Folgen und Reihen: Online-Quizze für Klasse 12 Gymnasium

Question 1

Berechne die Taylorreihe zweiter Ordnung für die Funktion f(x) = e^x um den Entwicklungspunkt x0 = 1.

Accepted Answer

1 + (x - 1) + (x - 1)² / 2

Answer

1 + (x - 1)

Answer

e^x

Question 2

Bestimme das bestimmte Integral ∫[0, 1] ln(1 + x) dx näherungsweise mit Hilfe der Reihenentwicklung von ln(1 + x) im Punkt x = 0.

Accepted Answer

1 - 1/2 + 1/3 - ...

Answer

1

Answer

x - x²/2 + x³/3 - ...

Question 3

Ermittle eine Näherung für das bestimmte Integral ∫[0, 1] e^x dx mithilfe einer Taylor-Reihe.

Accepted Answer

1 + x + x²/2 + x³/6 + x⁴/24 + ...

Answer

1 + x + x²/4 + x³/9 + x⁴/16 + ...

Answer

1 - x + x²/2 - x³/6 + x⁴/24 - ...

Answer

1 + 2x + 3x²/2 + 4x³/6 + 5x⁴/24 + ...

Question 4

Bestimme, ob die Folge (a_n = (-1)^n) monoton ist.

Accepted Answer

alternierend

Answer

streng monoton wachsend

Answer

streng monoton fallend

Answer

nicht monoton

Question 5

Ermittle die Taylor-Reihe zweiter Ordnung für die Funktion f(x) = x³ - 2x² + x + 1 um den Entwicklungspunkt x = 1.

Accepted Answer

1 + (x - 1) + (x - 1)²

Answer

x + (x - 1) + (x - 1)²

Answer

x + (x - 1)² + (x - 1)³

Answer

1 + (x - 1)² + (x - 1)³

Question 6

Bestimme, ob die alternierende Reihe konvergiert oder divergiert: $$-1 + rac{1}{2} - rac{1}{3} + rac{1}{4} - rac{1}{5} + ...$$

Accepted Answer

Konvergiert nach dem alternierenden Reihenkriterium

Answer

Divergiert, da die Folgenglieder nicht gegen 0 konvergieren

Answer

Konvergiert gegen 0, da die Folgenglieder kleiner werden

Question 7

Betrachte die Reihe ∑ a_n mit positiven Termen. Zeige, dass die Reihe konvergiert, wenn die Folge (a_n) monoton fallend ist und gegen 0 konvergiert.

Accepted Answer

Die Reihe konvergiert, weil die Folge (a_n) monoton fallend ist und gegen 0 konvergiert.

Answer

Die Reihe konvergiert, weil die Folge (a_n) monoton fallend ist.

Answer

Die Reihe konvergiert, weil die Folge (a_n) gegen 0 konvergiert.

Question 8

Beweise, dass die Reihe ∑[n=1 bis unendlich] a_n / n divergiert, wenn ∑ a_n eine konvergente Reihe positiver Terme ist.

Accepted Answer

Die Reihe divergiert gegen unendlich.

Answer

Die Reihe konvergiert gegen denselben Grenzwert wie die Reihe ∑ a_n.

Answer

Die Reihe konvergiert gegen einen endlichen Wert, der kleiner als der Grenzwert von ∑ a_n ist.

Answer

Die Reihe alterniert zwischen positiven und negativen Werten.

Question 9

Gegeben sei eine Reihe ∑ a_n mit positiven Termen. Begründe, warum die Reihe ∑[n=1 bis unendlich] a_n^2 / (1 + a_n) konvergiert, wenn ∑ a_n konvergiert.

Accepted Answer

Die Reihe ∑ a_n^2 / (1 + a_n) ist konvergent, da ∑ a_n konvergiert.

Answer

Die Reihe ∑ a_n^2 / (1 + a_n) ist konvergent, da sie monoton fallend ist.

Answer

Die Reihe ∑ a_n^2 / (1 + a_n) ist nur konvergent, wenn ∑ a_n alternierend ist.

Answer

Die Reihe ∑ a_n^2 / (1 + a_n) ist konvergent, da ∑ a_n^2 konvergent ist.

Question 10

Welche Aussage zur Folge (aₙ) = 1 + (–1/n)² ist korrekt?

Accepted Answer

Der Grenzwert ist 1.

Answer

Der Grenzwert ist -1.

Answer

Der Grenzwert ist 0.

Answer

Die Folge divergiert.

Question 11

Welche der folgenden Reihen ist eine Teleskopreihe?

Accepted Answer

∑(n=1 bis ∞) (1 / n²) - (1 / (n+1)²)

Answer

∑(n=1 bis ∞) 1 / n

Answer

∑(n=1 bis ∞) sin(n)

Answer

∑(n=1 bis ∞) (-1)^n

Question 12

Frage: Welchen Grenzwert hat die Folge (a_n = (sin(n) / n)) für n gegen unendlich?

Accepted Answer

0

Answer

1

Answer

unendlich

Answer

-unendlich

Question 13

Welche der folgenden Aussagen über die Folge $(a_n)$ mit $a_n = 2n^3 + 1$ ist korrekt?

Accepted Answer

Die Folge ist streng monoton wachsend.

Answer

Die Folge ist divergent.

Answer

Die Folge ist alternierend.

Answer

Die Folge ist konvergent.

Question 14

Die Summe der ersten n Glieder der geometrischen Reihe (1/2)^n ist:

Accepted Answer

1 - 1 / 2^n

Answer

1 + 1 / 2^n

Answer

1 - 2^n

Answer

1 + 2^n

Question 15

Welche der folgenden Folgen konvergiert gegen einen endlichen Grenzwert?

Accepted Answer

$(a_n) = rac{n^2 + 1}{n - 1}$

Answer

$(b_n) = (-1)^n$

Answer

$(c_n) = sqrt{n} - n$

Answer

$(d_n) = sin(n)$

Question 16

Welche der folgenden Reihen ist eine teleskopische Reihe?

Accepted Answer

$sum_{n=1}^infty rac{1}{n(n+1)}$

Answer

$sum_{n=1}^infty rac{1}{n^2}$

Answer

$sum_{n=1}^infty rac{(-1)^n}{n}$

Answer

$sum_{n=1}^infty rac{1}{2n + 1}$

Question 17

Unter welchen Bedingungen ist die geometrische Reihe mit Anfangsglied $a$ und Quotient $r$ konvergent?

Accepted Answer

Für $|r| < 1$

Answer

Für $|r| > 1$

Answer

Für $|r| = 1$

Answer

Für alle $r$

Question 18

Geben Sie die Formel für die Binomialreihe $(1+x)^k$ an.

Accepted Answer

$sum_{n=0}^k inom{k}{n} x^n$

Answer

$sum_{n=1}^k inom{k}{n} x^n$

Answer

$sum_{n=1}^infty inom{k}{n} x^n$

Answer

$sum_{n=0}^infty inom{k}{n} x^n$

Question 19

Welche der folgenden Folgen ist eine Nullfolge?

Accepted Answer

$(d_n) = rac{1}{n}$

Answer

$(a_n) = rac{n^2 + 1}{n - 1}$

Answer

$(b_n) = (-1)^n$

Answer

$(c_n) = sqrt{n} - n$

Question 20

Ermittle die Ableitung der Funktion f(x) = (sin(x) + cos(x))^2.

Accepted Answer

2(sin(x) + cos(x)) * (cos(x) - sin(x))

Answer

2(sin(x) + cos(x))

Answer

2(sin(x) - cos(x))

Question 21

Welche der folgenden Reihen konvergiert nach dem Quotientenkriterium?

Accepted Answer

$sum_{n=1}^{infty} \frac{n}{2^n}$

Answer

$sum_{n=1}^{infty} \frac{n^2}{n+1}$

Answer

$sum_{n=1}^{infty} sin(n)$

Answer

$sum_{n=1}^{infty} e^n$

Question 22

Welche der folgenden Reihen ist eine geometrische Reihe?

Accepted Answer

$sum_{n=1}^{infty} \frac{n}{2^n}$

Answer

$sum_{n=1}^{infty} \frac{1}{n^2}$

Answer

$sum_{n=1}^{infty} \frac{(-1)^n}{n}$

Answer

$sum_{n=1}^{infty} \frac{n^2+1}{n+1}$

Question 23

Welche der folgenden Folgen ist eine alternierende Reihe?

Accepted Answer

$(a_n) = (-1)^n$

Answer

$(a_n) = n^2$

Answer

$(a_n) = \frac{1}{n}$

Answer

$(a_n) = ln(n)$

Question 24

Welche der folgenden Aussagen beschreibt eine monoton steigende Folge korrekt?

Accepted Answer

Für alle natürlichen Zahlen $n$ gilt $a_{n+1} \geq a_n$.

Answer

Für alle natürlichen Zahlen $n$ gilt $a_{n+1} \leq a_n$.

Answer

Für jede natürliche Zahl $n$ existiert eine natürliche Zahl $m$, sodass $a_{m} > a_n$.

Answer

Für jede natürliche Zahl $n$ existiert eine natürliche Zahl $m$, sodass $a_{m} < a_n$.

Question 25

Welche der folgenden Folgen ist eine Nullfolge?

Accepted Answer

$(a_n) = \frac{1}{n}$

Answer

$(a_n) = n^2$

Answer

$(a_n) = sin(n)$

Answer

$(a_n) = ln(n)$

Question 26

Welche der folgenden Aussagen trifft auf eine divergente Folge zu?

Accepted Answer

Sie besitzt keinen Grenzwert.

Answer

Sie ist beschränkt.

Answer

Sie ist alternierend.

Answer

Sie ist monoton.

Question 27

Welche der folgenden Reihen ist eine harmonische Reihe?

Accepted Answer

$sum_{n=1}^{infty} \frac{1}{n}$

Answer

$sum_{n=1}^{infty} \frac{1}{n^2}$

Answer

$sum_{n=1}^{infty} \frac{1}{2^n}$

Answer

$sum_{n=1}^{infty} \frac{1}{n+1}$

Question 28

Bestimme die Taylor-Entwicklung zweiter Ordnung für f(x) = e^x um den Entwicklungspunkt x0 = 1.

Accepted Answer

1 + (x - 1) + (x - 1)²/2

Answer

1 + (x - 1) + (x - 1)³

Answer

1 + (x - 1) + (x - 1)²/3

Question 29

Welche der folgenden Reihen ist konvergent?

Accepted Answer

∑ (n=1 bis unendlich) 1/(2^n)

Answer

∑ (n=1 bis unendlich) 1/n

Answer

∑ (n=1 bis unendlich) n^2

Answer

∑ (n=1 bis unendlich) (-1)^n

Question 30

Berechnen Sie die Summe der Reihe ∑ (n=1 bis unendlich) (1/3)^n.

Accepted Answer

3/2

Answer

1/2

Answer

1

Answer

unendlich

Question 31

Welche der folgenden Aussagen über monotone Folgen ist falsch?

Accepted Answer

Eine Folge, die sowohl steigend als auch fallend ist, ist nicht monoton.

Answer

Eine streng monotone Folge ist entweder streng steigend oder streng fallend.

Answer

Eine beschränkte und monotone Folge ist konvergent.

Answer

Eine nichtmonotone Folge kann trotzdem konvergent sein.

Question 32

Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Reihe ∑ (n=0 bis unendlich) (x^n) / n!

Accepted Answer

unendlich

Answer

0

Answer

1

Answer

2

Question 33

Bestimmen Sie, ob die Folge (a_n) mit a_n = (-1)^(n+1) / n Cauchy-konvergent ist.

Accepted Answer

Ja

Answer

Nein

Answer

Unbekannt

Question 34

Bestimme den Grenzwert der Reihe ∑ (n=1 bis ∞) (1 + 1/n)^n.

Accepted Answer

e

Answer

0

Answer

1

Answer

∞

Question 35

Ermittle die Taylor-Reihe 2. Ordnung für die Funktion f(x) = e^x im Punkt x = 0.

Accepted Answer

∑ (n=0 bis ∞) x^n / n!

Answer

∑ (n=0 bis ∞) x^n / (n + 1)!

Answer

∑ (n=2 bis ∞) x^n / n!

Answer

∑ (n=1 bis ∞) x^n / n!

Question 36

Was ist der Grenzwert der Funktion  f(x) = √(x² + 1) - √(x² - 1) für x gegen unendlich?

Accepted Answer

0

Answer

unendlich

Answer

minus unendlich

Question 37

Welcher Grenzwert ergibt sich für die Folge (a_n = (3n^2 + 2n + 1) / (4n^2 + 5n))?

Accepted Answer

3/4

Answer

1/2

Answer

1

Answer

0

Question 38

Welche Aussage trifft auf die geometrische Reihe (sum_{n=0}^infty 2 * (1/3)^n) zu?

Accepted Answer

Sie ist konvergent mit dem Wert 3.

Answer

Sie ist divergent.

Answer

Sie ist konvergent mit dem Wert 6.

Answer

Sie ist unendlich.

Question 39

Nenne eine notwendige Bedingung für die Konvergenz einer Reihe.

Accepted Answer

Die Grenzwerte der Folgenglieder sind 0.

Answer

Die Reihe ist alternierend und beschränkt.

Answer

Die Folgenglieder sind positiv.

Answer

Die Summe der Folgenglieder ist endlich.

Question 40

Definiere den Grenzwert einer Folge.

Accepted Answer

Ein Wert, dem sich die Folgenglieder unendlich annähern.

Answer

Der Wert des ersten Folgenglieds.

Answer

Der Wert des letzten Folgenglieds.

Answer

Der Durchschnitt aller Folgenglieder.

Question 41

Für die Funktion $f(x) = \frac{\sin(x)}{x}$ soll bestimmt werden, in welchen Intervallen sie stetig und in welchen sie unstetig ist.

Accepted Answer

Stetig für $x 
eq 0$, unstetig für $x = 0$

Answer

Stetig auf ihrem gesamten Definitionsbereich

Answer

Unstetig auf ihrem gesamten Definitionsbereich

Question 42

Welche Eigenschaft trifft auf die Folge (an) = 2n + 1 zu?

Accepted Answer

Sie ist streng monoton wachsend.

Answer

Sie ist konvergent.

Answer

Sie ist alternierend.

Answer

Sie ist divergent.

Question 43

Bestimme den Grenzwert der Folge (bn) = (1 + 1/n)^n.

Accepted Answer

e

Answer

1

Answer

0

Answer

+∞

Question 44

Welche der folgenden Reihen ist konvergent?

Accepted Answer

Die Summe von 1/n² von n=1 bis ∞

Answer

Die Summe von 1/n von n=1 bis ∞

Answer

Die Summe von n von n=1 bis ∞

Question 45

Welcher Reihentyp ist die geometrische Reihe?

Accepted Answer

Eine unendliche Reihe mit konstantem Quotienten

Answer

Eine unendliche Reihe mit konstanter Differenz

Answer

Eine alternierende Reihe

Answer

Eine endliche Reihe mit konstantem Term

Question 46

Gib die Summenformel für eine geometrische Reihe mit Anfangsglied a und Quotienten q an.

Accepted Answer

a * (1 - q^n) / (1 - q)

Answer

a * (1 + q^n) / (1 + q)

Answer

a + q * (1 + q^n) / (1 + q)

Answer

a + q * (1 - q^n) / (1 - q)

Question 47

Welche der folgenden Aussagen über die Normalverteilung ist korrekt?

Accepted Answer

Sie ist symmetrisch um den Erwartungswert.

Answer

Sie ist rechtsschief.

Answer

Sie ist linksschief.

Answer

Sie ist bimodal.

Question 48

Welche der folgenden Reihen ist konvergent?

Accepted Answer

∑(1/n^2)

Answer

∑(n^2)

Answer

∑(1/n)

Question 49

Welche der folgenden Folgen ist beschränkt?

Accepted Answer

a_n = (-1)^n

Answer

a_n = e^n

Answer

a_n = n^2

Question 50

Bestimmen Sie die Konvergenz der Reihe (∑_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{2^n}).

Accepted Answer

Divergent

Answer

Alternierend

Answer

Konvergent

Answer

Beschränkt

Question 51

Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge (1 + 1/n)^n:

Accepted Answer

e

Answer

-1

Answer

∞

Answer

1

Question 52

Bestimmen Sie die Summe der geometrischen Reihe 1 + 2x + 4x² + ... + 2^n x^n:

Accepted Answer

1/(1-2x)

Answer

∞

Answer

2^n x^n

Answer

0

Question 53

Welche der folgenden Reihen ist **konditional konvergent**?

Accepted Answer

Σ (-1)^n / n

Answer

Σ 1 / n^2

Answer

Σ 1 / n

Question 54

Welche Rolle spielen Folgen **grundsätzlich** in der Analysis?

Accepted Answer

Sie sind Grundlage für Grenzwerte, Konvergenz und Reihen.

Answer

Sie sind für die Infinitesimalrechnung unbedeutend.

Answer

Sie dienen nur zur Darstellung von Zahlenwerten.

Question 55

Welche der folgenden Funktionen hat einen Wendepunkt?

Accepted Answer

f(x) = x³ - 3x

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x²

Question 56

Welche der folgenden Reihen ist eine geometrische Reihe? Eine geometrische Reihe zeichnet sich durch ein konstantes Verhältnis zwischen aufeinanderfolgenden Gliedern aus.

Accepted Answer

$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n}$

Answer

$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$

Answer

$\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{n+1}$

Answer

$\sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{n+1}$

Question 57

Welche der folgenden Reihen ist eine alternierende Reihe? Eine alternierende Reihe wechselt das Vorzeichen ihrer Glieder ab.

Accepted Answer

$\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{1}{n}$

Answer

$\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{n+1}$

Answer

$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n}$

Answer

$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$

Question 58

Die Folge $a_n = \frac{2n^2 - 1}{n^2 + 3}$ ist...

Accepted Answer

konvergent und ihr Grenzwert ist 2.

Answer

divergent und sie strebt gegen $\infty$.

Answer

konvergent und ihr Grenzwert ist 0.

Answer

divergent und sie strebt gegen $-\infty$.

Question 59

Welche der folgenden Reihen ist divergent? Divergente Reihen haben keinen endlichen Grenzwert.

Accepted Answer

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$

Answer

$\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{2})^n$

Answer

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2}$

Answer

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$

Question 60

Eine Funktion $f(x)$ wird durch die Potenzreihe $\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-a)^n$ dargestellt. Was stellt der Wert $a$ in diesem Kontext dar? Die Potenzreihe ist um den Punkt $a$ entwickelt.

Accepted Answer

Den Entwicklungspunkt der Potenzreihe.

Answer

Die Ordnung der Potenzreihe.

Answer

Den Konvergenzradius der Potenzreihe.

Answer

Den Grenzwert der Potenzreihe.

Question 61

Die Taylor-Reihe der Funktion $f(x) = e^x$ um den Entwicklungspunkt $a = 0$ ist...

Accepted Answer

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$

Answer

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$

Answer

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}$

Answer

$\sum_{n=0}^{\infty} x^n$

Question 62

Ermitteln Sie den Grenzwert der Folge (a_n = rac{n^2+3n}{(n-1)(n+2)}).

Accepted Answer

0

Answer

Unendlich

Answer

1

Answer

-1

Question 63

Berechnen Sie den Grenzwert der geometrischen Reihe mit dem ersten Glied (a_1 = 4) und dem Quotienten (q = rac{1}{3}).

Accepted Answer

6

Answer

3

Answer

12

Answer

Unendlich

Question 64

Bestimmen Sie, welche der folgenden Folgen eine Cauchy-Folge ist.

Accepted Answer

$left( rac{(-1)^n}{n} ight)$

Answer

$left( sqrt{n} ight)$

Answer

$left( rac{n}{n+1} ight)$

Answer

$left( n^2 + 1 ight)$