ausgangsdaten.

Question 56

Welche Größe gibt die Anzahl der durch einen numerischen Algorithmus ausgeführten Operationen an?

Accepted Answer

Laufzeitkomplexität

Answer

Genauigkeit

Answer

Stabilität

Answer

Speicherkomplexität

Question 57

Welche Differentialgleichung erster Ordnung beschreibt den exponentiellen Zerfall eines Systems, wobei k eine positive Konstante bezeichnet?

Accepted Answer

y' = -ky

Answer

y'' - ky = 0

Answer

y' + ky^2 = 0

Answer

y'' + ky = 0

Question 58

Welcher der folgenden Algorithmen ist nicht garantiert für alle Anfangswerte konvergent, um die Nullstelle einer Funktion zu finden?

Accepted Answer

Fixpunktiteration

Answer

Bisektion

Answer

Regula Falsi

Answer

Newton-Verfahren

Question 59

Welche Eigenschaft muss eine Interpolationsfunktion erfüllen?

Accepted Answer

Sie muss an den vorgegebenen Interpolationsknoten jeweils den gegebenen Funktionswert annehmen.

Answer

Sie muss stetig sein.

Answer

Sie muss differenzierbar sein.

Question 60

Welche Methode zur Lösung linearer Gleichungssysteme verwendet eine dreieckige Matrix?

Accepted Answer

Gauß-Jordan-Elimination

Answer

Singulärwertzerlegung

Answer

Cholesky-Zerlegung

Answer

QR-Zerlegung

Question 61

Was ist die Aufgabe der Fehleranalyse in der Numerischen Mathematik?

Accepted Answer

Die Fehleranalyse untersucht die Größe und die Auswirkungen von Fehlern bei numerischen Berechnungen.

Answer

Die Entwicklung von numerischen Methoden.

Answer

Das Lösen von Differentialgleichungen.

Question 62

Welche Methode wird zur numerischen Berechnung von Integralen verwendet?

Accepted Answer

Trapezregel

Answer

Potenzreihenentwicklung

Answer

Gauß-Elimination

Answer

Gradientenverfahren

Question 63

Welche der folgenden Methoden zur Lösung von Differentialgleichungen ist implizit?

Accepted Answer

Euler-Rückwärtsverfahren

Answer

Monte-Carlo-Simulation

Answer

Runge-Kutta-Verfahren (explizit)

Answer

Finite-Differenzen-Methode

Question 64

Welche Annahme liegt der Trapezregel für die numerische Integration zugrunde?

Accepted Answer

Die Funktion wird innerhalb des Integrationsintervalls als linear approximiert.

Answer

Die Funktion wird innerhalb des Integrationsintervalls als quadratisch approximiert.

Answer

Die Funktion wird innerhalb des Integrationsintervalls als konstant approximiert.