Numerische Mathematik lernen: Online-Quizze und Übungen für Klasse 13

Question 1

Nennen Sie die numerische Methode zur Lösung von linearen Gleichungssystemen mit Hilfe sequentieller Operationen.

Accepted Answer

Gauß-Elimination

Answer

Jacobi-Iteration

Answer

Newton-Verfahren

Answer

Monte-Carlo-Simulation

Question 2

Bei welcher numerischen Integrationstechnik wird die Fläche unter einer Kurve durch die Summe von Flächen von Rechtecken angenähert?

Accepted Answer

Trapezregel

Answer

Simpsonregel

Answer

Gauß-Quadratur

Answer

Monte-Carlo-Integration

Question 3

Welche Formel berechnet die Summe der ersten n natürlichen Zahlen?

Accepted Answer

n * (n + 1) / 2

Answer

n * (n - 1) / 2

Answer

(n + 1) * (n - 1) / 2

Answer

n * n / 2

Question 4

Welche Methode ist besser geeignet, um hochdimensionale lineare Gleichungssysteme zu lösen?

Accepted Answer

CG-Verfahren

Answer

Gauß-Elimination

Answer

Jacobi-Iteration

Answer

QR-Zerlegung

Question 5

Welcher numerische Integrationsalgorithmus bietet die größte Genauigkeit?

Accepted Answer

Gauß-Quadratur

Answer

Trapezregel

Answer

Simpsonregel

Answer

Monte-Carlo-Integration

Question 6

Wie lässt sich das Jacobi-Verfahren charakterisieren?

Accepted Answer

Iteratives Löseverfahren

Answer

Direktes Löseverfahren

Answer

Lineares Gleichungssystem

Answer

Interpolationsmethode

Question 7

Welches Lösungsverfahren eignet sich für lineare Gleichungssysteme mit mehr als zwei Unbekannten?

Accepted Answer

Gauß-Jordan-Elimination

Answer

Additionsverfahren

Answer

Substitutionsverfahren

Answer

Cramer-Regel

Question 8

Welche der folgenden Matrizen ist nicht invertierbar?

Accepted Answer

[0 0; 1 0]

Answer

[1 2; 3 4]

Answer

[1 2; 2 4]

Answer

[1 0; 0 1]

Question 9

Welche der folgenden Methoden zur numerischen Integration liefert die höchste Genauigkeit?

Accepted Answer

Gauß-Quadratur

Answer

Trapezregel

Answer

Simpsonregel

Answer

Monte-Carlo-Integration

Question 10

Welche der folgenden Methoden dient zur exakten Lösung eines linearen Gleichungssystems mit n Gleichungen und n Unbekannten?

Accepted Answer

Gauß-Eliminationsverfahren

Answer

Iterationsverfahren

Answer

Regula-Falsi-Verfahren

Answer

Monte-Carlo-Verfahren

Question 11

Welche der folgenden Bedingungen muss für eine numerische Methode zur Lösung eines nichtlinearen Gleichungssystems erfüllt sein?

Accepted Answer

Konvergenz zum exakten Ergebnis (sofern vorhanden)

Answer

Lineare Abhängigkeit der Gleichungen

Answer

Existenz einer eindeutigen Lösung

Answer

Nichtnegativität der Koeffizientenmatrix

Question 12

Welche der folgenden Methoden wird zur Interpolation periodischer Funktionen verwendet?

Accepted Answer

Fourier-Interpolation

Answer

Spline-Interpolation

Answer

Chebyshev-Interpolation

Answer

Lagrange-Interpolation

Question 13

Welche der folgenden Aussagen zur numerischen Integration ist falsch?

Accepted Answer

Die Gauß-Quadratur ist eine lokale Integrationsmethode.

Answer

Die Simpsonregel ist genauer als die Trapezregel.

Answer

Die Monte-Carlo-Integration ist eine probabilistische Methode.

Answer

Die numerische Integration kann auch für mehrdimensionale Integrale verwendet werden.

Question 14

Welche der folgenden Aussagen zur Fehlerfortpflanzung bei numerischen Methoden ist korrekt?

Accepted Answer

Die Fehlerfortpflanzung kann durch geeignete Skalierung der Eingabedaten reduziert werden.

Answer

Der relative Fehler beim Ergebnis ist kleiner als der relative Fehler in den Eingabedaten.

Answer

Der absolute Fehler beim Ergebnis ist immer größer als der absolute Fehler in den Eingabedaten.

Answer

Die Fehlerfortpflanzung ist nur bei nichtlinearen Gleichungssystemen relevant.

Question 15

Welche Interpolationsmethode verwendet dividierte Differenzen und ist besonders geeignet für Funktionen mit unstetigen Ableitungen?

Accepted Answer

Newton-Interpolation

Answer

Lagrange-Interpolation

Answer

Hermite-Interpolation

Answer

Spline-Interpolation

Question 16

Welcher der folgenden Begriffe beschreibt die maximale Anzahl von Iterationen, die ein iteratives Lösungsverfahren ausführen soll, bevor es abbricht?

Accepted Answer

Maximale Iterationen

Answer

Toleranz

Answer

Konvergenzkriterium

Answer

Fehlerabschätzung

Question 17

Wie wird ein Polynom vom Grad n in der Newton-Interpolation dargestellt?

Accepted Answer

Als Summe von n Monomen mit unbekannten Koeffizienten

Answer

Als Produkt von n Faktoren mit unbekannten Koeffizienten

Answer

Als Quotient von zwei Polynomen mit unbekannten Koeffizienten

Answer

Als Differenz von n Termen mit unbekannten Koeffizienten

Question 18

Welche der folgenden numerischen Integrationsmethoden hat die höchste Genauigkeit für eine gegebene Anzahl von Stützstellen?

Accepted Answer

Gauß-Quadratur mit n Stützstellen

Answer

Trapezregel

Answer

Simpsonregel

Answer

Monte-Carlo-Integration

Question 19

Welche der folgenden Aussagen über die Konvergenz des Gauss-Seidel-Verfahrens ist korrekt?

Accepted Answer

Es konvergiert immer, wenn die Matrix diagonaldominant ist.

Answer

Es konvergiert immer, wenn die Matrix positiv definit ist.

Answer

Es konvergiert niemals.

Answer

Es konvergiert nur, wenn die Matrix symmetrisch ist.

Question 20

Welcher Begriff beschreibt den Fehler, der durch die Approximation eines kontinuierlichen Problems durch ein diskretes Problem entsteht?

Accepted Answer

Diskretisierungsfehler

Answer

Rundungsfehler

Answer

Approximationsfehler

Answer

Konvergenzfehler

Question 21

Welche Methode zur numerischen Integration verwendet Gewichte, um die Genauigkeit zu erhöhen?

Accepted Answer

Gauß-Quadratur

Answer

Trapezregel

Answer

Simpson-Regel

Answer

Monte-Carlo-Integration

Question 22

Welcher Satz garantiert die Konvergenz des Gauß-Seidel-Verfahrens?

Accepted Answer

Satz von Gauß-Seidel

Answer

Satz von Banach

Answer

Satz von Heine-Cantor

Answer

Satz von Bolzano-Weierstraß

Question 23

Welcher Begriff beschreibt die Geschwindigkeit, mit der sich ein numerisches Verfahren einer exakten Lösung annähert?

Accepted Answer

Konvergenzrate

Answer

Genauigkeit

Answer

Stabilität

Answer

Effizienz

Question 24

Welcher der folgenden Interpolationspolynome interpoliert eine Funktion **f(x)** an den Stellen **x_0, x_1, ..., x_n** exakt?

Accepted Answer

Lagrange-Polynom

Answer

Hermite-Polynom

Answer

Newton-Polynom

Answer

Bezier-Kurve

Question 25

Welche der folgenden Methoden eignet sich zur numerischen Integration einer stetigen Funktion mit unendlichen Ableitungen?

Accepted Answer

Gauß-Quadratur

Answer

Trapezregel

Answer

Simpsonregel

Answer

Monte-Carlo-Methode

Question 26

Welche Fehlerordnung hat die Trapezregel?

Accepted Answer

O(h^2)

Answer

O(h)

Answer

O(h^3)

Answer

O(h^4)

Question 27

Welches numerische Verfahren eignet sich am besten zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen?

Accepted Answer

Runge-Kutta-Methode

Answer

Euler-Methode

Answer

Finite-Differenzen-Methode

Answer

Monte-Carlo-Methode

Question 28

Welche Methode der numerischen Integration eignet sich am besten für die Integration von Funktionen mit stark oszillierendem Verlauf?

Accepted Answer

Gauß-Legendre-Quadratur

Answer

Trapezregel

Answer

Simpsonregel

Answer

Monte-Carlo-Integration

Question 29

Welche Eigenschaft einer Matrix A garantiert die Konvergenz des Jacobi-Iterationsverfahrens zur Lösung des linearen Gleichungssystems Ax = b?

Accepted Answer

Sie ist streng diagonaldominant.

Answer

Sie ist positiv definit.

Answer

Sie ist symmetrisch und positiv definit.

Answer

Sie ist invertierbar.

Question 30

Welche der folgenden Aussagen beschreibt die Gram-Schmidt-Orthonormalisierung korrekt?

Accepted Answer

Sie erzeugt eine Orthogonalbasis aus einer Menge linear unabhängiger Vektoren.

Answer

Sie ist immer möglich, unabhängig von der Dimension des Vektorraums.

Answer

Sie liefert eine orthonormale Basis für den Nullraum der Matrix.

Answer

Sie ist nur anwendbar auf Vektoren im dreidimensionalen Raum.

Question 31

Welches numerische Verfahren eignet sich am besten zur Lösung von nichtlinearen Gleichungen?

Accepted Answer

Newton-Raphson-Verfahren

Answer

Bisection-Verfahren

Answer

Regula-Falsi-Verfahren

Answer

Fixpunktiteration

Question 32

Welche Methode der Interpolation eignet sich am besten für die Approximation einer Funktion mit stark ausgeprägten lokalen Minima und Maxima?

Accepted Answer

Splines

Answer

Lagrange-Interpolation

Answer

Newton-Interpolation

Answer

Hermite-Interpolation

Question 33

Welche Interpolationsmethode liefert für äquidistante Stützstellen ein Polynom vom geringsten Grad?

Accepted Answer

Lagrange-Interpolation

Answer

Hermite-Interpolation

Answer

Spline-Interpolation

Answer

Newton-Interpolation

Question 34

Welche Eigenschaft beschreibt die Konvergenzordnung eines numerischen Verfahrens?

Accepted Answer

Gibt die Geschwindigkeit an, mit der sich die Näherungslösung der exakten Lösung annähert

Answer

Gibt die Genauigkeit der Näherungslösung an

Answer

Beschreibt die Anzahl der Iterationen, die benötigt werden

Question 35

Welche Interpolationsmethode verwendet eine stückweise polynomiale Annäherung?

Accepted Answer

Spline-Interpolation

Answer

Newton-Interpolation

Answer

Lagrange-Interpolation

Answer

Hermite-Interpolation

Question 36

Welche Bedingung muss für die Konvergenz des Gauß-Seidel-Verfahrens erfüllt sein?

Accepted Answer

Diagonaldominanz

Answer

Symmetrie

Answer

Invertibilität

Answer

Definitheit

Question 37

Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit das Jacobi-Verfahren zur Lösung eines linearen Gleichungssystems konvergiert?

Accepted Answer

Die Matrix muss strikt diagonaldominant sein.

Answer

Die Matrix muss positiv definit sein.

Answer

Die Matrix muss symmetrisch sein.

Answer

Die Determinante der Matrix muss ungleich Null sein.

Question 38

Welche Interpolationsmethode verwendet Polynome zweiten Grades, um eine Funktion anhand gegebener Datenpunkte anzunähern?

Accepted Answer

Quadratische Interpolation

Answer

Kubische Spline-Interpolation

Answer

Lineare Interpolation

Answer

Newton-Interpolation

Question 39

Welcher Vorteil ergibt sich aus der Verwendung von kubischen Splines im Vergleich zur Polynominterpolation hohen Grades?

Accepted Answer

Kubische Splines sind weniger anfällig für Oszillationen.

Answer

Sie liefern immer eine exakte Lösung

Answer

Sie erfordern weniger Datenpunkte.

Answer

Sie sind einfacher zu berechnen.

Question 40

Welches Verfahren verwendet eine gewichtete Summe von Funktionswerten an äquidistanten Stützstellen zur Annäherung eines bestimmten Integrals?

Accepted Answer

Newton-Cotes-Formeln

Answer

Trapezregel

Answer

Monte-Carlo-Integration

Answer

Gauß-Quadratur

Question 41

Welches Verfahren nutzt die Nullstellen von orthogonalen Polynomen, um die Genauigkeit der numerischen Integration zu maximieren?

Accepted Answer

Gauß-Quadratur

Answer

Trapezregel

Answer

Newton-Cotes-Formeln

Answer

Monte-Carlo-Integration

Question 42

Was ist der Hauptgrund für die Verwendung numerischer Methoden anstelle von analytischen Verfahren?

Accepted Answer

Numerische Methoden ermöglichen die Lösung von Problemen, die analytisch nicht lösbar sind.

Answer

Sie sind immer weniger rechenintensiv.

Answer

Sie liefern immer exakte Lösungen.

Question 43

Welcher Faktor hat den größten Einfluss auf die Genauigkeit einer numerischen Lösung?

Accepted Answer

Die Wahl des Algorithmus und die Genauigkeit der Eingabedaten.

Answer

Die verwendete Programmiersprache.

Answer

Die Geschwindigkeit des Computers.

Question 44

Was beschreibt die Konditionszahl eines Problems?

Accepted Answer

Sie gibt an, wie empfindlich die Lösung auf Änderungen der Eingabedaten reagiert.

Answer

Sie ist unabhängig vom verwendeten Algorithmus.

Answer

Sie ist immer kleiner als 1.

Question 45

Welche der folgenden Methoden ist zur Lösung linearer Gleichungssysteme geeignet?

Accepted Answer

Gauß-Algorithmus

Answer

Quadraturverfahren

Answer

Monte-Carlo-Verfahren

Answer

Interpolationsverfahren

Question 46

Welches Interpolationsverfahren verwendet eine lineare Funktion, um die Werte zwischen gegebenen Datenpunkten zu interpolieren?

Accepted Answer

lineare Interpolation

Answer

quadratische Interpolation

Answer

Lagrange-Interpolation

Answer

Spline-Interpolation

Question 47

Welche numerische Integrationsmethode verwendet Trapeze, um die Fläche unter einer Kurve zu schätzen?

Accepted Answer

Trapezregel

Answer

Simpson-Regel

Answer

Monte-Carlo-Integration

Answer

Gauß-Quadratur

Question 48

Was ist das Ziel der numerischen Mathematik?

Accepted Answer

Entwicklung von Methoden zur Lösung mathematischer Probleme auf Computern

Answer

Herleitung von mathematischen Formeln

Answer

Beweis mathematischer Theoreme

Question 49

Was ist der Nachteil der Monte-Carlo-Methode?

Accepted Answer

Kann langsam sein und zu ungenauen Ergebnissen führen

Answer

Kann nicht auf parallelen Rechnern verwendet werden

Answer

Ist nur für lineare Probleme geeignet

Question 50

Welches der folgenden Kriterien sollte bei der Auswahl einer numerischen Methode berücksichtigt werden?

Accepted Answer

Stabilität, Konvergenz und Genauigkeit

Answer

Größe des Datensatzes

Answer

Art des Computers

Answer

Programmiersprache

Question 51

Welches Verfahren eignet sich am besten zur Lösung eines linearen Gleichungssystems mit 5 Gleichungen und 5 Unbekannten?

Accepted Answer

Gaußsches Eliminationsverfahren

Answer

Gleichsetzungsverfahren

Answer

Einsetzungsverfahren

Answer

Cramer'sche Regel

Question 52

Was ist der Hauptvorteil der LR-Zerlegung gegenüber dem Gaußschen Eliminationsverfahren zur Lösung eines linearen Gleichungssystems?

Accepted Answer

Geringerer Rechenaufwand bei mehrfacher Lösung mit unterschiedlichen rechten Seiten

Answer

Einfacherer Algorithmus

Answer

Geringere Fehleranfälligkeit

Question 53

Welche Interpolationsmethode verwendet Polynome zweiten Grades, um eine glatte Kurve durch gegebene Datenpunkte zu legen?

Accepted Answer

Quadratische Interpolation

Answer

Lagrange-Interpolation

Answer

Spline-Interpolation

Answer

Lineare Interpolation

Question 54

Was ist der Nachteil der Verwendung von Polynomen hohen Grades bei der Interpolation?

Accepted Answer

Erhöhtes Risiko von Oszillationen und Überanpassung an die Datenpunkte

Answer

Geringere Genauigkeit

Answer

Hoher Rechenaufwand

Question 55

Welche Aussage über die Spline-Interpolation ist FALSCH?

Accepted Answer

Spline-Interpolation verwendet ein einzelnes Polynom hohen Grades, um alle Datenpunkte zu interpolieren.

Answer

Spline-Interpolation erzeugt glatte Kurven mit stetigen ersten und zweiten Ableitungen.

Question 56

Welches numerische Integrationsverfahren approximiert die Fläche unter der Kurve durch Trapeze?

Accepted Answer

Trapezregel

Answer

Simpson-Regel

Answer

Gauß-Quadratur

Answer

Rechteckregel

Question 57

Welche Aussage über die Simpson-Regel ist RICHTIG?

Accepted Answer

Die Simpson-Regel verwendet Parabeln zur Approximation der Funktion.

Answer

Die Simpson-Regel erfordert keine äquidistanten Stützstellen.

Answer

Die Simpson-Regel ist ungenauer als die Trapezregel.

Question 58

Was ist der Vorteil der Gauß-Quadratur gegenüber anderen numerischen Integrationsverfahren?

Accepted Answer

Höhere Genauigkeit bei gleicher Anzahl von Funktionsauswertungen

Answer

Geringerer Rechenaufwand

Answer

Einfacherer Algorithmus

Question 59

Was ist ein typisches Anwendungsbeispiel für numerische Integration in der Praxis?

Accepted Answer

Berechnung der Fläche eines unregelmäßig geformten Grundstücks

Answer

Interpolation von Messdaten

Answer

Lösung eines linearen Gleichungssystems

Question 60

Welcher Faktor beeinflusst die Genauigkeit numerischer Verfahren im Allgemeinen?

Accepted Answer

Rundungsfehler

Answer

Komplexität des Algorithmus

Answer

Programmiersprache