Optimierung in Mathematik Klasse 11: Lerne die Grundlagen der Optimierung

Question 1

Welche Funktion ist nicht differenzierbar?

Accepted Answer

Betragsfunktion

Answer

Polynom

Answer

Exponentialfunktion

Answer

Logarithmusfunktion

Question 2

Welche Aussage über lineare Optimierungsprobleme ist falsch?

Accepted Answer

Sie sind immer lösbar.

Answer

Sie haben eine lineare Zielfunktion.

Answer

Sie haben lineare Nebenbedingungen.

Answer

Man kann sie mit dem Simplex-Verfahren lösen.

Question 3

Welche der folgenden Funktionen kann nicht linear optimiert werden?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x² + 1

Answer

f(x) = 2x - 3

Answer

f(x) = eˣ

Question 4

Welche Methode wird verwendet, um den optimalen Punkt einer nichtlinearen Funktion zu finden?

Accepted Answer

Differentialrechnung

Answer

Lineare Programmierung

Answer

Quadratische Optimierung

Answer

Simplex-Verfahren

Question 5

Was ist die Zielfunktion bei einem Optimierungsproblem?

Accepted Answer

Die Funktion, die maximiert oder minimiert werden soll.

Answer

Die Beschränkung für die Variablen.

Answer

Die Variable, die optimiert werden soll.

Answer

Der optimale Wert der Zielfunktion.

Question 6

Was ist der Unterschied zwischen einem lokalen und einem globalen Optimum?

Accepted Answer

Ein lokales Optimum ist ein optimaler Punkt innerhalb einer kleinen Umgebung, während ein globales Optimum der beste Punkt über den gesamten Definitionsbereich ist.

Answer

Ein lokales Optimum ist der beste Punkt über den gesamten Definitionsbereich, während ein globales Optimum ein optimaler Punkt innerhalb einer kleinen Umgebung ist.

Answer

Lokale und globale Optima sind dasselbe.

Answer

Ein lokales Optimum ist immer auch ein globales Optimum.

Question 7

Welches Verfahren wird zur Lösung von linearen Optimierungsproblemen verwendet?

Accepted Answer

Simplex-Verfahren

Answer

Differentialrechnung

Answer

Quadratische Programmierung

Answer

Nichtlineare Optimierung

Question 8

Nenne das Verfahren zur Optimierung einer linearen Zielfunktion unter linearen Nebenbedingungen.

Accepted Answer

Simplex-Verfahren

Answer

Gradientenverfahren

Answer

Newton-Verfahren

Answer

Lagrange-Multiplikatoren

Question 9

Was ist das Ziel der Lagrange-Multiplikatoren-Methode?

Accepted Answer

Umwandlung einer beschränkten Optimierungsaufgabe in eine unbeschränkte Optimierungsaufgabe.

Answer

Ermittlung der Gradienten der Zielfunktion und der Nebenbedingungen.

Answer

Berechnung der Hesse-Matrix der Zielfunktion.

Answer

Bestimmung der optimalen Werte der Variablen.

Question 10

Welche Aufgabe hat ein Gradientenalgorithmus?

Accepted Answer

Berechnung der Suchrichtung für das Optimierungsverfahren.

Answer

Anpassung der Schrittweite zur Beschleunigung der Konvergenz.

Answer

Ermittlung der optimalen Lösung.

Answer

Erzeugung von Kandidatenlösungen.

Question 11

Welche Eigenschaften treffen auf lineare Optimierungsprobleme zu?

Accepted Answer

Die Zielfunktion ist linear.

Accepted Answer

Die Nebenbedingungen können Gleichungen oder Ungleichungen sein.

Accepted Answer

Der zulässige Bereich ist ein konvexes Polyeder.

Answer

Die optimale Lösung ist immer eindeutig.

Question 12

Welches der folgenden Optimierungsprobleme ist ein lineares Optimierungsproblem?

Accepted Answer

Maximiere f(x,y) = x + y unter der Nebenbedingung x + 2y ≤ 6

Answer

Maximiere f(x,y) = x² + y³

Answer

Minimiere f(x) = sin(x)

Answer

Minimiere f(x,y) = x² - y² + 2x

Question 13

Welche der folgenden Methoden wird zur Lösung linearer Optimierungsprobleme verwendet?

Accepted Answer

simplex-Verfahren

Answer

gradientenverfahren

Answer

Newtonsches Verfahren

Answer

Lagrange-Multiplikatoren

Question 14

Welche der folgenden Aussagen über stationäre Punkte ist korrekt?

Accepted Answer

Sie können lokale Minima, Maxima oder Sattelpunkte sein.

Answer

Sie sind immer lokale Optima.

Answer

Sie sind immer globale Optima.

Answer

Sie können nur bei linearen Optimierungsproblemen auftreten.

Question 15

Wie wird die zweite Ableitung einer Funktion f(x) bezeichnet?

Accepted Answer

f''(x)

Answer

f'(x)

Answer

f'''(x)

Answer

f''''(x)

Question 16

Welche Aussage ist eine notwendige Bedingung erster Ordnung für ein lokales Extremum einer Funktion mit mehreren Variablen?

Accepted Answer

Der Gradient der Funktion verschwindet.

Answer

Die Hesse-Matrix der Funktion ist positiv definit.

Answer

Die Funktion ist konvex.

Answer

Die Funktion ist konkav.

Question 17

Welche Eigenschaft beschreibt eine konkave Funktion?

Accepted Answer

Ihr Graph liegt unterhalb jeder Sekanten.

Answer

Ihr Graph liegt oberhalb jeder Sekanten.

Answer

Ihr Graph ist nach unten gekrümmt.

Answer

Ihr Graph ist nach oben gekrümmt.

Question 18

Was ist der Zweck der Sensitivitätsanalyse in der Optimierung?

Accepted Answer

Bestimmung des Einflusses von Parameteränderungen auf die optimale Lösung

Answer

Identifizierung unempfindlicher Bereiche der optimalen Lösung

Answer

Verbesserung der numerischen Stabilität des Lösungsalgorithmus

Answer

Reduzierung der Rechenzeit zur Lösung des Problems

Question 19

Welcher Vorteil ist mit der sequentiellen quadratischen Programmierung (SQP) verbunden?

Accepted Answer

Schnelle Konvergenz in der Nähe des Optimums als lokale Methode

Answer

Garantie, das globale Optimum zu finden als globale Methode

Answer

Einfache Implementierung

Answer

Keine Notwendigkeit für Ableitungen der Zielfunktion

Question 20

Welches der folgenden ist **kein** Ziel der Optimierung?

Accepted Answer

Verringerung der Varianz

Answer

Maximierung einer Zielfunktion

Answer

Minimierung einer Zielfunktion

Answer

Verbesserung der Effizienz

Question 21

Welche der folgenden Aussagen beschreibt eine **lineare** Optimierung?

Accepted Answer

Sowohl die Zielfunktion als auch die Nebenbedingungen sind linear.

Answer

Nur die Nebenbedingungen sind linear.

Answer

Nur die Zielfunktion ist linear.

Answer

Weder die Zielfunktion noch die Nebenbedingungen sind linear.

Question 22

Welcher der folgenden Algorithmen wird **häufig** zur Lösung linearer Optimierungsprobleme verwendet?

Accepted Answer

Simplex-Algorithmus

Answer

Gradientenabstiegsalgorithmus

Answer

Quasinewton-Methode

Answer

Genetischer Algorithmus

Question 23

Was ist eine **zulässige** Lösung in einem Optimierungsproblem?

Accepted Answer

Eine Lösung, die alle Nebenbedingungen erfüllt.

Answer

Eine Lösung, die die Zielfunktion maximiert.

Answer

Eine Lösung, die die Zielfunktion minimiert.

Answer

Eine Lösung, die beliebige Nebenbedingungen erfüllt.

Question 24

Welche der folgenden Aussagen beschreibt eine **nichtlineare** Optimierung?

Accepted Answer

Entweder die Zielfunktion oder die Nebenbedingungen sind nichtlinear.

Answer

Sowohl die Zielfunktion als auch die Nebenbedingungen sind linear.

Answer

Nur die Nebenbedingungen sind nichtlinear.

Answer

Nur die Zielfunktion ist nichtlinear.

Question 25

Welcher der folgenden Gradientenabstiegsalgorithmen verwendet einen **adaptiven** Lernschritt?

Accepted Answer

AdaGrad

Answer

Batch-Gradientenabstieg

Answer

Stochastischer Gradientenabstieg

Answer

Momentum-Gradientenabstieg

Question 26

Was ist eine **konvexe** Zielfunktion?

Accepted Answer

Eine Funktion, deren Graph eine nach oben gekrümmte Kurve ist.

Answer

Eine Funktion, deren Graph eine nach unten gekrümmte Kurve ist.

Answer

Eine Funktion, deren Graph eine gerade Linie ist.

Answer

Eine Funktion, deren Graph eine Parabel ist.

Question 27

Welches der folgenden Probleme ist ein Beispiel für ein **lineares** Optimierungsproblem?

Accepted Answer

Minimierung einer linearen Zielfunktion unter linearen Nebenbedingungen

Answer

Maximierung einer quadratischen Zielfunktion unter quadratischen Nebenbedingungen

Answer

Minimierung einer logarithmischen Zielfunktion unter exponentiellen Nebenbedingungen

Answer

Maximierung einer trigonometrischen Zielfunktion unter algebraischen Nebenbedingungen

Question 28

Welche der folgenden Aussagen beschreibt am besten die Aufgabe der Optimierung?

Accepted Answer

Bestimmung der besten Lösung unter Berücksichtigung vorgegebener Bedingungen

Answer

Berechnung des Durchschnitts einer Datensammlung

Answer

Lösung von Gleichungssystemen mit mehreren Variablen

Answer

Darstellung von Daten in grafischer Form

Question 29

Welche der aufgeführten Funktionen ist eine lineare Funktion?

Accepted Answer

f(x) = 2x + 5

Answer

f(x) = x^2 - 3x + 2

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^(2x)

Question 30

Welche der folgenden Aussagen beschreibt eine Nebenbedingung in einem Optimierungsproblem?

Accepted Answer

Beschränkung, die die zulässigen Werte der Variablen festlegt

Answer

Ziel, das durch die Optimierung erreicht werden soll

Answer

Gleichung, die die Beziehung zwischen den Variablen definiert

Answer

Ungleichung, die den Bereich möglicher Lösungen einschränkt

Question 31

Welche Methode wird typischerweise zur Lösung linearer Optimierungsprobleme verwendet?

Accepted Answer

Simplex-Algorithmus

Answer

Gradientenverfahren

Answer

Lagrange-Multiplikatoren

Answer

Goldener Schnitt

Question 32

Welche der folgenden Aussagen beschreibt die Lagrange-Funktion?

Accepted Answer

Zielfunktion plus Summe der Nebenbedingungen, multipliziert mit Lagrange-Multiplikatoren

Answer

Zielfunktion minus Summe der Nebenbedingungen

Answer

Produkt aus Zielfunktion und Nebenbedingungen

Answer

Quotient aus Zielfunktion und Nebenbedingungen

Question 33

Was versteht man unter einem stationären Punkt in der Optimierung?

Accepted Answer

Punkt, an dem die partiellen Ableitungen der Zielfunktion nach allen Variablen Null sind

Answer

Punkt, an dem die Zielfunktion ihren minimalen Wert annimmt

Answer

Punkt, an dem die Zielfunktion ihren maximalen Wert annimmt

Answer

Punkt, an dem die Zielfunktion konstant ist

Question 34

Welches Kriterium hilft bei der Bestimmung der Art eines stationären Punktes?

Accepted Answer

Zweite partielle Ableitungen der Zielfunktion an diesem Punkt

Answer

Erste partielle Ableitungen der Zielfunktion an diesem Punkt

Answer

Wert der Zielfunktion an diesem Punkt

Answer

Nebenbedingungen an diesem Punkt

Question 35

Welche Aussage beschreibt die Zielfunktion einer Optimierungsaufgabe?

Accepted Answer

Eine mathematische Funktion, die den Wert des zu optimierenden Kriteriums repräsentiert

Answer

Eine Ungleichung, die die Nebenbedingungen der Aufgabe angibt

Answer

Eine Gleichung, die die zulässigen Werte für die Variablen definiert

Question 36

Welche Methode ist eine iterative Methode zur Lösung nichtlinearer Optimierungsprobleme?

Accepted Answer

Gradientenverfahren

Answer

Enumerationsverfahren

Answer

Simplex-Methode

Answer

Dualitätsprinzip

Question 37

Welche Aussage beschreibt eine Nebenbedingung einer Optimierungsaufgabe?

Accepted Answer

Eine Einschränkung, die die zulässigen Werte für die Variablen festlegt

Answer

Eine Richtung, in der die Zielfunktion verbessert werden soll

Answer

Eine Funktion, die den Wert des zu optimierenden Kriteriums repräsentiert

Question 38

Welche Eigenschaft ist charakteristisch für eine lineare Optimierungsaufgabe?

Accepted Answer

Sowohl Zielfunktion als auch Nebenbedingungen sind lineare Funktionen

Answer

Die Zielfunktion ist nichtlinear, während die Nebenbedingungen linear sind

Answer

Die Nebenbedingungen sind nichtlinear, während die Zielfunktion linear ist

Question 39

Welche Aussage beschreibt das Simplex-Verfahren?

Accepted Answer

Eine iterative Methode zur Lösung linearer Optimierungsprobleme, die sich durch Eckpunkte des zulässigen Bereichs bewegt

Answer

Eine analytische Methode zur Berechnung der optimalen Lösung eines linearen Optimierungsproblems

Question 40

Welche Aussage beschreibt einen globalen Optimumswert?

Accepted Answer

Der beste Wert der Zielfunktion, der über alle zulässigen Lösungen erreichbar ist

Answer

Der beste Wert der Zielfunktion, der lokal erreichbar ist

Answer

Der schlechteste Wert der Zielfunktion, der über alle zulässigen Lösungen erreichbar ist

Question 41

Welche Aussage beschreibt ein Dualitätsprinzip?

Accepted Answer

Ein Prinzip, das die Beziehung zwischen einem Optimierungsproblem und seinem dualen Problem aufzeigt

Answer

Ein Prinzip, das die Umwandlung eines nichtlinearen Optimierungsproblems in ein lineares Optimierungsproblem ermöglicht

Answer

Ein Prinzip, das die Konvergenz iterativer Lösungsmethoden garantiert

Question 42

Welche Aussage beschreibt die Lagrange-Funktion?

Accepted Answer

Eine Funktion, die die Zielfunktion und die Nebenbedingungen einer Optimierungsaufgabe kombiniert

Answer

Eine Funktion, die den Gradienten der Zielfunktion repräsentiert

Answer

Eine Funktion, die die Hesse-Matrix der Zielfunktion repräsentiert

Question 43

Welche Methode ist eine heuristische Methode zur Lösung nichtlinearer Optimierungsprobleme?

Accepted Answer

Simulierte Abkühlung

Answer

Simplex-Methode

Answer

Gradientenverfahren

Answer

Lagrange-Multiplikatoren

Question 44

Welche Aussage beschreibt die Aufgabe eines linearen Programmierungsproblems?

Accepted Answer

Optimierung einer linearen Zielfunktion unter Berücksichtigung linearer Nebenbedingungen

Answer

Optimierung einer nichtlinearen Zielfunktion unter Berücksichtigung linearer Nebenbedingungen

Question 45

Was ist die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt einer Funktion in Bezug auf ihre erste Ableitung?

Accepted Answer

Sie ist entweder null oder nicht definiert.

Answer

Sie ist kleiner als null.

Answer

Sie ist gleich der Steigung der Tangente am Extrempunkt.

Answer

Sie ist größer als null.

Question 46

Welche der folgenden Methoden ist eine iterative Optimierungsmethode, die sich schrittweise dem Optimum annähert?

Accepted Answer

Gradientenverfahren

Answer

Quadratische Programmierung

Answer

Simplex-Methode

Answer

Dynamische Programmierung

Question 47

Welche Art von Optimierungsproblem behandelt die Maximierung einer Funktion unter Berücksichtigung von Nebenbedingungen?

Accepted Answer

Beschränkte Optimierung

Answer

Unbeschränkte Optimierung

Answer

Nichtlineare Optimierung

Answer

Lineare Optimierung

Question 48

Wie lautet die allgemeine Form einer linearen Ungleichung?

Accepted Answer

ax + b ≤ c

Answer

a²x + b² ≤ c²

Answer

ax + b = c

Answer

ax + b ≥ c

Question 49

Wie ist der Zusammenhang zwischen der Konvexität von Funktionen und der Lösbarkeit linearer Optimierungsprobleme?

Accepted Answer

Konvexe Funktionen führen zu linearen Optimierungsproblemen mit eindeutigen optimalen Lösungen.

Answer

Konvexe Funktionen führen zu linearen Optimierungsproblemen mit unendlich vielen optimalen Lösungen.

Answer

Nicht konvexe Funktionen führen zu linearen Optimierungsproblemen mit eindeutigen optimalen Lösungen.

Question 50

Welche Eigenschaft kennzeichnet eine lineare Optimierungsaufgabe?

Accepted Answer

Die Zielfunktion ist linear in den Entscheidungsvariablen.

Answer

Die Zielfunktion ist nichtlinear in den Entscheidungsvariablen.

Answer

Es gibt keine Nebenbedingungen.

Question 51

Welche Methode eignet sich zur Lösung einer nichtlinearen Optimierungsaufgabe?

Accepted Answer

Gradientenverfahren

Answer

Simplex-Algorithmus

Answer

Zweipunktmethode

Answer

Schnittpunktsverfahren

Question 52

Welche Rolle spielen Nebenbedingungen in einer Optimierungsaufgabe?

Accepted Answer

Sie schränken den zulässigen Bereich der Entscheidungsvariablen ein.

Answer

Sie definieren den Gradienten der Zielfunktion.

Answer

Sie geben den Wert der Zielfunktion an.

Question 53

Was zeichnet einen optimalen Punkt in einer Optimierungsaufgabe aus?

Accepted Answer

Er erfüllt alle Nebenbedingungen und maximiert oder minimiert die Zielfunktion.

Answer

Er hat den kleinsten Wert der Zielfunktion.

Answer

Er befindet sich an der Grenze des zulässigen Bereichs.

Question 54

Was ist der Unterschied zwischen einer zulässigen und einer optimalen Lösung?

Accepted Answer

Eine zulässige Lösung erfüllt alle Nebenbedingungen, während eine optimale Lösung zusätzlich die Zielfunktion maximiert oder minimiert.

Answer

Eine zulässige Lösung kann nicht optimal sein.

Question 55

In welchem Bereich finden Optimierungstechniken typische Anwendung?

Accepted Answer

Planung von Produktions- und Verteilungssystemen

Answer

Lösen von Differentialgleichungen

Answer

Berechnung von Wahrscheinlichkeiten

Answer

Durchführung statistischer Analysen

Question 56

Was ist das Ziel der postoptimalen Analyse?

Accepted Answer

Die Auswirkungen von Änderungen an den Daten der Optimierungsaufgabe auf die optimale Lösung zu ermitteln.

Answer

Den optimalen Punkt der Aufgabe zu finden.

Question 57

Welche der folgenden Methoden kann zur Lösung eines nichtlinearen Optimierungsproblems verwendet werden?

Accepted Answer

Gradientenabstiegsverfahren

Answer

Simplex-Methode

Answer

Cramer'sche Regel

Answer

Gauß-Eliminationsverfahren

Question 58

Ein Unternehmen möchte den minimalen Produktionsaufwand für eine bestimmte Menge eines Produkts ermitteln. Die Kostenfunktion lautet K(x) = x² - 6x + 10, wobei x die produzierte Menge ist. Wie lautet der minimale Produktionsaufwand?

Accepted Answer

4

Answer

10

Answer

6

Question 59

Was ist der Unterschied zwischen einem linearen und einem nichtlinearen Optimierungsproblem?

Accepted Answer

In linearen Problemen sind alle Funktionen linear, während in nichtlinearen Problemen mindestens eine Funktion nichtlinear ist.

Answer

Lineare Probleme haben immer eine eindeutige Lösung, während nichtlineare Probleme mehrere Lösungen haben können.

Question 60

Eine Fabrik produziert zwei Arten von Produkten, X und Y. Die Produktionszeit für Produkt X beträgt 2 Stunden pro Einheit, und für Produkt Y 3 Stunden pro Einheit. Die maximale Produktionszeit beträgt 12 Stunden. Welche der folgenden Ungleichungen stellt diese Bedingung mathematisch dar?

Accepted Answer

2x + 3y ≤ 12

Answer

x + y ≥ 12

Answer

x + y ≤ 12

Answer

2x + 3y ≥ 12

Question 61

Welche der folgenden Aussagen über den Gradienten einer Funktion ist korrekt?

Accepted Answer

Der Gradient zeigt in die Richtung des steilsten Anstiegs der Funktion.

Answer

Der Gradient ist immer ein Vektor mit der Länge 1.

Answer

Der Gradient zeigt in die Richtung des steilsten Abstiegs der Funktion.

Question 62

Was ist die Grundidee der linearen Optimierung?

Accepted Answer

Das Finden eines Maximums oder Minimums einer linearen Funktion unter bestimmten Einschränkungen, die ebenfalls linear sind.

Answer

Die Suche nach der optimalen Lösung für Probleme mit nichtlinearen Funktionen.

Answer

Die Anwendung von Algorithmen zur Lösung von Gleichungssystemen.

Question 63

Welche der folgenden Funktionen ist eine konvexe Funktion?

Accepted Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = e^(-x)

Answer

f(x) = ln(x)

Question 64

Was ist der Zweck der Methode der Lagrange-Multiplikatoren?

Accepted Answer

Sie transformiert Optimierungsprobleme mit Nebenbedingungen in unbedingte Optimierungsprobleme.

Answer

Sie funktioniert nur bei linearen Optimierungsproblemen.

Answer

Sie garantiert immer eine optimale Lösung.