Eigenwerte und Eigenvektoren: Interaktive Übungen und Quizfragen

Question 1

Welche der folgenden Bedingungen stellt sicher, dass eine Matrix diagonalisierbar ist?

Accepted Answer

Die Matrix hat linear unabhängige Eigenvektoren.

Answer

Die Matrix hat gleiche Eigenwerte.

Answer

Die Matrix hat nicht-reelle Eigenwerte.

Answer

Die Matrix hat eine Nullspalte.

Question 2

Was entspricht der Summe der Eigenwerte einer Matrix?

Accepted Answer

Der Spur der Matrix

Answer

Der Determinante der Matrix

Answer

Dem Rang der Matrix

Answer

Der Anzahl der Eigenvektoren

Question 3

Welche der aufgeführten Matrizen ist nicht diagonalisierbar?

Accepted Answer

[[2, 2], [2, 2]]

Answer

[[2, 1], [1, 2]]

Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Answer

[[3, 1], [0, 3]]

Question 4

Wie lautet die charakteristische Gleichung einer Matrix A?

Accepted Answer

det(A - λI) = 0

Answer

eig(A - λI) = 0

Answer

rank(A - λI) = 0

Answer

trace(A - λI) = 0

Question 5

Welche der folgenden Aussagen trifft auf eine Matrix A mit Eigenwerten λ_1 und λ_2 zu?

Accepted Answer

Die Matrix A ist diagonalisierbar, falls ihre Eigenvektoren linear unabhängig sind.

Answer

Die Matrix A hat genau einen Eigenvektor.

Answer

Die Matrix A ist invertierbar.

Answer

Die Matrix A ist nilpotent.

Question 6

Welche Aussage über die Spur einer Matrix ist korrekt?

Accepted Answer

Sie ist gleich der Summe der Eigenwerte der Matrix.

Answer

Sie ist gleich dem Produkt der Eigenwerte der Matrix.

Answer

Sie ist gleich der Determinante der Matrix.

Answer

Sie ist gleich der Anzahl der Eigenvektoren der Matrix.

Question 7

Welche Eigenschaft besitzen symmetrische Matrizen?

Accepted Answer

Alle genannten Eigenschaften.

Answer

Ihre Eigenwerte sind reell.

Answer

Ihre Eigenvektoren sind paarweise orthogonal.

Answer

Sie sind immer diagonalisierbar.

Question 8

Was stellt ein Eigenvektor geometrisch dar?

Accepted Answer

Eine Gerade durch den Ursprung im Vektorraum.

Answer

Eine Ebene durch den Ursprung im Vektorraum.

Answer

Einen Punkt im Vektorraum.

Answer

Einen Untervektorraum des Vektorraums.

Question 9

Welche Aussage über Eigenwerte ist korrekt?

Accepted Answer

Eigenwerte können sowohl reell als auch komplex sein.

Answer

Eigenwerte sind immer reell.

Answer

Eigenwerte sind niemals gleich Null.

Question 10

Welche Gleichung beschreibt die Eigenwertgleichung für die Matrix A?

Accepted Answer

A x = λ x

Answer

A x = λ x + b

Answer

x A = λ x

Question 11

Welche Aussage über die Summe der Eigenwerte einer Matrix ist korrekt?

Accepted Answer

Sie ist gleich der Spur der Matrix.

Answer

Sie ist immer gleich Null.

Answer

Sie ist gleich der Determinante der Matrix.

Question 12

Wie viele Eigenwerte kann eine n x n-Matrix maximal haben?

Accepted Answer

n

Answer

n^2

Answer

2n

Question 13

Welche Aussage über nicht diagonalisierbare Matrizen ist korrekt?

Accepted Answer

Sie haben einige Eigenwerte, die mehrfach auftreten.

Answer

Sie haben keine Eigenwerte.

Answer

Sie können immer in eine Diagonalform transformiert werden.

Question 14

Welche Aussage über den Kern einer Matrix ist richtig?

Accepted Answer

Er ist der Vektorraum aller Eigenvektoren mit dem Eigenwert 0.

Answer

Er ist der Vektorraum aller Eigenvektoren mit dem Eigenwert 1.

Answer

Er ist der Vektorraum aller Eigenvektoren.

Question 15

Welcher der folgenden Vektoren ist ein Eigenvektor von A = [[3, -1], [1, 2]] mit dem Eigenwert λ = 2?

Accepted Answer

v = [1, 1]

Answer

v = [2, 1]

Answer

v = [3, 0]

Answer

v = [-1, 2]

Question 16

Welche Aussage über Eigenvektoren ist richtig?

Accepted Answer

Eigenvektoren sind immer linear unabhängig.

Answer

Eigenvektoren sind immer senkrecht zueinander.

Answer

Eigenvektoren haben immer die Länge 1.

Answer

Eigenvektoren können nur für symmetrische Matrizen existieren.

Question 17

Was ist die geometrische Bedeutung eines Eigenvektors?

Accepted Answer

Er gibt die Richtung eines invarianten Teilraums an.

Answer

Er gibt die Länge des Eigenwerts an.

Answer

Er gibt den Winkel zwischen zwei Eigenvektoren an.

Answer

Er gibt die Spur der Matrix an.

Question 18

Welcher der folgenden Sätze ist der Spektralsatz?

Accepted Answer

Jede hermitesche Matrix ist diagonalisierbar.

Answer

Jede Normalmatrix ist diagonalisierbar.

Answer

Jede unitäre Matrix ist diagonalisierbar.

Answer

Jede Matrix ist diagonalisierbar.

Question 19

Beweise, dass die Summe der Eigenwerte einer Matrix gleich der Spur der Matrix ist.

Accepted Answer

Die Summe der Eigenwerte einer Matrix ist gleich der Spur der Matrix.

Answer

Die Summe der Eigenwerte einer Matrix ist immer größer als die Spur der Matrix.

Answer

Die Summe der Eigenwerte einer Matrix ist immer kleiner als die Spur der Matrix.

Question 20

Wie können Eigenwerte und Eigenvektoren genutzt werden, um die Stabilität von Systemen zu analysieren?

Accepted Answer

Eigenwerte zeigen die Stabilität des Systems, während Eigenvektoren die Richtung möglicher Schwingungen angeben.

Answer

Eigenwerte dienen zur Berechnung der Determinante einer Matrix, während Eigenvektoren für die Spur einer Matrix genutzt werden.

Answer

Eigenwerte und Eigenvektoren haben keine praktische Anwendung in der Systemanalyse.

Answer

Eigenvektoren bestimmen die Stabilität eines Systems, während Eigenwerte die Bewegungsrichtung angeben.

Question 21

Welcher der folgenden Vektoren ist ein Eigenvektor der Matrix [[3, 1], [1, 3]] zum Eigenwert λ = 4?

Accepted Answer

[1, 1]

Answer

[-1, 1]

Answer

[2, 1]

Answer

[-2, 1]

Question 22

Welche der folgenden Aussagen über symmetrische Matrizen ist richtig?

Accepted Answer

Alle der oben genannten Aussagen sind zutreffend.

Answer

Symmetrische Matrizen sind immer diagonalisierbar.

Answer

Eigenvektoren symmetrischer Matrizen sind immer orthonormal.

Answer

Eigenwerte symmetrischer Matrizen sind immer reell.

Question 23

Welche der folgenden Aussagen über Eigenwerte ist korrekt?

Accepted Answer

Eigenwerte sind Lösungen der charakteristischen Gleichung einer Matrix.

Answer

Eigenwerte sind immer reellwertig.

Answer

Eigenwerte können nur ganze Zahlen sein.

Answer

Eigenwerte sind nur bei symmetrischen Matrizen definiert.

Question 24

Welche Aussage über diagonalisierbare Matrizen ist falsch?

Accepted Answer

Diagonalisierbare Matrizen sind immer symmetrisch.

Answer

Diagonalisierbare Matrizen haben n linear unabhängige Eigenvektoren.

Answer

Diagonalisierbare Matrizen können nur quadratisch sein.

Answer

Die Eigenwerte einer diagonalisierbaren Matrix sind immer eindeutig bestimmt.

Question 25

Welche der folgenden Aussagen über Eigenwerte ist immer wahr?

Accepted Answer

Die Summe der Eigenwerte ist gleich der Spur der Matrix.

Answer

Das Produkt der Eigenwerte ist gleich der Determinante der Matrix.

Answer

Die Eigenwerte sind immer positiv.

Answer

Die Eigenwerte sind immer negativ.

Question 26

Welche der folgenden Matrizen ist nicht diagonalisierbar?

Accepted Answer

[[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]

Answer

[[1, 2], [2, 1]]

Answer

[[2, 1], [0, 2]]

Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Question 27

Was ist die geometrische Interpretation eines Eigenvektors?

Accepted Answer

Eine Gerade durch den Ursprung.

Answer

Eine Ebene durch den Ursprung.

Answer

Ein Vektor parallel zur x-Achse.

Answer

Ein Vektor senkrecht zur y-Achse.

Question 28

Was ist die Spur einer Matrix?

Accepted Answer

Die Summe der Hauptdiagonalelemente.

Answer

Die Summe der Nebendiagonalelemente.

Answer

Das Produkt der Eigenwerte.

Answer

Die Determinante der Matrix.

Question 29

Welcher Satz besagt, dass eine Matrix dann und nur dann diagonalisierbar ist, wenn sie n линейно unabhängige Eigenvektoren besitzt?

Accepted Answer

Satz von Spektraltheorem.

Answer

Satz von Sylvester.

Answer

Satz von Cayley-Hamilton.

Answer

Satz von Frobenius.

Question 30

Welche Aussage über Eigenwerte ist falsch?

Accepted Answer

Sie sind immer reell.

Answer

Sie sind invariant gegenüber Basiswechsel.

Answer

Sie können mehrfach vorkommen.

Answer

Sie bestimmen die Diagonalform der Matrix.

Question 31

Welche der folgenden Matrizen ist nicht diagonalisierbar über den reellen Zahlen?

Accepted Answer

Eine Matrix mit komplexen Eigenwerten.

Answer

Eine Matrix mit mehrfachen Eigenwerten.

Answer

Eine Matrix mit einer Nullzeile.

Answer

Eine Matrix mit positiven Eigenwerten.

Question 32

Welche der folgenden Aussagen über Diagonalisierbarkeit ist richtig?

Accepted Answer

Nicht alle Matrizen sind diagonalisierbar.

Answer

Alle reellen Matrizen sind diagonalisierbar.

Answer

Nur symmetrische Matrizen sind diagonalisierbar.

Answer

Die Diagonalisierbarkeit hängt vom Rang der Matrix ab.

Question 33

Welche der folgenden Aussagen über Eigenwerte ist falsch?

Accepted Answer

Eigenwerte müssen immer positiv sein.

Answer

Eigenwerte sind Zahlen, die die Matrix skalieren.

Answer

Eigenwerte sind charakteristische Werte einer Matrix.

Answer

Eigenwerte können sowohl reell als auch komplex sein.

Question 34

Was ist die Spur einer Matrix?

Accepted Answer

Die Summe der Diagonaleneinträge.

Answer

Die Differenz der Diagonaleneinträge.

Answer

Das Produkt der Diagonaleneinträge.

Answer

Die Determinante der Matrix.

Question 35

Was ist der Rang einer Matrix?

Accepted Answer

Die Anzahl der linear unabhängigen Zeilen oder Spalten.

Answer

Die Anzahl der Eigenwerte der Matrix.

Answer

Die Summe der Diagonaleneinträge.

Answer

Die Determinante der Matrix.

Question 36

Welche der folgenden Aussagen über Diagonalisierbarkeit ist richtig?

Accepted Answer

Eine Matrix ist diagonalisierbar, wenn sie eine vollständige Menge von Eigenvektoren besitzt.

Answer

Eine Matrix ist diagonalisierbar, wenn sie symmetrisch ist.

Answer

Eine Matrix ist diagonalisierbar, wenn sie reelle Eigenwerte besitzt.

Answer

Eine Matrix ist diagonalisierbar, wenn ihre Eigenwerte alle voneinander verschieden sind.

Question 37

Welche der folgenden Aussagen über Eigenwerte ist korrekt?

Accepted Answer

Eigenwerte sind Lösungen der charakteristischen Gleichung einer Matrix.

Answer

Eigenwerte sind stets positiv.

Answer

Eigenwerte können nur reell sein.

Answer

Eigenwerte sind nur für symmetrische Matrizen definiert.

Question 38

Welcher der folgenden Vektoren ist ein Eigenvektor der Matrix [1 2] [3 4] für den Eigenwert 2?

Accepted Answer

[1] [-1]

Answer

[1] [1]

Answer

[1] [0]

Answer

[0] [1]

Question 39

Welche der folgenden Aussagen beschreibt die geometrische Interpretation von Eigenwerten und Eigenvektoren korrekt?

Accepted Answer

Eigenwerte und Eigenvektoren geben die Richtung und Länge der Hauptachsen einer Ellipse an, die durch die Matrix transformiert wird.

Answer

Eigenwerte und Eigenvektoren geben die Koordinaten der Schnittpunkte einer Parabel mit der x-Achse an.

Answer

Eigenwerte und Eigenvektoren geben die Steigung und den y-Achsenabschnitt einer Geraden an, die durch die Matrix transformiert wird.

Answer

Eigenwerte und Eigenvektoren geben die Länge und die Amplitude einer Sinusfunktion an.

Question 40

Bestimmen Sie die Eigenwerte der Matrix [1 3 0] [0 2 1] [0 0 4].

Accepted Answer

1, 2, 4

Answer

1, 3, 4

Answer

1, 2, 3

Answer

2, 3, 4

Question 41

Welche der folgenden Aussagen ist korrekt bezüglich der Eigenvektoren einer quadratischen Matrix A?

Accepted Answer

Ein Eigenvektor ist ein Vektor, der von A auf ein Vielfaches von sich selbst abgebildet wird.

Answer

Ein Eigenvektor ist ein Vektor, der von A auf einen Vektor der gleichen Länge abgebildet wird.

Answer

Ein Eigenvektor ist ein Vektor, der von A auf den Nullvektor abgebildet wird.

Answer

Ein Eigenvektor ist ein Vektor, der von A auf einen orthogonalen Vektor abgebildet wird.

Question 42

Sei \lambda ein Eigenwert der Matrix A und v ein zugehöriger Eigenvektor. Welche der folgenden Gleichungen ist korrekt?

Accepted Answer

Av = λv

Answer

A^2v = λ^2v

Answer

det(A - λI) = 0

Answer

v = 0

Question 43

Welcher der folgenden Vektoren ist ein Eigenvektor zur Matrix A = [2 1; -1 3]?

Accepted Answer

[1; 1]

Answer

[1; 0]

Answer

[0; 1]

Answer

[0; 0]

Question 44

Welcher der folgenden Eigenwerte ist algebraisch mehrfach?

Accepted Answer

λ = 0 von A = [0 1; -1 0]

Answer

Question 45

Ein Eigenwert einer Matrix ist:

Accepted Answer

eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms der Matrix

Answer

eine Lösung des homogenen linearen Gleichungssystems Ax = 0

Answer

eine Determinante der Matrix

Answer

eine Spur der Matrix

Question 46

Bestimmen Sie den Eigenwert der Matrix A = [[2, 1], [-1, 2]] zur Eigenrichtung x = [1, 1].

Accepted Answer

3

Answer

-1

Answer

1

Question 47

Wie lautet die Eigenvektorgleichung für die Matrix A = [[1, 2], [-1, 1]]?

Accepted Answer

(A - λ * I) * x = 0

Answer

A * x = λ * x

Answer

A * (x - λ) = 0

Answer

(A - λ) * x = 0

Question 48

Welche der folgenden Aussagen über Eigenvektoren ist richtig?

Accepted Answer

Eigenvektoren sind Richtungen, die durch eine Matrix nicht gedreht werden, sondern nur gestreckt oder gestaucht.

Answer

Eigenvektoren sind immer normiert.

Answer

Eigenvektoren sind immer linear abhängig.

Question 49

Welche Aussage zur Diagonalisierbarkeit einer Matrix ist korrekt?

Accepted Answer

Eine Matrix ist genau dann diagonalisierbar, wenn sie n linear unabhängige Eigenvektoren besitzt, wobei n die Dimension der Matrix ist.

Answer

Eine Matrix ist immer diagonalisierbar, wenn sie eine inverse Matrix besitzt.

Answer

Eine Matrix ist nur diagonalisierbar, wenn sie eine symmetrische Matrix ist.

Question 50

Welche der folgenden Aussagen beschreibt Eigenwerte am besten?

Accepted Answer

Lösungen der charakteristischen Gleichung einer Matrix.

Answer

Diagonalkoeffizienten einer Matrix.

Answer

Vektoren, die sich unter Transformationen nicht verändern.

Question 51

Welche Eigenschaft beschreibt die Spur einer Matrix?

Accepted Answer

Summe der Eigenwerte

Answer

Rang der Matrix

Answer

Determinante der Matrix

Answer

Anzahl der Zeilen

Question 52

Welche geometrische Bedeutung haben Eigenvektoren?

Accepted Answer

Richtung der Hauptkomponenten in einer Transformation

Answer

Länge der Hauptkomponenten

Answer

Winkel zwischen Hauptkomponenten

Answer

Betrag der Hauptkomponenten

Question 53

Welche Gleichung muss für die Matrix A = [a b; c d] gelöst werden, um ihre Eigenwerte zu bestimmen?

Accepted Answer

det(A - λI) = 0

Answer

det(A) = λ

Answer

λA = I

Answer

tr(A) = λ

Question 54

Die Menge aller Eigenwerte einer Matrix $A$ wird als $Eigenwertspektrum$ bezeichnet.

Accepted Answer

Eigenwertspektrum

Answer

Determinante

Answer

Spur

Answer

Eigenraum

Question 55

Welche Aussage über eine diagonalisierbare $n\times n$-Matrix ist richtig?

Accepted Answer

Die Eigenräume zu den verschiedenen Eigenwerten sind paarweise orthogonal.

Answer

Die Matrix $A$ ist symmetrisch.

Answer

Die Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind immer linear abhängig.

Question 56

Welche der folgenden Matrizen ist nicht diagonalisierbar?

Accepted Answer

$egin{bmatrix} 1 & 1 \ -1 & 1 end{bmatrix}$

Answer

$egin{bmatrix} 2 & -1 \ 1 & 2 end{bmatrix}$

Answer

$egin{bmatrix} 0 & 1 \ -1 & 0 end{bmatrix}$

Answer

$egin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & -1 end{bmatrix}$

Question 57

Der Eigenraum zum Eigenwert $λ=2$ der Matrix $egin{bmatrix} 2 & -1 \ 1 & 2 end{bmatrix}$ besteht aus allen Vektoren $\begin{bmatrix} x \ x end{bmatrix}$, wobei $x$ eine beliebige Zahl ist.

Accepted Answer

Alle Vektoren $\begin{bmatrix} x \ x end{bmatrix}$, wobei $x$ eine beliebige Zahl ist.

Answer

Alle Vektoren $\begin{bmatrix} -x \ x end{bmatrix}$, wobei $x$ eine beliebige Zahl ist.

Answer

Alle Vektoren $\begin{bmatrix} x \ -x end{bmatrix}$, wobei $x$ eine beliebige Zahl ist.

Question 58

Wie viele Eigenwerte hat eine $n\times n$-Matrix?

Accepted Answer

n

Answer

2n

Answer

n-1

Question 59

Welche Aussage über Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix ist richtig?

Accepted Answer

Ein Eigenwert ist ein Skalar λ, für den es einen von Null verschiedenen Vektor v gibt, sodass Av = λv gilt.

Answer

Ein Eigenvektor ist eine Matrix A, für den es einen von Null verschiedenen Vektor v gibt, sodass Av = λv gilt.

Answer

Ein Eigenvektor ist ein Skalar λ, für den es eine Matrix A gibt, sodass Av = λv gilt.

Answer

Ein Eigenwert ist ein Vektor v, für den es einen von Null verschiedenen Skalar λ gibt, sodass Av = λv gilt.

Question 60

Ist die Matrix A = ((2, 0), (0, 3)) diagonalisierbar?

Accepted Answer

Ja, da sie zwei verschiedene Eigenwerte hat.

Answer

Nur, wenn λ = 0

Answer

Nein, da sie keine reellen Eigenwerte hat.

Answer

Nur, wenn λ ≠ 0

Question 61

Gegeben sei die Matrix A = [[2, 1], [1, 2]]. Welcher der folgenden Vektoren ist ein Eigenvektor von A?

Accepted Answer

[1, 1]

Answer

[0, 1]

Answer

[1, 0]

Question 62

Die Eigenwerte einer Matrix A sind λ₁ = 2 und λ₂ = -1. Welches ist der entsprechende Eigenraum zum Eigenwert λ₁?

Accepted Answer

Die Menge aller Vektoren, die bei Multiplikation mit A mit dem Faktor 2 multipliziert werden.

Answer

Die Menge aller Vektoren, die bei Multiplikation mit A unverändert bleiben.

Answer

Die Menge aller Vektoren, die bei Multiplikation mit A mit dem Faktor -1 multipliziert werden.

Question 63

Was ist die geometrische Interpretation des Eigenraums eines Eigenwerts?

Accepted Answer

Der Eigenraum ist eine Gerade durch den Ursprung, auf der alle Vektoren bei der linearen Transformation nur gestreckt oder gestaucht werden.

Answer

Der Eigenraum ist ein Punkt, an dem alle Vektoren durch die lineare Transformation fixiert werden.

Question 64

Welche Aussage über die Diagonalisierbarkeit einer Matrix ist falsch?

Accepted Answer

Eine Matrix kann diagonalisiert werden, wenn sie mindestens zwei verschiedene Eigenwerte hat.

Answer

Die Diagonalisierung einer Matrix ermöglicht die Vereinfachung von Matrixmultiplikationen.

Answer

Eine Matrix kann diagonalisiert werden, wenn sie eine Basis aus Eigenvektoren besitzt.