Lineare Gleichungssysteme: Online-Quiz für Klasse 12

Question 1

Welche Aussage beschreibt den Rang einer Matrix korrekt?

Accepted Answer

Er ist die Anzahl der linear unabhängigen Zeilenvektoren der Matrix.

Answer

Er ist die Anzahl der Zeilen der Matrix.

Answer

Er ist immer kleiner oder gleich der Anzahl der Spalten der Matrix.

Answer

Er ist immer größer oder gleich der Anzahl der Zeilen der Matrix.

Question 2

Welche Methode eignet sich am besten zur Lösung des Gleichungssystems $2x + y = 5$, $3x - 2y = 7$?

Accepted Answer

Gauß-Jordan-Elimination

Answer

Cramer-Regel

Answer

Inversionsmethode

Answer

Jacobi-Iteration

Question 3

Welche der folgenden Aussagen über den Gauß-Jordan-Algorithmus ist falsch?

Accepted Answer

Er ist ein iteratives Verfahren.

Answer

Er kann verwendet werden, um die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems zu bestimmen.

Answer

Er transformiert die Koeffizientenmatrix in eine Diagonalmatrix.

Answer

Er kann verwendet werden, um den Rang einer Matrix zu bestimmen.

Question 4

Welches der folgenden Gleichungssysteme ist homogen?

Accepted Answer

{x + y = 2, x - y = 0}

Answer

{x + y = 2, 2x + 2y = 4}

Answer

{x + y = 2, x - 2y = 4}

Answer

{x + y = 2, x - y = 2}

Question 5

Welches der folgenden Gleichungssysteme hat genau eine Lösung?

Accepted Answer

2x + 3y = 6, x - y = 1

Answer

2x + 3y = 6, -4x - 6y = -12

Answer

2x + 3y = 6, 4x + 6y = 12

Answer

2x + 3y = 6, 4x + 6y = -12

Question 6

Welche Aussage über das homogene Gleichungssystem Ax = 0 ist korrekt?

Accepted Answer

Es hat immer unendlich viele Lösungen.

Answer

Es hat immer nur eine Lösung.

Answer

Es hat keine Lösung, wenn A nicht invertierbar ist.

Answer

Es hat genau eine Lösung, wenn A invertierbar ist.

Question 7

Welches der folgenden ist ein geometrisches Beispiel für eine Matrix mit Rang 2?

Accepted Answer

Eine Ebene im dreidimensionalen Raum

Answer

Eine Gerade in der Ebene

Answer

Eine Kugel

Answer

Ein Würfel

Question 8

Der Nullraum einer Matrix A beschreibt:

Accepted Answer

Die Menge aller Vektoren, die senkrecht zu den Zeilenvektoren stehen

Answer

Die Menge aller Vektoren, die senkrecht zu den Spaltenvektoren stehen

Answer

Die Menge aller Vektoren, die durch die Zeilenvektoren erzeugt werden

Answer

Die Menge aller Vektoren, die durch die Spaltenvektoren erzeugt werden

Question 9

Welches der folgenden Gleichungssysteme ist homogen?

Accepted Answer

3x - y = 0

Answer

x + 2y = 5

Answer

2x + y = 3 + z

Question 10

Welche der folgenden Aussagen über die Cramer'sche Regel ist korrekt?

Accepted Answer

Sie liefert eine Formel zur Berechnung des Wertes jeder Variablen.

Answer

Sie ist für alle quadratischen Gleichungssysteme anwendbar.

Answer

Sie ist numerisch stabil.

Question 11

Welches der folgenden Gleichungssysteme ist homogen?

Accepted Answer

$x + 2y - 3z = 0$

Answer

$2x + y + 4z = 5$

Answer

$x - y + z = 2$

Answer

$3x + 2y - 5z = 7$

Question 12

Was ist die Dimension des Nullraums einer Matrix mit Rang 2 und 3 Zeilen?

Accepted Answer

2

Answer

1

Answer

3

Answer

4

Question 13

Welche der folgenden Gleichungen ist ein lineares Gleichungssystem?

Accepted Answer

$3x + 2y = 6$

Answer

$x^2 + y^2 = 1$

Answer

$sin(x) + cos(y) = 0$

Answer

$rac{x}{y} = 2$

Question 14

Welches der folgenden Gleichungssysteme besitzt eine eindeutige Lösung?

Accepted Answer

x + y = 1
y = 2

Answer

x + y = 1
x + y = 2

Answer

x + y = 1
x - y = 0

Answer

x + y = 1
x + y = 0

Question 15

Welche Methode dient zur systematischen Lösung linearer Gleichungssysteme?

Accepted Answer

Gauß-Verfahren

Answer

Determinantenberechnung

Answer

Cramer-Regel

Answer

Lagrange-Multiplikatoren

Question 16

Die Lösungsmenge des Gleichungssystems x + 2y + 3z = 0
x - y + z = 0 lautet:

Accepted Answer

{(x, y, z) | x = -2y - 3z, y, z beliebig}

Answer

{(x, y, z) | x = 2y + 3z, y, z beliebig}

Answer

{(x, y, z) | x = y + z, y, z beliebig}

Answer

leere Menge

Question 17

Welche der folgenden Aussagen zum Rang einer Matrix A trifft zu?

Accepted Answer

Der Rang von A ist die maximale Anzahl linear unabhängiger Spalten oder Zeilen von A.

Answer

Der Rang von A ist gleich der Anzahl der Nullspalten von A.

Answer

Der Rang von A ist gleich der Anzahl der Nicht-Nullspalten von A.

Answer

Der Rang von A ist die Summe der Einträge in der Hauptdiagonale von A.

Question 18

Was beschreibt den Rang einer Matrix?

Accepted Answer

Die Anzahl der linear unabhängigen Zeilen oder Spalten

Answer

Die Anzahl der Zeilen

Answer

Die Anzahl der Spalten

Answer

Kann größer sein als die Anzahl der Zeilen oder Spalten

Question 19

Welcher der folgenden Ausdrucke stellt eine lineare Gleichung dar?

Accepted Answer

2x + 3y = 5

Answer

x² + y² = 1

Answer

e^x + ln(y) = 10

Answer

sin(x) + cos(y) = 0

Question 20

Ein lineares Gleichungssystem hat die Form $$Avec{x}=vec{b}$$. Wie hängt der Rang von $$A$$ mit dem Rang des erweiterten Koeffizientensystems zusammen?

Accepted Answer

Der Rang des erweiterten Koeffizientensystems ist gleich dem Rang von $$A$$.

Answer

Der Rang des erweiterten Koeffizientensystems ist gleich dem Rang von $$vec{b}$$.

Answer

Der Rang von $$A$$ ist gleich dem Rang von $$vec{b}$$.

Question 21

Welche Aussage über den Nullraum einer Matrix $$A$$ ist richtig?

Accepted Answer

Der Nullraum von $$A$$ ist ein Untervektorraum von $$mathbb{R}^n$$, wobei $$n$$ die Anzahl der Spalten von $$A$$ ist.

Answer

Der Nullraum von $$A$$ ist immer ein eindimensionaler Vektorraum.

Question 22

Unter welchen Bedingungen hat ein lineares Gleichungssystem genau eine Lösung?

Accepted Answer

Wenn der Rang der Matrix und der Rang des erweiterten Koeffizientensystems übereinstimmen.

Answer

Wenn das Gleichungssystem homogen ist.

Question 23

In welche Form bringt das Gauß-Jordan-Verfahren ein lineares Gleichungssystem?

Accepted Answer

Stufenform

Answer

Normalform

Answer

Diagonalform

Question 24

Welche Eigenschaft haben die Zeilen einer Matrix in Zeilenstufenform?

Accepted Answer

Nur Nullen unterhalb der Pivotelemente.

Answer

Nur Einsen auf der Diagonalen.

Answer

Nur Nullen oberhalb der Pivotelemente.

Question 25

Wie lässt sich der Rang einer Matrix berechnen?

Accepted Answer

Als die Anzahl der linear unabhängigen Zeilen oder Spalten der Matrix.

Answer

Als die Anzahl der Zeilen der Matrix.

Answer

Als die Anzahl der Spalten der Matrix.

Question 26

Welches der folgenden linearen Gleichungssysteme hat **keine** Lösung?

Accepted Answer

x + y = 0 und x - y = 2

Answer

2x + 3y = 6 und x - y = 1

Answer

x + 2y = 4 und 3x + 6y = 12

Answer

3x - 2y = 6 und 6x - 4y = 12

Question 27

Welche der folgenden Gleichungen ist äquivalent zum linearen Gleichungssystem $\begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \ y end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \ 7 end{pmatrix}$?

Accepted Answer

$\hspace{0.9cm} x+2y=5\hspace{1.9cm} 	ext{und}\hspace{1.6cm} 3x+4y=7$

Answer

$\hspace{0.9cm} 2x+y=5\hspace{1.9cm} 	ext{und}\hspace{1.6cm} 4x+3y=7$

Answer

$\hspace{0.9cm} x-2y=5\hspace{1.9cm} 	ext{und}\hspace{1.6cm} 3x-4y=7$

Answer

$\hspace{0.9cm} x+2y=7\hspace{1.9cm} 	ext{und}\hspace{1.6cm} 3x+4y=5$

Question 28

Welche der folgenden Aussagen ist für das lineare Gleichungssystem $\begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 6 end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \ y end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \ 0 end{pmatrix}$ richtig?

Accepted Answer

Es hat unendlich viele Lösungen.

Answer

Es hat genau eine Lösung.

Answer

Es hat zwei Lösungen.

Answer

Es hat keine Lösung.

Question 29

Welches der folgenden linearen Gleichungssysteme hat unendlich viele Lösungen?

Accepted Answer

{ x + y = 3, 2x + 2y = 6 }

Answer

{ x + y = 3, x - y = 1 }

Answer

{ x + y = 3, x + y = 5 }

Answer

{ x + y = 3, 2x + y = 6 }

Question 30

Welches Verfahren ist **nicht** geeignet, um lineare Gleichungssysteme zu lösen?

Accepted Answer

Determinantenmethode für Matrizen mit mehr als 3 Zeilen

Answer

Gaußsches Eliminationsverfahren

Answer

Matrizeninversion

Answer

Cramer'sche Regel für 2x2 oder 3x3 Matrizen

Question 31

Ein lineares Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten hat immer eine eindeutige Lösung, wenn...

Accepted Answer

der Rang der Koeffizientenmatrix gleich 3 ist.

Answer

alle Koeffizienten positive Zahlen sind.

Answer

das System keine Nullzeilen enthält.

Answer

die Determinante der Koeffizientenmatrix ungleich 0 ist.

Question 32

Gegeben sei ein lineares Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 3 Unbekannten. Welche Aussage ist immer **wahr**?

Accepted Answer

Das System hat entweder keine Lösung oder unendlich viele Lösungen.

Answer

Das System hat immer mindestens eine Lösung.

Answer

Das System hat immer unendlich viele Lösungen.

Answer

Das System hat immer genau eine Lösung.

Question 33

Was beschreibt der Nullraum einer 2x2 Matrix geometrisch?

Accepted Answer

Eine Gerade durch den Ursprung, die alle Vektoren enthält, die durch die Matrix auf den Nullvektor abgebildet werden.

Answer

Eine Ebene durch den Ursprung, die alle Vektoren enthält, die durch die Matrix auf den Nullvektor abgebildet werden.

Answer

Ein Punkt im Koordinatensystem, der den Nullvektor darstellt.

Question 34

Welche Operation ändert die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems nicht?

Accepted Answer

Multiplikation einer Gleichung mit einem Faktor ungleich Null.

Answer

Addition einer Gleichung zu einer anderen.

Answer

Division einer Gleichung durch eine andere, die nicht die Nullgleichung ist.

Question 35

Was gilt für ein homogenes lineares Gleichungssystem?

Accepted Answer

Es hat immer mindestens die triviale Lösung (alle Variablen gleich Null).

Answer

Es hat immer unendlich viele Lösungen.

Answer

Es hat niemals eine Lösung.

Question 36

Welches Zeichen deutet beim Gaußschen Eliminationsverfahren darauf hin, dass ein lineares Gleichungssystem keine Lösung hat?

Accepted Answer

Eine Gleichung der Form 0 = 1.

Answer

Die Determinante der Koeffizientenmatrix ist gleich Null.

Question 37

Was beschreibt der Rang einer Matrix?

Accepted Answer

Die Anzahl linear unabhängiger Zeilen oder Spalten.

Answer

Die Anzahl der Zeilen der Matrix.

Answer

Die Summe aller Einträge in der Matrix.

Question 38

Welche Matrix hat einen Nullraum, der auf die x-Achse abgebildet wird?

Accepted Answer

[1 0]

Answer

[0 0]

Answer

[0 1]

Answer

[1 1]

Question 39

Ein lineares Gleichungssystem hat einen Rang von 2 und drei Variablen. Wie viele freie Variablen gibt es?

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

2

Answer

3

Question 40

Welche Substitution kann verwendet werden, um das Gleichungssystem x + 2y = 6, 2x + 4y = 12 in ein System mit nur einer Variablen umzuwandeln?

Accepted Answer

x = 6 - 2y

Answer

y = 2 - x

Answer

x = 2y

Answer

y = 6 - 2x

Question 41

Welche der folgenden Matrizen ist keine elementare Matrix?

Accepted Answer

[1 2 0; 0 0 1; 0 0 2]

Answer

[1 0 0; 0 1 0; 0 0 1]

Answer

[0 1 0; 0 0 1; 0 0 2]

Answer

[1 0 2; 0 1 0; 0 0 1]

Question 42

Welche der folgenden Aussagen über homogene Gleichungssysteme ist wahr?

Accepted Answer

Sie haben immer eine triviale Lösung.

Answer

Sie haben immer eine eindeutige Lösung.

Answer

Sie haben immer unendlich viele Lösungen.

Answer

Sie sind immer inkonsistent.

Question 43

Welche der folgenden Matrizen ist invertierbar?

Accepted Answer

[1 2; -1 1]

Answer

[0 1; 0 0]

Answer

[2 1; 4 2]

Answer

[1 2; 1 2]

Question 44

Welche der folgenden Aussagen über den Nullraum einer Matrix ist wahr?

Accepted Answer

Der Nullraum ist immer ein Unterraum des Vektorraums.

Answer

Der Nullraum hat immer die gleiche Dimension wie der Spaltenraum.

Answer

Der Nullraum ist immer der Lösungsraum des homogenen Gleichungssystems.

Question 45

Löse das folgende lineare Gleichungssystem mittels Gauß-Algorithmus:

x + 2y - z = 3
2x + 4y + z = 10
x - y + 2z = 5

Accepted Answer

x = 1, y = 2, z = 1

Answer

Das Gleichungssystem hat keine Lösung.

Answer

x = 3, y = 2, z = 1

Answer

x = 2, y = 1, z = 3

Question 46

Berechne die Determinante der Matrix:

$$egin{bmatrix} 2 & 3 \ 1 & 2 end{bmatrix}$$

Accepted Answer

1

Answer

-1

Answer

2

Question 47

Löse das folgende lineare Gleichungssystem mittels Cramerscher Regel:

2x + 3y = 8
x - y = 1

Accepted Answer

x = 2, y = 1

Answer

Das Gleichungssystem hat keine Lösung.

Answer

x = 1, y = 2

Answer

x = 3, y = 2

Question 48

Gegeben sei das lineare Gleichungssystem:

x + 2y = 5
2x + 4y = 10
Welche der folgenden Aussagen ist korrekt?

Accepted Answer

Das Gleichungssystem ist äquivalent zu einer Matrixgleichung der Form Ax = b.

Answer

Das Gleichungssystem ist äquivalent zu einer Matrixgleichung der Form xA = b.

Answer

Das Gleichungssystem ist nicht äquivalent zu einer Matrixgleichung.

Question 49

Welche der folgenden Matrizen ist nicht invertierbar?

Accepted Answer

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 \ 2 & 4 end{bmatrix}$$

Answer

$$\begin{bmatrix} 2 & 1 \ 1 & 2 end{bmatrix}$$

Answer

$$\begin{bmatrix} 3 & 2 \ -1 & 1 end{bmatrix}$$

Answer

$$\begin{bmatrix} 1 & -1 \ 2 & -2 end{bmatrix}$$

Question 50

Welches der folgenden Gleichungssysteme ist linear?

Accepted Answer

2x - 3y = 7

Answer

x² + y² = 1

Answer

sin(x) + cos(y) = 0

Answer

√x + y = 2

Question 51

Ein lineares Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten hat immer...

Accepted Answer

entweder eine eindeutige Lösung, keine Lösung oder unendlich viele Lösungen.

Answer

genau eine Lösung.

Answer

keine Lösung.

Question 52

Welches Verfahren eignet sich am besten zur Lösung eines linearen Gleichungssystems mit 4 Gleichungen und 4 Unbekannten?

Accepted Answer

Gauß-Algorithmus

Answer

Gleichsetzungsverfahren

Answer

Cramer'sche Regel

Answer

Einsetzungsverfahren

Question 53

Ein lineares Gleichungssystem ist homogen, wenn...

Accepted Answer

alle konstanten Terme gleich null sind.

Answer

es keine Lösung gibt.

Answer

alle Koeffizienten gleich null sind.

Answer

die Anzahl der Gleichungen gleich der Anzahl der Unbekannten ist.

Question 54

Die Vektoren (1, 2, 3) und (2, 4, 6) sind...

Accepted Answer

linear abhängig.

Answer

linear unabhängig.

Answer

normiert.

Answer

orthogonal.

Question 55

Was ist die geometrische Interpretation des Nullraums einer Matrix?

Accepted Answer

Die Menge aller Vektoren, die durch die Matrix auf den Nullvektor abgebildet werden.

Answer

Die Menge aller Vektoren, die durch die Matrix auf sich selbst abgebildet werden.

Answer

Die Menge aller Vektoren, die orthogonal zu den Zeilenvektoren der Matrix sind.

Question 56

Ein lineares Gleichungssystem ist inkonsistent, wenn...

Accepted Answer

es keine Lösung gibt.

Answer

es genau eine Lösung gibt.

Answer

alle Koeffizienten gleich null sind.

Answer

es unendlich viele Lösungen gibt.

Question 57

Welche Aussage über den Rang einer Matrix ist falsch?

Accepted Answer

Der Rang einer Matrix kann größer sein als die Anzahl ihrer Zeilen oder Spalten.

Answer

Der Rang einer Matrix ist die maximale Anzahl linear unabhängiger Spaltenvektoren.

Answer

Der Rang einer Matrix ist die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilenvektoren.

Question 58

Welches der folgenden linearen Gleichungssysteme hat unendlich viele Lösungen?

Accepted Answer

x + y = 2, 2x + 2y = 4

Answer

x + y = 2, x - y = 4

Answer

x + y = 2, 2x + y = 4

Answer

x + y = 2, x + 2y = 2

Question 59

Welcher der folgenden Vektoren liegt im Nullraum der Matrix B = [[1, -1], [2, -2]]?

Accepted Answer

[2, 2]

Answer

[0, 1]

Answer

[1, 0]

Answer

[1, -1]

Question 60

Ein lineares Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten hat immer eine eindeutige Lösung.

Accepted Answer

Falsch

Answer

Nur wenn der Rang der Matrix 3 ist

Answer

Wahr

Question 61

Welche Methode eignet sich am besten zur Lösung eines linearen Gleichungssystems mit 4 Gleichungen und 4 Unbekannten?

Accepted Answer

Gauß-Algorithmus

Answer

Einsetzungsverfahren

Answer

Cramer'sche Regel

Answer

Gleichsetzungsverfahren

Question 62

Was ist die Dimension des Lösungsraums eines homogenen linearen Gleichungssystems mit 5 Unbekannten und einer Koeffizientenmatrix vom Rang 3?

Accepted Answer

2

Answer

5

Answer

0

Answer

3

Question 63

Ein lineares Gleichungssystem ist inkonsistent, wenn...

Accepted Answer

es keine Lösung gibt.

Answer

es genau eine Lösung gibt.

Answer

die Determinante der Koeffizientenmatrix 0 ist.

Answer

es unendlich viele Lösungen gibt.

Question 64

Die Lösungen eines linearen Gleichungssystems ändern sich nicht, wenn...

Accepted Answer

eine Gleichung mit einem Faktor ungleich Null multipliziert wird.

Answer

eine Gleichung zu einer anderen addiert wird.

Answer

zwei Gleichungen vertauscht werden.