Integrale verstehen und anwenden: Interaktive Übungen zur Integralrechnung

Question 1

Bestimme den Wert des Integrals $int_0^2 (x^2 - 3x + 2)  dx$ durch Anwendung der Stammfunktion. Gib dabei auch die Stammfunktion an.

Accepted Answer

$F(x) = rac{x^3}{3} - rac{3x^2}{2} + 2x$, $int_0^2 (x^2 - 3x + 2)  dx = 4$

Answer

$F(x) = rac{x^4}{4} - rac{3x^3}{3} + 2x$, $int_0^2 (x^2 - 3x + 2)  dx = 6$

Answer

$F(x) = rac{x^3}{2} - 3x^2 + 2x$, $int_0^2 (x^2 - 3x + 2)  dx = 8$

Answer

$F(x) = x^2 - 3x + 2$, $int_0^2 (x^2 - 3x + 2)  dx = 0$

Question 2

Berechne die Fläche unter dem Graphen von f(x) = x² und über der x-Achse im Intervall [0, 2] mit Hilfe eines Integrals.

Accepted Answer

∫[0,2] x² dx

Answer

∫[0,2] x dx

Answer

∫[0,2] 2x dx

Answer

∫[0,2] 1 dx

Question 3

Was ist die Aufgabe eines bestimmten Integrals?

Accepted Answer

Die Fläche unter einer Kurve zwischen zwei bestimmten Grenzen zu berechnen

Answer

Den Funktionswert an einem bestimmten Punkt zu ermitteln

Answer

Die Steigung einer Funktion an einem bestimmten Punkt zu berechnen

Answer

Die Ableitung einer Funktion zu bestimmen

Question 4

Welcher Ausdruck beschreibt die Definition des bestimmten Integrals?

Accepted Answer

∫[a, b] f(x) dx

Answer

∫x dx

Answer

f'(x) dx

Answer

∫f(x)

Question 5

Was versteht man unter dem Integral einer Funktion f(x) über ein Intervall [a, b]?

Accepted Answer

Die Fläche zwischen dem Graphen von f(x) und der x-Achse im Intervall [a, b]

Answer

Die Ableitung von f(x) über [a, b]

Answer

Die Stammfunktion von f(x) über [a, b]

Answer

Der Wert von f(x) an der Stelle a

Question 6

Berechne die Stammfunktion von f(x) = e^(3x) - ln(x).

Accepted Answer

(1/3)e^(3x) - x*ln(x) + C

Answer

e^(3x) - ln(x) + C

Answer

(1/3)e^(3x) + x*ln(x) + C

Question 7

Was ist die Bedeutung des bestimmten Integrals ∫[a, b] f(x) dx?

Accepted Answer

Die Fläche unter dem Graphen von f(x) zwischen a und b.

Answer

Die Summe der Funktionswerte von f(x) zwischen a und b.

Answer

Die Änderungsrate des Graphen von f(x) zwischen a und b.

Question 8

Welche Integrationsregel erlaubt es dir, das Integral eines Produkts aus einer Konstanten und einer Funktion in das Produkt des Integrals der Konstanten und der Funktion umzuwandeln?

Accepted Answer

Faktorregel

Answer

Produktregel

Answer

Kettenregel

Question 9

Wie lautet die korrekte geometrische Deutung des bestimmten Integrals im Intervall [a, b]?

Accepted Answer

Fläche zwischen Funktionsgraph, x-Achse und Intervallgrenzen

Answer

Flächensumme der Rechtecke unter dem Funktionsgraphen

Answer

Länge des Funktionsgraphen über dem Intervall

Answer

Volumen des Rotationskörpers um die x-Achse

Question 10

Welche der folgenden Aussagen über bestimmte Integrale trifft zu?

Accepted Answer

Das Integral einer konstanten Funktion über ein Intervall entspricht dem Produkt aus der Konstanten und der Intervallänge.

Accepted Answer

Das Integral einer Funktion über ein Intervall entspricht der Fläche unter dem Funktionsgraphen über diesem Intervall.

Answer

Das Integral einer Funktion über ein Intervall ist immer größer oder gleich dem Funktionswert an einer beliebigen Stelle in diesem Intervall.

Answer

Das Integral einer Funktion über ein Intervall ist immer nicht-negativ.

Question 11

Berechnen Sie die Stammfunktion von f(x) = 1/(√x + 1).

Accepted Answer

2 ln(√x + 1) + C

Answer

ln(√x + 1) + C

Answer

ln(√x) + C

Answer

2 ln(x) + C

Question 12

Nenne zwei praktische Anwendungsgebiete uneigentlicher Integrale.

Accepted Answer

Testen der Konvergenz von Reihen

Accepted Answer

Berechnung von Wahrscheinlichkeiten

Answer

Berechnung von Flächeninhalten

Answer

Berechnung von Volumen von Rotationskörpern

Question 13

Welche numerische Integrationsmethode liefert die präziseste Schätzung für das Integral einer nichtlinearen Funktion?

Accepted Answer

Simpsonsche Regel

Answer

Rechteckregel

Answer

Trapezregel

Question 14

Eine Kugel mit dem Radius r hat ein Volumen von:

Accepted Answer

4/3 * πr^3

Answer

3/4 * πr^3

Answer

πr^3

Answer

2/3 * πr^3

Question 15

Welche Integrationsgrenze ist bei der Berechnung des Integrals von f(x) dx über das Intervall [a, b] zu verwenden?

Accepted Answer

[a, b]

Answer

[a, b+1]

Answer

[a-1, b+1]

Answer

[a-1, b]

Question 16

Welcher Ausdruck ist das Integral von sin(x) dx?

Accepted Answer

cos(x) + C

Answer

-cos(x)

Answer

sin(x) + C

Answer

x * sin(x)

Question 17

Welche Anwendung der Integralrechnung wird verwendet, um den Flächeninhalt unter der Kurve y = f(x) zwischen den Grenzen a und b zu berechnen?

Accepted Answer

Flächenberechnung

Answer

Volumenberechnung

Answer

Bogenlängenberechnung

Answer

Arbeitsermittlung

Question 18

Welche Formel wird bei der partiellen Integration verwendet?

Accepted Answer

∫udv = uv - ∫vdu

Answer

∫(x^n) dx = (x^(n+1))/(n+1)

Answer

∫sin(x) dx = -cos(x)

Answer

∫e^x dx = e^x + C

Question 19

Welche Funktion ist eine Stammfunktion von (x^2 + 3x) dx?

Accepted Answer

x^3/3 + 3x^2/2 + C

Answer

x^3 + 3x^2

Answer

x^2 + 3x

Answer

x^3 + 3x^2 - 2

Question 20

Welche der folgenden Aussagen zur Integralrechnung ist inkorrekt ?

Accepted Answer

Eine Stammfunktion ist eindeutig bestimmt.

Answer

Die Ableitung einer Stammfunktion ergibt die ursprüngliche Funktion.

Answer

Das Integral einer Konstanten ergibt die Konstante selbst.

Answer

Das Integral einer Summe von Funktionen ist gleich der Summe der Integrale der einzelnen Funktionen.

Question 21

Welche der folgenden Funktionen ist eine Stammfunktion von f(x) = 1/x ?

Accepted Answer

ln|x| + C

Answer

|x| + C

Answer

1/x² + C

Answer

x + C

Question 22

Welches der folgenden Integrale berechnet das Volumen des Körpers, der durch Rotation der Fläche unter der Kurve y = x² zwischen x = 0 und x = 1 um die x-Achse entsteht ?

Accepted Answer

2π ∫₀¹ x² dx

Answer

π ∫₀¹ x² dx

Answer

π ∫¹₀ x² dx

Answer

2π ∫¹₀ x² dx

Question 23

Was stellt die geometrische Bedeutung des Integrals ∫[a,b] f(x) dx dar?

Accepted Answer

Fläche unter der Kurve

Answer

Volumen des von der Kurve eingeschlossenen Körpers

Answer

Bogenlänge der Kurve

Answer

Krümmungsmaß der Kurve

Question 24

Welche Aussage über das unbestimmte Integral ∫x^n dx ist wahr?

Accepted Answer

Es existiert für alle n > 0

Answer

Es existiert für alle n < 0

Answer

Es existiert nur für n = 0

Answer

Es existiert nur für n = 1

Question 25

Welche der folgenden Funktionen ist differenzierbar, aber nicht integrierbar?

Accepted Answer

y = |x|

Answer

y = e^x

Answer

y = sin(x)

Answer

y = x^2

Question 26

Welche Aussage über die Stammfunktion einer Funktion f(x) ist korrekt?
Sie ist eine Funktion, deren

Accepted Answer

Ableitung f(x) ist.

Answer

Fläche unter der Graphen von f(x) von -∞ bis x ist.

Answer

Integral f(x) ist.

Answer

nur für stetige Funktionen definiert ist.

Question 27

Welche Integrationsregel wird verwendet, um das Integral ∫(x^2 + 3x - 5) dx zu lösen?

Accepted Answer

Summenregel

Answer

Potenzregel

Answer

Produktregel

Answer

Quotientenregel

Question 28

Welche Anwendung der Integralrechnung erlaubt es, den Flächeninhalt einer Fläche unter einem Funktionsgraphen zu bestimmen?

Accepted Answer

Integralrechnung

Answer

Differentialrechnung

Answer

Vektorrechnung

Answer

Stochastik

Question 29

Welche Art von Funktion hat eine Stammfunktion, die eine Parabel ist?

Accepted Answer

Quadratische Funktion

Answer

Lineare Funktion

Answer

Kubische Funktion

Answer

Exponentialfunktion

Question 30

Welche der folgenden Aussagen ist falsch über unbestimmte Integrale?

Accepted Answer

Sie sind immer eindeutig.

Answer

Sie enthalten eine Integrationskonstante.

Answer

Sie geben die Fläche unter einem Funktionsgraphen an.

Answer

Sie können durch Differentiation überprüft werden.

Question 31

Welches Integral stellt die Arbeit dar, die erforderlich ist, um einen Körper mit einer Masse von 10 kg von der Höhe h = 0 m auf die Höhe h = 5 m zu heben?

Accepted Answer

∫[0,5] 10gh dh

Answer

∫[0,5] 10g dh

Answer

∫[5,0] 10g dh

Answer

∫[5,0] 10gh dh

Question 32

Welche Funktion ist die Stammfunktion von f(x) = x²?

Accepted Answer

(1/3)x³

Answer

x³

Answer

x⁴

Answer

(1/4)x⁴

Question 33

Welche der folgenden Aussagen beschreibt korrekt die Definition einer Stammfunktion?

Accepted Answer

Eine Stammfunktion einer Funktion f(x) ist eine Funktion F(x), deren Ableitung F'(x) gleich f(x).

Answer

Eine Stammfunktion einer Funktion f(x) ist die Funktion, die beim Integrieren von f(x) entsteht.

Answer

Eine Stammfunktion einer Funktion f(x) ist die Funktion, deren Graph eine Gerade ist.

Answer

Eine Stammfunktion einer Funktion f(x) ist die Funktion, deren Integral den Wert 0 ergibt.

Question 34

Was ist die geometrische Bedeutung des Integrals ∫[a,b] f(x) dx?

Accepted Answer

Fläche unter dem Graphen von f(x) zwischen a und b

Answer

Volumen des Körpers, der durch Rotation des Graphen von f(x) um die x-Achse entsteht

Answer

Länge des Graphen von f(x) zwischen a und b

Answer

Inhalt des Dreiecks, das von den Geraden y = f(x), x = a und x = b gebildet wird

Question 35

Welches Integral berechnet die Bogenlänge des Graphen von f(x) zwischen a und b?

Accepted Answer

∫[a,b] √(1 + (f'(x))²) dx

Answer

∫[a,b] f(x) dx

Answer

∫[a,b] f'(x) dx

Answer

∫[a,b] √(f(x)²) dx

Question 36

Welche der folgenden Funktionen ist eine Stammfunktion von f(x) = x³?

Accepted Answer

(1/3)x³ + C

Answer

(1/4)x⁴ + C

Answer

(1/2)x² + C

Answer

x⁴ + C

Question 37

Berechne das Integral von ∫(sin(x) + e^x) dx.

Accepted Answer

-cos(x) + e^x + C

Answer

cos(x) - e^x + C

Answer

sin(x) + e^x + C

Answer

-sin(x) - e^x + C

Question 38

Welche Integrationsregel wird bei der Berechnung des Integrals von ∫(x * ln(x)) dx angewendet?

Accepted Answer

Partielle Integration

Answer

Produktregel

Answer

Quotientenregel

Answer

Substitutionsregel

Question 39

Welcher der folgenden Ausdrücke stellt das Volumen des Körpers dar, der durch Rotation der Fläche unter der Kurve f(x) = x² zwischen x = 0 und x = 2 um die x-Achse entsteht?

Accepted Answer

(π/2) * (2⁵)

Answer

(π/3) * (2⁵)

Answer

(π/4) * (2⁵)

Answer

(π/6) * (2⁵)

Question 40

Welches der folgenden Integrale stellt die Arbeit dar, die erforderlich ist, um ein Objekt mit der Masse m von der Höhe h auf die Höhe 2h zu heben?

Accepted Answer

∫(mg) dh

Answer

∫(mg/h) dh

Answer

∫(mh) dg

Answer

∫(mh/g) dg

Question 41

Welche der folgenden Bedingungen ist notwendig, damit die Funktion f(x) auf dem Intervall [a, b] integrierbar ist?

Accepted Answer

f(x) ist stetig auf [a, b].

Answer

f(x) ist differenzierbar auf [a, b].

Answer

f(x) ist monoton auf [a, b].

Answer

f(x) ist beschränkt auf [a, b].

Question 42

Welche Integrationstechnik wird zur Berechnung des Integrals von ∫sin(x) dx verwendet?

Accepted Answer

Trigonometrische Substitution

Answer

Substitution

Answer

Partielle Integration

Answer

Lineare Substitution

Question 43

Welche der folgenden Funktionen ist eine Stammfunktion von e^x?

Accepted Answer

e^x + C

Answer

xe^x

Answer

e^x/x

Answer

x*e^x

Question 44

Welche Integrationsregel wird zur Berechnung des Integrals von ∫x*sin(x) dx verwendet?

Accepted Answer

Partielle Integration

Answer

Produktregel

Answer

Quotientenregel

Answer

Kettenregel

Question 45

Welche Aussage zum Integrieren von uneigentlichen Integralen ist korrekt?

Accepted Answer

Uneigentliche Integrale können sowohl konvergieren als auch divergieren.

Answer

Uneigentliche Integrale konvergieren immer.

Answer

Uneigentliche Integrale divergieren immer.

Answer

Uneigentliche Integrale sind immer positiv.

Question 46

Welche Substitutionsregel wird verwendet, um das Integral von ∫(sin(2x)) dx zu lösen?

Accepted Answer

u = 2x

Answer

u = sin(2x)

Answer

u = cos(2x)

Answer

u = 1/2x

Question 47

Welche Substitution ist zur Lösung des Integrals ∫ (x² + 1)³ * x dx geeignet?

Accepted Answer

u = x² + 1

Answer

u = x

Answer

u = x³

Answer

u = (x² + 1)³

Question 48

Welches der folgenden Integrale ist uneigentlich?

Accepted Answer

∫ x² dx von -∞ bis ∞

Answer

∫ (1/x) dx von 0 bis 1

Answer

∫ sin(x) dx von 0 bis π/2

Answer

∫ cos(x) dx von 0 bis 2π

Question 49

Berechne das Integral von ∫(x * ln(x^2)) dx.

Accepted Answer

x^2 * ln(x^2) / 2 - x^2 / 4 + C

Answer

x^2 * ln(x) - x^2 + C

Answer

x^2 * ln(x) / 2 + x^2 / 4 + C

Answer

ln(x^2) - x^2 + C

Question 50

Berechne das Integral von ∫(cos(2x)) dx.

Accepted Answer

1/2sin(2x) + C

Answer

1/2cos(2x) + C

Answer

sin(2x) + C

Answer

cos(2x) + C

Question 51

Welche der folgenden Aussagen beschreibt die physikalische Bedeutung des Integrals ∫a(t) dt?

Accepted Answer

Weg, der in einem bestimmten Zeitraum zurückgelegt wird

Answer

Geschwindigkeit, die zu einem bestimmten Zeitpunkt erreicht wird

Answer

Beschleunigung, die auf einen Körper wirkt

Answer

Kraft, die auf einen Körper wirkt

Question 52

Welche der folgenden Funktionen ist eine Stammfunktion von f(x) = 3e^(x)?

Accepted Answer

3e^(x) + C

Answer

e^(3x) + C

Answer

3e^(3x) + C

Answer

e^(x) / 3 + C

Question 53

Welcher Funktionsterm ist die Stammfunktion von f(x) = 2x + 3?

Accepted Answer

x² + 3x + C

Answer

2x² + 3

Answer

x² + 3

Answer

2x + 3x + C

Question 54

Welches Integral berechnet die Fläche unter der Kurve y = x² zwischen x = 0 und x = 2?

Accepted Answer

∫₀² x² dx

Answer

∫²₀ x² dx

Answer

∫₀² 2x dx

Question 55

Welche Integrationsregel wird zur Berechnung des Integrals von ∫(sinx + cosx) dx verwendet?

Accepted Answer

Summenregel

Answer

Produktregel

Answer

Quotientenregel

Answer

Kettenregel

Question 56

Welcher Funktionsterm ist die Stammfunktion von f(x) = eˣ?

Accepted Answer

eˣ + C

Answer

½ * eˣ² + C

Answer

x²/eˣ + C

Answer

x*eˣ + C

Question 57

Berechne das Integral von ∫(1/(x+1)) dx.

Accepted Answer

ln|x+1| + C

Answer

x/(x+1) + C

Answer

(x+1)/x + C

Answer

1/(x+1) + C

Question 58

Welche Integrationsregel wird zur Berechnung des Integrals von ∫(x*sin(x)) dx verwendet?

Accepted Answer

Partielle Integration

Answer

Produktregel

Answer

Summenregel

Answer

Kettenregel

Question 59

Welche der folgenden Formeln gibt den Wert des bestimmten Integrals ∫[a,b] f(x) dx an ?

Accepted Answer

F(b) - F(a)

Answer

1/2(F(b) + F(a))

Answer

F(a) - F(b)

Answer

F(b)² - F(a)²

Question 60

Welche der folgenden Aussagen über Integrale ist richtig ?

Accepted Answer

Das Integral einer Konstanten ist gleich der Konstanten multipliziert mit der Integrationsvariablen.

Answer

Das Integral einer Funktion ist immer gleich null.

Answer

Das Integral einer Funktion ist immer positiv.

Question 61

Welche der folgenden Aussagen beschreibt die Bedeutung des bestimmten Integrals ∫[a,b] f(x) dx ?

Accepted Answer

Die Nettofläche unter der Kurve y = f(x) zwischen x = a und x = b

Answer

Die Steigung der Kurve y = f(x) an der Stelle x = b

Answer

Die Gesamtfläche unter der Kurve y = f(x)