Grenzwerte verstehen und berechnen: Interaktive Lernquizzes für Klasse 12

Question 1

Welche Aussage über die Funktion $ f(x) = \begin{cases} x^2, &  x ≤ 1 \ 2x, & x > 1  end{cases} $ für $ x \to 1 $ ist korrekt?

Accepted Answer

stetig, aber nicht differenzierbar

Answer

differenzierbar, aber nicht stetig

Answer

sowohl stetig als auch differenzierbar

Answer

weder stetig noch differenzierbar

Question 2

Welche der folgenden Funktionen hat für $ x \to 0 $ einen vertikalen Asymptoten?

Accepted Answer

$ f(x) = \frac{1}{x} $

Answer

$ f(x) = \frac{x}{x^2 + 1} $

Answer

$ f(x) = e^x $

Answer

$ f(x) = \sin(x) $

Question 3

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle $ x = 2 $ nicht differenzierbar?

Accepted Answer

$ f(x) = |x - 2| $

Answer

$ f(x) = \sqrt{|x - 2|} $

Answer

$ f(x) = \frac{1}{x - 2} $

Answer

$ f(x) = e^{x - 2} $

Question 4

Welche der folgenden Funktionen ist stetig, aber nicht gleichmäßig stetig auf dem Intervall $ [0, 1] $?

Accepted Answer

$ f(x) = |x - 1/2| $

Answer

$ f(x) = x^2 $

Answer

$ f(x) = \frac{1}{x} $

Answer

$ f(x) = e^x $

Question 5

Welcher Grenzwertsatz ermöglicht die Berechnung des Grenzwerts von f(x) = (x² - 1) / (x - 1) für x gegen 1?

Accepted Answer

Quotientensatz

Answer

Produktregel

Answer

Kettenregel

Answer

Satz von de l'Hopital

Question 6

Berechnen Sie den Grenzwert von lim (x -> ∞) ((x - 5)²) / (x³ + 2x²)).

Accepted Answer

0

Answer

1

Answer

∞

Answer

nicht existent

Question 7

Welcher Grenzwertsatz ermöglicht es, den Grenzwert eines Bruchs aus zwei Funktionen zu bestimmen?

Accepted Answer

Regel von L'Hospital

Answer

Satz vom Kleineren

Answer

Mittelwertsatz

Answer

Satz über stetige Funktionen

Question 8

Welche Funktion weist bei x = 3 einen Sprung auf?

Accepted Answer

f(x) = |x - 3|

Answer

f(x) = x² - 9

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Question 9

Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = √x.

Accepted Answer

1 / (2√x)

Answer

√x / 2

Answer

2√x

Answer

x^(-1/2)

Question 10

Welche Funktion ist an der Stelle x = 0 nicht differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Question 11

Berechne den Grenzwert von lim (x → 0) (1 - cos(x)) / x².

Accepted Answer

1/2

Answer

0

Answer

∞

Answer

nicht definiert

Question 12

Welche Aussage über den Grenzwert von f(x) = x * sin(1/x) für x → 0 ist zutreffend?

Accepted Answer

Der Grenzwert ist 0.

Answer

Der Grenzwert ist 1.

Answer

Der Grenzwert ist ∞.

Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Question 13

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 0 nicht differenzierbar?

Accepted Answer

|x|

Answer

x²

Answer

e^x

Answer

sin(x)

Question 14

Welche Aussage über den Grenzwert von (1 + 1/x)^x für x gegen unendlich ist korrekt?

Accepted Answer

Der Grenzwert ist e.

Answer

Der Grenzwert ist 1.

Answer

Der Grenzwert ist unendlich.

Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Question 15

Gegeben sei f(x) = x² - 1. Bestimmen Sie die linksseitige Grenzableitung von f(x) an der Stelle x = 1.

Accepted Answer

-2

Answer

0

Answer

2

Answer

Die Grenzableitung existiert nicht.

Question 16

Welcher der folgenden Ausdrücke entspricht dem Grenzwert von sin(x) / cos(x) für x gegen π/2?

Accepted Answer

tan(π/2)

Answer

cot(π/2)

Answer

sec(π/2)

Answer

csc(π/2)

Question 17

Gegeben sei f(x) = (x - 1)². Ist f(x) an der Stelle x = 1 differenzierbar?

Accepted Answer

Nein

Answer

Ja

Question 18

Welche Aussage ist über die Funktion f(x) = |x| im Punkt x = 0 korrekt?

Accepted Answer

Die Funktion ist an der Stelle x = 0 stetig, aber nicht differenzierbar.

Answer

Die Funktion ist an der Stelle x = 0 differenzierbar, aber nicht stetig.

Answer

Die Funktion ist an der Stelle x = 0 sowohl stetig als auch differenzierbar.

Answer

Die Funktion ist an der Stelle x = 0 weder stetig noch differenzierbar.

Question 19

Was ist die richtige Aussage über die Funktion ( f(x) = |x-3| )?

Accepted Answer

f(x) ist bei ( x=3 ) nicht stetig.

Answer

f(x) ist bei ( x=3 ) differenzierbar.

Answer

f(x) ist bei ( x=3 ) zweimal differenzierbar.

Answer

f(x) ist bei ( x=3 ) dreimal differenzierbar.

Question 20

Ermittle den Grenzwert der Funktion ( f(x) = ln(x+1) ) für ( x	o infty ).

Accepted Answer

unendlich

Answer

0

Answer

1

Answer

minus unendlich

Question 21

Welche Aussage trifft auf den Grenzwert von f(x) = x² für x → 3 zu?

Accepted Answer

Er existiert und ist gleich 9.

Answer

Er existiert und ist gleich 3.

Answer

Er existiert nicht.

Answer

Er ist unendlich.

Question 22

Welche Aussage trifft auf die Funktion f(x) = |x - 3| für x → 3 zu?

Accepted Answer

f(x) hat in x = 3 einen Sprung.

Answer

f(x) ist stetig in x = 3.

Answer

f(x) ist differenzierbar in x = 3.

Answer

f(x) hat in x = 3 eine Polstelle.

Question 23

Welcher der folgenden Ausdrücke ist äquivalent zu lim (x² - 4) / (x - 2) für x → 2?

Accepted Answer

4

Answer

8

Answer

unendlich

Answer

nicht existent

Question 24

Welcher Grenzwert gilt für lim (sin(x)) / x für x → 0?

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

unendlich

Answer

nicht existent

Question 25

Die Funktion f(x) = |x + 1| ist an der Stelle x = -1:

Accepted Answer

stetig, aber nicht differenzierbar

Answer

differenzierbar, aber nicht stetig

Answer

sowohl stetig als auch differenzierbar

Answer

weder stetig noch differenzierbar

Question 26

Für sehr große Werte von x: Wie verhält sich die Funktion f(x) = x³ - 2x² + x?

Accepted Answer

Sie wächst schneller als x².

Answer

Sie wächst langsamer als x².

Answer

Sie wächst linear.

Answer

Sie fällt ab.

Question 27

Der Grenzwert von f(x) = (x-1)/(x-2) für x gegen 2 lautet:

Accepted Answer

1

Answer

2

Answer

unendlich

Answer

existiert nicht

Question 28

Eine Funktion f(x) ist an der Stelle x=a genau dann stetig, wenn:

Accepted Answer

lim x->a f(x) = f(a)

Answer

f(a) ist definiert

Answer

f(x) ist an der Stelle x=a differenzierbar

Answer

f(x) ist an der Stelle x=a integrierbar

Question 29

Die Ableitung der Funktion f(x) = 1/x^2 lautet:

Accepted Answer

-1/x^3

Answer

-2/x^3

Answer

2/x^3

Answer

3/x^3

Question 30

Welche der folgenden Funktionen ist nicht stetig?

Accepted Answer

f(x) = 1/(x-1)

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = |x|

Question 31

Welche der folgenden Aussagen über Grenzwerte ist falsch?

Accepted Answer

Der Grenzwert einer Funktion kann mehrere Werte annehmen.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion kann existieren, auch wenn die Funktion an dieser Stelle nicht definiert ist.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion kann unendlich sein.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion muss eindeutig bestimmt sein.

Question 32

Die Funktion f(x) = e^(x-1) ist:

Accepted Answer

an der Stelle x=1 sowohl stetig als auch differenzierbar

Answer

an der Stelle x=1 stetig, aber nicht differenzierbar

Answer

an der Stelle x=1 differenzierbar, aber nicht stetig

Answer

weder an der Stelle x=1 stetig noch differenzierbar

Question 33

Die Grenzwertdefinition lautet:

Accepted Answer

Für alle ε > 0 existiert ein δ > 0, sodass für |x - a| < δ gilt |f(x) - L| < ε

Answer

Für alle ε > 0 existiert ein δ > 0, sodass für |x - a| < δ gilt |L - f(x)| < ε

Answer

Für alle ε > 0 existiert ein δ > 0, sodass für |f(x) - L| < δ gilt |x - a| < ε

Answer

Für alle δ > 0 existiert ein ε > 0, sodass für |f(x) - L| < ε gilt |x - a| < δ

Question 34

Welche Funktion ist an der Stelle x = 0 nicht stetig?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

g(x) = sin(x)

Answer

h(x) = eˣ

Answer

k(x) = x²

Question 35

Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = x³ - 2x² + 1.

Accepted Answer

f'(x) = 3x² - 4x

Answer

f'(x) = x² - 4x

Answer

f'(x) = 3x - 2

Answer

f'(x) = x - 1

Question 36

Welche Aussage über die Grenzwerte trigonometrischer Funktionen ist richtig?

Accepted Answer

Alle Aussagen sind richtig.

Answer

lim (x->0) sin(x) = 0

Answer

lim (x->0) cos(x) = 1

Answer

lim (x->π/2) tan(x) = ∞

Question 37

In welchem Punkt ist die Funktion g(x) = 1 / (x - 3) nicht definiert?

Accepted Answer

x = 3

Answer

x = 0

Answer

x = -3

Answer

Die Funktion ist überall definiert.

Question 38

Welche Funktion ist eine gerade Funktion?

Accepted Answer

h(x) = |x|

Answer

f(x) = x³ - x

Answer

g(x) = sin(x) + cos(x)

Answer

k(x) = eˣ

Question 39

Welche Aussage über die Ableitung der Funktion h(x) = ln(x) ist richtig?

Accepted Answer

h'(x) = 1 / x

Answer

h'(x) = x

Answer

h'(x) = ln(x)

Answer

h'(x) = eˣ

Question 40

Welche der folgenden Aussagen definiert den Grenzwert von f(x) für x gegen a?

Accepted Answer

lim(x->a)f(x) = L

Answer

lim(x->a, f(x)) = L

Answer

f(a) = L

Answer

L = lim(x)f(x)

Question 41

Welcher der folgenden Grenzwertsätze ist der Satz von l'Hospital?

Accepted Answer

lim(x->a)(f(x) / g(x)) = lim(x->a)(f'(x) / g'(x))

Answer

lim(x->a)(f(x) * g(x)) = lim(x->a)f(x) * lim(x->a)g(x)

Answer

lim(x->a)[f(x)]^n = [lim(x->a)f(x)]^n

Answer

lim(x->a)c = c

Question 42

Welche Aussage über die Stetigkeit einer Funktion f(x) ist richtig?

Accepted Answer

f(x) ist stetig an a, wenn lim(x->a)f(x) = f(a) ist.

Answer

f(x) ist stetig an a, wenn lim(x->a)f(x) existiert.

Answer

f(x) ist stetig an a, wenn f(a) existiert.

Answer

f(x) ist stetig an a, wenn f(x) an a differenzierbar ist.

Question 43

Welche Bedingung muss für eine Funktion f(x) an der Stelle a erfüllt sein, damit sie an dieser Stelle ein Maximum hat?

Accepted Answer

f'(a) = 0 und f''(a) > 0

Answer

f'(a) > 0 und f''(a) < 0

Answer

f'(a) < 0 und f''(a) > 0

Answer

f'(a) > 0 und f''(a) > 0

Question 44

Welcher Ausdruck beschreibt den Grenzwert von f(x) für x, das gegen a strebt?

Accepted Answer

lim (x -> a) f(x)

Answer

f(a) - lim (x -> a) f(x)

Answer

lim (x -> a) f(x) / (x - a)

Answer

lim (x -> a) f(a)

Question 45

Welcher Grenzwertsatz besagt, dass der Grenzwert der Summe zweier Funktionen gleich der Summe der Grenzwerte der einzelnen Funktionen ist?

Accepted Answer

Cauchy-Grenzwertsatz

Answer

Satz von Stolz-Cesàro

Answer

Satz vom Grenzwert des Produkts

Answer

Satz vom Grenzwert des Quotienten

Question 46

Welches der folgenden Kriterien impliziert, dass eine Funktion an einer Stelle differenzierbar ist?

Accepted Answer

Der Grenzwert des Differenzienzquotienten existiert an der Stelle.

Answer

Die Funktion ist an der Stelle stetig.

Answer

Die Ableitung der Funktion existiert an der Stelle.

Answer

Die zweite Ableitung der Funktion existiert an der Stelle.

Question 47

Welcher der folgenden Grenzwerte existiert nicht?

Accepted Answer

lim (x -> 0) (1 / x²)

Answer

lim (x -> 2) (x - 2) / (x² - 4)

Answer

lim (x -> π) (sin(x))

Answer

lim (x -> ∞) (e^x)

Question 48

Ist die Funktion f(x) = x³ - 4x² + x an der Stelle x = 1 differenzierbar?

Accepted Answer

Ja

Answer

Nein

Answer

Ja, aber nicht stetig

Answer

Nein, aber stetig

Question 49

Sei f(x) = sqrt(x). Für welchen Wert von x gilt lim (h -> 0) (f(x + h) - f(x)) / h = 1 / (2 sqrt(x))?

Accepted Answer

x = 1

Answer

x = 0

Answer

x = 2

Answer

x = 4

Question 50

Sei g(x) = 1 / x^2. Welcher der folgenden Grenzwerte für x gegen unendlich ist korrekt?

Accepted Answer

Der Grenzwert ist 0.

Answer

Der Grenzwert ist 1.

Answer

Der Grenzwert ist ∞.

Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Question 51

Sei f(x) = |x - 2|. An welcher Stelle ist die Funktion nicht differenzierbar?

Accepted Answer

x = 2

Answer

x = 1

Answer

x = 3

Answer

Die Funktion ist überall differenzierbar.

Question 52

Sei h(x) = (sin(x))^2. An welcher Stelle ist die Funktion differenzierbar?

Accepted Answer

Die Funktion ist überall differenzierbar.

Answer

x = 0

Answer

x = π/2

Answer

x = π

Question 53

Für welche Werte von a ist die Funktion f(x) = ((x²+ax+2) / (x-1)) differenzierbar?

Accepted Answer

alle a

Answer

nur a=-1

Answer

nur a=0

Answer

nur a=1

Question 54

Ist die Funktion f(x) = 1 / (x-2)² an der Stelle x=2 differenzierbar?

Accepted Answer

nein

Answer

nur linksseitig

Answer

nur rechtsseitig

Answer

ja

Question 55

Welche der folgenden Aussagen beschreibt den Grenzwert von f(x) = x² für x gegen unendlich?

Accepted Answer

Der Grenzwert ist unendlich.

Answer

Der Grenzwert ist 0.

Answer

Der Grenzwert ist 1.

Question 56

Wenn eine Funktion f(x) an der Stelle x = 0 differenzierbar ist, dann gilt:

Accepted Answer

Der Grenzwert von f'(x) für x gegen 0 ist gleich f'(0).

Answer

f'(0) ist gleich 0.

Answer

f'(x) ist für alle x gleich 0.

Answer

Der Grenzwert von f'(x) für x gegen 0 ist gleich 0.

Question 57

Berechne den Grenzwert von lim (x->0) (sin(x) / x).

Accepted Answer

1

Answer

-1

Answer

Unendlich

Answer

0

Question 58

Berechne den Grenzwert von lim (x->∞) (e^x + 1) / (e^x - 1).

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

Unendlich

Answer

-1

Question 59

Welche der folgenden Aussagen definiert einen Grenzwert korrekt?

Accepted Answer

Der Grenzwert einer Funktion f(x) an der Stelle c ist die Zahl L, der sich f(x) beliebig nähert, wenn sich x dem Wert c nähert.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion ist immer eine ganze Zahl.

Question 60

Berechnen Sie den folgenden Grenzwert: lim (x -> 2) (x^2 - 4) / (x - 2)

Accepted Answer

4

Answer

8

Answer

unbestimmt

Answer

2

Question 61

Welcher Grenzwertsatz ermöglicht es uns, den Grenzwert eines Produkts zu berechnen?

Accepted Answer

Satz vom Grenzwert des Produkts

Answer

Satz vom Grenzwert der Summe

Answer

Satz vom Grenzwert des Quotienten

Answer

Satz vom Grenzwert der Differenz

Question 62

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 1 nicht differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x - 1|

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = x^2

Question 63

Welche der folgenden Aussagen über das Sandwich-Theorem ist richtig?

Accepted Answer

Wenn f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) für alle x in einer Umgebung von c und lim (x -> c) f(x) = lim (x -> c) h(x) = L, dann gilt auch lim (x -> c) g(x) = L.

Answer

Das Sandwich-Theorem gilt nur für stetige Funktionen in der Umgebung von c.

Question 64

Welche der folgenden Funktionen besitzt an der Stelle x = 0 eine hebbare Definitionslücke?

Accepted Answer

f(x) = (x - 2) / (x^2 - 4)

Answer

f(x) = |x - 1|

Answer

f(x) = 1 / x

Answer

f(x) = x^2 - 1