Lineare Algebra: Vektoren und Matrizen - Online-Quizzes für Klasse 12

Question 1

Was ist der Rang einer Matrix? Bestimme den Rang der Matrix [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]].

Accepted Answer

Die Anzahl der linear unabhängigen Zeilen oder Spalten der Matrix.

Answer

Die Anzahl der Zeilen der Matrix.

Answer

Die Anzahl der Spalten der Matrix.

Question 2

Wie hängt der Rang einer Matrix mit der Anzahl ihrer linear unabhängigen Zeilen zusammen?

Accepted Answer

Der Rang entspricht der maximalen Anzahl linear unabhängiger Zeilen oder Spalten.

Answer

Der Rang ist immer gleich der Anzahl der Zeilen.

Answer

Der Rang ist immer gleich der Anzahl der Spalten.

Answer

Der Rang ist die Summe der Zeilen- und Spaltenanzahl.

Question 3

Gegeben sei die lineare Abbildung T: R² → R³, T(x, y) = (2x + y, x - y, z). Bestimme die Matrix, die diese Abbildung darstellt, und ihre Inverse, falls sie existiert.

Accepted Answer

Matrix:
[2 1 0]
[1 -1 0]
[0 0 1]

Inverse:
[1/2 -1/2 0]
[1/2 1/2 0]
[0 0 1]

Answer

Matrix:
[2 1 0]
[1 -1 0]
[0 0 0]

Keine Inverse, da die Matrix nicht invertierbar ist.

Answer

Matrix:
[1 2 0]
[0 1 0]
[0 0 1]

Inverse:
[1 -2 0]
[0 1 0]
[0 0 1]

Answer

Matrix:
[2 1 0]
[1 -1 0]
[0 0 1]

Inverse:
[-1/2 1/2 0]
[-1/2 -1/2 0]
[0 0 1]

Question 4

Was ist das Minimalpolynom einer Matrix A? Erläutere seine Bedeutung und zeige, wie es bei der Lösung linearer Differentialgleichungen verwendet wird.

Accepted Answer

Das Minimalpolynom von A ist das monische Polynom niedrigsten Grades mit Koeffizienten aus dem Körper K, sodass p(A) = 0.

Answer

Das Minimalpolynom von A ist das Polynom höchsten Grades mit Koeffizienten aus dem Körper K, sodass p(A) = A.

Answer

Das Minimalpolynom von A ist das Polynom mit Koeffizienten aus dem Körper K, sodass p(A) = I.

Answer

Das Minimalpolynom von A ist das Polynom mit Koeffizienten aus dem Körper K, sodass p(A) = A^-1.

Question 5

Welche Aussage über Matrizen ist falsch?

Accepted Answer

Die Multiplikation von Matrizen ist vertauschbar.

Answer

Matrizen sind rechteckige Anordnungen von Zahlen.

Answer

Die Dimension einer Matrix wird durch Zeilen und Spalten bestimmt.

Answer

Die Addition von Matrizen ist nur möglich, wenn sie die gleiche Größe haben.

Question 6

Was ist eine zutreffende Aussage über Matrizen?

Accepted Answer

Eine Matrix ist eine Anordnung von Zahlen in Zeilen und Spalten.

Answer

Eine Matrix muss immer quadratisch sein.

Answer

Matrizen können nur für lineare Gleichungssysteme genutzt werden.

Question 7

Welche der folgenden Aussagen beschreibt einen Vektor im R^n korrekt?

Accepted Answer

Eine geordnete Liste von n Zahlen mit Länge und Richtung

Answer

Eine ungeordnete Menge von n Zahlen

Answer

Ein Punkt in einem n-dimensionalen Raum

Answer

Zwei Vektoren sind gleich, wenn sie die gleiche Länge haben

Question 8

Berechne das Skalarprodukt der Vektoren a = (1, 2, 3) und b = (4, 5, 6).

Accepted Answer

12

Answer

24

Answer

36

Answer

48

Question 9

Welche Eigenschaft trifft auf die Determinante einer Matrix zu?

Accepted Answer

Sie ist gleich dem Produkt der Eigenwerte.

Answer

Sie gibt die Größe der Matrix an.

Answer

Sie ist immer positiv.

Answer

Sie ist gleich der Summe der Eigenwerte.

Question 10

Was beschreibt der Rang einer Matrix?

Accepted Answer

Die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen oder Spalten der Matrix

Answer

Die Anzahl der Zeilen oder Spalten der Matrix

Answer

Die Determinante der Matrix

Answer

Die Summe der Elemente der Matrix

Question 11

Welche der folgenden Gleichungen ist eine lineare Gleichung?

Accepted Answer

y = 2x + 1

Answer

y = x^2

Answer

y = sin(x)

Answer

y = e^x

Question 12

Mit welcher Formel berechnet man die Inverse einer Matrix?

Accepted Answer

A^-1 = (1/det(A)) * A^T

Answer

A^-1 = A^T

Answer

A^-1 = -A

Answer

Es gibt keine Formel zur Berechnung der inversen einer Matrix

Question 13

Was sind Eigenwerte und Eigenvektoren?

Accepted Answer

Eigenwerte sind Lösungen einer charakteristischen Gleichung und Eigenvektoren sind Vektoren, die von einer Matrix auf ein Vielfaches ihrer selbst abgebildet werden.

Answer

Eigenwerte sind Vektoren und Eigenvektoren sind Lösungen einer charakteristischen Gleichung.

Answer

Eigenwerte sind Lösungen einer Matrixgleichung und Eigenvektoren sind Matrizen.

Answer

Eigenwerte sind Funktionen und Eigenvektoren sind Variablen.

Question 14

Welche Aussage über Eigenwerte und Eigenvektoren ist falsch?

Accepted Answer

Eigenvektoren sind Vektoren, die bei Multiplikation mit der Matrix einen parallelen Vektor ergeben.

Answer

Eigenwerte können komplexe Zahlen sein.

Answer

Eine Matrix kann mehrere Eigenwerte haben.

Answer

Eigenwerte und Eigenvektoren können zur Lösung linearer Gleichungssysteme eingesetzt werden.

Question 15

Welche der folgenden Aussagen über Vektoren ist nicht korrekt?

Accepted Answer

Vektoren können nur im zweidimensionalen Raum dargestellt werden.

Answer

Vektoren können addiert und subtrahiert werden.

Answer

Vektoren haben eine Größe und eine Richtung.

Answer

Vektoren können mit Skalaren multipliziert werden.

Question 16

Welche der folgenden Matrizen ist die Einheitsmatrix?

Accepted Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Answer

[[0, 1], [1, 0]]

Answer

[[1, 2], [3, 4]]

Answer

[[0, 0], [0, 0]]

Question 17

Welche der folgenden Matrizen ist eine Diagonalmatrix?

Accepted Answer

[[1, 0, 0], [0, 2, 0], [0, 0, 3]]

Answer

[[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]

Answer

[[1, 2, 3], [0, 4, 5], [0, 0, 6]]

Answer

[[0, 1, 2], [3, 4, 5], [6, 7, 8]]

Question 18

Welche der folgenden Matrizen ist eine **Einheitsmatrix**?

Accepted Answer

$egin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 end{pmatrix}$

Answer

$egin{pmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 end{pmatrix}$

Answer

$egin{pmatrix} 1 & 1 \ 0 & -1 end{pmatrix}$

Answer

$egin{pmatrix} 2 & 0 \ 0 & 2 end{pmatrix}$

Question 19

Welche der folgenden Matrizen ist die Einheitsmatrix?

Accepted Answer

$$$ I = egin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 end{pmatrix} $$$

Answer

$$$ I = egin{pmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 end{pmatrix} $$$

Answer

$$$ I = egin{pmatrix} 0 & 1 \ -1 & 1 end{pmatrix} $$$

Answer

$$$ I = egin{pmatrix} 1 & 0 \ -1 & 0 end{pmatrix} $$$

Question 20

Welche der folgenden Operationen ist nicht für Matrizen zulässig?

Accepted Answer

Division

Answer

Addition

Answer

Multiplikation mit Skalaren

Answer

Multiplikation von Matrizen

Question 21

Welcher der folgenden Vektoren ist eine Linearkombination der Vektoren v1 = (1, 2) und v2 = (3, 4)?

Accepted Answer

(5, 8)

Answer

(1, 0)

Answer

(0, 0)

Answer

(2, 3)

Question 22

Die Determinante der Matrix A = \egin{pmatrix} 3 & 2 \ 1 & 1 \end{pmatrix} beträgt:

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

2

Answer

3

Question 23

Welche Aussage über Vektoren im Rⁿ trifft zu?

Accepted Answer

Die Summe zweier Vektoren im Rⁿ ist ein Vektor im Rⁿ.

Answer

Ein Vektor im Rⁿ besteht aus genau einer Komponente.

Answer

Zwei Vektoren im Rⁿ sind gleich, wenn sie dieselbe Länge haben.

Question 24

Welche der folgenden Aussagen über Matrizen ist falsch?

Accepted Answer

Die Determinante einer Matrix ist immer positiv.

Answer

Die Inverse einer Matrix existiert nur, wenn die Determinante ungleich null ist.

Answer

Das Produkt zweier Matrizen ist eine Matrix.

Answer

Die Summe zweier Matrizen ist wieder eine Matrix.

Question 25

Welche der folgenden Aussagen über Vektoren ist richtig?

Accepted Answer

Vektoren können addiert und subtrahiert werden.

Answer

Vektoren können nur in eine Richtung zeigen

Answer

Vektoren sind immer orthogonal zueinander.

Answer

Vektoren haben keine Länge

Question 26

Welche der folgenden Matrizen ist eine Einheitsmatrix?

Accepted Answer

[1 0; 0 1]

Answer

[0 0; 0 0]

Answer

[0 1; 1 0]

Answer

[1 1; 1 1]

Question 27

Welche der folgenden Aussagen über lineare Gleichungssysteme ist richtig?

Accepted Answer

Ein lineares Gleichungssystem kann mehrere Lösungen haben.

Answer

Ein lineares Gleichungssystem hat immer genau eine Lösung.

Answer

Ein lineares Gleichungssystem ist immer lösbar.

Question 28

Welche der folgenden Anweisungen ist NICHT eine zulässige Operation auf Matrizen?

Accepted Answer

Addition mit einer Zahl

Answer

Multiplikation mit einer Matrix

Answer

Determinanten berechnen

Answer

Invers berechnen

Question 29

Welche der folgenden Eigenschaften trifft auf linear abhängige Vektoren zu?

Accepted Answer

Ein Vektor kann als Linearkombination der anderen ausgedrückt werden.

Answer

Die Vektoren sind orthogonal zueinander.

Answer

Die Vektoren haben die gleiche Länge.

Question 30

Welcher der folgenden Vektoren ist linear abhängig von den anderen drei Vektoren?

Accepted Answer

3(1, 2, -1) - 2(2, 4, -2)

Answer

(1, 2, -1)

Answer

(4, 8, -4)

Answer

(2, 4, -2)

Question 31

Welche Aussage über die Inverse einer Matrix ist korrekt?

Accepted Answer

Die Inverse einer Matrix existiert nur, wenn die Determinante ungleich Null ist.

Answer

Die Inverse einer Matrix ist immer eine symmetrische Matrix.

Answer

Die Inverse einer Matrix ist immer eine Diagonalmatrix.

Question 32

Welche der folgenden Aussagen über Vektoren ist korrekt?

Accepted Answer

Ein Vektor hat eine Größe und eine Richtung.

Answer

Ein Vektor hat nur eine Richtung.

Answer

Ein Vektor hat nur eine Größe.

Question 33

Wie berechnet man das Skalarprodukt zweier Vektoren?

Accepted Answer

Durch Multiplikation der entsprechenden Komponenten und anschließender Summation der Produkte

Answer

Durch Division der Komponenten des einen Vektors durch die des anderen

Answer

Durch Subtraktion der Komponenten des einen Vektors von denen des anderen

Question 34

Welche der folgenden Aussagen über Matrizen ist korrekt?

Accepted Answer

Eine Matrix ist eine rechteckige Anordnung von Zahlen in Zeilen und Spalten.

Answer

Eine Matrix hat nur eine Zeile.

Answer

Eine Matrix hat nur eine Spalte.

Question 35

Was versteht man unter dem Rang einer Matrix?

Accepted Answer

Die Anzahl der linear unabhängigen Zeilen oder Spalten einer Matrix

Answer

Die Summe aller Elemente in einer Matrix

Answer

Die Differenz zwischen der Anzahl der Zeilen und Spalten einer Matrix

Answer

Die Determinante einer Matrix

Question 36

Welche der folgenden Aussagen über das Lösen linearer Gleichungssysteme ist korrekt?

Accepted Answer

Es gibt genau eine Lösung, wenn der Rang der Koeffizientenmatrix gleich dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix ist.

Answer

Es gibt immer eine Lösung, unabhängig vom Rang der Matrizen.

Question 37

Was ist eine notwendige Eigenschaft eines Vektorraums?

Accepted Answer

Abgeschlossenheit bezüglich Addition und Skalarmultiplikation

Answer

Beschränktheit

Answer

Endliche Dimension

Question 38

Welches Verfahren ermittelt Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix?

Accepted Answer

Charakteristisches Polynom

Answer

QR-Zerlegung

Answer

Gram-Schmidt-Orthonormalisierung

Answer

Gauß-Jordan-Elimination

Question 39

Welche Eigenschaft besitzt die Spur einer Matrix?

Accepted Answer

Summe der Diagonalelemente

Answer

Produkt der Diagonalelemente

Answer

Determinante der Matrix

Question 40

Welche Matrix ist die Einheitsmatrix der Dimension 2x2?

Accepted Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Answer

[[1, 1], [0, 1]]

Answer

[[2, 0], [0, 2]]

Answer

[[0, 1], [1, 0]]

Question 41

Berechne die Determinante der Matrix [[1, 2], [3, 4]]

Accepted Answer

-2

Answer

-7

Answer

2

Answer

7

Question 42

Welcher Vektor ist orthogonal zum Vektor (1, 2, 3)?

Accepted Answer

(-3, 2, 1)

Answer

(1, -2, 3)

Answer

(2, 1, 3)

Answer

(1, 1, -3)

Question 43

Wie viele Dimensionen hat der Vektorraum R^n?

Accepted Answer

n

Answer

n-1

Answer

n+1

Answer

2n

Question 44

Welche der folgenden Operationen ist NICHT für Vektoren definiert? Es können nur solche Operationen mit Vektoren durchgeführt werden, die zu einem Ergebnisvektor führen.

Accepted Answer

Division

Answer

Skalarmultiplikation

Answer

Addition

Answer

Subtraktion

Question 45

Gegeben sind die Vektoren a = (2, 3) und b = (4, -1). Addiere die Vektoren a und b.

Accepted Answer

(6, 2)

Answer

(2, -4)

Answer

(8, -3)

Answer

(1, 3)

Question 46

Welche der folgenden Matrizen ist die Einheitsmatrix der Ordnung 2?

Accepted Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Answer

[[0, 1], [1, 0]]

Answer

[[1, 0], [1, 0]]

Answer

[[1, 1], [0, 0]]

Question 47

Gegeben sind die Matrizen A = [[2, 1], [3, 4]] und B = [[1, 0], [2, 1]]. Berechne das Element in der ersten Zeile und zweiten Spalte des Produkts A * B.

Accepted Answer

2

Answer

1

Answer

3

Answer

4

Question 48

Welche der folgenden Aussagen über die Determinante einer Matrix ist FALSCH?

Accepted Answer

Die Determinante einer Matrix ist immer positiv.

Answer

Die Determinante einer Matrix ist eine Zahl.

Answer

Die Determinante einer Matrix ist Null, wenn die Matrix singulär ist.

Question 49

Stelle den Vektor (2, 1) in der Spaltenform dar.

Accepted Answer

[[2], [1]]

Answer

[[2, 1]]

Answer

[[1], [2]]

Answer

[[1, 2]]

Question 50

Gegeben ist die Matrix A = [[2, 1], [0, 3]]. Berechne das Element in der zweiten Zeile und ersten Spalte der transponierten Matrix A^T.

Accepted Answer

0

Answer

2

Answer

1

Answer

3

Question 51

Wie kann man die lineare Unabhängigkeit von zwei Vektoren geometrisch überprüfen?

Accepted Answer

Die Vektoren sind linear unabhängig, wenn sie nicht parallel sind.

Answer

Die Vektoren sind linear unabhängig, wenn sie senkrecht zueinander stehen.

Answer

Die Vektoren sind linear unabhängig, wenn sie gleiche Länge haben.

Question 52

Eine 3x3 Matrix hat den Rang 2. Wie viele linear unabhängige Spaltenvektoren hat diese Matrix?

Accepted Answer

2

Answer

3

Answer

1

Answer

0

Question 53

Mit welchem Skalar muss man den Vektor (3, -2) multiplizieren, um einen Vektor der Länge 5 zu erhalten?

Accepted Answer

√13/5

Answer

√13

Answer

5/√13

Answer

5

Question 54

Welche der folgenden Aussagen über Vektoren ist korrekt?

Accepted Answer

Vektoren sind gerichtete Größen.

Answer

Vektoren haben keine Richtung.

Answer

Vektoren sind skalare Größen.

Answer

Vektoren können nur in eine Richtung zeigen.

Question 55

Welche der folgenden Operationen kann mit Matrizen durchgeführt werden?

Accepted Answer

Addition und Multiplikation

Answer

Weder Addition noch Multiplikation

Answer

Nur Multiplikation

Answer

Nur Addition

Question 56

Welche der folgenden Matrizen ist eine Einheitsmatrix?

Accepted Answer

Eine quadratische Matrix mit Einsen auf der Diagonalen und Nullen sonst.

Answer

Eine nicht-quadratische Matrix mit Einsen auf allen Elementen.

Answer

Eine quadratische Matrix mit Einsen auf allen Elementen.

Question 57

Was ist die Determinante einer Matrix?

Accepted Answer

Eine Zahl, die die Fläche oder das Volumen des von der Matrix dargestellten Parallelogramms oder Parallelepipeds angibt.

Answer

Eine Zahl, die die Summe oder Differenz der Elemente der Matrix angibt.

Question 58

Welche der folgenden Matrizen ist invertierbar?

Accepted Answer

Eine Matrix mit einer von Null verschiedenen Determinante.

Answer

Eine Matrix mit einer Determinante von Null.

Answer

Eine nicht-quadratische Matrix.

Question 59

Was ist ein Eigenvektor einer Matrix?

Accepted Answer

Ein Vektor, der bei einer Multiplikation mit der Matrix ein Vielfaches seiner selbst ergibt.

Answer

Ein Vektor, der senkrecht zur Matrix ist.

Answer

Ein Vektor, der parallel zur Matrix ist.

Question 60

Welche der folgenden Aussagen über lineare Gleichungssysteme ist korrekt?

Accepted Answer

Ein lineares Gleichungssystem kann mehrere Lösungen, eine einzige Lösung oder keine Lösung haben.

Answer

Ein lineares Gleichungssystem hat immer mehrere Lösungen.

Answer

Ein lineares Gleichungssystem hat immer eine einzige Lösung.

Question 61

Was ist der Rang einer Matrix?

Accepted Answer

Die Anzahl der linear unabhängigen Zeilen oder Spalten der Matrix.

Answer

Die Summe der Elemente in der Matrix.

Answer

Die Anzahl der Elemente in der Matrix.

Question 62

Welche der folgenden Aussagen über orthogonale Vektoren ist korrekt?

Accepted Answer

Orthogonale Vektoren stehen senkrecht aufeinander.

Answer

Orthogonale Vektoren sind parallel zueinander.

Answer

Orthogonale Vektoren haben die gleiche Länge.